সাধারণ ভূমিকা ও ভিত্তিস্থাপনকারী পরীক্ষা

1. ভূমিকা

কোনো না কোনো জায়গা থেকে শুরু করতেই হয়। কোয়ান্টাম বলবিদ্যার অনেক পরিচিতিমূলক আলোচনা ইয়ংয়ের দুই চিরের পরীক্ষা দিয়ে, অথবা কৃষ্ণবস্তুর বিকিরণ ও তার ব্যাখ্যায় প্লাঙ্কের প্রস্তাবিত অনুমানের ঐতিহাসিক আলোচনা দিয়ে শুরু হয় (প্লাঙ্ক, 1900)।

প্লাঙ্ক এই ধারণা দেন যে শক্তির আদানপ্রদান কেবল বিচ্ছিন্ন পরিমাণে সম্ভব; এই কোয়ান্টাগুলি থেকেই তত্ত্বটির নাম হবে। কিন্তু তাঁর পদ্ধতি বুঝতে পরিসংখ্যানগত পদার্থবিদ্যা জানা দরকার, যা নতুন শিক্ষার্থীর সবসময় জানা থাকে না।

ইয়ংয়ের দুই চিরের পরীক্ষাও চমকপ্রদ। এর কোয়ান্টাম সংস্করণে, যেখানে কণাগুলিকে এক এক করে পাঠানো হয়, এমন আচরণ দেখা যায় যা ধ্রুপদি ধারণায় একেবারেই বোঝা যায় না। তবে লেখকের মতে, কোয়ান্টাম তত্ত্বের নীতিগুলি জানার পরে এই পরীক্ষা বোঝা অনেক সহজ। এক অর্থে, এই একটি পরীক্ষাই তত্ত্বটির কয়েকটি সবচেয়ে অদ্ভুত দিককে একত্র করে।

তাই আমরা অন্যভাবে শুরু করব, স্টার্ন ও গেরলাখের পরীক্ষা (1922) দিয়ে। এর বিষয় আপাতদৃষ্টিতে সহজ এবং ধ্রুপদিভাবে ভালো বোঝা যায় এমন একটি বস্তু: চৌম্বক ভ্রামকবিশিষ্ট কণা। ঐতিহাসিক পরীক্ষায় এই কণাটি একটি রুপোর পরমাণু, আর আপাতত আমাদের কেবল মেনে নিতে হবে যে এমন পরমাণুর সত্যিই চৌম্বক ভ্রামক আছে। তাকে অসমসত্ত্ব চৌম্বক ক্ষেত্রের অঞ্চলে পাঠালে বলবিদ্যা ও তড়িৎচুম্বকত্বের সূত্রগুলি সহজেই তার গতিপথের পূর্বাভাস দেয়।

প্রাপ্ত ফলগুলিও চমকপ্রদ: ধ্রুপদি পূর্বাভাস থেকে সেগুলি আমূল আলাদা। ক্রমশ জটিল পরীক্ষা পরপর সাজালে ধ্রুপদি বর্ণনা ভেঙে পড়ে এবং পর্যায়ক্রমে দেখা দেয় কোয়ান্টায়ন (দেখুন অনুচ্ছেদ 4), কোয়ান্টাম উপরিপাতন (দেখুন অনুচ্ছেদ 7.2), এবং আরেকটি সম্পূর্ণ কোয়ান্টাম ঘটনা যা ইয়ংয়ের চিরগুলি সরাসরি প্রকাশ করে না: কিছু পরিমাপের অসামঞ্জস্য (দেখুন অনুচ্ছেদ 6.1)।

প্রথমে চৌম্বক ভ্রামক কী তা মনে করিয়ে দেব। তারপর পরীক্ষা এবং পরমাণু সাধারণ ছোট চুম্বকের মতো আচরণ করলে কী দেখা যাওয়ার কথা, তা বর্ণনা করব। এরপর প্রকৃত ফলগুলি উপস্থাপন করে তাদের তাৎপর্য আলোচনা করব।

2. ধ্রুপদি চৌম্বক ভ্রামকের পুনরালোচনা

2.1. চৌম্বক ভ্রামক

চৌম্বক ভ্রামক $\vec{\mu}$, বা চৌম্বক দ্বিমেরু, একটি ভেক্টর। প্রাকৃতিক চুম্বকের চৌম্বক ভ্রামক সংজ্ঞা অনুযায়ী তার দক্ষিণ মেরু থেকে উত্তর মেরুর দিকে। চুম্বকের ভিতরে চৌম্বক ক্ষেত্ররেখার দিকও এটি; বাইরে রেখাগুলি উত্তর মেরু থেকে বেরিয়ে দক্ষিণ মেরুতে ফিরে আসে, দেখুন চিত্র 1।

এই ভ্রামকই চুম্বকের তীব্রতা নির্ধারণের মৌলিক রাশি। যেমন, দক্ষিণ মেরু মুখোমুখি রাখা দুই চুম্বকের বিকর্ষণ তাদের চৌম্বক ভ্রামকের গুণফল ও দূরত্বের উপর নির্ভর করে।

কিন্তু আলোচনা এগিয়ে নিতে প্রাকৃতিক চুম্বক খুব সুবিধাজনক নয়, কারণ তার চৌম্বক ক্ষেত্রের উৎস সঙ্গে সঙ্গে স্পষ্ট নয়। তড়িৎচুম্বক, অর্থাৎ তড়িৎপ্রবাহের লুপ, অনেক বেশি সুবিধাজনক। $I$ প্রবাহবাহী একটি সমতল লুপ $S$ ক্ষেত্রফল ঘিরে রাখলে দেখানো যায় যে চৌম্বক ভ্রামক $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$, যেখানে $\vec{n}$ লুপের লম্ব একক ভেক্টর, যার দিক ডান হাতের নিয়মে নির্ধারিত।

এখানে শুধু এই রাশিটিই আমাদের লাগবে। অবশ্য চৌম্বক ভ্রামকের তত্ত্ব আরও সাধারণ। যেকোনো প্রবাহ-বণ্টনের চৌম্বক ভ্রামককে সেই বণ্টনের উপর সমাকল দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়। লুপের সূত্র তার বিশেষ ক্ষেত্র। এই নির্মাণের বিস্তারিত জানতে প্রচলিত পাঠ্যবই দেখুন (যেমন ^[1]-এর অধ্যায় 5)।

2.2. চৌম্বক ক্ষেত্রের সঙ্গে সংযোগ

বাহ্যিক চৌম্বক ক্ষেত্র $\vec B$-তে রাখা চৌম্বক দ্বিমেরুর জন্য ধ্রুপদি বলবিদ্যা তিনটি ধর্ম নির্ণয় করে।

তৃতীয় সূত্রটি $\vec{F} = -\grad E_p$ দিয়ে সরাসরি দ্বিতীয়টি থেকে আসে। এটি দেখায় যে অসমসত্ত্ব ক্ষেত্রে রাখা চৌম্বক ভ্রামকবাহী ব্যবস্থা এমন নিট বল অনুভব করে যা তার গতিপথ বাঁকায়। প্রথম দুটি আসে প্রবাহ-বণ্টনের উপর লাপ্লাস বলের স্পষ্ট হিসাব (বলভ্রামকের জন্য), এবং সেই বলের কাজ (স্থিতিশক্তির জন্য) থেকে। এখানে হিসাবটি পুনরাবৃত্তি করছি না; সম্পূর্ণ প্রমাণের জন্য বিশেষ করে ^[1]-এর 5.2 ও 5.7 অনুচ্ছেদ দেখুন¹।

প্রযুক্তিগত বিবরণের বাইরে বিশেষভাবে এটি মনে রাখুন। সমীকরণ (2)-এর স্থিতিশক্তি $\vec\mu$, $\vec B$-এর সমান্তরাল হলে সর্বনিম্ন, বিপরীত সমান্তরাল হলে সর্বোচ্চ: চৌম্বক দ্বিমেরু সমীকরণ (1)-এর বলভ্রামকের মাধ্যমে ক্ষেত্রের সঙ্গে সারিবদ্ধ হতে চায়। এটাই কম্পাসের কাজের নীতি। তবে শক্তিক্ষয় না থাকলে বলভ্রামক ও কৌণিক ভরবেগের উপপাদ্যের কারণে কম্পাসের কাঁটা উত্তর দিকের চারপাশে অনন্তকাল দুলত। শেষে থেমে যাওয়ার কারণ, ঘূর্ণন অক্ষের ঘর্ষণ এই দোলনের শক্তি ক্ষয় করে।

2.3. জাইরোম্যাগনেটিক অনুপাত ও অয়নচলন

চৌম্বক ভ্রামক দ্বিমেরুর অভ্যন্তরীণ কৌণিক ভরবেগের সমানুপাতিক হলে এই বিবর্তন বিশেষ রূপ নেয়। তখন জাইরোম্যাগনেটিক অনুপাত $\gamma$-কে এই সমানুপাত দিয়ে সংজ্ঞায়িত করি:

সমীকরণ (4)-এর মতো সম্পর্ক দেখা যায়, যেমন বৃত্তাকার কক্ষপথে ধ্রুপদি আধানের চৌম্বক ভ্রামকের ক্ষেত্রে। সত্যিই, $m$ ভরের $q$ আধান $R$ ব্যাসার্ধের বৃত্তে $v$ দ্রুতি নিয়ে চললে তা $I=qv/(2\pi R)$ প্রবাহের সমতুল্য। তাই এটি চৌম্বক ভ্রামক তৈরি করে

এই ধ্রুপদি কক্ষীয় মডেলে $\gamma=q/(2m)$। কৌণিক ভরবেগের উপপাদ্য ও সমীকরণ (1) একত্রে দেয় $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$; তারপর $\gamma$ ধ্রুব হলে পাই অয়নচলনের সমীকরণ:

সুষম ক্ষেত্রে এই সমীকরণের সমাধান দেখায় যে $\vec\mu$ ভেক্টর ক্ষেত্রের দিকের চারপাশে একটি শঙ্কু আঁকে, অর্থাৎ লারমর কৌণিক কম্পাঙ্ক $\omega_L=|\gamma|B$-তে অয়নচলন করে, দেখুন চিত্র 2।

3. স্টার্ন ও গেরলাখের পরীক্ষা

পরীক্ষার নীতি চিত্র 3-তে সংক্ষেপে দেখানো হয়েছে। একটি উৎস থেকে নিরপেক্ষ কণা পাঠানো হয় মুখোমুখি দুই চুম্বকের তৈরি অসমসত্ত্ব চৌম্বক ক্ষেত্রে। আরও দূরের পর্দা আঘাতগুলি সংগ্রহ করে এবং বিচ্যুতি থাকলে তা মাপতে দেয়।

3.1. যন্ত্রব্যবস্থা

চুম্বক।

বাহ্যিক ক্ষেত্র সুষম হলে সমীকরণ (3)-এর বল অভিন্নভাবে শূন্য। সমসত্ত্ব ক্ষেত্রে দ্বিমেরু শুধু বলভ্রামক অনুভব করে, আর তার ভরকেন্দ্র সোজা চলতে থাকে। তাই ক্ষেত্রের অসমসত্ত্বতাই পরীক্ষাটিকে আকর্ষণীয় করে।

এটি তৈরির জন্য স্টার্ন ও গেরলাখ যন্ত্র (যন্ত্রটির প্রচলিত নাম, বা সংক্ষেপে SG) ব্যবহার করে বিশেষভাবে কাটা দুই চুম্বক: একটি তীক্ষ্ণ, অন্যটি বিপরীত খাঁজ বা সামান্য বাঁকা তলবিশিষ্ট, দেখুন চিত্র 3। এই জ্যামিতি ক্ষেত্ররেখাগুলিকে উপরের চুম্বকের তীক্ষ্ণ প্রান্তে কেন্দ্রীভূত করে। ক্ষেত্ররেখা ঘন হওয়ায়, একটি ক্ষেত্রনলীতে চৌম্বক ফ্লাক্সের সংরক্ষণ $\mathrm{div} \vec B = 0$ বলে যে ক্ষেত্র ওই প্রান্তের দিকে, অর্থাৎ এখানে $z$-এর সঙ্গে, বাড়ে।

প্রথম ক্রমে যন্ত্রের ভিতরের ক্ষেত্রকে $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$, যেখানে $k>0$, লিখতে চাই; কিন্তু তা শূন্য ডাইভারজেন্সের শর্ত $\mathrm{div} \vec B = 0$ মানে না। তাই ক্ষেত্রের একটি তির্যক উপাংশও থাকা দরকার। প্রান্তের প্রভাব বাদ দিয়ে এবং $\vec e_x$ বরাবর অপরিবর্তন ধরে পাই:

মাত্রার হিসাবে সাধারণ যন্ত্রে $B_0 \sim 0{,}1$ T, এবং চুম্বকদুটির মধ্যের পুরো উল্লম্ব ফাঁকে $k\Delta z \ll B_0$; ফাঁকটি সাধারণত কয়েক মিলিমিটার। চুম্বকগুলি কয়েক সেন্টিমিটার লম্বা।

উৎস।

এটি শূন্যস্থানে রাখা ছোট চুল্লি, যার ভিতরে কঠিন রুপো আছে। উচ্চ তাপমাত্রায় বাষ্পীভূত পরমাণু একটি ছিদ্র দিয়ে বেরোয়; কয়েকটি সরু চির এমন পরমাণু বেছে নেয় যাদের বেগ প্রায় $\vec e_x$-এর সমান্তরাল। ফলে একটি সমান্তরালিত পরমাণু রশ্মি পাওয়া যায়, যার সাধারণ দ্রুতি সেকেন্ডে কয়েক শ মিটার, এবং দ্রুতি-বিচ্ছুরণ ম্যাক্সওয়েল-বোলৎজমান বণ্টন থেকে আসে।

মনে রাখুন, কেবল চৌম্বক দ্বিমেরুর প্রভাব যাচাই করতেই বৈদ্যুতিকভাবে নিরপেক্ষ কণা পাঠানো হয়। আধানযুক্ত কণা পাঠালে তারা লরেনৎস বল $q\,\vec v\wedge\vec B$-ও অনুভব করত, যার মান $qvB_0$, এবং তা এখানে আমাদের আগ্রহের বল $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$-কে অনেক ছাপিয়ে যেত।

পর্দা।

ঐতিহাসিক পরীক্ষায় রুপোর পরমাণু ধীরে ধীরে পর্দায় জমে শেষ পর্যন্ত দৃশ্যমান দাগ তৈরি করত। আধুনিক পরীক্ষায় প্রবাহ এত কমানো যায় যে আঘাতগুলি এক এক করে নথিবদ্ধ হয়। এই সম্ভাবনা পরে গুরুত্বপূর্ণ হবে, এবং আমরা এতে ফিরব।

3.2. ধ্রুপদি বলবিদ্যার পূর্বাভাস

সমীকরণ (7)-এর ক্ষেত্র অঞ্চলে চৌম্বক ভ্রামক $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$-বিশিষ্ট একটি নিরপেক্ষ কণা পাঠাই। সমীকরণ 3 দেয়

তাই দ্বিমেরু শুধু $z$ নয়, $y$ বরাবরও বিচ্যুত হয়। যে পাঠক আগে অন্য কোথাও স্টার্ন ও গেরলাখের পরীক্ষা দেখেছেন তিনি হয়তো অবাক হবেন, কারণ অনেক পাঠনোট কেবল $z$ অক্ষে কী ঘটে তা বলে। বাস্তবে সমীকরণ (8)-এর দুটি পদ প্রথম বিচারে একই ভূমিকা নেয়।

$y$ অক্ষে যা ঘটে তা উপেক্ষা করতে পারার কারণ অয়নচলন, এবং এখানে একটি গুরুত্বপূর্ণ অনুমান করতে হবে যার যথার্থতা পরে দেখাব। আমরা ধরব পরমাণুর চৌম্বক ভ্রামক তার অভ্যন্তরীণ কৌণিক ভরবেগ $\vec L$-এর সমানুপাতিক।

এই অনুমানে, এবং ধ্রুব ক্ষেত্র $B_0\vec e_z$ সংশোধন $kz\,\vec e_z$ ও $-ky\,\vec e_y$-এর তুলনায় অনেক বড় হওয়ায়, প্রথম ক্রমে চৌম্বক ভ্রামক $\vec e_z$-এর চারপাশে $\omega_p = |\gamma| B_0$ কৌণিক কম্পাঙ্কে অয়নচলন করে; $\gamma$ তার জাইরোম্যাগনেটিক অনুপাত। এই অয়নচলনে $\mu_z$ ধ্রুব থাকে, আর $\mu_y$ শূন্যের চারপাশে দোলে।

এই অয়নচলন দ্রুত। আগের সূত্রগুলি পরমাণু জগতে আপাতভাবে সঠিক মাত্রার হিসাব দেয়। মৌলিক আধান ও ইলেকট্রনের ভর ব্যবহার করলে $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ হয় $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$²। $B_0\approx0{,}1$ T হলে $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ পাই। অন্যদিকে চুম্বকের ভিতর চলার সময় $T=\ell/v_x$; কয়েক সেন্টিমিটার $\ell$ ও $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ হলে প্রায় $10^{-4}$ s। তাই চৌম্বক ভ্রামক অতিক্রমণের সময় কয়েক লক্ষ পাক ঘোরে। ফলে $y$ বরাবর বলের গড় অত্যন্ত ভালো নির্ভুলতায় শূন্য হয়।

এই মডেলে তাই গড়ে একমাত্র প্রাসঙ্গিক বল $\langle F_z\rangle=k\mu_z$। এর সরাসরি অর্থ, পর্দায় চূড়ান্ত বিচ্যুতি $\mu_z$-এর সমানুপাতিক হতে হবে। এখন শুধু প্রাথমিক শর্তগুলি কী তা জানতে হবে। পরমাণু চুল্লি, অর্থাৎ তাপীয় আধার, থেকে বেরোয়, যেখানে স্থানের কোনো দিক প্রাধান্য পায় না। SG-তে ঢোকার সময় তাই চৌম্বক ভ্রামকের দিক এলোমেলো হবে, আর উল্লম্ব উপাংশ $\mu_z$ ধারাবাহিকভাবে $-\mu$ থেকে $+\mu$-এর সব মান সুষম বণ্টনে নেবে।

এখন ধ্রুপদি পূর্বাভাস দ্ব্যর্থহীন: $z$ অক্ষ বরাবর আঘাতের একটি অবিচ্ছিন্ন পটি দেখা উচিত (দ্রুতির বিচ্ছুরণের জন্য ঘনত্ব আবশ্যিকভাবে সুষম নয়)।

4. পরীক্ষালব্ধ ফল

বাস্তবে তা দেখা যায় না। বিচ্যুতি শুধু $z$ বরাবরই ঘটে, যা $y$ বরাবর গড় বল শূন্য হওয়ার সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ, কিন্তু পর্দায় কোনো অবিচ্ছিন্ন পটি থাকে না: প্রাথমিক অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম দুটি দাগ দেখা যায়, যাদের মাঝে ফাঁকা অঞ্চল।

4.1. $\mu_0$ পরিমাপ

দুটি দাগের সঠিক অবস্থান থেকে $\mu_0$-এর মান নির্ণয় করা যায়। চুম্বকের ভিতরে গ্রেডিয়েন্ট $k=\partial B_z/\partial z$ ও অনুদৈর্ঘ্য বেগ $v_x$ প্রায় ধ্রুব ধরে নিলে, $T=\ell/v_x$ সময় ধরে পরমাণুর আড়াআড়ি ত্বরণ হয়

যাকে সহজে সমাকলন করে তারপর গতিপথ সরলরেখায় পর্দা পর্যন্ত বাড়ানো যায়। পরীক্ষার জ্যামিতিক পরামিতিগুলি বিবেচনা করে অটো স্টার্ন ও ভাল্টার গেরলাখ রুপোর পরমাণুর জন্য এর মান মেপেছিলেন এবং পেয়েছিলেন বোর ম্যাগনেটনের মান

এই পরিমাপ আমাদের অনুমান 4-এ ফিরতে সাহায্য করে। তবে এটি সরাসরি $\gamma$ দেয় না, কারণ এটি চৌম্বক ভ্রামক মাপে, তার সঙ্গে যুক্ত কৌণিক ভরবেগ $L$ নয়। আমরা কেবল মানের ক্রম যাচাই করতে পারি: পারমাণবিক কৌণিক ভরবেগের স্বাভাবিক মাপ $\hbar$, এবং $L\sim\hbar$ লিখলে $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$। এভাবে আগের অনুমিত মানের ক্রম এবং $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ ক্রমের অয়নচলনের কৌণিক কম্পাঙ্ক ফিরে পাই, যা $y$ বরাবর বিচ্যুতি না দেখার সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ।

4.2. ধ্রুপদি বলবিদ্যার সমস্যা

পরীক্ষা ধ্রুপদি বলবিদ্যার অপরিচিত একটি ঘটনা প্রকাশ করে: নির্দিষ্ট অক্ষ বরাবর চৌম্বক ভ্রামকের উপাংশ অবিচ্ছিন্নভাবে বদলায় না, বরং কোয়ান্টায়িত।

রুপোর পরমাণুর চৌম্বক ভ্রামক আছে মেনে নিলেও, তাপীয় আধার থেকে আসা যেকোনো প্রাথমিক অভিমুখ কীভাবে ঠিক দুটি রশ্মিগুচ্ছ তৈরি করে তা ব্যাখ্যা করতে হয়। এই ফল ব্যাখ্যা করতে পারে এমন দুটি ধ্রুপদি প্রক্রিয়া পরীক্ষা করি।

চুম্বকের ভিতরের ক্ষেত্র কি ভ্রামকগুলিকে সারিবদ্ধ করতে পারে? শক্তিক্ষয় না থাকলে চৌম্বক বলভ্রামক ক্ষেত্রের সঙ্গে কোণ অক্ষুণ্ণ রেখে দ্বিমেরুর অয়নচলন ঘটায়, তা আমরা দেখেছি। তাই এটি দ্বিমেরুকে $+\vec B$ বা $-\vec B$ কোনোটির সঙ্গেই সারিবদ্ধ করে না। কিন্তু সব শক্তিক্ষয় কি উপেক্ষা করা যায়? তড়িৎচুম্বকীয় তত্ত্ব সত্যিই বলে যে অয়নচলনরত ভ্রামক বিকিরণ করে³। তবে এই শক্তিক্ষয় নগণ্য: ফল প্রকাশের অল্প পরেই আইনস্টাইন তা হিসাব করে অনুমান করেন, শিথিলন ঘটতে এক শতাব্দীরও বেশি সময় লাগবে, যেখানে চুম্বক অতিক্রমের সময় প্রায় $10^{-4}$ s ^[3]। যথেষ্ট দ্রুত হলেও এটি ভ্রামকগুলিকে সর্বনিম্ন শক্তির অভিমুখে, ক্ষেত্রের সমান্তরালে নিয়ে যেত: তখন দুটি নয়, মাত্র একটি দাগ দেখা যেত।

প্রান্তক্ষেত্র কি দুটি দাগের ব্যাখ্যা দিতে পারে? চুম্বকের প্রবেশ ও নির্গমন অঞ্চলে ক্ষেত্রের দিক ও তীব্রতা বদলায় এবং অয়নচলন জটিল করতে পারে। তবে এই প্রভাবগুলি চুম্বকের সুনির্দিষ্ট জ্যামিতি ও সামগ্রিক পরীক্ষাব্যবস্থার উপর নির্ভর করে, তাই পরীক্ষা বদলালে এগুলিও বদলানোর কথা। অথচ দুটি রশ্মিগুচ্ছে বিভাজন এগুলির উপর নির্ভর করে না। তাছাড়া, এই ধ্রুপদি মডেলে বলবিদ্যার সূত্র ও ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ অনুযায়ী বিবর্তন প্রাথমিক অভিমুখের অবিচ্ছিন্ন ফাংশন: প্রাথমিক অভিমুখের ধারাবাহিক সমষ্টিকে এটি কেবল দুটি নির্গমনমানে পরিণত করতে পারে না।

4.3. দৈবতার আবির্ভাব

পরীক্ষার আধুনিক সংস্করণে প্রবাহ এত কমানো যায় যে পরমাণু যন্ত্রের ভিতর দিয়ে এক এক করে যায়। প্রতিটি পরমাণু দুটি দাগের একটিতে একবার আঘাত করে। আঘাত জমতে জমতে দাগগুলি ধীরে ধীরে ফুটে ওঠে।

এই দৈব আচরণ মৌলিক দৈবতার অস্তিত্ব প্রতিষ্ঠার জন্য এখনও যথেষ্ট নয়: পরমাণু চুল্লি থেকে বেরোয় এবং তাদের প্রাথমিক শর্ত এক পরমাণু থেকে অন্যটিতে বদলায়। তাই পূর্বাভাসের অসম্ভবতা এখনও এই শর্তগুলি সম্পর্কে আমাদের অজ্ঞতার ফল হতে পারে। রশ্মিগুচ্ছের প্রস্তুতি আরও ভালোভাবে নিয়ন্ত্রণ করতে পারলে প্রশ্নটি আরও জোরালো হবে।

5. পরপর একাধিক স্টার্ন ও গেরলাখ যন্ত্র

পরপর একাধিক SG যুক্ত করা পরীক্ষা প্রস্তুতি ও সম্ভাবনার ভূমিকা স্পষ্ট করবে, তারপর কিছু পরিমাপের অসামঞ্জস্য প্রকাশ করবে।

5.1. রশ্মিগুচ্ছের প্রস্তুতি

$\mathrm{SG}_z$ যন্ত্রের নির্গমনপথে রশ্মিগুচ্ছ দুটি শাখায় বিভক্ত হয়। ধনাত্মক ফলের শাখাকে $z+$ এবং ঋণাত্মক ফলের শাখাকে $z-$ বলব।

এক শাখায় বাধা বসিয়ে শুধু অন্যটি রাখা যায়। $z-$ অবরুদ্ধ করলে যে পরমাণুগুলি পরীক্ষা চালিয়ে যায় তাদের সবাই প্রথম যন্ত্রে $z+$ ফল দিয়েছে। তাই যন্ত্রটি আর শুধু পরিমাপের জন্য নয়: পরের পরীক্ষার জন্য সুসংজ্ঞায়িত রশ্মিগুচ্ছ প্রস্তুত করতেও ব্যবহৃত হয়।

এভাবে পাওয়া প্রস্তুতিকে $\ket{z+}$ লিখব। এই পর্যায়ে চিহ্নটির অর্থ কেবল “একটি $\mathrm{SG}_z$ বিশ্লেষকের $z+$ শাখা দিয়ে সদ্য বেরিয়ে আসা পরমাণু”। এই চিহ্নের সঙ্গে যুক্ত গাণিতিক গঠন আমরা ক্রমে জানব।

5.2. একই অক্ষে পুনরুৎপাদনযোগ্যতা

প্রথম যন্ত্রের শুধু $z+$ শাখা রেখে তার পরে দ্বিতীয় $\mathrm{SG}_z$ বসাই, দেখুন চিত্র 5। পরীক্ষায় দেখা যায়, দ্বিতীয় যন্ত্র তখন $z+$ শাখায় মাত্র একটি দাগ তৈরি করে। $z-$ শাখা ফাঁকা থাকে।

ধ্রুপদি ছবি এখানে কোনো সমস্যা তৈরি করে না। প্রথম যন্ত্র যদি $\mu_z$-এর একটি মান বেছে নিত বা ভ্রামকগুলিকে $z$ বরাবর সারিবদ্ধ করত, এবং পরে কিছুই তাদের $\mu_z$ উপাংশ বদলাত না, তাহলে দ্বিতীয় যন্ত্র সব নির্বাচিত পরমাণুকে একই বিচ্যুতি দিত। তাই ফলটি সাধারণ বাছাইয়ের ছবির সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

5.3. দুটি ভিন্ন অক্ষ

এবার দ্বিতীয় যন্ত্রের বদলে $\mathrm{SG}_x$ বসাই, যার বিশ্লেষণ অক্ষ প্রথমটির অক্ষের লম্ব, দেখুন চিত্র 6। আবার সমান অনুপাতে দুটি দাগ দেখা যায়।

দুটি ধ্রুপদি ব্যাখ্যা সম্ভব। প্রথম যন্ত্র যদি $\vec\mu$-কে সম্পূর্ণ $z$ বরাবর সারিবদ্ধ করে, তাহলে $\mu_x=0$: দ্বিতীয় যন্ত্রের কেন্দ্রীয় দাগ দেওয়ার কথা। যদি শুধু $\mu_z$-এর ধনাত্মক মানগুলি বেছে নেয়, অন্য উপাংশ নির্ধারণ না করে, তাহলে $\mu_x$ অবিচ্ছিন্নভাবে বণ্টিত থাকে: অবিচ্ছিন্ন পটি দেখার কথা। কোনো ব্যাখ্যাই পর্যবেক্ষিত দুটি দাগের পূর্বাভাস দেয় না।

পরমাণু এক এক করে পাঠানোর প্রসঙ্গে ফিরি। প্রতিটি পরমাণু $x+$ বা $x-$ শাখায় আঘাত করে; অনেক পরমাণুর ক্ষেত্রে দুটি ফল সমান অনুপাতে দেখা দেয়। অথচ $\mathrm{SG}_x$-এ প্রবেশ করা রশ্মিগুচ্ছ সরাসরি চুল্লি থেকে বেরোনো রশ্মির তুলনায় বেশি নিয়ন্ত্রিতভাবে প্রস্তুত: এর সব পরমাণু প্রথম যন্ত্রের $z+$ শাখায় বেছে নেওয়া হয়েছে। যেমন আমরা সদ্য দেখলাম, তাদের $\ket{z+}$ প্রস্তুতি এমনকি $z$ বরাবর নতুন পরিমাপে নিশ্চিত ফলের নিশ্চয়তা দেয়।

তা সত্ত্বেও এই প্রস্তুতি থেকে বলা যায় না $x$ বরাবর পরিমাপে কোন শাখায় আঘাত হবে। তাই চুল্লি থেকে বেরোনোর সময়ের বিশৃঙ্খলার যুক্তিই আর যথেষ্ট নয়: একই প্রস্তুতি একটি পরিমাপ নিশ্চিত করলেও অন্যটি দৈব থাকে। কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় সম্ভাবনার ভূমিকা স্পষ্ট হয়।

6. পরপর তিনটি SG যন্ত্র

6.1. ZXZ: ছাঁকন প্রস্তুতি বদলে দেয়

এখন $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$ ক্রম বিবেচনা করি, দেখুন চিত্র 7। প্রথম যন্ত্রের পরে শুধু $z+$ রাখি। দ্বিতীয়টির পরে শুধু $x+$ রাখি। শেষে এই নতুন রশ্মিগুচ্ছকে $z$ বরাবর বিশ্লেষণ করি।

ধ্রুপদি দৃষ্টিতে, চৌম্বক ভ্রামক SG অক্ষ বরাবর সম্পূর্ণ সারিবদ্ধ হওয়ার অনুমান ইতিমধ্যেই বাতিল হয়েছে, কারণ এতে দ্বিতীয় যন্ত্রে কেন্দ্রীয় দাগ হওয়ার কথা, ফলে বেছে নেওয়ার মতো $x+$ শাখাই থাকবে না। তাই সাধারণ বাছাইয়ের ছবি রাখলে প্রথম যন্ত্র $\mu_z$-এর ধনাত্মক মান বেছে নেয়, তারপর দ্বিতীয়টি $\mu_z$ না বদলে $\mu_x$ অনুযায়ী পরমাণু বাছাই করে। তৃতীয় যন্ত্রের তখন কেবল $z+$ শাখাই পাওয়ার কথা। অথচ $z-$ শাখা ফিরে আসে।

তাই $x$ বরাবর ছাঁকন প্রস্তুতি বদলে দিয়েছে। $x+$ বেছে নেওয়ার পরে আগের $z+$ ফল থেকে নতুন $z$ পরিমাপ আর নিশ্চিতভাবে বলা যায় না। মনে হয় দ্বিতীয় যন্ত্র অবস্থাটিকেই বদলে দিয়েছে।

একে কখনও সংক্ষেপে বলা হয় “$x$ মাপা $z$-এর তথ্য নষ্ট করে”। কথাটি কাজে লাগে, তবে মনে রাখতে হবে এখানে কিছুই পরীক্ষক কী জানেন বা কী দেখেন তার উপর নির্ভর করে না। $x+$ ছাঁকনি ভৌতভাবে নতুন অবস্থা $\ket{x+}$ প্রস্তুত করেছে, এবং এই অবস্থা $z+$ ও $z-$ দুটি ফল সমান সম্ভাবনায় দেয়।

6.2. ZYZ: একই সম্ভাবনা, অন্য প্রস্তুতি

শেষে মাঝের $x$ বিশ্লেষকের বদলে $y$ বিশ্লেষক বসাই, এবারও শুধু তার ধনাত্মক শাখা রাখি। $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ ক্রমের শেষ পরিমাপে আবার সমসম্ভাব্য দুটি ফল আসে। এই ফল $z$-এর লম্ব যেকোনো মধ্যবর্তী অক্ষের জন্য প্রযোজ্য: $(x,y)$ সমতলের $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ দিকের $u+$ শাখা নির্বাচন করলেও শেষ $z$ পরিমাপে সমসম্ভাব্য দুটি ফল আসে।

তবে এর মানে এই নয় যে $\ket{x+}$, $\ket{y+}$ বা $\ket{u+}$ প্রস্তুতিগুলি সব অভিন্ন। $x$ বরাবর বিশ্লেষণ তাদের আলাদা করবে: প্রথমটির জন্য নিশ্চিত $x+$, দ্বিতীয়টির জন্য সমান অনুপাতে $x+$ বা $x-$ দেবে; আর পরীক্ষায় দেখা যায় তৃতীয়টির দুটি ফলের সম্ভাবনা $\varphi$-এর উপর নির্ভর করে। তাই দুটি প্রস্তুতি এক পরিমাপে একই সম্ভাবনা দিলেও ভৌতভাবে আলাদা হতে পারে।

7. যে গাণিতিক কাঠামো ফুটে উঠছে

শুধু এই পরীক্ষাগুলি থেকে সমগ্র কোয়ান্টাম কাঠামো উদ্ভাবনের দাবি আমরা করব না। তবে ধ্রুপদি বর্ণনার ব্যর্থতা আমাদের শব্দচয়ন পুনর্বিবেচনা করতে বাধ্য করে এবং অবস্থাকে প্রকাশের নতুন পথ নির্দেশ করে।

7.1. অবস্থা মানের তালিকা নয়

$\ket{z+}$ প্রস্তুতিকে “$\mu_z=+\mu_0$, সঙ্গে অজানা কিন্তু আগে থেকেই নির্দিষ্ট $\mu_x$ ও $\mu_y$-এর মান” এই তথ্যে নামিয়ে আনা যায় না, যা যন্ত্র শুধু প্রকাশ করবে। এই সাধারণ বাছাইয়ের ছবিতে $Z\!X\!Z$ ক্রমে $100\,\%$ ক্ষেত্রে $z+$ ফিরে আসত, কিন্তু তা হয় না। তাহলে আগে থেকেই থাকা মানের তালিকা দিয়ে না হলে অবস্থা কীভাবে প্রকাশ করব?

7.2. কোয়ান্টাম উপরিপাতনের দিকে

কোয়ান্টাম গাণিতিক কাঠামোর প্রধান নতুনত্ব হল, পরিমাপের ফলের সম্ভাবনা গণনার তথ্য অবস্থার মধ্যেই থাকে।

$\ket{x+}$ প্রস্তুতি $x$ বরাবর নিশ্চিত ফল দেয়, কিন্তু $z$ বরাবর সমসম্ভাব্য দুটি ফল দেয়। এই পরিস্থিতি বর্ণনা করতে কোয়ান্টাম কাঠামো $\ket{x+}$-কে $\ket{z+}$ ও $\ket{z-}$ অবস্থার উপরিপাতন হিসেবে প্রকাশ করে:

সহগগুলি (এখানে প্রতিটি পদের সামনে $1/\sqrt{2}$) বিস্তার নামে পরিচিত: তাদের মডুলাসের বর্গ $z$ বরাবর ফলের সম্ভাবনা দেয়, এখানে প্রতিটির জন্য $1/2$। $\ket{x+}$-এ প্রস্তুত সব পরমাণুর একই অবস্থা, যা এই রৈখিক সমন্বয়ে প্রকাশ করা হয়। এটি কোনো পরিসংখ্যানগত মিশ্রণ নয়, যাতে কিছু পরমাণু $\ket{z+}$-এ আর বাকিরা $\ket{z-}$-এ আছে।

কেবল এখানে দেখানো ফলগুলি থেকে এই গঠন সম্পূর্ণ নির্ণয় করা যায় না। পরের পাঠে দেখানো ব্যতিচার পরীক্ষাগুলি এর আরও সমর্থন দেবে। শেষ পর্যন্ত একে স্বীকার্য হিসেবে গ্রহণ করতে হবে।

7.3. জটিল ভেক্টর স্থান

ZYZ ও আরও সাধারণভাবে ZUZ বিন্যাসগুলি এই প্রশ্ন তোলে: $\ket{y+}$ বা $\ket{u+}$ প্রস্তুতিও $z$ বরাবর $50/50$ দেয়, কিন্তু $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$ হলে $\ket{x+}$ থেকে আলাদা। তাই $\ket{z+},\ket{z-}$ ভিত্তিতে তাদের দুটি বিস্তারের মডুলাস $1/\sqrt2$ হতে হবে। বিস্তার বাস্তব হলে কেবল $\pm1/\sqrt2$-এর চারটি চিহ্ন-নির্বাচন থাকত: এই সসীম সংখ্যক সম্ভাবনা $\ket{u+}$ প্রস্তুতির অবিচ্ছিন্ন বৈচিত্র্য প্রকাশের জন্য যথেষ্ট হত না।

তাই কোয়ান্টাম কাঠামো জটিল বিস্তার ব্যবহার করে, যাদের মডুলাস না বদলিয়েও দশা বদলানো যায়। যেমন, আমরা লিখব:

এবং আরও সাধারণভাবে যেকোনো $\varphi$ কোণের জন্য $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$। অবস্থাগুলি তখন আলাদা, কিন্তু $z$ বরাবর সম্ভাবনা সবসময় $1/2$। এই রৈখিক সমন্বয়গুলিকে গুরুত্ব দিলে অবস্থাগুলিকে বিমূর্ত জটিল ভেক্টর স্থানের ভেক্টর দিয়ে প্রকাশ করতে হয়। “বিমূর্ত” কথাটি মনে করায় যে সহগগুলি সম্ভাবনা বিস্তার, ধ্রুপদি চৌম্বক ভ্রামকের স্থানিক উপাংশ নয়। আরও সাধারণভাবে অবস্থার প্রস্তুতি লেখা যায়

বিস্তার এবং তারপর তার মডুলাসের বর্গ পেতে অবস্থাটিকে সম্ভাব্য ফলের সঙ্গে যুক্ত অবস্থাগুলিতে অভিক্ষেপ করতে হবে। এই উপাংশগুলি পাওয়ার সহজতম উপায় হবে অন্তর্গুণন ব্যবহার করা। তা একটি নর্মও সংজ্ঞায়িত করবে, যেখানে এখানে

তাই নর্মের বর্গ সম্ভাব্য ফলগুলির সম্ভাবনার যোগফলের সমান: এই যোগফল এক হতে হবে, এবং অবস্থাকে একক নর্মের ভেক্টর দিয়ে প্রকাশ করা হবে।

যে গাণিতিক কাঠামো ফুটে উঠছে, তাতে অবস্থা হবে জটিল হিলবার্ট স্থানের ভেক্টর, অর্থাৎ এমন স্থান যাতে সম্ভাবনা গণনার উপযোগী অন্তর্গুণন আছে। এর রৈখিক গঠন বিস্তার যোগ করতে দেয় এবং কোয়ান্টাম উপরিপাতনের নীতি প্রকাশ করে। বিষয় 2-এ এসব বিস্তারিত পড়া হবে।

8. আরও জানার জন্য

এই পরীক্ষাগুলির এক শতাব্দী পরে আমরা স্পষ্ট করতে পারি এগুলি আসলে কী মাপে। স্টার্ন ও গেরলাখের পরে ধীরে ধীরে বোঝা গেছে, রুপোর পরমাণুতে মাপা চৌম্বক ভ্রামক মূলত একটি অযুগ্ম ইলেকট্রনের স্পিনের সঙ্গে যুক্ত। এই স্পিন অন্তর্নিহিত কৌণিক ভরবেগ, ইলেকট্রনের কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ থেকে পৃথক। ইলেকট্রন $1/2$ স্পিনের কণা: কোনো অক্ষে তার স্পিনের অভিক্ষেপ মাপলে দুটি সম্ভাব্য মান মেলে, $S_z=\pm\hbar/2$।

এই স্পিন কৌণিক ভরবেগের সঙ্গে স্পিনের সমানুপাতিক একটি চৌম্বক ভ্রামক যুক্ত:

যেখানে $e$ মৌলিক আধানের ধনাত্মক মান, আর $\gamma_s$ ইলেকট্রনের জাইরোম্যাগনেটিক অনুপাত। ঋণচিহ্ন ইলেকট্রনের ঋণাত্মক আধানের জন্য: তার চৌম্বক ভ্রামক স্পিনের বিপরীত দিকে। তাই এর উপাংশের দুটি পরিমাপযোগ্য মান $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$, যেখানে $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$। স্পিন ও চৌম্বক ভ্রামক দুটি পৃথক রাশি, যারা পরস্পর সমানুপাতিক।

পরমাণুতে ইলেকট্রনের কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগও বিবেচনা করতে হয়, যার সঙ্গে আরেকটি চৌম্বক ভ্রামক যুক্ত। হাইড্রোজেন সহজ উদাহরণ: তার একমাত্র ইলেকট্রনের স্পিন এবং কক্ষীয় অবস্থা দুটোই আছে। $1s$ ভূমিস্তরে কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ শূন্য; তাই পরমাণুর চৌম্বক ভ্রামকে ইলেকট্রনের অবদান স্পিন থেকে আসে। হাইড্রোজেনে স্টার্ন ও গেরলাখের পরীক্ষা ফিপস ও টেলর 1927 সালে করেন।

রুপোর পরমাণুতে আরও বেশি ইলেকট্রন আছে, কিন্তু তার ইলেকট্রন বিন্যাস $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$ পরিস্থিতিকে একই নীতিতে নিয়ে আসে। দেখানো যায় যে পূর্ণ খোলে কক্ষীয় ও স্পিন অবদানগুলি পরস্পরকে বাতিল করে। তখন অবশিষ্ট থাকে $5s$ ইলেকট্রন, যার কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ ভূমিস্তরে শূন্য এবং স্পিন $1/2$। তাই এই ইলেকট্রনের স্পিন চৌম্বক ভ্রামকই ঐতিহাসিক পরীক্ষায় প্রকাশ পেয়েছিল।

9. তথ্যসূত্র