Exercice 1 : Adjoint et projecteurs

Question 1

Soit $H$ un espace de Hilbert complexe (antilinéaire à gauche). Rappelons que l'adjoint $A^\dagger$ d'un opérateur $A$ est défini par : $$ \langle u, A^\dagger v \rangle = \langle Au, v \rangle \qquad \forall\, u, v \in H. $$

Question 2

Montrer que si $A$ est représenté par une matrice $(A_{ij})$ dans une base orthonormée, alors $(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^*$.

Solution

Soient $|e_i\rangle$ une base orthonormée, $A_{ij} = \langle e_i, A e_j\rangle$. Par définition de l'adjoint :

$$ (A^\dagger)_{ij} = \langle e_i, A^\dagger e_j \rangle = \langle A e_i, e_j \rangle = \langle e_j, A e_i \rangle^* = A_{ji}^*. $$

Question 3

Soit $|\psi\rangle \in H$ un vecteur normalisé. On définit $P = |\psi\rangle\langle\psi|$, c'est-à-dire l'opérateur $P \colon |v\rangle \mapsto \langle \psi, v\rangle\, |\psi\rangle$. Montrer que $P$ est autoadjoint ($P^\dagger = P$) et idempotent ($P^2 = P$).

Solution

Autoadjonction. Pour tous $|u\rangle, |v\rangle \in H$ :

$$ \langle u, P^\dagger v \rangle = \langle Pu, v \rangle = \langle \langle \psi, u \rangle \psi,\, v \rangle = \langle \psi, u \rangle^*\, \langle \psi, v \rangle = \langle u, \psi \rangle\, \langle \psi, v \rangle = \langle u, Pv \rangle, $$

donc $P^\dagger = P$.

Idempotence.

où l'on a utilisé $\langle\psi,\psi\rangle = 1$.

Question 4

Montrer que $\mathbf{1} - P$ est également un projecteur orthogonal, et interpréter géométriquement.

Solution

Posons $Q = \mathbf{1} - P$. Alors $Q^\dagger = \mathbf{1} - P^\dagger = Q$ et $Q^2 = \mathbf{1} - 2P + P^2 = \mathbf{1} - P = Q$. $Q$ est donc un projecteur orthogonal ; son image est le supplémentaire orthogonal $(\mathrm{Im}\, P)^\perp = \{|\psi\rangle\}^\perp$.