Exercice 1 : Représentant de Riesz en dimension finie

Question 1

Soit $E = \mathbb{C}^n$ muni du produit scalaire usuel $\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k^* y_k$. Soit $\varphi \colon E \to \mathbb{C}$ la forme linéaire définie par $$ \varphi(x) = \sum_{k=1}^n a_k x_k, \qquad (a_1, ..., a_n) \in \mathbb{C}^n. $$

Question 2

Déterminer le représentant de Riesz $u_\varphi \in E$ tel que $\varphi(x) = \langle u_\varphi, x \rangle$ pour tout $x \in E$.

Solution

On cherche $u = (u_1, ..., u_n)$ tel que $\langle u, x \rangle = \sum_k u_k^* x_k = \sum_k a_k x_k$ pour tout $x \in E$. Par identification composante par composante, $u_k^* = a_k$, soit

$$ u_\varphi = (a_1^*, ..., a_n^*). $$

Question 3

Montrer que l'application $\varphi \mapsto u_\varphi$ est antilinéaire.

Solution

Soient $\varphi, \psi$ deux formes linéaires de représentants $u_\varphi$ et $u_\psi$, et $\lambda \in \mathbb{C}$. Le représentant de $\lambda\varphi + \psi$ vérifie, pour tout $x$ :

$$ \langle u_{\lambda\varphi+\psi}, x \rangle = (\lambda\varphi + \psi)(x) = \lambda\varphi(x) + \psi(x) = \lambda \langle u_\varphi, x \rangle + \langle u_\psi, x \rangle = \langle \lambda^* u_\varphi + u_\psi, x \rangle, $$

donc $u_{\lambda\varphi + \psi} = \lambda^* u_\varphi + u_\psi$. L'application $\varphi \mapsto u_\varphi$ est bien antilinéaire.