Exercice 1 : L'opérateur de décalage sur $\ell^2(\mathbb{N})$

Question 1

On rappelle que $\ell^2(\mathbb{N})$ désigne l'espace des suites $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de nombres complexes vérifiant $\sum_{n=0}^{\infty} |x_n|^2 < \infty$, muni du produit scalaire $\langle x, y \rangle = \sum_{n=0}^{\infty} x^*_n y_n$.

On définit l'opérateur de décalage à droite $T \colon \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N})$ par :

$$ T(x_0, x_1, x_2, ...) = (0, x_0, x_1, x_2, ...). $$

Question 2

Montrer que $T$ est une isométrie linéaire.

Solution

Linéarité. Pour $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ et $x, y \in \ell^2(\mathbb{N})$ :

$$ T(\alpha x + \beta y) = (0,\, \alpha x_0 + \beta y_0,\, \alpha x_1 + \beta y_1,\, ...) = \alpha\, T(x) + \beta\, T(y). $$

Isométrie. On vérifie la conservation de la norme :

$$ \|T(x)\|^2 = |0|^2 + \sum_{n=0}^{\infty} |x_n|^2 = \|x\|^2. $$

Donc $T$ est une isométrie, et en particulier $T$ est injectif (car $\|T(x)\| = 0 \Rightarrow \|x\| = 0 \Rightarrow x = 0$).

Question 3

$T$ est-il un isomorphisme hilbertien (opérateur unitaire) ?

Solution

$T$ n'est pas un isomorphisme hilbertien. Un isomorphisme hilbertien doit être bijectif. Or $T$ n'est pas surjectif : la suite $y = (1, 0, 0, ...) \in \ell^2(\mathbb{N})$ n'admet aucun antécédent par $T$, car la première composante de tout $T(x)$ est $0$.

Ainsi, $T$ est une isométrie non unitaire. Cet exemple illustre un phénomène propre à la dimension infinie : en dimension finie, toute isométrie linéaire est automatiquement surjective (argument de dimension), ce qui n'est plus vrai en dimension infinie.