Exercice 1 : Troncature de l'oscillateur harmonique

Question 1

On reprend les notations de l'exercice sur les opérateurs de création et d'annihilation. On note $H_N$ le sous-espace de dimension $N$ engendré par $\{|0\rangle, |1\rangle, ..., |N-1\rangle\}$. On définit les opérateurs tronqués $a_N$ et $a_N^\dagger$ comme les restrictions de $a$ et $a^\dagger$ à $H_N$, avec la convention $a_N|0\rangle = 0$ et $a_N^\dagger|N-1\rangle = 0$.

Question 2

Écrire les matrices de $a_N$ et $a_N^\dagger$ dans la base $\{|0\rangle,...,|N-1\rangle\}$ pour $N = 4$.

Solution

En utilisant $a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$ et $a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle$ (avec annulation aux bords) :

$$ a_4 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad a_4^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix}. $$

Question 3

Vérifier que $a_N^\dagger = (a_N)^\dagger$ au sens hilbertien sur $H_N$.

Solution

Par le résultat de l'exercice sur l'adjoint et les projecteurs, $(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^*$. Les deux matrices obtenues à la question précédente sont transposées conjuguées l'une de l'autre (les coefficients sont réels), donc $a_4^\dagger = (a_4)^\dagger$.

Question 4

Calculer $[a_N, a_N^\dagger]$ et montrer que ce commutateur n'est plus égal à $\mathbf{1}_{H_N}$. Interpréter.

Solution

On calcule :

$$ [a_4, a_4^\dagger] = a_4 a_4^\dagger - a_4^\dagger a_4. $$

Un calcul matriciel direct donne :

$$ a_4 a_4^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad a_4^\dagger a_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, $$

d'où :

$$ [a_4, a_4^\dagger] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{1}_{H_4} - |3\rangle\langle 3|. $$

La relation de commutation canonique $[a,a^\dagger]=\mathbf{1}$ est violée au niveau du dernier état de base : la troncature brise l'algèbre de Heisenberg, car $a_N^\dagger|N-1\rangle = 0$ alors que l'espace est « trop petit » pour accueillir $|N\rangle$.