Genel giriş ve temel deneyler

1. Giriş

Bir yerden başlamak gerekir. Kuantum mekaniğine girişlerin çoğu Young'ın çift yarık deneyiyle ya da kara cisim ışımasının ve Planck'ın bunu açıklamak için ortaya attığı varsayımın tarihsel incelemesiyle başlar (Planck, 1900).

Planck, enerjinin yalnızca kesikli miktarlarda alışverişinin yapılabileceği düşüncesini ortaya koyar; bunlar kurama adını verecek olan kuantalardır. Ancak yaklaşımını anlamak için istatistiksel fiziği bilmek gerekir; başlangıç düzeyindeki bir öğrenci bunu her zaman bilmez.

Young'ın çift yarık deneyi ise çarpıcıdır. Parçacıkların tek tek gönderildiği kuantum sürümünde, klasik terimlerle hiçbir şekilde anlaşılamayan davranışlar sergiler. Ancak yazarın görüşüne göre bu deney, kuantum kuramının ilkeleri öğrenildikten sonra çok daha kolay anlaşılır. Bir bakıma, kuramın en tuhaf yönlerinden birkaçını tek başına özetler.

Bu nedenle başka bir yoldan, görünüşte basit ve klasik olarak iyi anlaşılan bir nesneyi ele alan Stern ve Gerlach deneyiyle (1922) başlayacağız: manyetik momente sahip bir parçacık. Tarihsel deneyde bu parçacık bir gümüş atomudur ve geçici olarak kabul etmemiz gereken tek şey, böyle bir atomun gerçekten manyetik moment taşıdığıdır. Atom düzgün olmayan bir manyetik alan bölgesine gönderildiğinde mekanik ve elektromanyetizma yasaları yörüngesini kolayca öngörür.

Elde edilen sonuçlar da çarpıcıdır: klasik öngörülerden kökten farklıdırlar. Giderek daha ayrıntılı deneyler art arda düzenlendiğinde klasik betimleme çöker ve sırasıyla kuantalanma olgusu (bkz. bölüm 4), kuantum süperpozisyonu (bkz. bölüm 7.2) ve Young yarıklarının doğrudan göstermediği başka bir salt kuantum olgusu ortaya çıkar: bazı ölçümler arasındaki bağdaşmazlık (bkz. bölüm 6.1).

Önce manyetik momentin ne olduğunu hatırlayacağız. Ardından deneyi ve atom sıradan küçük bir mıknatıs gibi davransaydı ne gözlememiz gerektiğini açıklayacak, sonra gerçekten elde edilen sonuçları sunup ne anlama geldiklerini tartışacağız.

2. Klasik manyetik momentin hatırlatılması

2.1. Manyetik moment

Manyetik moment $\vec{\mu}$, ya da manyetik dipol, bir vektördür. Doğal bir mıknatısın manyetik momenti tanım gereği mıknatısın Güney kutbundan Kuzey kutbuna yönelir. Bu aynı zamanda mıknatıs içindeki manyetik alan çizgilerinin yönüdür; çizgiler dışarıda Kuzey kutbundan çıkıp Güney kutbuna döner, bkz. Şekil 1.

Bu moment, bir mıknatısın gücünü nicelleştiren temel büyüklüktür. Örneğin Güney kutupları karşı karşıya olan iki mıknatıs arasındaki itme, manyetik momentlerin çarpımına ve uzaklığa bağlıdır.

Ancak doğal mıknatıslar tartışmayı sürdürmek için pek elverişli değildir; çünkü manyetik alanlarının kaynağı hemen açık değildir. Elektromıknatıslar, yani akım halkaları çok daha kullanışlıdır. $I$ akımı taşıyan ve $S$ alanını çevreleyen düzlemsel bir halka için manyetik momentin $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$ olduğu gösterilir; burada $\vec{n}$, sağ el kuralıyla yönlendirilmiş, halkaya dik birim vektördür.

Burada gereksinim duyacağımız tek ifade budur. Elbette manyetik moment kuramı daha geneldir. Herhangi bir akım dağılımının manyetik momentini, dağılım üzerinden alınan bir integralle tanımlar. Halka formülü bunun özel bir durumudur. Bu kuruluşun ayrıntıları için standart ders kaynaklarına (örneğin ^[1] kaynağının 5. bölümüne) başvurulabilir.

2.2. Manyetik alanla etkileşim

Klasik mekanik, dış manyetik alan $\vec B$ içine yerleştirilen bir manyetik dipol için üç özellik türetir.

Üçüncü formül $\vec{F} = -\grad E_p$ yoluyla doğrudan ikinciden çıkar. Düzgün olmayan bir alana yerleştirilmiş manyetik moment taşıyan bir sistemin yörüngesini saptıran net bir kuvvete maruz kaldığını gösterir. İlk ikisi ise akım dağılımına etkiyen Laplace kuvvetinin açık hesabından (tork için) ve bu kuvvetin yaptığı işten (potansiyel enerji için) elde edilir. Hesabı burada tekrarlamıyoruz; tam ispat için özellikle ^[1] kaynağının 5.2 ve 5.7 bölümlerine başvuruyoruz¹.

Teknik ayrıntıların ötesinde özellikle şunu akılda tutalım. Denk. (2) potansiyel enerjisi, $\vec\mu$ ile $\vec B$ paralelken en küçük, ters paralelken en büyüktür: manyetik dipol, Denk. (1) torku aracılığıyla alanla hizalanma eğilimindedir. Pusulanın çalışma ilkesi budur. Ancak enerji kaybı yoksa tork ve açısal momentum teoremi nedeniyle pusula ibresi Kuzey yönü çevresinde sonsuza kadar salınırdı. Sonunda durması, dönme eksenindeki sürtünmenin bu salınımın enerjisini tüketmesindendir.

2.3. Jiromanyetik oran ve presesyon

Manyetik moment dipolle ilişkili bir iç açısal momentumla orantılıysa bu hareket özel bir biçim alır. Bu durumda jiromanyetik oran $\gamma$ şu orantıyla tanımlanır:

Denk. (4) gibi bir ilişki örneğin dairesel yörüngedeki klasik bir yükün manyetik momentinde görülür. Gerçekten, kütlesi $m$ olan bir $q$ yükü, $R$ yarıçaplı çember üzerinde $v$ hızıyla hareket ettiğinde $I=qv/(2\pi R)$ akımına eşdeğerdir. Dolayısıyla şu manyetik momenti üretir

Bu klasik yörünge modelinde $\gamma=q/(2m)$ olur. Açısal momentum teoremi ile Denk. (1) birlikte $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$ sonucunu, ardından $\gamma$ sabitse presesyon denklemini verir:

Düzgün bir alanda bu denklemin çözümü, $\vec\mu$ vektörünün alan doğrultusu çevresinde bir koni çizdiğini, yani Larmor açısal frekansı $\omega_L=|\gamma|B$ ile presesyon yaptığını gösterir, bkz. Şekil 2.

3. Stern ve Gerlach deneyi

Deneyin ilkesi Şekil 3 üzerinde özetlenmiştir. Bir kaynaktan çıkan yüksüz parçacıklar, karşılıklı iki mıknatısın oluşturduğu düzgün olmayan manyetik alana gönderilir. Daha ilerideki bir ekran çarpmaları toplar ve varsa sapmayı ölçmeyi sağlar.

3.1. Düzenek

Mıknatıslar.

Dış alan düzgünse Denk. (3) kuvveti özdeş olarak sıfırdır. Homojen alandaki bir dipol yalnızca torka maruz kalır ve kütle merkezi doğrusal ilerlemeyi sürdürür. Dolayısıyla deneyi ilginç yapan alanın düzgün olmamasıdır.

Bu alanı oluşturmak için Stern ve Gerlach düzeneği (aygıta yaygın olarak bu ad, ya da kısaca SG denir), biri sivri, diğeri ters sivri veya tabanı hafif eğri biçimde kesilmiş iki mıknatıs kullanır, bkz. Şekil 3. Bu geometri alan çizgilerini üst mıknatısın sivri kenarına doğru yoğunlaştırır. Alan çizgileri sıklaştığından, bir alan tüpünde manyetik akının korunumu $\mathrm{div} \vec B = 0$, alanın bu kenara doğru, yani burada $z$ arttıkça büyüdüğünü söyler.

Birinci mertebede düzenek içindeki alanı $k>0$ olmak üzere $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ şeklinde yazmak isteriz; ancak bu, sıfır diverjans koşulu $\mathrm{div} \vec B = 0$ ile uyuşmaz. Bu yüzden alanın enine bir bileşeni de bulunmalıdır. Kenar etkilerini ihmal edip $\vec e_x$ boyunca değişmezlik varsayarsak:

Mertebe olarak, yaygın düzeneklerde $B_0 \sim 0{,}1$ T ve mıknatıslar arasındaki, genellikle birkaç milimetrelik tüm düşey aralık boyunca $k\Delta z \ll B_0$ olur. Mıknatıslar birkaç santimetre uzunluğundadır.

Kaynak.

Vakum içine yerleştirilmiş, katı gümüş içeren küçük bir fırındır. Yüksek sıcaklıkta buharlaşan atomlar bir delikten çıkar; birkaç dar yarık, hızı $\vec e_x$ doğrultusuna hemen hemen paralel olanları seçer. Böylece tipik hızı saniyede birkaç yüz metre olan, Maxwell-Boltzmann dağılımından gelen hız saçılımına sahip, kolime edilmiş bir atom demeti elde edilir.

Yalnızca manyetik dipol etkilerini incelemek için elektriksel olarak yüksüz parçacıklar gönderildiğine dikkat edin. Yüklü parçacıklar gönderilseydi, bunlar büyüklüğü $qvB_0$ olan $q\,\vec v\wedge\vec B$ Lorentz kuvvetine de maruz kalırdı ve bu kuvvet burada ilgilendiğimiz $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ kuvvetini açık ara bastırırdı.

Ekran.

Tarihsel deneyde gümüş atomları ekran üzerinde yavaş yavaş birikiyor ve sonunda görünür bir iz oluşturuyordu. Modern bir deneyde akı, çarpmaların tek tek kaydedilebileceği kadar azaltılabilir. Bu olanak ileride önemli olacak; ona yeniden döneceğiz.

3.2. Klasik mekaniğin öngörüsü

Denk. (7) alan bölgesine $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$ manyetik momentli yüksüz bir parçacık gönderelim. Denklem 3 şunu verir

Demek ki dipol yalnızca $z$ değil, $y$ boyunca da sapar. Stern ve Gerlach deneyini başka bir yerde görmüş okuyucu buna şaşırabilir; çünkü birçok ders notu yalnızca $z$ ekseninde olanları anlatır. Aslında Denk. (8) içindeki iki terim başlangıçta aynı rolü oynar.

$y$ eksenindeki etkiyi ihmal edebilmemizin nedeni presesyondur; şimdi sonradan gerekçelendireceğimiz önemli bir varsayım yapmalıyız. Atomun manyetik momentinin taşıdığı bir iç açısal momentum $\vec L$ ile orantılı olduğunu varsayacağız.

Bu varsayımla ve sabit $B_0\vec e_z$ alanı $kz\,\vec e_z$ ile $-ky\,\vec e_y$ düzeltmelerinden çok büyük olduğundan, manyetik moment birinci mertebede $\vec e_z$ çevresinde $\omega_p = |\gamma| B_0$ açısal frekansıyla presesyon yapar; burada $\gamma$ jiromanyetik orandır. Bu presesyon sırasında $\mu_z$ sabit kalırken $\mu_y$ sıfır çevresinde salınır.

Bu presesyon hızlıdır. Yukarıdaki formüller atom dünyası için başlangıçta makul mertebeler verir. Temel yük ve elektron kütlesi kullanıldığında $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ ifadesi $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$ olur². $B_0\approx0{,}1$ T için $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ elde edilir. Öte yandan mıknatıs içindeki uçuş süresi $T=\ell/v_x$ olup, birkaç santimetrelik $\ell$ ve $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ için yaklaşık $10^{-4}$ s'dir. Böylece manyetik moment geçiş sırasında birkaç yüz bin tur atar. Bu nedenle $y$ yönündeki kuvvetin ortalaması son derece yüksek doğrulukla sıfır olur.

Bu modelde ortalama olarak anlamlı tek kuvvet $\langle F_z\rangle=k\mu_z$ olur. Dolayısıyla ekrandaki son sapmanın $\mu_z$ ile orantılı olması gerektiği hemen çıkar. Geriye başlangıç koşullarını sormak kalır. Atomlar bir fırından, yani hiçbir uzay yönünün ayrıcalıklı olmadığı bir ısıl banyodan çıkar. SG girişinde manyetik momentler rastgele yönelmiş olmalı, düşey bileşenleri $\mu_z$ ise $-\mu$ ile $+\mu$ arasındaki tüm değerleri düzgün bir dağılımla sürekli olarak almalıdır.

Klasik öngörü bu durumda nettir: $z$ ekseni boyunca sürekli bir çarpma şeridi gözlemeliyiz (hız saçılımı nedeniyle şeridin yoğunluğu mutlaka düzgün olmayabilir).

4. Deneysel sonuçlar

Gözlenen bu değildir. Sapma gerçekten yalnızca $z$ boyunca olur; bu, $y$ yönündeki kuvvetin ortalamasının sıfır olmasıyla tutarlıdır. Ancak ekranda sürekli bir şerit bulunmaz: başlangıç eksenine göre simetrik, aralarında boş bölge olan iki iz vardır.

4.1. $\mu_0$ değerinin ölçülmesi

İki izin kesin konumu $\mu_0$ değerini tahmin etmeyi sağlar. Mıknatıs içindeki $k=\partial B_z/\partial z$ gradyanı ve boyuna hız $v_x$ yaklaşık sabit kabul edildiğinde atom, $T=\ell/v_x$ süresi boyunca şu enine ivmeye maruz kalır:

Bu ifade basitçe integre edilir, ardından yörünge ekrana kadar düz çizgi halinde sürdürülür. Otto Stern ve Walther Gerlach, deneyin geometrik parametrelerini hesaba katarak gümüş atomları için bu değeri ölçebilmiş ve Bohr magnetonu değerini bulmuşlardır:

Bu ölçüm, varsayım 4 üzerine yeniden düşünmemizi sağlar. Ancak ölçülen büyüklük, manyetik momente eşlik edecek açısal momentum $L$ değil, manyetik moment olduğundan $\gamma$ doğrudan elde edilmez. Yalnızca bir mertebe kontrolü yapabiliriz: atomik açısal momentumun doğal ölçeği $\hbar$ olduğundan, $L\sim\hbar$ yazarsak $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$ olur. Böylece yukarıda varsayılan mertebeyi ve $y$ yönünde sapma gözlenmemesiyle tutarlı olan $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ mertebesindeki presesyon açısal frekansını yeniden buluruz.

4.2. Klasik mekaniğin karşılaştığı sorun

Deney, klasik mekaniğe yabancı bir olguyu ortaya çıkarır: manyetik momentin belirli bir eksendeki bileşeni sürekli değişmez, kuantalanmıştır.

Gümüş atomunun manyetik moment taşıdığını kabul etsek bile, ısıl banyodan gelen gelişigüzel başlangıç yönelimlerinin nasıl tam iki demete yol açtığını açıklamamız gerekir. Bu sonucu açıklayabilecek iki klasik mekanizmayı inceleyelim.

Mıknatısın içindeki alan momentleri hizalayabilir mi? Enerji kaybı yokken manyetik torkun, dipolün alanla yaptığı açıyı koruyarak presesyon oluşturduğunu gördük. Dolayısıyla dipolü ne $+\vec B$ ne de $-\vec B$ ile hizalar. Peki bütün enerji kayıpları ihmal edilebilir mi? Elektromanyetik kuram, presesyon yapan momentin ışıma yaptığını öngörür³. Ancak bu enerji kaybı ihmal edilebilir: sonuçların yayımlanmasından kısa süre sonra Einstein bunu hesaplamış ve gevşemenin bir yüzyıldan uzun süreceğini tahmin etmiştir; oysa mıknatıstan geçiş süresi yaklaşık $10^{-4}$ s'dir ^[3]. Yeterince hızlı olsaydı bile momentleri alanla paralel, en düşük enerjili yönelime götürürdü: iki yerine yalnızca bir iz gözlenirdi.

Kenar alanları iki izi açıklayabilir mi? Mıknatısın giriş ve çıkışında alanın yönü ve şiddeti değişir; bu da presesyonu karmaşıklaştırabilir. Ancak bu etkiler mıknatısların tam geometrisine ve genel olarak deneyin ayrıntılarına bağlı olduğundan deneyden deneye değişmelidir. Oysa iki demete ayrılma bunlara bağlı değildir. Ayrıca bu klasik modelde mekanik yasaları ve Maxwell denklemleri uyarınca gerçekleşen evrim, başlangıç yöneliminin sürekli bir fonksiyonudur: başlangıç yönelimlerinin sürekliliğini yalnızca iki çıkış değerine dönüştüremez.

4.3. Rastlantının ortaya çıkışı

Deneyin modern bir sürümünde akı, atomlar aygıttan tek tek geçecek kadar azaltılabilir. Her atom iki izden birinde tek bir çarpma oluşturur. Çarpmalar biriktikçe bu izler yavaş yavaş belirir.

Bu rastlantısallık henüz temel bir rastlantının varlığını kanıtlamaz: atomlar fırından çıkar ve başlangıç koşulları atomdan atoma değişir. Öngörülemezlik hâlâ bu koşulları bilmeyişimize bağlanabilir. Demetin hazırlanmasını daha iyi denetlediğimizde bu soru daha zorlayıcı hale gelecektir.

5. Art arda bağlanan Stern ve Gerlach aygıtları

Birkaç SG'nin art arda kullanıldığı deneyler, hazırlama ve olasılıkların rolünü netleştirecek, ardından bazı ölçümler arasındaki bağdaşmazlığı ortaya çıkaracaktır.

5.1. Demetin hazırlanması

$\mathrm{SG}_z$ aygıtının çıkışında demet iki kola ayrılır. Pozitif sonuca karşılık gelen kolu $z+$, negatif sonuca karşılık geleni $z-$ ile göstereceğiz.

Kollardan birine engel konarak yalnızca diğeri korunabilir. $z-$ engellenirse deneye devam eden tüm atomlar ilk aygıtta $z+$ sonucunu vermiştir. Böylece düzenek yalnızca ölçmeye değil, bir sonraki deney için iyi tanımlanmış bir demet hazırlamaya da yarar.

Bu yolla elde edilen hazırlamayı $\ket{z+}$ ile göstereceğiz. Bu aşamada gösterim yalnızca “bir $\mathrm{SG}_z$ çözümleyicisinin $z+$ kolundan yeni çıkmış atom” anlamındadır. Bu simgeyle ilişkili matematiksel yapıyı adım adım keşfedeceğiz.

5.2. Aynı eksende tekrarlanabilirlik

İlk aygıtın yalnızca $z+$ kolunu koruyarak arkasına ikinci bir $\mathrm{SG}_z$ yerleştirelim, bkz. Şekil 5. Deneysel olarak ikinci aygıtın yalnızca $z+$ kolunda tek bir iz oluşturduğu gözlenir. $z-$ kolu boştur.

Klasik resim burada hiçbir sorun yaratmaz. İlk aygıt bir $\mu_z$ değeri seçse veya momentleri $z$ boyunca hizalasa ve sonra onların $\mu_z$ bileşenini hiçbir şey değiştirmese, ikinci aygıt seçilen tüm atomlara aynı sapmayı vermelidir. Dolayısıyla bu sonuç basit bir ayıklama resmiyle uyumludur.

5.3. İki farklı eksen

Şimdi ikinci aygıtın yerine, çözümleme ekseni ilkininkine dik olan bir $\mathrm{SG}_x$ koyalım, bkz. Şekil 6. Yeniden eşit oranlarda iki iz gözlenir.

İki klasik yorum mümkündür. İlk aygıt $\vec\mu$ vektörünü bütünüyle $z$ boyunca yönelttiyse $\mu_x=0$ olur: ikinci aygıt merkezde bir iz üretmelidir. Yalnızca pozitif $\mu_z$ değerlerini seçip diğer bileşenleri belirlememişse $\mu_x$ sürekli dağılmış kalır: sürekli bir şerit gözlenmelidir. Bu iki yorumdan hiçbiri gözlenen iki izi öngörmez.

Atomların tek tek gönderildiği duruma dönelim. Her atom $x+$ veya $x-$ kolunda bir çarpma oluşturur; çok sayıda atom için iki sonuç eşit oranlarda ortaya çıkar. Oysa $\mathrm{SG}_x$ içine giren demetin hazırlaması, doğrudan fırından çıkan demetinkinden daha iyi denetlenmiştir: tüm atomları ilk aygıtın $z+$ kolunda seçilmiştir. Az önce gördüğümüz gibi $\ket{z+}$ hazırlaması, $z$ boyunca yeni bir ölçümün sonucunu bile kesin kılar.

Yine de bu hazırlama, $x$ boyunca ölçümde çarpmanın hangi kolda gerçekleşeceğini öngörmeyi sağlamaz. Yalnızca fırın çıkışındaki düzensizliğe dayanan açıklama artık yeterli değildir: bir ölçümü kesin kılan aynı hazırlama, diğerini rastlantısal bırakır. Kuantum mekaniğinde olasılıkların rolü belirginleşir.

6. Art arda üç SG aygıtı

6.1. ZXZ: süzme hazırlamayı değiştirir

Şimdi $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$ dizisini ele alalım, bkz. Şekil 7. İlk aygıttan sonra yalnızca $z+$, ikinci aygıttan sonra yalnızca $x+$ korunur. Son olarak bu yeni demeti $z$ boyunca çözümleriz.

Klasik açıdan manyetik momentin SG ekseni boyunca tam hizalanması varsayımını zaten elemiştik; çünkü bu, ikinci aygıtta merkezde bir iz, dolayısıyla seçilebilecek hiçbir $x+$ kolu olmamasını öngörürdü. O halde basit ayıklama resmini korursak ilk aygıt pozitif bir $\mu_z$ değeri seçer, ikinci ise $\mu_z$ değerini değiştirmeden atomları $\mu_x$ değerine göre ayıklar. Üçüncü aygıtta yalnızca $z+$ kolu bulunmalıdır. Oysa $z-$ kolu yeniden ortaya çıkar.

Dolayısıyla $x$ boyunca süzme hazırlamayı değiştirmiştir. $x+$ seçildikten sonra önceki $z+$ sonucu, yeni $z$ ölçümünü kesin olarak öngörmeye yetmez. Durumun kendisi ikinci aygıt tarafından değiştirilmiş görünür.

Bu olgu bazen “$x$ ölçümü $z$ hakkındaki bilgiyi yok eder” diye özetlenir. Burada hiçbir şeyin deneycinin ne bildiğine veya neye baktığına bağlı olmadığını hatırlamak koşuluyla bu ifade yararlıdır. $x+$ süzgeci fiziksel olarak yeni bir $\ket{x+}$ durumu hazırlamıştır ve bu durum $z+$ ile $z-$ sonuçlarını eşit olasılıkla verir.

6.2. ZYZ: aynı olasılıklar, farklı hazırlama

Son olarak aradaki $x$ çözümleyicisini $y$ boyunca bir çözümleyiciyle değiştirelim ve yine yalnızca pozitif kolunu koruyalım. $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ dizisi son ölçümde yine eşit olasılıklı iki sonuç verir. Bu sonuç $z$ eksenine dik her ara eksene genellenir: $(x,y)$ düzlemindeki $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ yönü için $u+$ kolunun seçilmesi, son $z$ ölçümünde yine eşit olasılıklı iki sonuç verir.

Ancak bu, $\ket{x+}$, $\ket{y+}$ veya $\ket{u+}$ hazırlamalarının hepsinin aynı olduğu anlamına gelmez. $x$ boyunca çözümleme onları ayırt eder: ilki kesin olarak $x+$, ikincisi eşit oranlarda $x+$ veya $x-$ verir; deney, üçüncüsü için iki sonucun olasılığının $\varphi$ değerine bağlı olduğunu gösterir. Dolayısıyla iki hazırlama bir ölçüm için aynı olasılıkları verirken fiziksel olarak farklı olabilir.

7. Belirmekte olan formalizm

Yalnızca bu deneylerden bütün kuantum formalizmini türettiğimizi iddia etmeyeceğiz. Yine de klasik betimlemenin başarısızlığı kullandığımız dili gözden geçirmeye zorlar ve durumları temsil etmek için yeni bir yol önerir.

7.1. Durum bir değerler listesi değildir

$\ket{z+}$ hazırlaması, aygıtların yalnızca açığa çıkaracağı “$\mu_z=+\mu_0$, yanında bilinmeyen ama önceden belirlenmiş $\mu_x$ ve $\mu_y$ değerleri” bilgisine indirgenemez. Bu basit ayıklama resminde $Z\!X\!Z$ dizisi $100\,\%$ oranında $z+$ verirdi; oysa vermez. Öyleyse durumu önceden var olan değerler listesiyle değilse nasıl temsil edeceğiz?

7.2. Kuantum süperpozisyonuna doğru

Kuantum formalizminin büyük yeniliği, ölçüm sonuçlarının olasılıklarını hesaplamaya yarayan verilerin durumun kendisinde toplanmasıdır.

$\ket{x+}$ hazırlaması $x$ boyunca kesin bir sonuç, $z$ boyunca ise eşit olasılıklı iki sonuç verir. Kuantum formalizmi bu durumu betimlemek için $\ket{x+}$ durumunu $\ket{z+}$ ve $\ket{z-}$ durumlarının bir süperpozisyonu olarak temsil eder:

Katsayılara (burada her terimin önündeki $1/\sqrt{2}$) genlik denir: modüllerinin karesi $z$ boyunca sonuçların olasılıklarını, burada her biri için $1/2$, verir. $\ket{x+}$ içinde hazırlanan tüm atomlar, bu doğrusal birleşimle temsil edilen aynı duruma sahiptir. Bu, bazı atomların $\ket{z+}$, diğerlerinin $\ket{z-}$ içinde olduğu istatistiksel bir karışım değildir.

Bu yapıyı yalnızca burada sunulan sonuçlardan bütünüyle türetemeyiz. Bir sonraki derste sunulan girişim deneyleri onu daha fazla gerekçelendirecektir. Sonunda onu bir postulat olarak kabul etmek gerekecektir.

7.3. Karmaşık vektör uzayı

ZYZ ve daha genel olarak ZUZ çeşitleri şu soruyu doğurur: $\ket{y+}$ veya $\ket{u+}$ hazırlamaları da $z$ boyunca $50/50$ verir, ama $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$ olduğunda $\ket{x+}$ durumundan farklıdır. Bu nedenle $\ket{z+},\ket{z-}$ bazındaki iki genliklerinin modülü $1/\sqrt2$ olmalıdır. Genlikler gerçek olsaydı geriye yalnızca $\pm1/\sqrt2$ için dört işaret seçimi kalırdı: bu sonlu sayıda olanak, $\ket{u+}$ hazırlamalarının sürekli çeşitliliğini temsil etmeye yetmezdi.

Dolayısıyla kuantum formalizmi, fazları modülleri değişmeden değişebilen karmaşık genlikler kullanır. Örneğin şu ifadeleri yazacağız:

ve daha genel olarak her $\varphi$ açısı için $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$. Durumlar farklıdır, ama $z$ boyunca olasılıklar hep $1/2$ olur. Bu doğrusal birleşimleri ciddiye almak, durumları soyut bir karmaşık vektör uzayındaki vektörlerle temsil etmeye götürür. “Soyut” sözcüğü, katsayıların klasik bir manyetik momentin uzaysal bileşenleri değil, olasılık genlikleri olduğunu hatırlatır. Bir durum hazırlaması daha genel olarak şöyle yazılabilir:

Genlikleri ve ardından modüllerinin karesini elde etmek için durumu olası sonuçlarla ilişkili durumlar üzerine izdüşürmek gerekecektir. Bu bileşenleri elde etmenin en basit yolu bir iç çarpım kullanmak olacaktır. Bu iç çarpım aynı zamanda bir norm tanımlayacak; burada

Normun karesi böylece olası sonuçların olasılıkları toplamına karşılık gelir: bu toplam bir olmalıdır, dolayısıyla durum birim normlu vektörle temsil edilecektir.

Belirmekte olan formalizmde durumlar, olasılıkları hesaplamayı sağlayan bir iç çarpımla donatılmış karmaşık bir Hilbert uzayının vektörleri olacaktır. Doğrusal yapısı genliklerin toplanmasını sağlar ve kuantum süperpozisyonu ilkesini ifade eder. Bütün bunlar tema 2'de ayrıntılı biçimde incelenecektir.

8. Daha ileri gitmek için

Bu deneylerden bir yüzyıl sonra gerçekte neyi ölçtüklerini açıklığa kavuşturabiliriz. Stern ve Gerlach'tan sonra, gümüş atomunda ölçülen manyetik momentin esas olarak eşleşmemiş bir elektronun spiniyle ilişkili olduğu adım adım anlaşılmıştır. Spin, elektronun yörüngesel açısal momentumundan farklı, içsel bir açısal momentumdur. Elektron, spini $1/2$ olan bir parçacıktır: spininin bir eksen üzerindeki izdüşümünün ölçümü iki olası değer verir, $S_z=\pm\hbar/2$.

Bu spin açısal momentumuyla, spinle orantılı bir manyetik moment ilişkilidir:

burada $e$ temel yükün pozitif değerini, $\gamma_s$ ise elektronun jiromanyetik oranını belirtir. Eksi işareti elektronun negatif yükünden kaynaklanır: manyetik momenti spinine ters yönlüdür. Bu nedenle bileşeninin ölçülebilir iki değeri $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$ olup $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$ olur. Spin ile manyetik moment, birbirleriyle orantılı iki ayrı büyüklüktür.

Atomda, başka bir manyetik momentle ilişkili olan elektronun yörüngesel açısal momentumunu da hesaba katmak gerekir. Hidrojen basit bir örnektir: tek elektronu hem spine hem yörüngesel bir duruma sahiptir. $1s$ temel durumunda yörüngesel açısal momentum sıfırdır; dolayısıyla atomun manyetik momentine elektronik katkı spinden gelir. Hidrojen üzerindeki Stern ve Gerlach deneyi 1927'de Phipps ve Taylor tarafından yapılmıştır.

Gümüş atomu daha fazla elektron içerir, ancak $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$ elektron dizilimi durumu aynı ilkeye indirger. Dolu kabuklarda yörünge ve spin katkılarının birbirini götürdüğü gösterilebilir. Geriye temel durumda yörüngesel açısal momentumu sıfır, spini $1/2$ olan $5s$ elektronu kalır. Tarihsel deneyin ortaya çıkardığı, işte onun spin manyetik momentidir.

9. Kaynaklar