Exercice 1 : Algèbre des opérateurs de création et d'annihilation

Question 1

Soit $H$ un espace de Hilbert. On suppose donnés deux opérateurs $a$ et $a^\dagger$ sur $H$ vérifiant la relation de commutation canonique $$ [a,\, a^\dagger] = \mathbf{1}. $$

On définit l'opérateur nombre $N = a^\dagger a$.

Question 2

Montrer que $[N, a] = -a$ et $[N, a^\dagger] = a^\dagger$.

Solution

On développe en utilisant $[a, a^\dagger] = \mathbf{1}$ :

$$ [N, a] = [a^\dagger a,\, a] = a^\dagger[a, a] + [a^\dagger, a]\,a = 0 - \mathbf{1}\cdot a = -a. $$

De même :

$$ [N, a^\dagger] = [a^\dagger a,\, a^\dagger] = a^\dagger [a, a^\dagger] + [a^\dagger, a^\dagger]\,a = a^\dagger \cdot \mathbf{1} + 0 = a^\dagger. $$

Question 3

Soit $|n\rangle$ un vecteur propre de $N$ de valeur propre $\lambda \in \mathbb{C}$, $|n\rangle \neq 0$. Montrer que si $a|n\rangle \neq 0$, alors $a|n\rangle$ est vecteur propre de $N$ de valeur propre $\lambda - 1$, et que si $a^\dagger|n\rangle \neq 0$, alors $a^\dagger|n\rangle$ est vecteur propre de $N$ de valeur propre $\lambda + 1$.

Solution

Supposons $N|n\rangle = \lambda|n\rangle$. Alors :

Si $a|n\rangle \neq 0$, c'est donc un vecteur propre de $N$ de valeur propre $\lambda - 1$. De même :

donc $a^\dagger|n\rangle$, s'il est non nul, est vecteur propre de valeur propre $\lambda + 1$.

Question 4

Montrer que $\lambda \geq 0$. En déduire que le spectre de $N$ est $\mathbb{N}$ et que les valeurs propres sont des entiers.

Solution

Pour tout $|\psi\rangle \in H$ :

donc $N$ est un opérateur positif et toute valeur propre $\lambda$ vérifie $\lambda \geq 0$.

Supposons $\lambda \notin \mathbb{N}$. En appliquant $a$ répétitivement, on obtient la suite de valeurs propres $\lambda, \lambda-1, \lambda-2, ...$, qui finit par être strictement négative, ce qui contredit $\lambda \geq 0$. Donc le spectre est contenu dans $\mathbb{N}$ ; en appliquant $a^\dagger$ à partir de $|0\rangle$ (vecteur propre de valeur propre $0$, dont l'existence est assurée par l'argument de positivité), on construit tous les entiers.

Question 5

Montrer que

$$ \|a|n\rangle\|^2 = n, \qquad \|a^\dagger|n\rangle\|^2 = n+1. $$

En déduire, en choisissant les phases de sorte que les coefficients soient réels positifs :

$$ a|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle, \qquad a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle. $$

Solution

En utilisant $[a, a^\dagger] = \mathbf{1}$ et $N = a^\dagger a$ :

Pour $a^\dagger$ :

$$ \|a^\dagger|n\rangle\|^2 = \langle n | a\, a^\dagger | n \rangle = \langle n | (a^\dagger a + \mathbf{1}) | n \rangle = n + 1. $$

Puisque $a|n\rangle$ est proportionnel à $|n-1\rangle$ (vecteur propre de valeur propre $n-1$, unique à une phase près dans une représentation irréductible), on peut choisir la phase pour écrire :

$$ a|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle, \qquad a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle. $$