Pengantar umum dan eksperimen mendasar

1. Pendahuluan

Kita harus mulai dari suatu titik. Banyak pengantar mekanika kuantum dimulai dengan eksperimen celah Young, atau kajian historis radiasi benda hitam dan hipotesis yang diperkenalkan Planck untuk menjelaskannya (Planck, 1900).

Planck memperkenalkan gagasan bahwa energi hanya dapat dipertukarkan dalam jumlah diskret, yaitu kuanta yang kelak menjadi asal nama teori ini. Namun, untuk memahami pendekatannya, kita perlu menguasai fisika statistik, yang belum tentu dimiliki mahasiswa pemula.

Eksperimen celah Young memang menakjubkan. Dalam versi kuantumnya, ketika partikel dikirim satu per satu, eksperimen itu memperlihatkan perilaku yang sama sekali tidak dapat dipahami secara klasik. Namun, menurut penulis, eksperimen ini jauh lebih mudah dipahami setelahnya, ketika prinsip-prinsip teori kuantum sudah diketahui. Dalam arti tertentu, eksperimen ini sendiri merangkum beberapa aspek teori yang paling aneh.

Karena itu, kita akan memulai dengan cara lain, melalui eksperimen Stern dan Gerlach (1922), yang menyangkut objek yang tampaknya sederhana dan sudah dipahami secara klasik: partikel yang memiliki momen magnetik. Dalam eksperimen bersejarah tersebut, partikelnya adalah atom perak, dan satu-satunya hal yang sementara perlu diterima ialah bahwa atom semacam itu memang memiliki momen magnetik. Ketika atom dikirim ke daerah dengan medan magnet tak homogen, hukum mekanika dan elektromagnetisme dengan mudah memprediksi lintasannya.

Hasil yang diperoleh juga menakjubkan: hasilnya berbeda secara radikal dari prediksi klasik. Dengan merangkai eksperimen yang makin rumit, deskripsi klasik runtuh dan kita melihat secara berturut-turut fenomena kuantisasi (lihat bagian 4), superposisi kuantum (lihat bagian 7.2), serta fenomena kuantum murni lain yang tidak langsung diperlihatkan celah Young: ketidakcocokan antara pengukuran tertentu (lihat bagian 6.1).

Kita akan mulai dengan mengingat kembali apa itu momen magnetik. Selanjutnya kita akan menjelaskan eksperimen dan apa yang seharusnya diamati jika atom berperilaku seperti magnet kecil biasa, lalu menyajikan hasil yang benar-benar diperoleh dan membahas implikasinya.

2. Tinjauan momen magnetik klasik

2.1. Momen magnetik

Momen magnetik $\vec{\mu}$, atau dipol magnetik, adalah sebuah vektor. Magnet alami memiliki momen magnetik yang, menurut definisi, mengarah dari kutub Selatan ke kutub Utara magnet. Ini juga merupakan arah garis medan magnet di dalam magnet; di luar magnet, garis-garis tersebut keluar dari kutub Utara dan kembali ke kutub Selatan, lihat Gambar 1.

Momen ini merupakan besaran dasar untuk mengukur kekuatan magnet. Misalnya, tolakan antara dua magnet yang saling menghadapkan kutub Selatan bergantung pada hasil kali momen magnetik dan jaraknya.

Namun, magnet alami kurang praktis untuk melanjutkan pembahasan, karena penyebab medan magnetnya tidak langsung jelas. Elektromagnet, yaitu loop arus, jauh lebih praktis. Untuk sebuah loop datar yang dialiri arus $I$ dan membatasi luas $S$, dapat dibuktikan bahwa momen magnetiknya adalah $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$, dengan $\vec{n}$ vektor satuan normal terhadap loop yang arahnya ditentukan oleh kaidah tangan kanan.

Hanya ungkapan ini yang kita perlukan di sini. Tentu saja, teori momen magnetik lebih umum. Teori tersebut mendefinisikan momen magnetik suatu distribusi arus sembarang melalui integral atas distribusi itu. Rumus loop merupakan kasus khususnya. Untuk rincian lebih lanjut tentang penurunan ini, lihat buku ajar standar (misalnya bab 5 dalam ^[1]).

2.2. Kopling dengan medan magnet

Mekanika klasik menurunkan tiga sifat dipol magnetik yang ditempatkan dalam medan magnet luar $\vec B$.

Rumus ketiga langsung mengikuti rumus kedua melalui $\vec{F} = -\grad E_p$. Rumus ini menunjukkan bahwa sistem bermomen magnetik dalam medan tak homogen mengalami gaya netto yang membelokkan lintasannya. Dua rumus pertama diperoleh dari perhitungan eksplisit gaya Laplace pada distribusi arus (untuk torsi), dan usaha gaya tersebut (untuk energi potensial); penurunannya tidak kita ulangi di sini. Lihat khususnya bagian 5.2 dan 5.7 dalam ^[1] untuk pembuktian lengkap¹.

Di luar rincian teknis, ingatlah terutama hal berikut. Energi potensial pada Pers. (2) minimum ketika $\vec\mu$ sejajar dengan $\vec B$, dan maksimum ketika berlawanan arah: dipol magnetik cenderung sejajar dengan medan melalui torsi pada Pers. (1). Inilah prinsip kerja kompas. Namun, tanpa disipasi, jarum kompas hanya akan berosilasi tanpa henti di sekitar arah Utara, akibat torsi dan teorema momentum sudut. Jarum akhirnya diam karena gesekan pada sumbu rotasinya mendisipasikan energi osilasi tersebut.

2.3. Rasio giromagnetik dan presesi

Gerak ini memiliki bentuk khusus ketika momen magnetik sebanding dengan momentum sudut internal dipol. Dalam hal ini, kita memperkenalkan rasio giromagnetik $\gamma$ melalui hubungan kesebandingan:

Hubungan seperti Pers. (4) muncul, misalnya, untuk momen magnetik muatan klasik pada orbit melingkar. Muatan $q$, bermassa $m$, yang bergerak pada lingkaran berjari-jari $R$ dengan kelajuan $v$, setara dengan arus $I=qv/(2\pi R)$. Karena itu, muatan menghasilkan momen magnetik

Dalam model orbital klasik ini, $\gamma=q/(2m)$. Teorema momentum sudut bersama Pers. (1) memberikan $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$, lalu, jika $\gamma$ konstan, persamaan presesi:

Dalam medan seragam, solusi persamaan ini menunjukkan bahwa vektor $\vec\mu$ menyapu kerucut di sekitar arah medan, yaitu berpresesi dengan frekuensi sudut Larmor $\omega_L=|\gamma|B$, lihat Gambar 2.

3. Eksperimen Stern dan Gerlach

Prinsip eksperimen dirangkum dalam Gambar 3. Partikel netral dikirim dari sumber menuju medan magnet tak homogen yang dibentuk oleh dua magnet berhadapan. Layar di hilir mencatat tumbukan dan memungkinkan pengukuran pembelokan, jika ada.

3.1. Peralatan

Magnet.

Gaya pada Pers. (3) identik nol jika medan luar seragam. Dipol dalam medan homogen hanya mengalami torsi, dan pusat massanya tetap bergerak lurus. Jadi, ketakhomogenan medanlah yang membuat eksperimen ini menarik.

Untuk menghasilkan medan tersebut, alat Stern dan Gerlach (nama yang lazim diberikan pada perangkat ini, atau disingkat SG) menggunakan dua magnet yang dibentuk khusus: satu runcing, yang lain memiliki lekukan berlawanan atau dasar sedikit melengkung, lihat Gambar 3. Geometri ini memusatkan garis medan menuju tepi runcing magnet atas. Karena garis medan makin rapat, kekekalan fluks magnetik $\mathrm{div} \vec B = 0$ pada tabung medan menunjukkan bahwa kuat medan meningkat menuju tepi tersebut, yakni bertambah dengan $z$ di sini.

Pada orde pertama, kita ingin menulis medan di dalam perangkat sebagai $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ dengan $k>0$, tetapi bentuk itu tidak memenuhi syarat divergensi nol $\mathrm{div} \vec B = 0$. Karena itu, medan juga harus memiliki komponen transversal. Dengan mengabaikan efek tepi dan mengasumsikan invariansi sepanjang $\vec e_x$, diperoleh:

Sebagai orde besaran, perangkat biasa memiliki $B_0 \sim 0{,}1$ T, dengan $k\Delta z \ll B_0$ di seluruh celah vertikal antarmagnet, biasanya beberapa milimeter. Panjang magnet beberapa sentimeter.

Sumber.

Sumbernya adalah oven kecil dalam vakum yang berisi perak padat. Pada suhu tinggi, atom yang menguap keluar melalui sebuah lubang, dan beberapa celah sempit memilih atom yang kecepatannya hampir sejajar dengan $\vec e_x$: diperoleh berkas atom terkolimasi, dengan kelajuan khas beberapa ratus meter per detik dan sebaran yang berasal dari distribusi Maxwell-Boltzmann.

Perhatikan bahwa partikel yang dikirim netral secara listrik agar hanya efek dipol magnetik yang diukur. Jika partikelnya bermuatan, partikel juga akan mengalami gaya Lorentz $q\,\vec v\wedge\vec B$, dengan besar $qvB_0$, yang jauh mendominasi gaya $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ yang menjadi perhatian kita.

Layar.

Dalam eksperimen bersejarah itu, atom perak secara bertahap mengendap pada layar dan akhirnya membentuk jejak yang terlihat. Dalam eksperimen modern, fluks dapat dikurangi hingga tumbukan dapat dicatat satu per satu. Kemungkinan ini penting untuk pembahasan berikutnya, dan akan kita tinjau kembali.

3.2. Prediksi mekanika klasik

Kirimkan partikel netral bermomen magnetik $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$ ke daerah medan pada Pers. (7). Persamaan 3 memberikan

Jadi, dipol dibelokkan bukan hanya sepanjang $z$, melainkan juga sepanjang $y$. Pembaca yang pernah menjumpai eksperimen Stern dan Gerlach di tempat lain mungkin terkejut, karena banyak catatan kuliah hanya membahas apa yang terjadi pada sumbu $z$. Sebenarnya, kedua suku dalam Pers. (8) pada awalnya memiliki peran yang sama.

Alasan mengapa efek pada sumbu $y$ dapat diabaikan terletak pada presesi, dan di sinilah kita harus membuat asumsi penting yang akan dibenarkan kemudian. Kita mengasumsikan bahwa momen magnetik atom sebanding dengan momentum sudut internal $\vec L$ yang dimilikinya.

Dengan asumsi ini, dan karena medan konstan $B_0\vec e_z$ jauh lebih besar daripada koreksi $kz\,\vec e_z$ dan $-ky\,\vec e_y$, momen magnetik pada orde pertama berpresesi mengelilingi $\vec e_z$ dengan frekuensi sudut $\omega_p = |\gamma| B_0$, dengan $\gamma$ rasio giromagnetiknya. Selama presesi, komponen $\mu_z$ tetap konstan, sedangkan $\mu_y$ berosilasi di sekitar nol.

Presesi ini berlangsung cepat. Rumus-rumus di atas memberi perkiraan orde besaran yang masuk akal pada skala atom. Jadi $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ menjadi $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$ jika digunakan muatan elementer dan massa elektron². Dengan $B_0\approx0{,}1$ T, diperoleh $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Di sisi lain, waktu tempuh dalam magnet adalah $T=\ell/v_x$, sekitar $10^{-4}$ s untuk $\ell$ beberapa sentimeter dan $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Jadi, momen magnetik melakukan beberapa ratus ribu putaran selama melintas. Rata-rata gaya sepanjang $y$ menjadi nol dengan ketelitian yang sangat tinggi.

Dalam model ini, satu-satunya gaya yang relevan secara rata-rata ialah $\langle F_z\rangle=k\mu_z$. Ini langsung berarti bahwa pembelokan akhir pada layar harus sebanding dengan $\mu_z$. Kini tinggal menentukan kondisi awal. Atom keluar dari oven, yaitu suatu reservoir termal, yang tidak mengistimewakan arah ruang mana pun. Saat memasuki SG, momen magnetik harus berorientasi acak, dan komponen vertikalnya $\mu_z$ mengambil secara kontinu semua nilai antara $-\mu$ dan $+\mu$, dengan distribusi seragam.

Prediksi klasik pun tegas: kita harus mengamati pita tumbukan kontinu sepanjang sumbu $z$ (tetapi tidak harus seragam karena sebaran kelajuan).

4. Hasil eksperimen

Bukan itu yang diamati. Pembelokan memang hanya terjadi sepanjang $z$, yang konsisten dengan lenyapnya rata-rata gaya sepanjang $y$, tetapi layar tidak menampilkan pita kontinu: terdapat dua bercak simetris terhadap sumbu awal, dipisahkan oleh daerah kosong.

4.1. Pengukuran $\mu_0$

Posisi tepat kedua bercak memungkinkan kita memperkirakan nilai $\mu_0$. Dengan menganggap gradien $k=\partial B_z/\partial z$ dan kecepatan longitudinal $v_x$ di dalam magnet kurang lebih konstan, atom mengalami percepatan transversal selama waktu $T=\ell/v_x$

yang dapat diintegralkan secara sederhana sebelum lintasan diteruskan lurus hingga layar. Dengan memperhitungkan parameter geometri eksperimen, Otto Stern dan Walther Gerlach dapat mengukur nilainya untuk atom perak dan memperoleh nilai magneton Bohr

Pengukuran ini memungkinkan kita meninjau kembali asumsi 4. Namun, pengukuran tersebut tidak langsung memberikan $\gamma$, sebab yang diukur adalah momen magnetik, bukan momentum sudut $L$ yang terkait dengannya. Kita hanya dapat memeriksa orde besaran: skala alami momentum sudut atom ialah $\hbar$, dan jika ditulis $L\sim\hbar$, maka $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$. Jadi, kita mendapatkan kembali orde besaran yang diasumsikan di atas dan frekuensi sudut presesi berorde $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, konsisten dengan tidak teramatinya pembelokan sepanjang $y$.

4.2. Masalah bagi mekanika klasik

Eksperimen memperlihatkan fenomena yang asing bagi mekanika klasik: komponen momen magnetik sepanjang sumbu tertentu tidak berubah secara kontinu, melainkan terkuantisasi.

Bahkan jika kita menerima bahwa atom perak memiliki momen magnetik, kita masih harus menjelaskan bagaimana orientasi awal sembarang dari reservoir termal menghasilkan tepat dua berkas. Mari kita periksa dua mekanisme klasik yang mungkin menjelaskan hasil ini.

Mungkinkah medan di dalam magnet menyejajarkan momen? Tanpa disipasi, kita telah melihat bahwa torsi magnetik membuat dipol berpresesi sambil mempertahankan sudutnya terhadap medan. Jadi, torsi tidak menyejajarkannya dengan $+\vec B$ maupun $-\vec B$. Tetapi, dapatkah seluruh disipasi diabaikan? Teori elektromagnetik memang memprediksi bahwa momen yang berpresesi memancarkan radiasi³. Namun, disipasi ini dapat diabaikan: segera setelah hasil eksperimen diterbitkan, Einstein menghitungnya dan memperkirakan bahwa relaksasi memerlukan lebih dari satu abad, dibandingkan waktu lintas magnet sekitar $10^{-4}$ s ^[3]. Bahkan jika cukup cepat, disipasi akan membawa momen menuju orientasi berenergi terendah, sejajar dengan medan: hasilnya satu bercak, bukan dua.

Mungkinkah medan tepi menjelaskan kedua bercak? Di pintu masuk dan keluar magnet, arah serta kuat medan berubah dan dapat memperumit presesi. Namun, efek tersebut bergantung pada geometri tepat magnet dan eksperimen secara keseluruhan, sehingga seharusnya berbeda antar eksperimen. Pemisahan menjadi dua berkas justru tidak bergantung padanya. Selain itu, dalam model klasik ini, evolusi menurut hukum mekanika dan persamaan Maxwell merupakan fungsi kontinu dari orientasi awal: evolusi tersebut tidak dapat mengubah kontinuum orientasi awal menjadi hanya dua nilai keluaran.

4.3. Munculnya keacakan

Dalam versi modern eksperimen, fluks dapat dikurangi hingga atom melintasi alat satu per satu. Setiap atom menghasilkan satu tumbukan pada salah satu dari kedua bercak. Bercak terbentuk secara bertahap seiring terkumpulnya tumbukan.

Sifat acak ini belum cukup untuk membuktikan adanya keacakan mendasar: atom keluar dari oven dan kondisi awalnya berbeda antaratom. Ketakterdugaan masih dapat dikaitkan dengan ketidaktahuan kita tentang kondisi tersebut. Pertanyaan ini akan menjadi lebih mendesak setelah persiapan berkas dapat kita kendalikan dengan lebih baik.

5. Beberapa alat Stern dan Gerlach dalam rangkaian

Eksperimen yang merangkai beberapa SG akan memperjelas peran persiapan dan probabilitas, lalu memperlihatkan ketidakcocokan antara pengukuran tertentu.

5.1. Persiapan berkas

Saat keluar dari alat $\mathrm{SG}_z$, berkas terpisah menjadi dua jalur. Kita menamai jalur hasil positif $z+$ dan jalur hasil negatif $z-$.

Penghalang dapat diletakkan pada salah satu jalur sehingga hanya jalur lain diteruskan. Jika $z-$ dihalangi, semua atom yang melanjutkan eksperimen telah memberikan hasil $z+$ pada alat pertama. Jadi, perangkat bukan lagi sekadar mengukur: ia juga menyiapkan berkas yang terdefinisi dengan baik untuk eksperimen berikutnya.

Persiapan yang diperoleh ini akan kita tulis $\ket{z+}$. Pada tahap ini, notasi tersebut hanya berarti “atom yang baru saja keluar melalui jalur $z+$ dari penganalisis $\mathrm{SG}_z$”. Struktur matematika yang terkait dengan simbol ini akan kita temukan secara bertahap.

5.2. Keterulangan pada sumbu yang sama

Letakkan $\mathrm{SG}_z$ kedua setelah yang pertama, dengan hanya meneruskan jalur $z+$ dari alat pertama, lihat Gambar 5. Eksperimen menunjukkan bahwa alat kedua kemudian hanya menghasilkan satu bercak, pada jalur $z+$. Jalur $z-$ kosong.

Gambaran klasik tidak menghadapi masalah di sini. Jika alat pertama memilih suatu nilai $\mu_z$ atau menyejajarkan momen sepanjang $z$, dan tidak ada yang kemudian mengubah komponen $\mu_z$, alat kedua seharusnya memberi pembelokan yang sama bagi semua atom terpilih. Jadi, hasil ini sesuai dengan gambaran pemilahan sederhana.

5.3. Dua sumbu berbeda

Namun, sekarang gantikan alat kedua dengan $\mathrm{SG}_x$, yang sumbu analisisnya tegak lurus terhadap sumbu alat pertama, lihat Gambar 6. Kembali terlihat dua bercak dengan proporsi sama.

Ada dua penafsiran klasik yang mungkin. Jika alat pertama sepenuhnya mengarahkan $\vec\mu$ sepanjang $z$, maka $\mu_x=0$: alat kedua seharusnya menghasilkan bercak pusat. Jika alat pertama hanya memilih nilai positif $\mu_z$, tanpa menetapkan komponen lainnya, maka $\mu_x$ tetap terdistribusi kontinu: seharusnya teramati pita kontinu. Tidak satu pun penafsiran ini memprediksi kedua bercak yang diamati.

Kembali pada kasus atom dikirim satu per satu. Setiap atom menghasilkan tumbukan pada jalur $x+$ atau $x-$; untuk sejumlah besar atom, kedua hasil muncul dengan proporsi sama. Padahal berkas yang memasuki $\mathrm{SG}_x$ memiliki persiapan yang lebih terkendali daripada berkas yang langsung keluar dari oven: semua atomnya telah dipilih pada jalur $z+$ alat pertama. Sebagaimana baru kita lihat, persiapan $\ket{z+}$ bahkan menjamin hasil pasti pada pengukuran baru sepanjang $z$.

Walaupun demikian, persiapan ini tidak memungkinkan kita memprediksi jalur tumbukan dalam pengukuran sepanjang $x$. Argumen tentang ketidakteraturan saat keluar dari oven saja tidak lagi cukup: persiapan yang sama, yang memastikan satu pengukuran, membiarkan pengukuran lainnya acak. Peran probabilitas dalam mekanika kuantum menjadi semakin jelas.

6. Tiga alat SG dalam rangkaian

6.1. ZXZ: penyaringan mengubah persiapan

Sekarang tinjau urutan $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$, lihat Gambar 7. Setelah alat pertama, hanya $z+$ diteruskan. Setelah alat kedua, hanya $x+$ diteruskan. Berkas baru ini akhirnya dianalisis sepanjang $z$.

Secara klasik, asumsi penyejajaran penuh momen magnetik sepanjang sumbu SG telah disingkirkan, sebab asumsi itu memprediksi bercak pusat pada alat kedua, sehingga tidak ada jalur $x+$ untuk dipilih. Jika kita mempertahankan gambaran pemilahan sederhana, alat pertama memilih nilai positif $\mu_z$, lalu alat kedua memilah atom menurut $\mu_x$ tanpa mengubah $\mu_z$. Alat ketiga seharusnya hanya menemukan kembali jalur $z+$. Namun, jalur $z-$ muncul kembali.

Jadi, penyaringan sepanjang $x$ telah mengubah persiapan. Setelah $x+$ dipilih, hasil sebelumnya $z+$ tidak lagi memungkinkan kita memprediksi pengukuran baru $z$ dengan pasti. Tampaknya keadaan itu sendiri telah diubah oleh alat kedua.

Fakta ini kadang diringkas dengan mengatakan bahwa “mengukur $x$ menghancurkan informasi tentang $z$”. Ungkapan ini berguna asalkan kita ingat bahwa tidak ada yang bergantung pada apa yang diketahui atau dilihat pelaku eksperimen. Penyaring $x+$ secara fisik menyiapkan keadaan baru, $\ket{x+}$, dan keadaan ini memberikan kedua hasil $z+$ dan $z-$ dengan probabilitas sama.

6.2. ZYZ: probabilitas sama, persiapan berbeda

Akhirnya, gantikan penganalisis perantara sepanjang $x$ dengan penganalisis sepanjang $y$, tetap dengan hanya meneruskan jalur positifnya. Urutan $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ kembali memberikan dua hasil berprobabilitas sama pada pengukuran terakhir. Hasil ini berlaku umum untuk setiap sumbu perantara yang tegak lurus terhadap $z$: untuk arah $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ pada bidang $(x,y)$, pemilihan jalur $u+$ kembali memberikan dua hasil berprobabilitas sama pada pengukuran terakhir sepanjang $z$.

Namun, ini tidak berarti persiapan $\ket{x+}$, $\ket{y+}$, atau $\ket{u+}$ semuanya identik. Analisis sepanjang $x$ dapat membedakannya: persiapan pertama pasti memberikan $x+$, yang kedua memberikan $x+$ atau $x-$ dengan proporsi sama, dan eksperimen menunjukkan bahwa probabilitas kedua hasil bergantung pada $\varphi$ untuk yang ketiga. Jadi, dua persiapan dapat memberikan probabilitas yang sama untuk suatu pengukuran, tetapi berbeda secara fisik.

7. Formalisme yang mulai terbentuk

Kita tidak akan mengklaim dapat menurunkan seluruh formalisme kuantum hanya dari eksperimen ini. Namun, kegagalan deskripsi klasik mengharuskan kita meninjau kembali kosakata kita dan menyarankan cara baru untuk merepresentasikan keadaan.

7.1. Keadaan bukan daftar nilai

Persiapan $\ket{z+}$ tidak dapat direduksi menjadi data “$\mu_z=+\mu_0$, dengan nilai $\mu_x$ dan $\mu_y$ yang belum diketahui tetapi sudah tetap”, yang hanya diungkap oleh alat. Dalam gambaran pemilahan sederhana ini, urutan $Z\!X\!Z$ akan kembali memberikan $100\,\%$ hasil $z+$, padahal tidak demikian. Lalu, bagaimana merepresentasikan keadaan jika bukan dengan daftar nilai yang sudah ada sebelumnya?

7.2. Menuju superposisi kuantum

Kebaruan utama formalisme kuantum ialah bahwa keadaan itu sendiri memuat data untuk menghitung probabilitas hasil pengukuran.

Persiapan $\ket{x+}$ memberikan hasil pasti sepanjang $x$, tetapi dua hasil berprobabilitas sama sepanjang $z$. Untuk menjelaskan situasi ini, formalisme kuantum merepresentasikan $\ket{x+}$ sebagai superposisi kedua keadaan $\ket{z+}$ dan $\ket{z-}$:

Koefisiennya (di sini $1/\sqrt{2}$ di depan setiap suku) disebut amplitudo: kuadrat modulusnya memberikan probabilitas hasil sepanjang $z$, di sini $1/2$ untuk masing-masing. Semua atom yang disiapkan dalam $\ket{x+}$ memiliki keadaan yang sama, direpresentasikan oleh kombinasi linear ini. Ini bukan campuran statistik dengan sebagian atom dalam $\ket{z+}$ dan sebagian lainnya dalam $\ket{z-}$.

Struktur ini tidak dapat kita turunkan sepenuhnya dari hasil yang disajikan di sini saja. Eksperimen interferensi dalam pelajaran berikutnya akan memberi landasan lebih lanjut. Pada akhirnya, struktur ini harus dipostulatkan.

7.3. Ruang vektor kompleks

Variasi ZYZ dan, lebih umum, ZUZ menimbulkan pertanyaan berikut: persiapan $\ket{y+}$ atau $\ket{u+}$ juga memberikan $50/50$ sepanjang $z$, tetapi berbeda dari $\ket{x+}$ ketika $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$. Jadi, kedua amplitudonya dalam basis $\ket{z+},\ket{z-}$ harus bermodulus $1/\sqrt2$. Jika amplitudo bernilai real, hanya tersisa empat pilihan tanda $\pm1/\sqrt2$: jumlah kemungkinan yang berhingga ini tidak cukup untuk merepresentasikan keragaman kontinu persiapan $\ket{u+}$.

Karena itu, formalisme kuantum menggunakan amplitudo kompleks, yang fasenya dapat berubah tanpa mengubah modulus. Sebagai contoh, kelak kita akan menulis:

dan lebih umum $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$ untuk setiap sudut $\varphi$. Keadaannya berbeda, tetapi probabilitas sepanjang $z$ tetap $1/2$. Memperlakukan kombinasi linear ini secara sungguh-sungguh membawa kita untuk merepresentasikan keadaan sebagai vektor dalam ruang vektor kompleks abstrak. Kata “abstrak” mengingatkan bahwa koefisiennya adalah amplitudo probabilitas, bukan komponen spasial momen magnetik klasik. Secara lebih umum, persiapan keadaan dapat ditulis sebagai

Untuk memperoleh amplitudo, lalu kuadrat modulusnya, keadaan perlu diproyeksikan pada keadaan yang terkait dengan hasil yang mungkin. Cara paling sederhana untuk mendapatkan komponen tersebut ialah menggunakan hasil kali dalam. Ini juga akan mendefinisikan norma, yang di sini memenuhi

Jadi, kuadrat norma menyatakan jumlah probabilitas hasil yang mungkin: jumlah ini harus satu, sehingga keadaan akan direpresentasikan oleh vektor bernorma satu.

Dalam formalisme yang mulai terbentuk, keadaan adalah vektor dalam ruang Hilbert kompleks, yaitu ruang yang dilengkapi hasil kali dalam untuk menghitung probabilitas. Struktur linearnya memungkinkan amplitudo dijumlahkan dan menyatakan prinsip superposisi kuantum. Semua ini akan dipelajari secara terperinci dalam tema 2.

8. Untuk melangkah lebih jauh

Satu abad setelah eksperimen ini, kita dapat menjelaskan lebih tepat apa yang sebenarnya diukur. Setelah Stern dan Gerlach, secara bertahap dipahami bahwa momen magnetik yang diukur pada atom perak terutama terkait dengan spin elektron tak berpasangan. Spin ini adalah momentum sudut intrinsik, berbeda dari momentum sudut orbital elektron. Elektron merupakan partikel berspin $1/2$: pengukuran proyeksi spinnya sepanjang suatu sumbu memberikan dua nilai yang mungkin, $S_z=\pm\hbar/2$.

Momentum sudut spin ini terkait dengan momen magnetik yang sebanding dengan spin:

dengan $e$ nilai positif muatan elementer, dan $\gamma_s$ rasio giromagnetik elektron. Tanda minus berkaitan dengan muatan negatif elektron: momen magnetiknya berlawanan arah dengan spin. Karena itu, dua nilai terukur komponennya ialah $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$, dengan $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$. Spin dan momen magnetik merupakan dua besaran berbeda yang saling sebanding.

Dalam atom, momentum sudut orbital elektron juga harus diperhitungkan, dan besaran itu terkait dengan momen magnetik lain. Hidrogen memberi contoh sederhana: elektron tunggalnya memiliki spin sekaligus keadaan orbital. Pada keadaan dasar $1s$, momentum sudut orbital nol; jadi, kontribusi elektron terhadap momen magnetik atom berasal dari spin. Eksperimen Stern dan Gerlach pada hidrogen dilakukan oleh Phipps dan Taylor pada 1927.

Atom perak memiliki lebih banyak elektron, tetapi konfigurasi elektronnya, $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$, mereduksi situasinya ke prinsip yang sama. Dapat ditunjukkan bahwa pada kulit penuh, kontribusi orbital dan spin saling meniadakan. Yang tersisa ialah elektron $5s$, yang momentum sudut orbitalnya ternyata nol pada keadaan dasar, dan spinnya bernilai $1/2$. Jadi, momen magnetik spinnya itulah yang diperlihatkan eksperimen bersejarah tersebut.

9. Referensi