Allgemeine Einführung und grundlegende Experimente

1. Einleitung

Irgendwo muss man beginnen. Viele Darstellungen der Quantenmechanik beginnen mit dem Youngschen Doppelspaltexperiment oder mit der historischen Untersuchung der Schwarzkörperstrahlung und der Hypothese, die Planck zu ihrer Erklärung einführte (Planck, 1900).

Planck führte die Vorstellung ein, dass Energie nur in diskreten Mengen ausgetauscht werden kann: den Quanten, denen die Theorie ihren Namen verdankt. Um seinen Ansatz zu verstehen, benötigt man jedoch Kenntnisse der statistischen Physik, die Studienanfänger nicht immer mitbringen.

Das Youngsche Doppelspaltexperiment wiederum ist spektakulär. In seiner Quantenversion mit einzeln ausgesandten Teilchen offenbart es Verhaltensweisen, die klassisch schlicht unverständlich sind. Nach Ansicht des Autors lässt sich dieses Experiment jedoch wesentlich leichter im Nachhinein verstehen, wenn die Grundsätze der Quantentheorie bereits bekannt sind. Gewissermaßen vereint es mehrere der merkwürdigsten Aspekte der Theorie.

Wir beginnen daher anders, mit dem Experiment von Stern und Gerlach (1922). Es betrifft ein scheinbar einfaches, klassisch gut verstandenes Objekt: ein Teilchen mit einem magnetischen Moment. Im historischen Experiment ist dieses Teilchen ein Silberatom; vorübergehend müssen wir nur zugestehen, dass ein solches Atom tatsächlich ein magnetisches Moment besitzt. Schickt man es in einen Bereich mit inhomogenem Magnetfeld, sagen die Gesetze der Mechanik und des Elektromagnetismus seine Bahn leicht voraus.

Auch die Ergebnisse sind spektakulär: Sie unterscheiden sich grundlegend von den klassischen Vorhersagen. Bei einer Folge zunehmend aufwendiger Experimente bricht die klassische Beschreibung zusammen. Nacheinander treten Quantisierung (siehe Abschnitt 4), Quantensuperposition (siehe Abschnitt 7.2) und ein weiteres rein quantenmechanisches Phänomen hervor, das der Youngsche Doppelspalt nicht unmittelbar zeigt: die Unverträglichkeit bestimmter Messungen (siehe Abschnitt 6.1).

Zunächst erinnern wir daran, was ein magnetisches Moment ist. Anschließend beschreiben wir das Experiment und die Beobachtungen, die zu erwarten wären, wenn sich das Atom wie ein gewöhnlicher kleiner Magnet verhielte. Danach stellen wir die tatsächlichen Ergebnisse vor und diskutieren ihre Bedeutung.

2. Rückblick auf das klassische magnetische Moment

2.1. Das magnetische Moment

Ein magnetisches Moment $\vec{\mu}$, auch magnetischer Dipol genannt, ist ein Vektor. Ein natürlicher Magnet besitzt ein magnetisches Moment, das definitionsgemäß vom Südpol zum Nordpol des Magneten zeigt. Dies ist auch die Richtung der Magnetfeldlinien im Inneren des Magneten; außerhalb treten sie am Nordpol aus und kehren zum Südpol zurück, siehe Abbildung 1.

Dieses Moment ist die grundlegende Größe zur Quantifizierung der Stärke eines Magneten. Beispielsweise hängt die Abstoßung zweier mit ihren Südpolen einander zugewandter Magnete vom Produkt ihrer magnetischen Momente und vom Abstand ab.

Natürliche Magnete eignen sich allerdings wenig für die weitere Diskussion, weil nicht unmittelbar ersichtlich ist, was ihr Magnetfeld erzeugt. Zweckmäßiger sind Elektromagnete, also Stromschleifen. Für eine ebene Schleife, die einen Strom der Stärke $I$ führt und eine Fläche $S$ umschließt, lässt sich zeigen, dass ihr magnetisches Moment $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$ beträgt. Dabei ist $\vec{n}$ der zur Schleife senkrechte Einheitsvektor, dessen Orientierung die Rechte-Hand-Regel festlegt.

Dies ist der einzige Ausdruck, den wir hier benötigen. Die Theorie magnetischer Momente ist natürlich allgemeiner. Sie definiert das magnetische Moment einer beliebigen Stromverteilung durch ein Integral über diese Verteilung. Die Formel für die Schleife ist ein Spezialfall. Weitere Einzelheiten zu dieser Konstruktion finden sich in den üblichen Lehrbüchern, beispielsweise in Kapitel 5 von ^[1].

2.2. Kopplung an das Magnetfeld

Die klassische Mechanik leitet drei Eigenschaften eines magnetischen Dipols in einem äußeren Magnetfeld $\vec B$ her.

Die dritte Formel folgt unmittelbar aus der zweiten über $\vec{F} = -\grad E_p$. Sie zeigt, dass ein System mit magnetischem Moment in einem inhomogenen Feld eine resultierende Kraft erfährt, die seine Bahn ablenkt. Die ersten beiden ergeben sich aus einer expliziten Berechnung der auf die Stromverteilung wirkenden Laplace-Kraft (für das Drehmoment) und ihrer Arbeit (für die potenzielle Energie). Wir führen diese Rechnung hier nicht aus und verweisen insbesondere auf die Abschnitte 5.2 und 5.7 von ^[1]1.

Abgesehen von technischen Einzelheiten ist vor allem Folgendes festzuhalten. Die potenzielle Energie in Gl. (2) ist minimal, wenn $\vec\mu$ parallel zu $\vec B$ liegt, und maximal bei antiparalleler Orientierung: Ein magnetischer Dipol neigt durch das Drehmoment aus Gl. (1) dazu, sich am Feld auszurichten. Darauf beruht der Kompass. Ohne Dissipation würde die Kompassnadel allerdings aufgrund des Drehmoments und des Drehimpulssatzes unbegrenzt um die Nordrichtung schwingen. Dass sie schließlich zur Ruhe kommt, liegt daran, dass Reibung an ihrer Drehachse die Schwingungsenergie dissipiert.

2.3. Gyromagnetisches Verhältnis und Präzession

Diese Entwicklung nimmt eine besondere Form an, wenn das magnetische Moment proportional zu einem inneren Drehimpuls des Dipols ist. Dann führen wir das gyromagnetische Verhältnis $\gamma$ durch die Proportionalität ein:

Eine Beziehung wie Gl. (4) tritt beispielsweise beim magnetischen Moment einer klassischen Ladung auf einer Kreisbahn auf. Eine Ladung $q$ der Masse $m$, die mit der Geschwindigkeit $v$ einen Kreis mit Radius $R$ beschreibt, entspricht nämlich einem Strom $I=qv/(2\pi R)$. Sie erzeugt daher das magnetische Moment

In diesem klassischen Bahnmodell gilt $\gamma=q/(2m)$. Drehimpulssatz und Gl. (1) ergeben zusammen $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$ und daraus, falls $\gamma$ konstant ist, die Präzessionsgleichung:

In einem homogenen Feld zeigt die Lösung dieser Gleichung, dass der Vektor $\vec\mu$ einen Kegel um die Feldrichtung beschreibt, also mit der Larmor-Kreisfrequenz $\omega_L=|\gamma|B$ präzediert, siehe Abbildung 2.

3. Das Experiment von Stern und Gerlach

Das Prinzip des Experiments fasst Abbildung 3 zusammen. Neutrale Teilchen werden von einer Quelle in ein inhomogenes Magnetfeld geschickt, das zwei einander gegenüberliegende Magnete erzeugen. Ein weiter hinten aufgestellter Schirm registriert die Auftreffpunkte und ermöglicht es, eine etwaige Ablenkung zu messen.

3.1. Der Aufbau

Die Magnete.

Die Kraft aus Gl. (3) verschwindet identisch, wenn das äußere Feld homogen ist. Ein Dipol in einem homogenen Feld erfährt nur ein Drehmoment, sein Schwerpunkt bewegt sich weiter geradeaus. Erst die Inhomogenität des Feldes macht das Experiment interessant.

Um sie zu erzeugen, verwendet ein Stern-Gerlach-Apparat (auch kurz SG genannt) zwei geformte Magnete: einen mit einer Spitze, den anderen mit einer umgekehrten Spitze oder einer leicht gekrümmten Grundfläche, siehe Abbildung 3. Diese Geometrie konzentriert die Feldlinien an der spitzen Kante des oberen Magneten. Weil die Feldlinien zusammenrücken, folgt aus der Erhaltung des magnetischen Flusses $\mathrm{div} \vec B = 0$ in einer Feldröhre, dass das Feld zu dieser Kante hin zunimmt, hier also mit $z$.

In erster Ordnung möchte man das Feld im Apparat als $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ mit $k>0$ schreiben; dies erfüllt jedoch die Bedingung verschwindender Divergenz $\mathrm{div} \vec B = 0$ nicht. Das Feld muss deshalb auch eine transversale Komponente besitzen. Vernachlässigt man Randeffekte und nimmt Invarianz entlang $\vec e_x$ an, erhält man:

Größenordnungsmäßig gilt für übliche Apparate $B_0 \sim 0{,}1$ T und $k\Delta z \ll B_0$ über den gesamten vertikalen Magnetabstand, der typischerweise einige Millimeter beträgt. Die Magnete sind einige Zentimeter lang.

Die Quelle.

Sie besteht aus einem kleinen Ofen im Vakuum, der festes Silber enthält. Bei hoher Temperatur verlassen verdampfte Atome den Ofen durch eine Öffnung. Mehrere schmale Spalte wählen diejenigen aus, deren Geschwindigkeit nahezu parallel zu $\vec e_x$ liegt. So entsteht ein kollimierter Atomstrahl mit einer typischen Geschwindigkeit von einigen hundert Metern pro Sekunde und der von der Maxwell-Boltzmann-Verteilung stammenden Streuung.

Man verwendet elektrisch neutrale Teilchen, um ausschließlich magnetische Dipoleffekte zu untersuchen. Geladene Teilchen würden zusätzlich die Lorentzkraft $q\,\vec v\wedge\vec B$ vom Betrag $qvB_0$ erfahren, die die hier interessierende Kraft $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ bei Weitem überwiegen würde.

Der Schirm.

Im historischen Experiment lagerten sich Silberatome allmählich auf dem Schirm ab und bildeten schließlich eine sichtbare Spur. In einem modernen Experiment lässt sich der Fluss so weit reduzieren, dass die Treffer einzeln registriert werden. Diese Möglichkeit wird später wichtig; wir kommen darauf zurück.

3.2. Vorhersage der klassischen Mechanik

Schicken wir ein neutrales Teilchen mit magnetischem Moment $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$ in den Feldbereich aus Gl. (7). Gleichung 3 ergibt

Der Dipol wird also nicht nur entlang $z$, sondern auch entlang $y$ abgelenkt. Wer das Stern-Gerlach-Experiment bereits aus anderen Darstellungen kennt, ist darüber vielleicht überrascht, da viele Skripte ausschließlich das Geschehen entlang der $z$-Achse behandeln. Tatsächlich spielen die beiden Terme in Gl. (8) zunächst dieselbe Rolle.

Dass wir das Geschehen entlang der $y$-Achse vernachlässigen können, liegt an der Präzession. Hier müssen wir eine entscheidende Annahme treffen, die wir nachträglich begründen werden: Das magnetische Moment des Atoms sei proportional zu einem von ihm getragenen inneren Drehimpuls $\vec L$.

Unter dieser Annahme und weil das konstante Feld $B_0\vec e_z$ die Korrekturen $kz\,\vec e_z$ und $-ky\,\vec e_y$ bei Weitem überwiegt, präzediert das magnetische Moment in erster Ordnung um $\vec e_z$ mit der Kreisfrequenz $\omega_p = |\gamma| B_0$, wobei $\gamma$ sein gyromagnetisches Verhältnis ist. Während dieser Präzession bleibt $\mu_z$ daher konstant, während $\mu_y$ um null oszilliert.

Diese Präzession ist schnell. Die obigen Formeln liefern Größenordnungen, die auf atomarer Skala zunächst plausibel sind. Mit Elementarladung und Elektronenmasse wird aus $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ der Wert $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$². Für $B_0\approx0{,}1$ T erhält man $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Die Flugzeit im Magneten beträgt dagegen $T=\ell/v_x$, also etwa $10^{-4}$ s für eine Länge $\ell$ von einigen Zentimetern und $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Während des Durchflugs vollführt das magnetische Moment somit einige hunderttausend Umdrehungen. Die Kraft entlang $y$ mittelt sich daher mit hervorragender Genauigkeit zu null.

In diesem Modell ist im Mittel also nur die Kraft $\langle F_z\rangle=k\mu_z$ relevant. Daraus folgt unmittelbar, dass die endgültige Ablenkung auf dem Schirm proportional zu $\mu_z$ sein muss. Nun sind nur noch die Anfangsbedingungen zu bestimmen. Die Atome stammen aus einem Ofen, also einem Wärmebad, in dem keine Raumrichtung bevorzugt ist. Beim Eintritt in den SG-Apparat müssen ihre magnetischen Momente daher zufällig orientiert sein und ihre vertikale Komponente $\mu_z$ mit gleichförmiger Verteilung kontinuierlich sämtliche Werte zwischen $-\mu$ und $+\mu$ annehmen.

Die klassische Vorhersage ist damit eindeutig: Entlang der $z$-Achse muss ein kontinuierliches Band von Auftreffpunkten erscheinen, das wegen der Geschwindigkeitsstreuung allerdings nicht unbedingt gleichmäßig ist.

4. Die experimentellen Ergebnisse

Das wird jedoch nicht beobachtet. Die Ablenkung erfolgt zwar nur entlang $z$, was mit dem Verschwinden der mittleren Kraft entlang $y$ vereinbar ist, doch auf dem Schirm erscheint kein kontinuierliches Band: Man sieht zwei Flecken, symmetrisch zur ursprünglichen Achse und durch einen leeren Bereich getrennt.

4.1. Die Messung von $\mu_0$

Aus der genauen Lage der beiden Flecken lässt sich $\mu_0$ abschätzen. Nimmt man an, dass der Gradient $k=\partial B_z/\partial z$ und die longitudinale Geschwindigkeit $v_x$ im Magneten näherungsweise konstant sind, erfährt das Atom die transversale Beschleunigung

während der Zeit $T=\ell/v_x$. Diese lässt sich elementar integrieren; anschließend setzt man die Bahn geradlinig bis zum Schirm fort. Unter Berücksichtigung der geometrischen Parameter des Experiments konnten Otto Stern und Walther Gerlach so den Wert für Silberatome messen. Sie fanden den Wert des Bohrschen Magnetons

Diese Messung erlaubt es, auf die Annahme 4 zurückzukommen. Sie liefert jedoch nicht unmittelbar $\gamma$, da sie das magnetische Moment und nicht den damit verbundenen Drehimpuls $L$ betrifft. Man kann nur eine Größenordnung überprüfen: Die natürliche Skala eines atomaren Drehimpulses ist $\hbar$, und mit $L\sim\hbar$ folgt $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$. Damit erhält man die oben angenommene Größenordnung und eine Präzessionskreisfrequenz der Größenordnung $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, im Einklang mit der beobachteten fehlenden Ablenkung entlang $y$.

4.2. Das Problem für die klassische Mechanik

Das Experiment zeigt ein der klassischen Mechanik fremdes Phänomen: Die Komponente eines magnetischen Moments entlang einer gegebenen Achse variiert nicht kontinuierlich, sondern ist quantisiert.

Selbst wenn man dem Silberatom ein magnetisches Moment zugesteht, bleibt zu erklären, wie beliebige Anfangsorientierungen aus einem Wärmebad zu genau zwei Strahlen führen. Untersuchen wir zwei klassische Mechanismen, die dieses Ergebnis erklären könnten.

Könnte das Feld im Magneten die Momente ausrichten? Ohne Dissipation lässt das magnetische Drehmoment den Dipol, wie wir gesehen haben, unter Beibehaltung seines Winkels zum Feld präzedieren. Es richtet ihn daher weder entlang $+\vec B$ noch entlang $-\vec B$ aus. Darf man aber jede Dissipation vernachlässigen? Die elektromagnetische Theorie sagt tatsächlich voraus, dass ein präzedierendes Moment strahlt³. Diese Dissipation ist jedoch vernachlässigbar: Kurz nach Veröffentlichung der Ergebnisse berechnete Einstein sie und schätzte, dass die Relaxation über ein Jahrhundert dauern würde, gegenüber etwa $10^{-4}$ s Durchflugzeit im Magneten ^[3]. Selbst wenn sie schnell genug wäre, würde sie die Momente in die Orientierung niedrigster Energie bringen, parallel zum Feld: Man sähe dann nur einen Fleck statt zweier.

Könnten die Randfelder die beiden Flecken erklären? Am Ein- und Ausgang des Magneten ändern sich Richtung und Stärke des Feldes und können die Präzession komplizierter machen. Diese Effekte hängen allerdings von der genauen Geometrie der Magnete und des Experiments insgesamt ab und müssten daher von Experiment zu Experiment variieren. Die Aufspaltung in zwei Strahlen hängt jedoch nicht davon ab. Außerdem ist die Entwicklung nach den Gesetzen der Mechanik und den Maxwell-Gleichungen in diesem klassischen Modell eine stetige Funktion der Anfangsorientierung: Sie kann das Kontinuum der Anfangsorientierungen nicht in lediglich zwei Ausgangswerte verwandeln.

4.3. Das Auftreten des Zufalls

In einer modernen Variante des Experiments lässt sich der Fluss so weit verringern, dass die Atome den Apparat einzeln durchqueren. Jedes Atom erzeugt genau einen Treffer in einem der beiden Flecken. Diese bilden sich allmählich heraus, wenn sich die Treffer ansammeln.

Dieser Zufallscharakter belegt noch keinen fundamentalen Zufall: Die Atome stammen aus einem Ofen, und ihre Anfangsbedingungen variieren von Atom zu Atom. Die Unvorhersagbarkeit könnte daher weiterhin unserer Unkenntnis dieser Bedingungen zugeschrieben werden. Die Frage wird dringlicher, sobald wir die Präparation des Strahls besser kontrollieren.

5. Mehrere Stern-Gerlach-Apparate hintereinander

Experimente mit mehreren hintereinandergeschalteten SG-Apparaten werden die Rolle der Präparation und der Wahrscheinlichkeiten verdeutlichen und dann die Unverträglichkeit bestimmter Messungen zeigen.

5.1. Präparation eines Strahls

Am Ausgang eines $\mathrm{SG}_z$-Apparats teilt sich der Strahl in zwei Kanäle. Den Kanal des positiven Ergebnisses bezeichnen wir mit $z+$, den des negativen Ergebnisses mit $z-$.

Man kann einen Kanal durch ein Hindernis blockieren und nur den anderen beibehalten. Blockiert man $z-$, haben alle Atome, die das Experiment fortsetzen, im ersten Apparat das Ergebnis $z+$ geliefert. Der Aufbau dient also nicht mehr nur zum Messen, sondern auch dazu, einen wohldefinierten Strahl für das nächste Experiment zu präparieren.

Die so erhaltene Präparation bezeichnen wir mit $\ket{z+}$. Diese Schreibweise bedeutet vorerst einfach „ein Atom, das gerade den $z+$-Kanal eines $\mathrm{SG}_z$-Analysators verlassen hat“. Die zu diesem Symbol gehörende mathematische Struktur werden wir schrittweise kennenlernen.

5.2. Reproduzierbarkeit entlang derselben Achse

Stellen wir einen zweiten $\mathrm{SG}_z$ hinter den ersten und behalten nur dessen $z+$-Kanal bei, siehe Abbildung 5. Experimentell beobachtet man, dass der zweite Apparat dann nur einen Fleck im $z+$-Kanal erzeugt. Der $z-$-Kanal ist leer.

Das klassische Bild bereitet hier keine Schwierigkeiten. Würde der erste Apparat einen Wert von $\mu_z$ auswählen oder die Momente entlang $z$ ausrichten und würde anschließend nichts ihre Komponente $\mu_z$ ändern, müsste der zweite Apparat für alle ausgewählten Atome dieselbe Ablenkung liefern. Dieses Ergebnis ist daher mit dem Bild einer bloßen Sortierung vereinbar.

5.3. Zwei verschiedene Achsen

Ersetzen wir nun den zweiten Apparat durch einen $\mathrm{SG}_x$, dessen Analyseachse senkrecht zu der des ersten steht, siehe Abbildung 6. Wieder beobachtet man zwei Flecken mit gleichen Anteilen.

Zwei klassische Deutungen sind möglich. Hat der erste Apparat $\vec\mu$ vollständig entlang $z$ ausgerichtet, gilt $\mu_x=0$: Der zweite müsste einen zentralen Fleck erzeugen. Hat er lediglich positive Werte von $\mu_z$ ausgewählt, ohne die übrigen Komponenten festzulegen, bleibt $\mu_x$ kontinuierlich verteilt: Man müsste ein kontinuierliches Band beobachten. Keine der beiden Deutungen sagt die beobachteten zwei Flecken voraus.

Kehren wir zu einzeln ausgesandten Atomen zurück. Jedes Atom erzeugt einen Treffer im $x+$- oder im $x-$-Kanal; bei vielen Atomen treten beide Ergebnisse zu gleichen Anteilen auf. Der in $\mathrm{SG}_x$ eintretende Strahl ist jedoch besser kontrolliert präpariert als der direkt aus dem Ofen kommende Strahl: Alle seine Atome wurden im $z+$-Kanal des ersten Apparats ausgewählt. Ihre Präparation $\ket{z+}$ garantiert sogar, wie wir gerade gesehen haben, ein sicheres Ergebnis bei einer erneuten Messung entlang $z$.

Dennoch lässt sich mit dieser Präparation nicht vorhersagen, in welchem Kanal der Treffer bei der Messung entlang $x$ auftritt. Der bloße Hinweis auf Unordnung am Ofenausgang genügt also nicht mehr: Dieselbe Präparation macht eine Messung sicher, lässt die andere aber zufällig. Die Rolle der Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik wird deutlicher.

6. Drei SG-Apparate hintereinander

6.1. ZXZ: Die Filterung verändert die Präparation

Betrachten wir nun die Folge $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$, siehe Abbildung 7. Nach dem ersten Apparat behalten wir nur $z+$, nach dem zweiten nur $x+$. Schließlich analysieren wir diesen neuen Strahl entlang $z$.

Klassisch haben wir die vollständige Ausrichtung des magnetischen Moments entlang der SG-Achse bereits ausgeschlossen, denn sie würde im zweiten Apparat einen zentralen Fleck und damit keinen auswählbaren $x+$-Kanal vorhersagen. Hält man also am Bild der bloßen Sortierung fest, wählt der erste Apparat einen positiven Wert von $\mu_z$ aus; der zweite sortiert die Atome dann nach $\mu_x$, ohne $\mu_z$ zu ändern. Der dritte Apparat müsste folglich ausschließlich den $z+$-Kanal liefern. Doch der $z-$-Kanal erscheint wieder.

Die Filterung entlang $x$ hat somit die Präparation verändert. Nach Auswahl von $x+$ erlaubt das frühere Ergebnis $z+$ keine sichere Vorhersage der neuen Messung von $z$ mehr. Offenbar hat der zweite Apparat den Zustand selbst verändert.

Man fasst dies gelegentlich so zusammen: „Die Messung von $x$ zerstört die Information über $z$.“ Die Formulierung ist nützlich, sofern man sich erinnert, dass hier nichts davon abhängt, was der Experimentator weiß oder betrachtet. Der $x+$-Filter hat physikalisch einen neuen Zustand $\ket{x+}$ präpariert, der die beiden Ergebnisse $z+$ und $z-$ mit gleichen Wahrscheinlichkeiten liefert.

6.2. ZYZ: Gleiche Wahrscheinlichkeiten, andere Präparation

Ersetzen wir schließlich den mittleren Analysator entlang $x$ durch einen entlang $y$ und behalten weiterhin nur seinen positiven Kanal bei. Die Folge $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ liefert bei der letzten Messung wiederum zwei gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Dies gilt für jede zu $z$ senkrechte Zwischenachse: Für eine Richtung $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ in der Ebene $(x,y)$ führt die Auswahl des $u+$-Kanals bei der letzten Messung entlang $z$ wiederum zu zwei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen.

Das bedeutet jedoch nicht, dass die Präparationen $\ket{x+}$, $\ket{y+}$ und $\ket{u+}$ alle identisch wären. Eine Analyse entlang $x$ würde sie unterscheiden: Für die erste ergäbe sie sicher $x+$, für die zweite dagegen $x+$ oder $x-$ zu gleichen Anteilen, und für die dritte hängen die Wahrscheinlichkeiten beider Ergebnisse experimentell von $\varphi$ ab. Zwei Präparationen können somit bei einer Messung dieselben Wahrscheinlichkeiten liefern und dennoch physikalisch verschieden sein.

7. Der sich abzeichnende Formalismus

Wir wollen nicht behaupten, aus diesen Experimenten allein den gesamten Quantenformalismus herzuleiten. Das Scheitern der klassischen Beschreibung zwingt uns jedoch, unsere Begriffe zu überdenken, und legt eine neue Darstellung von Zuständen nahe.

7.1. Ein Zustand ist keine Liste von Werten

Die Präparation $\ket{z+}$ kann nicht auf die Angabe „$\mu_z=+\mu_0$, mit unbekannten, aber bereits feststehenden Werten von $\mu_x$ und $\mu_y$“ reduziert werden, die die Apparate bloß offenlegen würden. In diesem Bild einer einfachen Sortierung müsste die Folge $Z\!X\!Z$ wieder $100\,\%$ an $z+$ liefern, was nicht zutrifft. Wie kann man einen Zustand also anders als durch eine Liste bereits vorhandener Werte darstellen?

7.2. Auf dem Weg zur Quantensuperposition

Die wesentliche Neuerung des Quantenformalismus besteht darin, dass der Zustand selbst die Daten enthält, mit denen sich die Wahrscheinlichkeiten der Messergebnisse berechnen lassen.

Die Präparation $\ket{x+}$ liefert entlang $x$ ein sicheres, entlang $z$ aber zwei gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Der Quantenformalismus beschreibt diese Situation, indem er $\ket{x+}$ als Superposition der beiden Zustände $\ket{z+}$ und $\ket{z-}$ darstellt:

Die Koeffizienten (hier $1/\sqrt{2}$ vor jedem Term) heißen Amplituden: Ihre Betragsquadrate geben die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse entlang $z$ an, hier jeweils $1/2$. Alle in $\ket{x+}$ präparierten Atome besitzen denselben Zustand, dargestellt durch diese Linearkombination. Es handelt sich nicht um ein statistisches Gemisch, in dem einige Atome in $\ket{z+}$ und die anderen in $\ket{z-}$ wären.

Aus den hier vorgestellten Ergebnissen allein können wir diese Struktur nicht vollständig herleiten. Die Interferenzexperimente der nächsten Lektion werden sie weiter begründen. Letztlich müssen wir sie postulieren.

7.3. Ein komplexer Vektorraum

Die Varianten ZYZ und allgemeiner ZUZ werfen folgende Frage auf: Auch die Präparationen $\ket{y+}$ oder $\ket{u+}$ liefern $50/50$ entlang $z$, unterscheiden sich aber von $\ket{x+}$, wenn $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$. Ihre beiden Amplituden in der Basis $\ket{z+},\ket{z-}$ müssen daher den Betrag $1/\sqrt2$ besitzen. Wären die Amplituden reell, blieben nur die vier Vorzeichenkombinationen $\pm1/\sqrt2$: Diese endliche Anzahl von Möglichkeiten genügte nicht, um die kontinuierliche Vielfalt der Präparationen $\ket{u+}$ darzustellen.

Der Quantenformalismus verwendet daher komplexe Amplituden, deren Phasen sich ändern können, ohne ihre Beträge zu verändern. Beispielsweise werden wir schreiben:

und allgemeiner $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$ für jeden Winkel $\varphi$. Die Zustände sind dann verschieden, doch die Wahrscheinlichkeiten entlang $z$ bleiben $1/2$. Nimmt man diese Linearkombinationen ernst, stellt man Zustände durch Vektoren in einem abstrakten komplexen Vektorraum dar. Das Wort „abstrakt“ erinnert daran, dass ihre Koeffizienten Wahrscheinlichkeitsamplituden und nicht die räumlichen Komponenten eines klassischen magnetischen Moments sind. Allgemeiner lässt sich eine Zustandspräparation schreiben als

Um die Amplituden und anschließend ihre Betragsquadrate zu erhalten, müssen wir den Zustand auf die zu den möglichen Ergebnissen gehörenden Zustände projizieren. Der einfachste Weg, diese Komponenten zu gewinnen, wird ein Skalarprodukt sein. Es definiert auch eine Norm, wobei hier gilt:

Das Quadrat der Norm entspricht somit der Summe der Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse: Diese Summe muss eins sein, sodass der Zustand durch einen Vektor der Norm eins dargestellt wird.

Im sich abzeichnenden Formalismus sind Zustände also Vektoren eines komplexen Hilbertraums, also eines Raums mit einem Skalarprodukt zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten. Seine lineare Struktur erlaubt die Addition von Amplituden und drückt das Prinzip der Quantensuperposition aus. All dies wird in Thema 2 ausführlich behandelt.

8. Weiterführendes

Ein Jahrhundert nach diesen Experimenten können wir genauer sagen, was sie tatsächlich messen. Nach Stern und Gerlach erkannte man schrittweise, dass das im Silberatom gemessene magnetische Moment im Wesentlichen mit dem Spin eines ungepaarten Elektrons zusammenhängt. Dieser Spin ist ein intrinsischer Drehimpuls, der sich vom Bahndrehimpuls des Elektrons unterscheidet. Das Elektron ist ein Teilchen mit Spin $1/2$: Die Messung seiner Spinprojektion entlang einer Achse liefert zwei mögliche Werte, $S_z=\pm\hbar/2$.

Mit diesem Spindrehimpuls ist ein magnetisches Moment verbunden, das proportional zum Spin ist:

Dabei bezeichnet $e$ den positiven Betrag der Elementarladung und $\gamma_s$ das gyromagnetische Verhältnis des Elektrons. Das Minuszeichen hängt mit der negativen Ladung des Elektrons zusammen: Sein magnetisches Moment ist dem Spin entgegengerichtet. Die beiden messbaren Werte seiner Komponente sind daher $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$, mit $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$. Spin und magnetisches Moment sind zwei verschiedene, zueinander proportionale Größen.

In einem Atom muss auch der Bahndrehimpuls des Elektrons berücksichtigt werden, mit dem ein weiteres magnetisches Moment verbunden ist. Wasserstoff bietet ein einfaches Beispiel: Sein einziges Elektron besitzt sowohl einen Spin als auch einen Orbitalzustand. Im Grundzustand $1s$ verschwindet der Bahndrehimpuls; der elektronische Beitrag zum magnetischen Moment des Atoms stammt daher vom Spin. Das Stern-Gerlach-Experiment mit Wasserstoff führten Phipps und Taylor 1927 durch.

Das Silberatom enthält mehr Elektronen, doch seine Elektronenkonfiguration $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$ führt zum selben Prinzip. Man kann zeigen, dass sich in vollständig besetzten Schalen die Bahn- und Spinbeiträge aufheben. Übrig bleibt das $5s$-Elektron, dessen Bahndrehimpuls im Grundzustand tatsächlich null ist und dessen Spin $1/2$ beträgt. Das historische Experiment wies somit sein magnetisches Spinmoment nach.

9. Literatur