Exercice 1 : Opérateur de rotation de spin et unitarité

Question 1

On considère l'espace $H = \mathbb{C}^2$ (spin $1/2$) avec la base $\{|\!\uparrow\rangle, |\!\downarrow\rangle\}$. Les matrices de Pauli sont : $$ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. $$

On définit l'opérateur de rotation autour de l'axe $z$ d'angle $\theta$ :

$$ U(\theta) = e^{-i\theta\sigma_z/2}. $$

Question 2

En utilisant $\sigma_z^2 = \mathbf{1}$, montrer que :

$$ U(\theta) = \cos\tfrac{\theta}{2}\,\mathbf{1} - i\sin\tfrac{\theta}{2}\,\sigma_z = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}. $$

Solution

On développe l'exponentielle en série entière et on sépare les puissances paires et impaires, en utilisant $\sigma_z^{2k} = \mathbf{1}$ et $\sigma_z^{2k+1} = \sigma_z$ :

$$ e^{-i\theta\sigma_z/2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-i\theta/2)^{2k}}{(2k)!}\,\mathbf{1} + \sum_{k=0}^\infty \frac{(-i\theta/2)^{2k+1}}{(2k+1)!}\,\sigma_z = \cos\tfrac{\theta}{2}\,\mathbf{1} - i\sin\tfrac{\theta}{2}\,\sigma_z. $$

En substituant $\sigma_z = \mathrm{diag}(1,-1)$, on obtient la matrice diagonale annoncée.

Question 3

Vérifier que $U(\theta)$ est unitaire : $U^\dagger(\theta)\,U(\theta) = \mathbf{1}$.

Solution

$U^\dagger(\theta) = \mathrm{diag}(e^{i\theta/2}, e^{-i\theta/2})$, donc :

$$ U^\dagger(\theta)\,U(\theta) = \begin{pmatrix} e^{i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix} = \mathbf{1}. $$

Question 4

Calculer l'opérateur $U(\theta)\,\sigma_x\,U^\dagger(\theta)$ et interpréter le résultat comme une rotation dans le plan $(x,y)$.

Solution

On calcule :

$$ U(\theta)\,\sigma_x\,U^\dagger(\theta) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta/2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & e^{-i\theta} \\ e^{i\theta} & 0 \end{pmatrix}. $$

En décomposant :

$$ \begin{pmatrix} 0 & e^{-i\theta} \\ e^{i\theta} & 0 \end{pmatrix} = \cos\theta\,\sigma_x + \sin\theta\,\sigma_y. $$

C'est bien la rotation de $\sigma_x$ vers $\sigma_y$ d'angle $\theta$ dans le plan $(x,y)$ de l'espace des observables, conformément à la formule adjointe $U A U^\dagger$ pour les rotations unitaires.