مقدمة عامة وتجارب تأسيسية

1. مقدمة

لا بد من البدء من مكان ما. تبدأ كثير من مقدمات ميكانيكا الكم بتجربة شقّي يونغ، أو بالدراسة التاريخية لإشعاع الجسم الأسود والفرضية التي طرحها بلانك لتفسيره (بلانك، 1900).

طرح بلانك فكرة أن الطاقة لا يمكن تبادلها إلا بمقادير متقطعة، هي الكمّات التي ستمنح النظرية اسمها. لكن فهم مقاربته يتطلب معرفة الفيزياء الإحصائية، وهي معرفة لا يمتلكها الطالب المبتدئ دائماً.

أما تجربة شقّي يونغ فهي مدهشة. ففي نسختها الكمومية، حيث تُرسل الجسيمات واحداً تلو الآخر، تكشف سلوكيات يستحيل فهمها بالمفاهيم الكلاسيكية. غير أن هذه التجربة، في رأي المؤلف، أسهل بكثير في الفهم لاحقاً، بعد معرفة مبادئ النظرية الكمومية. فهي، بمعنى ما، تلخص وحدها عدداً من أغرب جوانب النظرية.

لذلك سنبدأ بطريقة أخرى، بتجربة شتيرن وغيرلاخ (1922)، التي تتناول جسماً يبدو بسيطاً ومفهوماً جيداً كلاسيكياً: جسيم يمتلك عزماً مغناطيسياً. في التجربة التاريخية كان هذا الجسيم ذرة فضة، والشيء الوحيد الذي علينا قبوله مؤقتاً هو أن هذه الذرة تمتلك بالفعل عزماً مغناطيسياً. وعندما نرسلها إلى منطقة يسودها مجال مغناطيسي غير متجانس، تتنبأ قوانين الميكانيكا والكهرومغناطيسية بمسارها بسهولة.

النتائج المحصّلة مدهشة أيضاً: فهي تختلف جذرياً عن التنبؤات الكلاسيكية. وعند وصل تجارب تزداد تعقيداً، ينهار الوصف الكلاسيكي، وتظهر تباعاً ظاهرة التكميم (انظر القسم 4)، والتراكب الكمومي (انظر القسم 7.2)، وظاهرة كمومية خالصة أخرى لا تكشفها شقوق يونغ مباشرة: عدم التوافق بين بعض القياسات (انظر القسم 6.1).

سنبدأ بالتذكير بمعنى العزم المغناطيسي. ثم نصف التجربة وما ينبغي أن نرصده لو تصرفت الذرة كمغناطيس صغير عادي، وبعد ذلك نعرض النتائج المرصودة فعلاً ونناقش ما تستلزمه.

2. تذكير بالعزم المغناطيسي الكلاسيكي

2.1. العزم المغناطيسي

العزم المغناطيسي $\vec{\mu}$، أو ثنائي القطب المغناطيسي، متجه. يمتلك المغناطيس الطبيعي عزماً مغناطيسياً يتجه، بالتعريف، من قطبه الجنوبي إلى قطبه الشمالي. وهذا أيضاً اتجاه خطوط المجال المغناطيسي داخل المغناطيس، أما خارجه فتخرج من القطب الشمالي وتعود إلى القطب الجنوبي، انظر الشكل 1.

هذا العزم هو الكمية الأساسية التي تتيح تحديد شدة المغناطيس كمياً. فمثلاً، يعتمد التنافر بين مغناطيسين يتقابل قطباهما الجنوبيان على حاصل ضرب عزميهما المغناطيسيين وعلى المسافة.

لكن المغناطيسات الطبيعية ليست مريحة جداً لمتابعة النقاش، لأن مصدر مجالها المغناطيسي ليس واضحاً على الفور. الأنسب بكثير هو المغناطيسات الكهربائية، أي حلقات التيار. لحلقة مستوية يمر فيها تيار شدته $I$ وتحد مساحة $S$، يمكن إثبات أن العزم المغناطيسي يساوي $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$، حيث $\vec{n}$ متجه الوحدة العمودي على الحلقة، والموجّه وفق قاعدة اليد اليمنى.

هذا هو التعبير الوحيد الذي سنحتاجه هنا. وطبعاً، نظرية العزوم المغناطيسية أعمّ من ذلك؛ فهي تعرّف العزم المغناطيسي لأي توزيع تيار بتكامل على ذلك التوزيع. وصيغة الحلقة حالة خاصة منه. نحيل إلى المراجع الدراسية المعتادة لمزيد من التفاصيل عن هذا البناء (مثلاً الفصل 5 من ^[1]).

2.2. الاقتران بالمجال المغناطيسي

تستنتج الميكانيكا الكلاسيكية ثلاث خصائص لثنائي قطب مغناطيسي موضوع في مجال مغناطيسي خارجي $\vec B$.

تنتج الصيغة الثالثة مباشرة من الثانية باستخدام $\vec{F} = -\grad E_p$. وهي تبين أن نظاماً يحمل عزماً مغناطيسياً ويُوضع في مجال غير متجانس يتعرض لقوة محصلة تحرف مساره. أما الصيغتان الأوليان فتنتجان عن حساب صريح لقوة لابلاس المؤثرة في توزيع التيار (لعزم القوة)، ولشغل هذه القوة (لطاقة الوضع)؛ لا نعيد هذا الحساب هنا، ونحيل خصوصاً إلى القسمين 5.2 و5.7 من ^[1] للاشتقاق الكامل¹.

بعيداً عن التفاصيل التقنية، لنتذكر خصوصاً ما يلي. طاقة الوضع في المعادلة (2) أصغر ما يمكن عندما يكون $\vec\mu$ موازياً لـ$\vec B$، وأكبر ما يمكن عندما يعاكسه: يميل ثنائي القطب المغناطيسي إلى الاصطفاف مع المجال بفعل عزم القوة في المعادلة (1). وهذا مبدأ عمل البوصلة. لكن في غياب التبديد، لن تفعل إبرة البوصلة سوى الاهتزاز إلى ما لا نهاية حول اتجاه الشمال، بفعل عزم القوة ومبرهنة الزخم الزاوي. وإذا استقرت أخيراً، فلأن الاحتكاك عند محور دورانها يبدد طاقة هذا الاهتزاز.

2.3. النسبة الجيرومغناطيسية والمبادرة

يتخذ هذا التطور شكلاً خاصاً عندما يتناسب العزم المغناطيسي مع زخم زاوي داخلي مرتبط بثنائي القطب. عندئذ نعرّف النسبة الجيرومغناطيسية $\gamma$ بعلاقة التناسب:

تظهر علاقة كالمعادلة (4) مثلاً للعزم المغناطيسي لشحنة كلاسيكية في مدار دائري. بالفعل، شحنة $q$ كتلتها $m$ تصف دائرة نصف قطرها $R$ بسرعة $v$ تكافئ تياراً $I=qv/(2\pi R)$. لذلك تنتج العزم المغناطيسي

في هذا النموذج المداري الكلاسيكي، لدينا $\gamma=q/(2m)$. وتعطي مبرهنة الزخم الزاوي مع المعادلة (1) العلاقة $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$، ثم، إذا كانت $\gamma$ ثابتة، معادلة المبادرة:

في مجال منتظم، يبين حل هذه المعادلة أن المتجه $\vec\mu$ يرسم مخروطاً حول اتجاه المجال، أي يقوم بحركة مبادرة، عند تردد لارمور الزاوي $\omega_L=|\gamma|B$، انظر الشكل 2.

3. تجربة شتيرن وغيرلاخ

يلخص الشكل 3 مبدأ التجربة. تُرسل جسيمات متعادلة من مصدر إلى مجال مغناطيسي غير متجانس يولده مغناطيسان متقابلان. وتلتقط شاشة أبعد نقاط الاصطدام، وتتيح قياس الانحراف إن وُجد.

3.1. الجهاز

المغناطيسان.

تنعدم القوة في المعادلة (3) تطابقياً إذا كان المجال الخارجي منتظماً. فثنائي القطب في مجال متجانس لا يتعرض إلا لعزم قوة، ويواصل مركز كتلته السير مستقيمًا. إذن عدم تجانس المجال هو ما يجعل التجربة مثيرة للاهتمام.

لتوليد هذا المجال، يستخدم جهاز شتيرن وغيرلاخ (وهو الاسم الشائع للجهاز، أو اختصاراً SG) مغناطيسين مشكّلين، أحدهما مدبب والآخر ذو تجويف مقابل أو قاع منحني قليلاً، انظر الشكل 3. تركز هذه الهندسة خطوط المجال باتجاه الحافة المدببة للمغناطيس العلوي. ومع تقارب خطوط المجال، يخبرنا حفظ الفيض المغناطيسي $\mathrm{div} \vec B = 0$ في أنبوب مجال أن شدة المجال تزداد باتجاه هذه الحافة، أي مع $z$ هنا.

في الرتبة الأولى، نود كتابة المجال داخل الجهاز بالشكل $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ مع $k>0$، لكن ذلك لا يحقق شرط انعدام التباعد $\mathrm{div} \vec B = 0$. لذلك لا بد أن يمتلك المجال أيضاً مركبة عرضية. بإهمال تأثيرات الحواف وافتراض الثبات وفق $\vec e_x$، نجد:

من حيث رتبة المقدار، تمتلك الأجهزة المعتادة $B_0 \sim 0{,}1$ T، مع $k\Delta z \ll B_0$ على كامل الفاصل العمودي بين المغناطيسين، وهو عادة بضعة مليمترات. ويبلغ طول المغناطيسين بضعة سنتيمترات.

المصدر.

هو فرن صغير موضوع في فراغ ويحتوي على فضة صلبة. عند درجة حرارة مرتفعة، تغادر الذرات المتبخرة الفرن عبر فتحة، وتنتقي عدة شقوق ضيقة الذرات التي تكون سرعتها شبه موازية لـ$\vec e_x$: وهكذا نحصل على حزمة ذرية مُوازاة، بسرعات نموذجية تبلغ بضع مئات من الأمتار في الثانية، مع تشتت موروث من توزيع ماكسويل-بولتزمان.

لاحظ أننا نرسل جسيمات متعادلة كهربائياً حتى نستكشف التأثيرات المغناطيسية ثنائية القطب وحدها. لو أرسلنا جسيمات مشحونة، لتعرضت أيضاً لقوة لورنتز $q\,\vec v\wedge\vec B$ ذات المقدار $qvB_0$، والتي ستطغى بشدة على القوة $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ التي تهمنا هنا.

الشاشة.

في التجربة التاريخية، كانت ذرات الفضة تترسب تدريجياً على الشاشة حتى تشكل أثراً مرئياً. وفي تجربة حديثة، يمكن خفض التدفق بما يكفي لتسجيل الاصطدامات واحداً تلو الآخر. ستكون هذه الإمكانية مهمة لاحقاً، وسنعود إليها.

3.2. تنبؤ الميكانيكا الكلاسيكية

لنرسل إلى منطقة المجال في المعادلة (7) جسيماً متعادلاً عزمه المغناطيسي $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$. تعطي المعادلة 3

إذن ينحرف ثنائي القطب وفق $z$، وكذلك وفق $y$. قد يفاجأ القارئ الذي سبق أن صادف تجربة شتيرن وغيرلاخ في موضع آخر بذلك، لأن كثيراً من مذكرات المحاضرات تقتصر على ما يحدث على المحور $z$. في الواقع، يؤدي الحدّان في المعادلة (8) مبدئياً الدور نفسه.

يكمن سبب إهمال ما يحدث على المحور $y$ في المبادرة، وهنا علينا وضع فرضية حاسمة سنبررها لاحقاً. سنفترض أن العزم المغناطيسي للذرة يتناسب مع زخم زاوي داخلي $\vec L$ تحمله.

تحت هذه الفرضية، وبما أن المجال الثابت $B_0\vec e_z$ يهيمن بشدة على التصحيحين $kz\,\vec e_z$ و$-ky\,\vec e_y$، يقوم العزم المغناطيسي في الرتبة الأولى بمبادرة حول $\vec e_z$ بالتردد الزاوي $\omega_p = |\gamma| B_0$، حيث $\gamma$ نسبته الجيرومغناطيسية. أثناء هذه المبادرة تبقى المركبة $\mu_z$ ثابتة، فيما تتذبذب $\mu_y$ حول الصفر.

هذه المبادرة سريعة. تعطينا الصيغ السابقة رتب مقادير معقولة مبدئياً في العالم الذري. فتصبح $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ بالتقريب $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$ باستخدام الشحنة الأولية وكتلة الإلكترون². مع $B_0\approx0{,}1$ T نحصل على $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. من جهة أخرى، زمن الطيران في المغناطيس هو $T=\ell/v_x$، أي نحو $10^{-4}$ s عندما تكون $\ell$ بضعة سنتيمترات و$v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. لذلك يتم العزم المغناطيسي بضع مئات آلاف الدورات أثناء العبور. ومن ثم ينعدم متوسط القوة وفق $y$ بدقة ممتازة.

إذن القوة الوحيدة المهمة في هذا النموذج، في المتوسط، هي $\langle F_z\rangle=k\mu_z$. وهذا يعني مباشرة أن الانحراف النهائي على الشاشة يجب أن يتناسب مع $\mu_z$. لا يبقى سوى السؤال عن الشروط الابتدائية. تخرج الذرات من فرن، أي من حمام حراري لا يُفضّل فيه أي اتجاه مكاني. لذلك ينبغي أن تكون العزوم المغناطيسية عشوائية التوجيه عند مدخل SG، وأن تأخذ مركبتها العمودية $\mu_z$ جميع القيم بين $-\mu$ و$+\mu$ بصورة متصلة وبتوزيع منتظم.

التنبؤ الكلاسيكي واضح إذن: ينبغي أن نرى شريط اصطدامات متصلاً على طول المحور $z$ (لكن ليس بالضرورة منتظم الكثافة بسبب تشتت السرعات).

4. النتائج التجريبية

ليس هذا ما نرصده. يحدث الانحراف وفق $z$ وحده، وهو ما يتسق مع انعدام متوسط القوة وفق $y$، لكن الشاشة لا تحمل شريطاً متصلاً: نجد عليها بقعتين متناظرتين بالنسبة إلى المحور الابتدائي، تفصل بينهما منطقة خالية.

4.1. قياس $\mu_0$

يتيح الموضع الدقيق للبقعتين تقدير قيمة $\mu_0$. بافتراض أن التدرج $k=\partial B_z/\partial z$ والسرعة الطولية $v_x$ ثابتان تقريباً داخل المغناطيس، تتعرض الذرة خلال المدة $T=\ell/v_x$ للتسارع العرضي

الذي نكامله بطريقة بسيطة قبل مواصلة المسار بخط مستقيم حتى الشاشة. وبأخذ المعلمات الهندسية للتجربة في الحسبان، تمكن أوتو شتيرن وفالتر غيرلاخ من قياس قيمته لذرات الفضة، فوجدا قيمة مغنطون بور

يتيح هذا القياس العودة إلى الفرضية 4. لكنه لا يعطي $\gamma$ مباشرة، لأنه يقيس العزم المغناطيسي لا الزخم الزاوي $L$ الذي قد يرتبط به. لا يمكننا إلا التحقق من رتبة مقدار: المقياس الطبيعي للزخم الزاوي الذري هو $\hbar$، وإذا كتبنا $L\sim\hbar$، فإن $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$. وهكذا نستعيد رتبة المقدار المفترضة أعلاه، وتردد مبادرة زاوي من رتبة $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$، يتسق مع عدم رصد انحراف وفق $y$.

4.2. مشكلة الميكانيكا الكلاسيكية

تكشف التجربة ظاهرة غريبة عن الميكانيكا الكلاسيكية: مركبة العزم المغناطيسي وفق محور معين لا تتغير بصورة متصلة، بل هي مكمّمة.

حتى إذا قبلنا أن ذرة الفضة تمتلك عزماً مغناطيسياً، يبقى تفسير كيف تؤدي توجهات ابتدائية كيفما اتفق، آتية من حمام حراري، إلى حزمتين بالضبط. لنفحص آليتين كلاسيكيتين قد تفسران هذه النتيجة.

هل يستطيع المجال داخل المغناطيس محاذاة العزوم؟ رأينا أن عزم القوة المغناطيسي، في غياب التبديد، يجعل ثنائي القطب يقوم بمبادرة مع الحفاظ على زاويته مع المجال. فهو لا يحاذيه مع $+\vec B$ ولا مع $-\vec B$. لكن هل يمكن إهمال التبديد كله؟ تتنبأ النظرية الكهرومغناطيسية بالفعل بأن العزم الذي يقوم بمبادرة يشع³. غير أن هذا التبديد مهمل: بعد نشر النتائج بقليل، حسبه أينشتاين وقدّر أن الاسترخاء يتطلب أكثر من قرن، مقابل زمن عبور في المغناطيس يقارب $10^{-4}$ s ^[3]. وحتى لو كان سريعاً بما يكفي، لقاد العزوم نحو التوجه الأقل طاقة، الموازي للمجال: عندئذ نرصد بقعة واحدة لا بقعتين.

هل تفسر مجالات الحواف البقعتين؟ عند مدخل المغناطيس ومخرجه، يتغير اتجاه المجال وشدته وقد يعقد ذلك المبادرة. لكن هذه التأثيرات تعتمد على الهندسة الدقيقة للمغناطيسات وعلى التجربة عموماً، ولذلك ينبغي أن تختلف من تجربة إلى أخرى. أما الانقسام إلى حزمتين فلا يعتمد عليها. فضلاً عن ذلك، في هذا النموذج الكلاسيكي، يكون التطور وفق قوانين الميكانيكا ومعادلات ماكسويل دالة متصلة للتوجه الابتدائي: فلا يستطيع تحويل متصل التوجهات الابتدائية إلى قيمتي خروج فقط.

4.3. ظهور العشوائية

في نسخة حديثة من التجربة، يمكن خفض التدفق إلى حد تعبر معه الذرات الجهاز واحدة تلو الأخرى. كل ذرة تحدث اصطداماً واحداً في إحدى البقعتين. وتتكون البقعتان تدريجياً مع تراكم الاصطدامات.

لا تكفي هذه العشوائية بعد لإثبات وجود عشوائية أساسية: فالذرات تخرج من فرن، وتختلف شروطها الابتدائية من ذرة إلى أخرى. لذلك يمكن أن يُعزى تعذر التنبؤ إلى جهلنا بهذه الشروط. سيصبح السؤال أكثر إلحاحاً عندما نتحكم بصورة أفضل في تحضير الحزمة.

5. عدة أجهزة شتيرن وغيرلاخ على التوالي

ستوضح التجارب التي تجمع عدة أجهزة SG على التوالي دور التحضير والاحتمالات، ثم ستكشف عدم التوافق بين بعض القياسات.

5.1. تحضير حزمة

عند خروج الحزمة من جهاز $\mathrm{SG}_z$، تنقسم إلى مسارين. سنرمز بـ$z+$ إلى المسار الموافق للنتيجة الموجبة، وبـ$z-$ إلى المسار الموافق للنتيجة السالبة.

يمكن وضع حاجز على أحد المسارين والإبقاء على الآخر فقط. إذا حجبنا $z-$، فإن جميع الذرات التي تواصل التجربة أعطت النتيجة $z+$ في الجهاز الأول. وهكذا لم يعد الجهاز يُستخدم للقياس وحده، بل أيضاً لتحضير حزمة محددة جيداً للتجربة التالية.

سنرمز إلى التحضير الناتج بـ$\ket{z+}$. في هذه المرحلة، يعني هذا الترميز ببساطة «ذرة خرجت للتو عبر المسار $z+$ من محلل $\mathrm{SG}_z$». سنكتشف تدريجياً البنية الرياضية المرتبطة بهذا الرمز.

5.2. قابلية التكرار على المحور نفسه

لنضع جهاز $\mathrm{SG}_z$ ثانياً بعد الأول، مع الإبقاء على المسار $z+$ وحده من الجهاز الأول، انظر الشكل 5. نرصد تجريبياً أن الجهاز الثاني لا ينتج حينئذ إلا بقعة واحدة في المسار $z+$. والمسار $z-$ خالٍ.

لا تطرح الصورة الكلاسيكية أي مشكلة هنا. إذا انتقى الجهاز الأول قيمة لـ$\mu_z$ أو حاذى العزوم وفق $z$، ولم يغير شيء مركبتها $\mu_z$ بعد ذلك، فعلى الجهاز الثاني أن يعطي الانحراف نفسه لجميع الذرات المنتقاة. إذن هذه النتيجة متوافقة مع صورة الفرز البسيط.

5.3. محوران مختلفان

لكن لنستبدل الآن الجهاز الثاني بجهاز $\mathrm{SG}_x$، محور تحليله عمودي على محور الأول، انظر الشكل 6. نرصد من جديد بقعتين بنسب متساوية.

يوجد تفسيران كلاسيكيان ممكنان. إذا وجّه الجهاز الأول $\vec\mu$ بالكامل وفق $z$، فإن $\mu_x=0$: وعلى الجهاز الثاني إنتاج بقعة مركزية. وإذا انتقى فقط القيم الموجبة لـ$\mu_z$، دون تثبيت المركبات الأخرى، فإن $\mu_x$ يبقى موزعاً بصورة متصلة: ينبغي رصد شريط متصل. ولا يتنبأ أي من هذين التفسيرين بالبقعتين المرصودتين.

لنعد إلى حالة إرسال الذرات واحدة تلو الأخرى. تحدث كل ذرة اصطداماً في المسار $x+$ أو $x-$؛ وعلى عدد كبير من الذرات تظهر النتيجتان بنسب متساوية. ومع ذلك، فإن الحزمة التي تدخل $\mathrm{SG}_x$ تتمتع بتحضير أكثر ضبطاً من الحزمة الخارجة مباشرة من الفرن: انتُقيت جميع ذراتها في المسار $z+$ للجهاز الأول. بل يضمن تحضيرها $\ket{z+}$، كما رأينا للتو، نتيجة يقينية في قياس جديد وفق $z$.

مع هذا كله، لا يسمح هذا التحضير بتوقع المسار الذي سيحدث فيه الاصطدام عند القياس وفق $x$. فلم تعد حجة مجرد الفوضى عند الخروج من الفرن كافية: التحضير نفسه الذي يجعل أحد القياسين يقينياً يترك الآخر عشوائياً. ويتضح دور الاحتمالات في ميكانيكا الكم.

6. ثلاثة أجهزة SG على التوالي

6.1. ZXZ: الترشيح يغير التحضير

لننظر الآن إلى التسلسل $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$، انظر الشكل 7. بعد الجهاز الأول، نحفظ $z+$ وحده. وبعد الثاني، نحفظ $x+$ وحده. وأخيراً نحلل هذه الحزمة الجديدة وفق $z$.

كلاسيكياً، استبعدنا بالفعل فرضية المحاذاة التامة للعزم المغناطيسي مع محور SG، لأنها تتنبأ ببقعة مركزية في الجهاز الثاني، وبالتالي لا يوجد مسار $x+$ لانتقائه. إذا أبقينا إذن على صورة الفرز البسيط، فإن الجهاز الأول ينتقي قيمة موجبة لـ$\mu_z$، ثم يفرز الثاني الذرات بحسب $\mu_x$ دون تغيير $\mu_z$. وينبغي أن يجد الجهاز الثالث المسار $z+$ وحده. لكن المسار $z-$ يظهر مجدداً.

إذن غيّر الترشيح وفق $x$ التحضير. بعد انتقاء $x+$، لا تعود النتيجة السابقة $z+$ تسمح بالتنبؤ اليقيني بقياس $z$ الجديد. يبدو أن الجهاز الثاني قد غيّر الحالة نفسها.

يُلخّص هذا أحياناً بالقول إن «قياس $x$ يدمر المعلومات عن $z$». العبارة مفيدة شرط تذكر أن شيئاً هنا لا يعتمد على ما يعرفه المجرب أو ينظر إليه. فالمرشح $x+$ حضّر فيزيائياً حالة جديدة، $\ket{x+}$، وهذه الحالة تعطي النتيجتين $z+$ و$z-$ باحتمالين متساويين.

6.2. ZYZ: الاحتمالات نفسها، تحضير آخر

أخيراً لنستبدل المحلل الوسيط وفق $x$ بمحلل وفق $y$، مع الإبقاء دائماً على مساره الموجب وحده. يعطي التسلسل $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ أيضاً نتيجتين متساويتي الاحتمال في القياس الأخير. تتعمم هذه النتيجة على كل محور وسيط عمودي على $z$: لاتجاه $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ في المستوى $(x,y)$، يؤدي انتقاء المسار $u+$ أيضاً إلى نتيجتين متساويتي الاحتمال في القياس الأخير وفق $z$.

لكن هذا لا يعني أن التحضيرات $\ket{x+}$ أو $\ket{y+}$ أو $\ket{u+}$ كلها متطابقة. فتحليل وفق $x$ يميزها: يعطي يقيناً $x+$ للأول، لكن $x+$ أو $x-$ بنسب متساوية للثاني، وتبين التجربة أن احتمالي النتيجتين يعتمدان على $\varphi$ للثالث. إذن يمكن لتحضيرين إعطاء الاحتمالات نفسها لقياس ما مع كونهما مختلفين فيزيائياً.

7. الصياغة التي بدأت تتضح

لن ندعي استنتاج الصياغة الكمومية كلها من هذه التجارب وحدها. لكن فشل الوصف الكلاسيكي يلزمنا بمراجعة مفرداتنا ويقترح طريقة جديدة لتمثيل الحالات.

7.1. الحالة ليست قائمة قيم

لا يمكن اختزال التحضير $\ket{z+}$ إلى المعطى «$\mu_z=+\mu_0$، مع قيم مجهولة ولكن محددة سلفاً لـ$\mu_x$ و$\mu_y$» تكتفي الأجهزة بكشفها. ففي صورة الفرز البسيط هذه، يعطي التسلسل $Z\!X\!Z$ النتيجة $z+$ بنسبة $100\,\%$، وهذا لا يحدث. كيف نمثل الحالة إذن، إن لم يكن بقائمة قيم موجودة مسبقاً؟

7.2. نحو التراكب الكمومي

الحداثة الأساسية في الصياغة الكمومية هي أن الحالة نفسها تجمع المعطيات التي تسمح بحساب احتمالات نتائج القياس.

يعطي التحضير $\ket{x+}$ نتيجة يقينية وفق $x$، لكنه يعطي نتيجتين متساويتي الاحتمال وفق $z$. لوصف هذا الوضع، تمثل الصياغة الكمومية $\ket{x+}$ بوصفها تراكباً للحالتين $\ket{z+}$ و$\ket{z-}$:

تسمى المعاملات (هنا $1/\sqrt{2}$ أمام كل حد) سعات: يعطي مربع قيمتها المطلقة احتمالات النتائج وفق $z$، أي هنا $1/2$ لكل نتيجة. جميع الذرات المحضرة في $\ket{x+}$ لها الحالة نفسها، الممثلة بهذا التركيب الخطي. وليس الأمر مزيجاً إحصائياً تكون فيه بعض الذرات في $\ket{z+}$ والبقية في $\ket{z-}$.

لا يمكننا استنتاج هذه البنية بالكامل من النتائج المعروضة هنا وحدها. ستقدم تجارب التداخل المعروضة في الدرس التالي مزيداً من التبرير لها. وفي النهاية، ينبغي افتراضها كمسلمة.

7.3. فضاء متجهي مركب

تطرح نسخ ZYZ، وبصورة أعم ZUZ، السؤال التالي: تعطي التحضيرات $\ket{y+}$ أو $\ket{u+}$ أيضاً $50/50$ وفق $z$، مع اختلافها عن $\ket{x+}$ عندما $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$. لذلك ينبغي أن تكون القيمة المطلقة لكل من سعتيها في الأساس $\ket{z+},\ket{z-}$ مساوية لـ$1/\sqrt2$. لو كانت السعات حقيقية، لما بقي سوى الخيارات الأربعة لإشارات $\pm1/\sqrt2$: هذا العدد المنتهي من الإمكانات لا يكفي لتمثيل التنوع المتصل للتحضيرات $\ket{u+}$.

لذلك تستخدم الصياغة الكمومية سعات مركبة، يمكن لأطوارها أن تتغير دون أن تتغير قيمها المطلقة. سنكتب مثلاً:

وبصورة أعم $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$ لكل زاوية $\varphi$. عندئذ تكون الحالات مختلفة، لكن الاحتمالات وفق $z$ تبقى دائماً $1/2$. يقودنا أخذ هذه التراكيب الخطية بجدية إلى تمثيل الحالات بمتجهات في فضاء متجهي مركب مجرد. تذكرنا كلمة «مجرد» بأن المعاملات سعات احتمال، وليست المركبات المكانية لعزم مغناطيسي كلاسيكي. ويمكن كتابة تحضير الحالة بصورة أعم كما يلي:

للوصول إلى السعات، ثم إلى مربع قيمتها المطلقة، ينبغي إسقاط الحالة على الحالات المرتبطة بالنتائج الممكنة. وأبسط وسيلة لاسترجاع هذه المركبات هي استخدام جداء داخلي. سيعرّف هذا أيضاً معياراً، بحيث يكون هنا

إذن يقابل مربع المعيار مجموع احتمالات النتائج الممكنة: يجب أن يساوي هذا المجموع واحداً، ولذلك تُمثل الحالة بمتجه معياره واحد.

في الصياغة التي بدأت تتضح، ستكون الحالات متجهات في فضاء هيلبرت مركب، أي مزود بجداء داخلي يسمح بحساب الاحتمالات. تتيح بنيته الخطية جمع السعات وتعبر عن مبدأ التراكب الكمومي. سندرس كل ذلك بالتفصيل في الموضوع 2.

8. للتوسع

بعد قرن من هذه التجارب، يمكننا توضيح ما تقيسه فعلاً. فقد فُهم تدريجياً بعد شتيرن وغيرلاخ أن العزم المغناطيسي المقيس في ذرة الفضة مرتبط أساساً بـاللف المغزلي لإلكترون غير مزدوج. هذا اللف زخم زاوي ذاتي، مختلف عن الزخم الزاوي المداري للإلكترون. الإلكترون جسيم لفه المغزلي $1/2$: قياس إسقاط لفه المغزلي على محور يعطي قيمتين ممكنتين، $S_z=\pm\hbar/2$.

يرتبط بهذا الزخم الزاوي المغزلي عزم مغناطيسي متناسب مع اللف المغزلي:

حيث $e$ هو المقدار الموجب للشحنة الأولية، و$\gamma_s$ النسبة الجيرومغناطيسية للإلكترون. ترتبط الإشارة السالبة بشحنة الإلكترون السالبة: عزمه المغناطيسي معاكس للفّه المغزلي. لذلك تكون القيمتان القابلتان للقياس لمركبته $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$، مع $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$. اللف المغزلي والعزم المغناطيسي كميتان مختلفتان متناسبتان إحداهما مع الأخرى.

في الذرة، ينبغي أيضاً أخذ الزخم الزاوي المداري للإلكترون في الحسبان، إذ يرتبط به عزم مغناطيسي آخر. يوفر الهيدروجين مثالاً بسيطاً: إلكترونه الوحيد يمتلك لفاً مغزلياً وحالة مدارية معاً. في الحالة الأساسية $1s$، ينعدم الزخم الزاوي المداري؛ ولذلك تأتي المساهمة الإلكترونية في العزم المغناطيسي للذرة من اللف المغزلي. أجرى فيبس وتايلور تجربة شتيرن وغيرلاخ على الهيدروجين سنة 1927.

أما ذرة الفضة فتحتوي إلكترونات أكثر، لكن توزيعها الإلكتروني، $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$، يعيد الوضع إلى المبدأ نفسه. يمكن إثبات أن المساهمات المدارية والمغزلية في الأغلفة الممتلئة تتلاشى فيما بينها. يبقى حينئذ الإلكترون $5s$، الذي يتصادف أن زخمه الزاوي المداري معدوم في الحالة الأساسية ولفه المغزلي $1/2$. إذن عزمه المغناطيسي المغزلي هو ما كشفت عنه التجربة التاريخية.

9. المراجع