Общее введение и основополагающие эксперименты

1. Введение

С чего-то нужно начинать. Многие изложения квантовой механики начинаются с опыта Юнга с двумя щелями или с истории изучения излучения абсолютно чёрного тела и гипотезы, предложенной Планком для его объяснения (Planck, 1900).

Планк ввёл представление о том, что энергия может передаваться лишь дискретными порциями — квантами, давшими название теории. Но для понимания его рассуждений нужна статистическая физика, с которой начинающий студент знаком не всегда.

Опыт Юнга, в свою очередь, весьма впечатляет. В его квантовой версии, когда частицы посылают по одной, обнаруживается поведение, совершенно непонятное с классической точки зрения. Однако, по мнению автора, этот опыт гораздо легче понять задним числом, уже зная принципы квантовой теории. В некотором смысле он один объединяет несколько самых необычных её сторон.

Поэтому мы начнём иначе: с опыта Штерна и Герлаха (1922), посвящённого, казалось бы, простому и хорошо понятному классически объекту — частице с магнитным моментом. В историческом опыте это был атом серебра; пока требуется принять лишь то, что такой атом действительно обладает магнитным моментом. Если направить его в область неоднородного магнитного поля, законы механики и электромагнетизма легко позволяют предсказать его траекторию.

Результаты также впечатляют: они радикально отличаются от классических предсказаний. Последовательно соединяя всё более сложные опыты, мы увидим, как классическое описание рушится и возникают квантование (см. раздел 4), квантовая суперпозиция (см. раздел 7.2), а также ещё одно чисто квантовое явление, которое опыт Юнга непосредственно не выявляет: несовместимость некоторых измерений (см. раздел 6.1).

Сначала мы напомним, что такое магнитный момент. Затем опишем опыт и ожидаемый результат для атома, ведущего себя как обычный маленький магнит, после чего представим реальные результаты и обсудим их смысл.

2. Напоминание о классическом магнитном моменте

2.1. Магнитный момент

Магнитный момент $\vec{\mu}$, или магнитный дипольный момент, — вектор. Природный магнит обладает магнитным моментом, который по определению направлен от южного полюса к северному. Так же направлены линии магнитного поля внутри магнита; снаружи они выходят из северного полюса и возвращаются к южному, см. рисунок 1.

Этот момент — основная величина, позволяющая количественно описывать силу магнита. Например, отталкивание двух магнитов, обращённых друг к другу южными полюсами, зависит от произведения их магнитных моментов и расстояния.

Но природные магниты не очень удобны для продолжения обсуждения, поскольку не сразу ясно, что именно создаёт их магнитное поле. Гораздо удобнее электромагниты, то есть замкнутые контуры с током. Для плоского витка, по которому течёт ток силы $I$ и который ограничивает площадь $S$, можно показать, что магнитный момент равен $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$, где $\vec{n}$ — единичная нормаль к витку, направленная по правилу правой руки.

Здесь нам понадобится только это выражение. Разумеется, теория магнитных моментов значительно шире. Она определяет магнитный момент произвольного распределения токов интегралом по этому распределению. Формула для витка — частный случай. Такое построение изложено в главе 5 книги ^[1].

2.2. Взаимодействие с магнитным полем

Классическая механика выводит три свойства магнитного диполя во внешнем магнитном поле $\vec B$.

Третья формула непосредственно следует из второй через $\vec{F} = -\grad E_p$. Она показывает, что на систему с магнитным моментом в неоднородном поле действует ненулевая результирующая сила, отклоняющая её траекторию. Первые две формулы получаются явным вычислением силы Лапласа, действующей на распределение токов (для момента сил), и работы этой силы (для потенциальной энергии). Здесь мы не воспроизводим вывод; полное доказательство см., в частности, в разделах 5.2 и 5.7 книги ^[1]1.

Оставляя технические детали в стороне, запомним главное. Потенциальная энергия в уравнении (2) минимальна при $\vec\mu$, параллельном $\vec B$, и максимальна при антипараллельном направлении: под действием момента сил из уравнения (1) магнитный диполь стремится ориентироваться вдоль поля. На этом основано действие компаса. Однако без диссипации стрелка компаса лишь бесконечно колебалась бы вокруг направления на север вследствие момента сил и теоремы об изменении момента импульса. Она останавливается потому, что трение на оси вращения рассеивает энергию колебаний.

2.3. Гиромагнитное отношение и прецессия

Особый вид это движение принимает, когда магнитный момент пропорционален внутреннему моменту импульса диполя. Тогда гиромагнитное отношение $\gamma$ вводят соотношением:

Связь вида (4) возникает, например, для магнитного момента классического заряда на круговой орбите. Действительно, заряд $q$ массы $m$, движущийся по окружности радиуса $R$ со скоростью $v$, эквивалентен току $I=qv/(2\pi R)$. Поэтому его магнитный момент равен

В этой классической орбитальной модели $\gamma=q/(2m)$. Теорема об изменении момента импульса вместе с уравнением (1) даёт $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$, а при постоянном $\gamma$ — уравнение прецессии:

В однородном поле решение показывает, что вектор $\vec\mu$ описывает конус вокруг направления поля, то есть прецессирует с ларморовской угловой частотой $\omega_L=|\gamma|B$, см. рисунок 2.

3. Опыт Штерна и Герлаха

Принцип опыта показан на рисунке 3. Нейтральные частицы из источника направляют в неоднородное магнитное поле двух расположенных друг напротив друга магнитов. Установленный дальше экран регистрирует попадания и позволяет измерить отклонение, если оно есть.

3.1. Установка

Магниты.

Сила из уравнения (3) тождественно равна нулю в однородном внешнем поле. Диполь в таком поле испытывает только момент сил, а его центр масс продолжает двигаться прямо. Поэтому интересным опыт делает именно неоднородность поля.

Для её создания прибор Штерна — Герлаха (обычно также называемый SG) использует два профилированных магнита: один с острым выступом, другой с обращённым остриём или слегка изогнутой поверхностью, см. рисунок 3. Такая геометрия сгущает силовые линии у острого края верхнего магнита. Поскольку линии сближаются, сохранение магнитного потока $\mathrm{div} \vec B = 0$ в силовой трубке означает, что поле возрастает к этому краю, то есть здесь с ростом $z$.

В первом приближении хотелось бы записать поле внутри прибора как $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ при $k>0$, но это не удовлетворяет условию нулевой дивергенции $\mathrm{div} \vec B = 0$. Следовательно, у поля обязательно должна быть поперечная составляющая. Пренебрегая краевыми эффектами и предполагая неизменность вдоль $\vec e_x$, получаем:

По порядку величины в обычных приборах $B_0 \sim 0{,}1$ T, причём $k\Delta z \ll B_0$ во всём вертикальном зазоре между магнитами, обычно составляющем несколько миллиметров. Длина магнитов — несколько сантиметров.

Источник.

Это небольшая печь в вакууме, содержащая твёрдое серебро. При высокой температуре испарившиеся атомы выходят через отверстие; несколько узких щелей отбирают атомы со скоростью, почти параллельной $\vec e_x$. Так получается коллимированный атомный пучок с характерной скоростью в несколько сотен метров в секунду и разбросом, унаследованным от распределения Максвелла — Больцмана.

Заметим, что электрически нейтральные частицы нужны, чтобы исследовать только магнитные дипольные эффекты. Заряженные частицы испытывали бы также силу Лоренца $q\,\vec v\wedge\vec B$ величины $qvB_0$, которая намного превосходила бы интересующую нас силу $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$.

Экран.

В историческом опыте атомы серебра постепенно оседали на экране и со временем образовывали видимый след. В современном опыте поток можно уменьшить настолько, чтобы регистрировать попадания по одному. Эта возможность будет важна далее, и мы к ней вернёмся.

3.2. Предсказание классической механики

Направим в область поля (7) нейтральную частицу с магнитным моментом $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$. Уравнение 3 даёт

Таким образом, диполь отклоняется не только вдоль $z$, но и вдоль $y$. Читателя, уже встречавшего опыт Штерна и Герлаха в других источниках, это может удивить: многие конспекты ограничиваются происходящим вдоль оси $z$. В действительности оба слагаемых в уравнении (8) изначально играют одинаковую роль.

Пренебречь происходящим вдоль оси $y$ позволяет прецессия. Здесь требуется важное предположение, которое мы обоснуем позднее: магнитный момент атома пропорционален его внутреннему моменту импульса $\vec L$.

При таком предположении, поскольку постоянное поле $B_0\vec e_z$ значительно превосходит поправки $kz\,\vec e_z$ и $-ky\,\vec e_y$, магнитный момент в первом приближении прецессирует вокруг $\vec e_z$ с угловой частотой $\omega_p = |\gamma| B_0$, где $\gamma$ — гиромагнитное отношение. При этом компонента $\mu_z$ остаётся постоянной, а $\mu_y$ колеблется около нуля.

Эта прецессия быстра. Приведённые формулы дают порядки величин, правдоподобные для атомного мира. Так, $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ превращается в $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$, если использовать элементарный заряд и массу электрона². При $B_0\approx0{,}1$ T получаем $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. С другой стороны, время пролёта магнита равно $T=\ell/v_x$, то есть примерно $10^{-4}$ s при длине $\ell$ в несколько сантиметров и $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. За время пролёта магнитный момент совершает несколько сотен тысяч оборотов. Поэтому сила вдоль $y$ с очень высокой точностью в среднем обращается в ноль.

Итак, в этой модели в среднем существенна лишь сила $\langle F_z\rangle=k\mu_z$. Отсюда очевидно, что конечное отклонение на экране должно быть пропорционально $\mu_z$. Остаётся выяснить начальные условия. Атомы выходят из печи, то есть из теплового резервуара, где нет выделенного пространственного направления. Поэтому на входе SG магнитные моменты должны быть ориентированы случайно, а их вертикальная компонента $\mu_z$ — непрерывно принимать все значения от $-\mu$ до $+\mu$ с равномерным распределением.

Классическое предсказание однозначно: вдоль оси $z$ должна наблюдаться непрерывная полоса попаданий (не обязательно равномерная из-за разброса скоростей).

4. Экспериментальные результаты

Наблюдается не это. Отклонение действительно происходит только вдоль $z$, что согласуется с обращением в нуль среднего значения силы вдоль $y$. Но на экране нет непрерывной полосы: видны два пятна, симметричные относительно исходной оси и разделённые пустой областью.

4.1. Измерение $\mu_0$

Точное положение двух пятен позволяет оценить $\mu_0$. Считая градиент $k=\partial B_z/\partial z$ и продольную скорость $v_x$ внутри магнита приблизительно постоянными, получаем поперечное ускорение атома в течение времени $T=\ell/v_x$:

которое легко проинтегрировать, а затем продолжить траекторию прямолинейно до экрана. Учтя геометрические параметры опыта, Отто Штерн и Вальтер Герлах смогли измерить эту величину для атомов серебра и получили значение магнетона Бора:

Это измерение позволяет вернуться к предположению 4. Однако оно не даёт $\gamma$ непосредственно: измеряется магнитный момент, а не связанный с ним момент импульса $L$. Можно проверить лишь порядок величины: естественный масштаб атомного момента импульса — $\hbar$, и при $L\sim\hbar$ имеем $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$. Получаем предположенный выше порядок величины и угловую частоту прецессии порядка $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, что согласуется с отсутствием наблюдаемого отклонения вдоль $y$.

4.2. Проблема классической механики

Опыт выявляет явление, чуждое классической механике: компонента магнитного момента вдоль заданной оси изменяется не непрерывно, а квантована.

Даже признав наличие у атома серебра магнитного момента, нужно объяснить, как произвольные начальные ориентации, возникающие в тепловом резервуаре, приводят ровно к двум пучкам. Рассмотрим два классических механизма, которые могли бы объяснить этот результат.

Может ли поле внутри магнита выровнять моменты? Мы видели, что без диссипации магнитный момент сил вызывает прецессию диполя, сохраняя угол с полем. Поэтому он не выравнивает диполь ни вдоль $+\vec B$, ни вдоль $-\vec B$. Но можно ли пренебречь всей диссипацией? Электромагнитная теория действительно предсказывает излучение прецессирующего момента³. Однако эта диссипация пренебрежимо мала: вскоре после публикации результатов Эйнштейн рассчитал её и оценил время релаксации более чем в столетие, тогда как пролёт через магнит длится около $10^{-4}$ s ^[3]. И даже будь релаксация достаточно быстрой, она направила бы моменты в состояние наименьшей энергии, параллельно полю: наблюдалось бы одно пятно, а не два.

Могут ли краевые поля объяснить два пятна? На входе и выходе магнита направление и величина поля меняются, что может усложнить прецессию. Однако эти эффекты зависят от точной геометрии магнитов и условий опыта в целом, а значит, должны меняться от опыта к опыту. Разделение же на два пучка от них не зависит. Кроме того, в этой классической модели эволюция, определяемая законами механики и уравнениями Максвелла, — непрерывная функция начальной ориентации. Она не может превратить континуум начальных ориентаций всего в два выходных значения.

4.3. Появление случайности

В современной версии опыта поток можно уменьшить настолько, чтобы атомы проходили через прибор по одному. Каждый атом оставляет одно попадание в одном из двух пятен. По мере накопления попаданий пятна постепенно вырисовываются.

Эта случайность пока недостаточна для установления фундаментального характера случайного: атомы выходят из печи, и начальные условия у них различны. Непредсказуемость всё ещё можно объяснить незнанием этих условий. Вопрос станет острее, когда мы лучше проконтролируем приготовление пучка.

5. Несколько приборов Штерна и Герлаха последовательно

Опыты с несколькими последовательно установленными SG уточнят роль приготовления и вероятностей, а затем выявят несовместимость некоторых измерений.

5.1. Приготовление пучка

На выходе прибора $\mathrm{SG}_z$ пучок разделяется на два канала. Канал положительного результата обозначим $z+$, отрицательного — $z-$.

Можно перекрыть один канал препятствием, оставив только другой. Если перекрыть $z-$, все атомы, продолжающие опыт, дали результат $z+$ в первом приборе. Поэтому устройство служит не только для измерения, но и для приготовления определённого пучка для следующего опыта.

Полученное приготовление обозначим $\ket{z+}$. Пока эта запись означает лишь «атом, только что вышедший по каналу $z+$ анализатора $\mathrm{SG}_z$». Математическую структуру, связанную с этим символом, мы будем раскрывать постепенно.

5.2. Воспроизводимость вдоль одной оси

Поставим второй $\mathrm{SG}_z$ после первого, сохранив только канал $z+$ первого прибора, см. рисунок 5. Экспериментально второй прибор даёт только одно пятно в канале $z+$. Канал $z-$ пуст.

Классическая картина здесь не вызывает затруднений. Если первый прибор выбирал значение $\mu_z$ или выравнивал моменты вдоль $z$, а затем ничто не меняло их компоненту $\mu_z$, второй прибор должен дать одинаковое отклонение всем выбранным атомам. Этот результат совместим с картиной простой сортировки.

5.3. Две различные оси

Теперь заменим второй прибор на $\mathrm{SG}_x$, ось анализа которого перпендикулярна оси первого, см. рисунок 6. Снова наблюдаются два пятна в равных пропорциях.

Возможны две классические интерпретации. Если первый прибор полностью направил $\vec\mu$ вдоль $z$, то $\mu_x=0$: второй должен дать центральное пятно. Если он лишь отобрал положительные значения $\mu_z$, не фиксируя другие компоненты, то $\mu_x$ по-прежнему распределена непрерывно: должна наблюдаться непрерывная полоса. Ни одна интерпретация не предсказывает наблюдаемые два пятна.

Вернёмся к поочерёдной отправке атомов. Каждый атом попадает в канал $x+$ или $x-$; при большом числе атомов результаты появляются в равных пропорциях. При этом входящий в $\mathrm{SG}_x$ пучок приготовлен более контролируемо, чем непосредственно выходящий из печи: все его атомы отобраны в канале $z+$ первого прибора. Как мы только что видели, их приготовление $\ket{z+}$ даже гарантирует определённый результат нового измерения вдоль $z$.

Тем не менее это приготовление не позволяет предсказать канал попадания при измерении вдоль $x$. Объяснения одним лишь беспорядком на выходе печи уже недостаточно: одно и то же приготовление делает одно измерение достоверным, оставляя другое случайным. Роль вероятностей в квантовой механике проясняется.

6. Три последовательных прибора SG

6.1. ZXZ: фильтрация меняет приготовление

Рассмотрим последовательность $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$, см. рисунок 7. После первого прибора оставляем только $z+$, после второго — только $x+$. Затем анализируем новый пучок вдоль $z$.

В классическом рассуждении мы уже исключили полное выравнивание магнитного момента вдоль оси SG: оно предсказывало бы центральное пятно во втором приборе, то есть отсутствие канала $x+$ для отбора. Если же сохранять картину простой сортировки, первый прибор выбирает положительное значение $\mu_z$, а второй сортирует атомы по $\mu_x$, не меняя $\mu_z$. Третий должен снова дать лишь канал $z+$. Но канал $z-$ появляется вновь.

Значит, фильтрация вдоль $x$ изменила приготовление. После отбора $x+$ прежний результат $z+$ уже не позволяет достоверно предсказать новое измерение $z$. По-видимому, второй прибор изменил само состояние.

Иногда это кратко выражают словами «измерение $x$ уничтожает информацию о $z$». Выражение полезно, если помнить, что здесь ничто не зависит от того, что экспериментатор знает или наблюдает. Фильтр $x+$ физически приготовил новое состояние $\ket{x+}$, которое даёт $z+$ и $z-$ с равными вероятностями.

6.2. ZYZ: те же вероятности, другое приготовление

Наконец, заменим промежуточный анализатор вдоль $x$ анализатором вдоль $y$, по-прежнему оставляя только положительный канал. Последовательность $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ снова даёт два равновероятных результата последнего измерения. Это обобщается на любую промежуточную ось, перпендикулярную $z$: для направления $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ в плоскости $(x,y)$ отбор канала $u+$ также приводит к двум равновероятным результатам последнего измерения вдоль $z$.

Однако приготовления $\ket{x+}$, $\ket{y+}$ и $\ket{u+}$ от этого не становятся одинаковыми. Анализ вдоль $x$ различил бы их: первое достоверно даёт $x+$, второе даёт $x+$ и $x-$ поровну, а для третьего опыт показывает зависимость вероятностей обоих результатов от $\varphi$. Таким образом, два приготовления могут давать одинаковые вероятности для одного измерения, оставаясь физически различными.

7. Намечающийся формализм

Мы не станем выводить весь квантовый формализм из одних этих опытов. Но неудача классического описания заставляет пересмотреть наш язык и подсказывает новый способ представления состояний.

7.1. Состояние — не список значений

Приготовление $\ket{z+}$ нельзя свести к данным «$\mu_z=+\mu_0$, а $\mu_x$ и $\mu_y$ имеют неизвестные, но уже фиксированные значения», которые приборы лишь выявляют. В этой картине простой сортировки последовательность $Z\!X\!Z$ давала бы $100\,\%$ результатов $z+$, чего не происходит. Как же представить состояние, если не списком заранее существующих значений?

7.2. К квантовой суперпозиции

Главная новизна квантового формализма в том, что само состояние объединяет данные для вычисления вероятностей результатов измерения.

Приготовление $\ket{x+}$ даёт достоверный результат вдоль $x$, но два равновероятных результата вдоль $z$. Для описания этого квантовый формализм представляет $\ket{x+}$ как суперпозицию состояний $\ket{z+}$ и $\ket{z-}$:

Коэффициенты (здесь $1/\sqrt{2}$ перед каждым слагаемым) называются амплитудами: квадрат их модуля даёт вероятности результатов вдоль $z$, здесь по $1/2$. Все атомы, приготовленные в $\ket{x+}$, находятся в одном и том же состоянии, представленном этой линейной комбинацией. Это не статистическая смесь, в которой часть атомов находилась бы в $\ket{z+}$, а остальные — в $\ket{z-}$.

Полностью вывести эту структуру только из представленных результатов нельзя. Опыты по интерференции в следующем уроке дадут ей дополнительные основания. В конечном счёте её придётся постулировать.

7.3. Комплексное векторное пространство

Варианты ZYZ и, более общо, ZUZ ставят следующий вопрос: приготовления $\ket{y+}$ или $\ket{u+}$ тоже дают $50/50$ вдоль $z$, но при $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$ отличаются от $\ket{x+}$. Поэтому их две амплитуды в базисе $\ket{z+},\ket{z-}$ должны иметь модуль $1/\sqrt2$. Если бы амплитуды были вещественными, оставались бы лишь четыре выбора знаков $\pm1/\sqrt2$: этого конечного числа возможностей недостаточно для непрерывного разнообразия приготовлений $\ket{u+}$.

Поэтому квантовый формализм использует комплексные амплитуды: их фазы могут меняться при неизменных модулях. Например, мы придём к записи

и, в общем случае, $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$ для любого угла $\varphi$. Состояния различны, но вероятности вдоль $z$ по-прежнему равны $1/2$. Если всерьёз принять эти линейные комбинации, состояния следует представлять векторами абстрактного комплексного векторного пространства. Слово «абстрактное» напоминает, что коэффициенты — амплитуды вероятности, а не пространственные компоненты классического магнитного момента. В более общем виде приготовление состояния можно записать как

Чтобы получить амплитуды и квадраты их модулей, потребуется проецировать состояние на состояния, соответствующие возможным результатам. Проще всего извлечь эти компоненты с помощью скалярного произведения. Оно также определит норму, причём здесь

Квадрат нормы соответствует сумме вероятностей возможных результатов. Эта сумма должна равняться единице, поэтому состояние будет представлено вектором единичной нормы.

В намечающемся формализме состояния, таким образом, будут векторами комплексного гильбертова пространства, то есть пространства со скалярным произведением, позволяющим вычислять вероятности. Его линейная структура позволяет складывать амплитуды и выражает принцип квантовой суперпозиции. Всё это будет подробно изучено в теме 2.

8. Для дальнейшего изучения

Спустя столетие после этих опытов мы можем точнее сказать, что они измеряют. После Штерна и Герлаха постепенно выяснилось, что измеряемый магнитный момент атома серебра в основном связан со спином неспаренного электрона. Спин — собственный момент импульса, отличный от орбитального момента импульса электрона. Электрон имеет спин $1/2$: измерение его проекции на ось даёт два возможных значения $S_z=\pm\hbar/2$.

Со спиновым моментом импульса связан пропорциональный ему магнитный момент:

где $e$ — положительная величина элементарного заряда, а $\gamma_s$ — гиромагнитное отношение электрона. Знак минус связан с отрицательным зарядом электрона: магнитный момент направлен противоположно спину. Два измеримых значения его компоненты равны $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$, где $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$. Спин и магнитный момент — различные величины, пропорциональные друг другу.

В атоме нужно учитывать также орбитальный момент импульса электрона, с которым связан другой магнитный момент. Простой пример — водород: его единственный электрон обладает и спином, и орбитальным состоянием. В основном состоянии $1s$ орбитальный момент импульса равен нулю, поэтому электронный вклад в магнитный момент атома обусловлен спином. Опыт Штерна и Герлаха с водородом провели Фиппс и Тейлор в 1927 году.

У атома серебра электронов больше, но электронная конфигурация $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$ сводит ситуацию к тому же принципу. Можно показать, что в заполненных оболочках орбитальные и спиновые вклады компенсируются. Остаётся электрон $5s$, орбитальный момент импульса которого в основном состоянии оказывается нулевым, а спин равен $1/2$. Именно его спиновый магнитный момент и выявил исторический опыт.

9. Источники