Wprowadzenie ogólne i fundamentalne doświadczenia

1. Wprowadzenie

Od czegoś trzeba zacząć. Wiele wprowadzeń do mechaniki kwantowej rozpoczyna się od doświadczenia Younga z dwiema szczelinami albo od historycznych badań promieniowania ciała doskonale czarnego i hipotezy, którą Planck wprowadził, by je wyjaśnić (Planck, 1900).

Planck wprowadza ideę, że energię można wymieniać wyłącznie w dyskretnych porcjach, kwantach, od których teoria weźmie nazwę. Zrozumienie jego rozumowania wymaga jednak znajomości fizyki statystycznej, której początkujący student nie zawsze posiada.

Doświadczenie Younga jest z kolei spektakularne. W wersji kwantowej, z cząstkami wysyłanymi pojedynczo, pokazuje zachowania po prostu niezrozumiałe w ujęciu klasycznym. Zdaniem autora znacznie łatwiej jednak zrozumieć to doświadczenie z perspektywy czasu, gdy zna się już zasady teorii kwantowej. W pewnym sensie skupia ono w sobie kilka najbardziej niezwykłych aspektów teorii.

Zaczniemy więc inaczej, od doświadczenia Sterna i Gerlacha (1922), dotyczącego obiektu pozornie prostszego i dobrze rozumianego klasycznie: cząstki posiadającej moment magnetyczny. W historycznym doświadczeniu jest nią atom srebra. Na razie musimy jedynie przyjąć, że taki atom rzeczywiście ma moment magnetyczny. Gdy wysyłamy go w obszar niejednorodnego pola magnetycznego, prawa mechaniki i elektromagnetyzmu łatwo przewidują jego tor.

Wyniki również są spektakularne: radykalnie różnią się od przewidywań klasycznych. W kolejnych, coraz bardziej złożonych doświadczeniach klasyczny opis załamuje się, a my obserwujemy kolejno kwantowanie (zob. podrozdział 4), superpozycję kwantową (zob. podrozdział 7.2) i jeszcze jedno zjawisko czysto kwantowe, którego szczeliny Younga nie ujawniają bezpośrednio: niezgodność pewnych pomiarów (zob. podrozdział 6.1).

Najpierw przypomnimy, czym jest moment magnetyczny. Następnie opiszemy doświadczenie i to, co należałoby zaobserwować, gdyby atom zachowywał się jak zwykły mały magnes. Na koniec przedstawimy rzeczywiste wyniki i omówimy ich znaczenie.

2. Przypomnienie klasycznego momentu magnetycznego

2.1. Moment magnetyczny

Moment magnetyczny $\vec{\mu}$, czyli dipol magnetyczny, jest wektorem. Naturalny magnes ma moment magnetyczny skierowany z definicji od bieguna południowego do północnego. Jest to również kierunek linii pola magnetycznego wewnątrz magnesu; na zewnątrz wychodzą one z bieguna północnego i wracają do południowego, zob. Rysunek 1.

Moment ten jest podstawową wielkością określającą siłę magnesu. Na przykład odpychanie dwóch magnesów zwróconych do siebie biegunami południowymi zależy od iloczynu ich momentów magnetycznych i odległości.

Naturalne magnesy nie są jednak wygodne w dalszych rozważaniach, ponieważ nie od razu wiadomo, co wytwarza ich pole magnetyczne. Znacznie wygodniejsze są elektromagnesy, czyli pętle prądowe. Dla płaskiej pętli, przez którą płynie prąd o natężeniu $I$ i która obejmuje powierzchnię $S$, można wykazać, że moment magnetyczny wynosi $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$, gdzie $\vec{n}$ jest jednostkowym wektorem normalnym do pętli, zorientowanym zgodnie z regułą prawej dłoni.

To jedyny potrzebny nam tutaj wzór. Teoria momentów magnetycznych jest oczywiście ogólniejsza. Definiuje moment magnetyczny dowolnego rozkładu prądu przez całkę po tym rozkładzie. Wzór dla pętli jest przypadkiem szczególnym. Więcej szczegółów tej konstrukcji można znaleźć w standardowych podręcznikach, na przykład w rozdziale 5 pracy ^[1].

2.2. Sprzężenie z polem magnetycznym

Mechanika klasyczna wyprowadza trzy własności dipola magnetycznego umieszczonego w zewnętrznym polu magnetycznym $\vec B$.

Trzeci wzór wynika bezpośrednio z drugiego poprzez $\vec{F} = -\grad E_p$. Pokazuje, że układ mający moment magnetyczny w niejednorodnym polu podlega wypadkowej sile odchylającej jego tor. Pierwsze dwa wynikają z jawnego obliczenia siły Laplace'a działającej na rozkład prądu (dla momentu sił) i pracy tej siły (dla energii potencjalnej). Nie powtarzamy rachunku; pełne wyprowadzenie podają zwłaszcza podrozdziały 5.2 i 5.7 pracy ^[1]1.

Pomijając szczegóły techniczne, zapamiętajmy przede wszystkim następujący fakt. Energia potencjalna w równaniu (2) jest minimalna, gdy $\vec\mu$ jest równoległe do $\vec B$, i maksymalna przy ustawieniu antyrównoległym. Dipol magnetyczny dąży więc do ustawienia wzdłuż pola pod wpływem momentu sił z równania (1). Tak działa kompas. Bez dyssypacji igła oscylowałaby jednak bez końca wokół kierunku północnego wskutek momentu sił i twierdzenia o momencie pędu. Zatrzymuje się dlatego, że tarcie na osi obrotu rozprasza energię tych oscylacji.

2.3. Stosunek żyromagnetyczny i precesja

Ruch ten przyjmuje szczególną postać, gdy moment magnetyczny jest proporcjonalny do wewnętrznego momentu pędu dipola. Wówczas wprowadzamy stosunek żyromagnetyczny $\gamma$ przez proporcjonalność:

Zależność taka jak równanie (4) pojawia się na przykład dla momentu magnetycznego klasycznego ładunku na orbicie kołowej. Ładunek $q$ o masie $m$, obiegający okrąg o promieniu $R$ z prędkością $v$, odpowiada bowiem prądowi $I=qv/(2\pi R)$. Wytwarza więc moment magnetyczny

W tym klasycznym modelu orbitalnym $\gamma=q/(2m)$. Twierdzenie o momencie pędu i równanie (1) dają razem $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$, a następnie, jeśli $\gamma$ jest stałe, równanie precesji:

W jednorodnym polu rozwiązanie tego równania pokazuje, że wektor $\vec\mu$ zakreśla stożek wokół kierunku pola, czyli precesuje z częstością kołową Larmora $\omega_L=|\gamma|B$, zob. Rysunek 2.

3. Doświadczenie Sterna i Gerlacha

Zasadę doświadczenia przedstawia Rysunek 3. Ze źródła wysyłamy obojętne cząstki w niejednorodne pole magnetyczne wytworzone przez dwa zwrócone ku sobie magnesy. Umieszczony dalej ekran rejestruje trafienia i pozwala zmierzyć ewentualne odchylenie.

3.1. Układ doświadczalny

Magnesy.

Siła z równania (3) znika tożsamościowo, gdy pole zewnętrzne jest jednorodne. Dipol w jednorodnym polu podlega tylko momentowi sił, a jego środek masy porusza się nadal po prostej. To niejednorodność pola czyni doświadczenie interesującym.

Aby ją wytworzyć, aparat Sterna i Gerlacha (zwykle nazywany po prostu Sternem-Gerlachem lub SG) wykorzystuje dwa odpowiednio ukształtowane magnesy: jeden ze szpicem, drugi z odwróconym szpicem lub lekko zakrzywionym dnem, zob. Rysunek 3. Geometria ta skupia linie pola przy ostrej krawędzi górnego magnesu. Ponieważ linie się zagęszczają, zachowanie strumienia magnetycznego $\mathrm{div} \vec B = 0$ w rurce pola oznacza wzrost pola w kierunku tej krawędzi, tutaj wraz z $z$.

W pierwszym przybliżeniu chcielibyśmy zapisać pole wewnętrzne jako $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ przy $k>0$, lecz nie spełniałoby to warunku zerowej dywergencji $\mathrm{div} \vec B = 0$. Pole musi zatem mieć także składową poprzeczną. Pomijając efekty brzegowe i zakładając niezmienniczość wzdłuż $\vec e_x$, otrzymujemy:

Typowe aparaty mają pole rzędu $B_0 \sim 0{,}1$ T, przy $k\Delta z \ll B_0$ na całej pionowej szczelinie między magnesami, zwykle szerokiej na kilka milimetrów. Długość magnesów wynosi kilka centymetrów.

Źródło.

Jest to mały piec umieszczony w próżni i zawierający stałe srebro. W wysokiej temperaturze odparowane atomy opuszczają go przez otwór, a kilka wąskich szczelin wybiera te, których prędkość jest prawie równoległa do $\vec e_x$. Powstaje skolimowana wiązka atomowa o typowej prędkości kilkuset metrów na sekundę i rozrzucie odziedziczonym po rozkładzie Maxwella-Boltzmanna.

Używamy cząstek elektrycznie obojętnych, aby badać wyłącznie magnetyczne efekty dipolowe. Cząstki naładowane podlegałyby także sile Lorentza $q\,\vec v\wedge\vec B$ o wartości $qvB_0$, która zdecydowanie przeważałaby nad interesującą nas siłą $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$.

Ekran.

W historycznym doświadczeniu atomy srebra stopniowo osadzały się na ekranie, tworząc widoczny ślad. We współczesnym doświadczeniu strumień można zmniejszyć tak, by rejestrować pojedyncze trafienia. Ta możliwość będzie później ważna; wrócimy do niej.

3.2. Przewidywanie mechaniki klasycznej

Wyślijmy w obszar pola z równania (7) obojętną cząstkę o momencie magnetycznym $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$. Równanie 3 daje

Dipol jest więc odchylany nie tylko wzdłuż $z$, lecz także wzdłuż $y$. Czytelnik znający doświadczenie Sterna i Gerlacha z innych źródeł może być tym zaskoczony, ponieważ wiele skryptów ogranicza się do opisu tego, co zachodzi wzdłuż osi $z$. W rzeczywistości oba człony równania (8) na pierwszy rzut oka odgrywają tę samą rolę.

Możliwość pominięcia ruchu wzdłuż osi $y$ wynika z precesji. W tym miejscu musimy poczynić istotne założenie, które uzasadnimy później: moment magnetyczny atomu jest proporcjonalny do jego wewnętrznego momentu pędu $\vec L$.

Przy tym założeniu, ponieważ stałe pole $B_0\vec e_z$ zdecydowanie dominuje nad poprawkami $kz\,\vec e_z$ i $-ky\,\vec e_y$, moment magnetyczny w pierwszym przybliżeniu precesuje wokół $\vec e_z$ z częstością kołową $\omega_p = |\gamma| B_0$, gdzie $\gamma$ jest stosunkiem żyromagnetycznym. Podczas precesji $\mu_z$ pozostaje więc stałe, a $\mu_y$ oscyluje wokół zera.

Precesja ta jest szybka. Powyższe wzory dają rzędy wielkości, które powinny być właściwe w świecie atomowym. Używając ładunku elementarnego i masy elektronu, otrzymujemy z $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ wartość $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$². Dla $B_0\approx0{,}1$ T dostajemy $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Czas przelotu przez magnes wynosi natomiast $T=\ell/v_x$, czyli około $10^{-4}$ s dla długości $\ell$ kilku centymetrów i $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Moment magnetyczny wykonuje więc podczas przelotu kilkaset tysięcy obrotów. Średnia siła wzdłuż $y$ znika z doskonałą dokładnością.

Jedyną istotną siłą w tym modelu jest zatem średnio $\langle F_z\rangle=k\mu_z$. Wynika stąd natychmiast, że końcowe odchylenie na ekranie musi być proporcjonalne do $\mu_z$. Pozostają warunki początkowe. Atomy opuszczają piec, czyli kąpiel cieplną, w której żaden kierunek przestrzenny nie jest wyróżniony. Na wejściu do SG momenty magnetyczne muszą więc mieć losowe orientacje, a ich pionowa składowa $\mu_z$ przyjmować w sposób ciągły wszystkie wartości od $-\mu$ do $+\mu$, z rozkładem jednostajnym.

Klasyczne przewidywanie jest jednoznaczne: wzdłuż osi $z$ powinniśmy zobaczyć ciągłe pasmo trafień, niekoniecznie jednostajne ze względu na rozrzut prędkości.

4. Wyniki doświadczalne

Nie to obserwujemy. Odchylenie rzeczywiście zachodzi tylko wzdłuż $z$, co jest zgodne ze znikaniem średniej siły wzdłuż $y$, lecz na ekranie nie ma ciągłego pasma: występują dwie plamki, symetryczne względem pierwotnej osi i rozdzielone pustym obszarem.

4.1. Pomiar $\mu_0$

Dokładne położenie obu plamek pozwala oszacować wartość $\mu_0$. Jeśli przyjmiemy, że gradient $k=\partial B_z/\partial z$ i prędkość podłużna $v_x$ są w magnesie w przybliżeniu stałe, to atom doznaje przez czas $T=\ell/v_x$ przyspieszenia poprzecznego

które całkujemy w elementarny sposób, po czym przedłużamy tor po prostej aż do ekranu. Uwzględniając parametry geometryczne doświadczenia, Otto Stern i Walther Gerlach zdołali w ten sposób zmierzyć tę wielkość dla atomów srebra i otrzymali wartość magnetonu Bohra

Pomiar ten pozwala wrócić do założenia 4. Nie daje jednak bezpośrednio $\gamma$, ponieważ dotyczy momentu magnetycznego, a nie związanego z nim momentu pędu $L$. Możemy jedynie sprawdzić rząd wielkości: naturalną skalą atomowego momentu pędu jest $\hbar$, a jeśli przyjmiemy $L\sim\hbar$, to $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$. Odzyskujemy więc wcześniej założony rząd wielkości i częstość kołową precesji rzędu $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, zgodną z obserwowanym brakiem odchylenia wzdłuż $y$.

4.2. Problem mechaniki klasycznej

Doświadczenie ujawnia zjawisko obce mechanice klasycznej: składowa momentu magnetycznego wzdłuż danego kierunku nie zmienia się w sposób ciągły, lecz jest skwantowana.

Nawet przyjmując, że atom srebra ma moment magnetyczny, trzeba jeszcze wyjaśnić, jak dowolne początkowe orientacje wynikające z kąpieli cieplnej prowadzą do dokładnie dwóch wiązek. Rozważmy dwa mechanizmy klasyczne, które mogłyby wyjaśnić ten wynik.

Czy pole w magnesie mogłoby ustawiać momenty wzdłuż siebie? Widzieliśmy, że bez dyssypacji magnetyczny moment sił powoduje precesję dipola z zachowaniem kąta z polem. Nie ustawia go zatem ani wzdłuż $+\vec B$, ani wzdłuż $-\vec B$. Czy można jednak pominąć wszelką dyssypację? Teoria elektromagnetyzmu przewiduje przecież, że precesujący moment promieniuje³. Ta dyssypacja jest jednak pomijalna: niedługo po publikacji wyników Einstein oblicza ją i szacuje, że relaksacja wymagałaby ponad stulecia, podczas gdy przelot przez magnes trwa około $10^{-4}$ s ^[3]. A nawet gdyby była wystarczająco szybka, kierowałaby momenty ku orientacji o najniższej energii, równoległej do pola: obserwowalibyśmy wtedy jedną plamkę, a nie dwie.

Czy pola brzegowe mogłyby wyjaśnić dwie plamki? Przy wejściu do magnesu i wyjściu z niego kierunek oraz natężenie pola zmieniają się i mogą komplikować precesję. Efekty te zależą jednak od dokładnej geometrii magnesów i od całego układu doświadczalnego, powinny więc zmieniać się między doświadczeniami. Tymczasem rozdzielenie na dwie wiązki od tego nie zależy. Ponadto w tym klasycznym modelu ewolucja wynikająca z praw mechaniki i równań Maxwella jest ciągłą funkcją początkowej orientacji: nie może przekształcić kontinuum początkowych orientacji w zaledwie dwie wartości wyjściowe.

4.3. Pojawienie się losowości

We współczesnej wersji doświadczenia można tak zmniejszyć strumień, aby atomy przechodziły przez aparat pojedynczo. Każdy atom daje jedno trafienie w jednej z dwóch plamek. Plamki stopniowo zarysowują się w miarę gromadzenia trafień.

Ta losowość nie wystarcza jeszcze do stwierdzenia istnienia fundamentalnego przypadku: atomy opuszczają piec, a ich warunki początkowe różnią się między sobą. Nieprzewidywalność można więc nadal przypisywać naszej nieznajomości tych warunków. Pytanie stanie się bardziej istotne, gdy lepiej zapanujemy nad przygotowaniem wiązki.

5. Kilka aparatów Sterna i Gerlacha w szeregu

Doświadczenia łączące kilka aparatów SG w szeregu wyjaśnią rolę przygotowania i prawdopodobieństw, a następnie ujawnią niezgodność pewnych pomiarów.

5.1. Przygotowanie wiązki

Na wyjściu aparatu $\mathrm{SG}_z$ wiązka rozdziela się na dwie gałęzie. Przez $z+$ oznaczymy gałąź odpowiadającą wynikowi dodatniemu, a przez $z-$ gałąź odpowiadającą wynikowi ujemnemu.

Można umieścić przeszkodę w jednej gałęzi i zachować tylko drugą. Jeśli zablokujemy $z-$, wszystkie atomy uczestniczące w dalszej części doświadczenia dały w pierwszym aparacie wynik $z+$. Układ służy więc już nie tylko do pomiaru: przygotowuje dobrze określoną wiązkę do następnego doświadczenia.

Tak uzyskane przygotowanie oznaczymy przez $\ket{z+}$. Na tym etapie zapis ten znaczy po prostu „atom, który właśnie wyszedł gałęzią $z+$ analizatora $\mathrm{SG}_z$”. Stopniowo poznamy strukturę matematyczną związaną z tym symbolem.

5.2. Powtarzalność wzdłuż tej samej osi

Umieśćmy drugi $\mathrm{SG}_z$ za pierwszym, zachowując z pierwszego jedynie gałąź $z+$, zob. Rysunek 5. Doświadczenie pokazuje, że drugi aparat daje wtedy tylko jedną plamkę, w gałęzi $z+$. Gałąź $z-$ jest pusta.

Obraz klasyczny nie stwarza tu żadnego problemu. Gdyby pierwszy aparat wybierał pewną wartość $\mu_z$ albo ustawiał momenty wzdłuż $z$, a następnie nic nie zmieniało ich składowej $\mu_z$, drugi powinien dać takie samo odchylenie dla wszystkich wybranych atomów. Wynik ten jest więc zgodny z obrazem prostego sortowania.

5.3. Dwie różne osie

Zastąpmy jednak drugi aparat przez $\mathrm{SG}_x$, którego oś analizy jest prostopadła do osi pierwszego, zob. Rysunek 6. Ponownie obserwujemy dwie plamki w równych proporcjach.

Możliwe są dwie interpretacje klasyczne. Jeśli pierwszy aparat całkowicie ustawił $\vec\mu$ wzdłuż $z$, to $\mu_x=0$: drugi powinien dać plamkę centralną. Jeśli tylko wybrał dodatnie wartości $\mu_z$, nie ustalając pozostałych składowych, to $\mu_x$ nadal ma rozkład ciągły: należałoby obserwować ciągłe pasmo. Żadna z tych interpretacji nie przewiduje dwóch obserwowanych plamek.

Wróćmy do atomów wysyłanych pojedynczo. Każdy atom daje trafienie w gałęzi $x+$ lub $x-$; dla dużej liczby atomów oba wyniki występują w równych proporcjach. Wiązka wchodząca do $\mathrm{SG}_x$ jest jednak przygotowana w sposób lepiej kontrolowany niż wiązka wychodząca bezpośrednio z pieca: wszystkie atomy wybrano w gałęzi $z+$ pierwszego aparatu. Ich przygotowanie $\ket{z+}$ gwarantuje nawet, jak właśnie widzieliśmy, pewny wynik kolejnego pomiaru wzdłuż $z$.

Mimo to przygotowanie to nie pozwala przewidzieć, w której gałęzi nastąpi trafienie przy pomiarze wzdłuż $x$. Argument odwołujący się wyłącznie do nieuporządkowania na wyjściu z pieca już nie wystarcza: to samo przygotowanie czyni jeden pomiar pewnym, a drugi pozostawia losowym. Rola prawdopodobieństw w mechanice kwantowej staje się wyraźniejsza.

6. Trzy aparaty SG w szeregu

6.1. ZXZ: filtrowanie zmienia przygotowanie

Rozważmy teraz sekwencję $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$, zob. Rysunek 7. Za pierwszym aparatem zachowujemy tylko $z+$. Za drugim tylko $x+$. Na końcu analizujemy tę nową wiązkę wzdłuż $z$.

W obrazie klasycznym odrzuciliśmy już hipotezę całkowitego ustawienia momentu magnetycznego wzdłuż osi SG, ponieważ przewidywałaby plamkę centralną w drugim aparacie, a zatem brak gałęzi $x+$ do wybrania. Jeśli pozostajemy więc przy obrazie prostego sortowania, pierwszy aparat wybiera dodatnią wartość $\mu_z$, a drugi sortuje atomy według $\mu_x$, nie zmieniając $\mu_z$. Trzeci powinien wówczas odtworzyć wyłącznie gałąź $z+$. Tymczasem gałąź $z-$ pojawia się ponownie.

Filtrowanie wzdłuż $x$ zmieniło więc przygotowanie. Po wybraniu $x+$ wcześniejszy wynik $z+$ nie pozwala już z pewnością przewidzieć nowego pomiaru $z$. Wydaje się, że drugi aparat zmienił sam stan.

Czasem podsumowuje się to stwierdzeniem, że „pomiar $x$ niszczy informację o $z$”. Sformułowanie to jest użyteczne, jeśli pamiętamy, że nic tutaj nie zależy od tego, co eksperymentator wie lub obserwuje. Filtr $x+$ fizycznie przygotował nowy stan $\ket{x+}$, a ten daje wyniki $z+$ i $z-$ z równymi prawdopodobieństwami.

6.2. ZYZ: te same prawdopodobieństwa, inne przygotowanie

Zastąpmy wreszcie pośredni analizator wzdłuż $x$ analizatorem wzdłuż $y$, nadal zachowując tylko jego dodatnią gałąź. Sekwencja $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ ponownie daje w ostatnim pomiarze dwa równoprawdopodobne wyniki. Wynik ten uogólnia się na dowolną oś pośrednią prostopadłą do $z$: dla kierunku $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ w płaszczyźnie $(x,y)$ wybranie gałęzi $u+$ także prowadzi do dwóch równoprawdopodobnych wyników ostatniego pomiaru wzdłuż $z$.

Nie oznacza to jednak, że przygotowania $\ket{x+}$, $\ket{y+}$ czy $\ket{u+}$ są wszystkie identyczne. Analiza wzdłuż $x$ pozwala je rozróżnić: dla pierwszego daje z pewnością $x+$, dla drugiego $x+$ lub $x-$ w równych proporcjach, a doświadczenie pokazuje, że dla trzeciego prawdopodobieństwa obu wyników zależą od $\varphi$. Dwa przygotowania mogą więc dawać takie same prawdopodobieństwa dla jednego pomiaru, pozostając fizycznie różne.

7. Zarysowujący się formalizm

Nie będziemy twierdzić, że z samych tych doświadczeń można wyprowadzić cały formalizm kwantowy. Niepowodzenie opisu klasycznego zmusza nas jednak do zmiany języka i sugeruje nowy sposób reprezentowania stanów.

7.1. Stan nie jest listą wartości

Przygotowania $\ket{z+}$ nie można sprowadzić do stwierdzenia „$\mu_z=+\mu_0$, a $\mu_x$ i $\mu_y$ mają nieznane, lecz już ustalone wartości”, które aparaty miałyby jedynie ujawniać. W tym obrazie prostego sortowania sekwencja $Z\!X\!Z$ ponownie dawałaby $100\,\%$ wyników $z+$, a tak nie jest. Jak zatem reprezentować stan, jeśli nie przez listę istniejących wcześniej wartości?

7.2. Ku superpozycji kwantowej

Zasadniczą nowością formalizmu kwantowego jest to, że sam stan zawiera dane pozwalające obliczyć prawdopodobieństwa wyników pomiaru.

Przygotowanie $\ket{x+}$ daje pewny wynik wzdłuż $x$, lecz dwa równoprawdopodobne wyniki wzdłuż $z$. Aby opisać tę sytuację, formalizm kwantowy przedstawia $\ket{x+}$ jako superpozycję dwóch stanów $\ket{z+}$ i $\ket{z-}$:

Współczynniki, tutaj $1/\sqrt{2}$ przed każdym składnikiem, nazywamy amplitudami: kwadrat ich modułu daje prawdopodobieństwa wyników wzdłuż $z$, tutaj po $1/2$. Wszystkie atomy przygotowane w $\ket{x+}$ mają ten sam stan, reprezentowany przez tę kombinację liniową. Nie jest to mieszanina statystyczna, w której część atomów byłaby w $\ket{z+}$, a pozostałe w $\ket{z-}$.

Nie możemy w pełni wyprowadzić tej struktury z samych przedstawionych tu wyników. Doświadczenia interferencyjne omówione w następnej lekcji dostarczą dalszego uzasadnienia. Ostatecznie trzeba będzie przyjąć ją jako postulat.

7.3. Zespolona przestrzeń wektorowa

Warianty ZYZ, a ogólniej ZUZ, rodzą następujące pytanie: przygotowania $\ket{y+}$ lub $\ket{u+}$ również dają $50/50$ wzdłuż $z$, choć różnią się od $\ket{x+}$, gdy $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$. Ich dwie amplitudy w bazie $\ket{z+},\ket{z-}$ muszą więc mieć moduł $1/\sqrt2$. Gdyby amplitudy były rzeczywiste, pozostawałyby tylko cztery kombinacje znaków $\pm1/\sqrt2$: ta skończona liczba możliwości nie wystarczyłaby do reprezentowania ciągłej różnorodności przygotowań $\ket{u+}$.

Formalizm kwantowy wykorzystuje zatem amplitudy zespolone, których fazy mogą się zmieniać bez zmiany modułów. Będziemy na przykład pisać:

a ogólniej $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$ dla dowolnego kąta $\varphi$. Stany są wtedy różne, ale prawdopodobieństwa wzdłuż $z$ nadal wynoszą $1/2$. Potraktowanie tych kombinacji liniowych poważnie prowadzi do reprezentowania stanów przez wektory w abstrakcyjnej zespolonej przestrzeni wektorowej. Słowo „abstrakcyjna” przypomina, że ich współczynniki są amplitudami prawdopodobieństwa, a nie przestrzennymi składowymi klasycznego momentu magnetycznego. Przygotowanie stanu będzie można ogólniej zapisać jako

Aby uzyskać amplitudy, a następnie kwadraty ich modułów, trzeba będzie rzutować stan na stany związane z możliwymi wynikami. Najprostszym sposobem odzyskania tych składowych będzie użycie iloczynu skalarnego. Wyznaczy on również normę, dla której tutaj

Kwadrat normy odpowiada zatem sumie prawdopodobieństw możliwych wyników: suma ta musi wynosić jeden, więc stan będzie reprezentowany przez wektor o normie jeden.

W zarysowującym się formalizmie stany będą zatem wektorami zespolonej przestrzeni Hilberta, czyli przestrzeni wyposażonej w iloczyn skalarny pozwalający obliczać prawdopodobieństwa. Jej struktura liniowa umożliwia dodawanie amplitud i wyraża zasadę superpozycji kwantowej. Wszystko to zostanie szczegółowo omówione w temacie 2.

8. Dalsze rozważania

Sto lat po tych doświadczeniach możemy sprecyzować, co naprawdę mierzą. Po pracach Sterna i Gerlacha stopniowo zrozumiano, że moment magnetyczny mierzony w atomie srebra jest przede wszystkim związany ze spinem niesparowanego elektronu. Spin ten jest wewnętrznym momentem pędu, odmiennym od orbitalnego momentu pędu elektronu. Elektron jest cząstką o spinie $1/2$: pomiar rzutu jego spinu na oś daje dwie możliwe wartości, $S_z=\pm\hbar/2$.

Ze spinowym momentem pędu związany jest moment magnetyczny, proporcjonalny do spinu:

gdzie $e$ oznacza dodatnią wartość ładunku elementarnego, a $\gamma_s$ stosunek żyromagnetyczny elektronu. Znak minus wiąże się z ujemnym ładunkiem elektronu: jego moment magnetyczny jest przeciwnie skierowany do spinu. Dwie mierzalne wartości jego składowej wynoszą więc $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$, gdzie $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$. Spin i moment magnetyczny są dwiema różnymi wielkościami, proporcjonalnymi do siebie.

W atomie trzeba również uwzględnić orbitalny moment pędu elektronu, z którym związany jest inny moment magnetyczny. Prostego przykładu dostarcza wodór: jego jedyny elektron ma zarówno spin, jak i stan orbitalny. W stanie podstawowym $1s$ orbitalny moment pędu jest zerowy; elektronowy wkład do momentu magnetycznego atomu pochodzi więc od spinu. Doświadczenie Sterna i Gerlacha na wodorze przeprowadzili Phipps i Taylor w 1927 roku.

Atom srebra ma więcej elektronów, ale jego konfiguracja elektronowa, $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$, sprowadza sytuację do tej samej zasady. Można wykazać, że w zapełnionych powłokach wkłady orbitalne i spinowe znoszą się. Pozostaje elektron $5s$, którego orbitalny moment pędu w stanie podstawowym jest zerowy, a spin wynosi $1/2$. Historyczne doświadczenie ujawniło zatem jego spinowy moment magnetyczny.

9. Źródła