Introducción general y experimentos fundamentales

1. Introducción

Hay que empezar por algún sitio. Muchas presentaciones de la mecánica cuántica comienzan con el experimento de las rendijas de Young, o con el estudio histórico de la radiación del cuerpo negro y de la hipótesis que Planck introdujo para explicarla (Planck, 1900).

Planck introduce la idea de que la energía solo puede intercambiarse en cantidades discretas, los cuantos que darán nombre a la teoría. Pero para comprender su planteamiento hay que conocer la física estadística, algo que no siempre sucede con quien empieza a estudiar.

El experimento de las rendijas de Young, por su parte, es espectacular. En su versión cuántica, con partículas enviadas una a una, revela comportamientos sencillamente incomprensibles en términos clásicos. Sin embargo, a juicio del autor, este experimento resulta mucho más fácil de comprender a posteriori, una vez conocidos los principios de la teoría cuántica. En cierto modo, reúne por sí solo varios de los aspectos más extraños de la teoría.

Empezaremos, por tanto, de otra manera, con el experimento de Stern y Gerlach (1922), que estudia un objeto aparentemente sencillo y bien comprendido clásicamente: una partícula con momento magnético. En el experimento histórico, esta partícula es un átomo de plata, y lo único que debemos admitir provisionalmente es que dicho átomo posee efectivamente un momento magnético. Al enviarlo a una región con un campo magnético inhomogéneo, las leyes de la mecánica y del electromagnetismo predicen fácilmente su trayectoria.

Los resultados también son espectaculares: difieren radicalmente de las predicciones clásicas. Al encadenar experimentos cada vez más elaborados, la descripción clásica se derrumba y aparecen sucesivamente la cuantización (véase la sección 4), la superposición cuántica (véase la sección 7.2) y otro fenómeno puramente cuántico que las rendijas de Young no muestran directamente: la incompatibilidad entre ciertas medidas (véase la sección 6.1).

Comenzaremos recordando qué es un momento magnético. Después describiremos el experimento y lo que debería observarse si el átomo se comportase como un pequeño imán corriente; finalmente presentaremos los resultados reales y discutiremos sus implicaciones.

2. Repaso del momento magnético clásico

2.1. El momento magnético

Un momento magnético $\vec{\mu}$, o dipolo magnético, es un vector. Un imán natural posee un momento magnético que, por definición, apunta de su polo Sur a su polo Norte. Esta es también la dirección de las líneas de campo magnético dentro del imán; en el exterior, salen del polo Norte y regresan al polo Sur, véase la Figura 1.

Este momento es la magnitud fundamental que cuantifica la intensidad de un imán. Por ejemplo, la repulsión entre dos imanes con orientación Sur-Sur depende del producto de sus momentos magnéticos y de la distancia.

Los imanes naturales no resultan muy cómodos para continuar la discusión, porque no es evidente qué genera su campo magnético. Son mucho más prácticos los electroimanes, es decir, los bucles de corriente. Para una espira plana recorrida por una corriente de intensidad $I$ que delimita una superficie $S$, se demuestra que el momento magnético es $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$, donde $\vec{n}$ es el vector unitario normal a la espira, orientado por la regla de la mano derecha.

Esta es la única expresión que necesitaremos aquí. La teoría de los momentos magnéticos es, por supuesto, más general. Define el momento magnético de una distribución arbitraria de corriente mediante una integral sobre esa distribución. La fórmula de la espira es un caso particular. Remitimos a los textos habituales para más detalles sobre esta construcción, por ejemplo al capítulo 5 de ^[1].

2.2. Acoplamiento al campo magnético

La mecánica clásica deduce tres propiedades de un dipolo magnético inmerso en un campo magnético exterior $\vec B$.

La tercera fórmula se deduce directamente de la segunda mediante $\vec{F} = -\grad E_p$. Muestra que un sistema con momento magnético situado en un campo inhomogéneo experimenta una fuerza neta que desvía su trayectoria. Las dos primeras resultan del cálculo explícito de la fuerza de Laplace sobre la distribución de corriente (para el momento de fuerzas) y del trabajo de dicha fuerza (para la energía potencial); no lo reproducimos aquí y remitimos, en particular, a las secciones 5.2 y 5.7 de ^[1] para la demostración completa¹.

Más allá de los detalles técnicos, retengamos sobre todo lo siguiente. La energía potencial de la Ec. (2) es mínima cuando $\vec\mu$ es paralelo a $\vec B$, y máxima cuando es antiparalelo: un dipolo magnético tiende a alinearse con el campo mediante el momento de fuerzas de la Ec. (1). Este es el principio de funcionamiento de una brújula. Sin disipación, sin embargo, su aguja oscilaría indefinidamente alrededor de la dirección Norte, debido al momento de fuerzas y al teorema del momento angular. Si acaba deteniéndose, es porque el rozamiento en su eje de rotación disipa la energía de esa oscilación.

2.3. Relación giromagnética y precesión

Esta evolución adopta una forma particular cuando el momento magnético es proporcional a un momento angular interno asociado al dipolo. En ese caso, introducimos la relación giromagnética $\gamma$ mediante la proporcionalidad:

Una relación como la Ec. (4) aparece, por ejemplo, para el momento magnético de una carga clásica en órbita circular. En efecto, una carga $q$, de masa $m$, que describe un círculo de radio $R$ con velocidad $v$, equivale a una corriente $I=qv/(2\pi R)$. Produce, por tanto, el momento magnético

En este modelo orbital clásico, $\gamma=q/(2m)$. El teorema del momento angular y la Ec. (1) dan conjuntamente $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$ y, si $\gamma$ es constante, la ecuación de precesión:

En un campo uniforme, la solución de esta ecuación muestra que el vector $\vec\mu$ describe un cono alrededor de la dirección del campo, es decir, precesa, con la frecuencia angular de Larmor $\omega_L=|\gamma|B$, véase la Figura 2.

3. El experimento de Stern y Gerlach

La Figura 3 resume el principio del experimento. Desde una fuente se envían partículas neutras a un campo magnético inhomogéneo creado por dos imanes enfrentados. Una pantalla situada más adelante recoge los impactos y permite medir una desviación, si la hay.

3.1. El dispositivo

Los imanes.

La fuerza de la Ec. (3) es idénticamente nula si el campo exterior es uniforme. Un dipolo en un campo homogéneo solo experimenta un momento de fuerzas y su centro de masas sigue en línea recta. Por tanto, la inhomogeneidad del campo es lo que hace interesante el experimento.

Para generarla, un Stern y Gerlach (nombre habitual del dispositivo, también llamado SG) utiliza dos imanes tallados: uno en punta y otro en punta invertida o con fondo ligeramente curvo, véase la Figura 3. Esta geometría concentra las líneas de campo hacia el borde puntiagudo del imán superior. Al estrecharse las líneas, la conservación del flujo magnético $\mathrm{div} \vec B = 0$ en un tubo de campo indica que el campo aumenta hacia ese borde, aquí con $z$.

A primer orden, querríamos escribir el campo interior como $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ con $k>0$, pero eso no cumpliría la condición de divergencia nula $\mathrm{div} \vec B = 0$. El campo debe poseer también una componente transversal. Despreciando los efectos de borde y suponiendo invariancia según $\vec e_x$, se obtiene:

En orden de magnitud, los dispositivos habituales tienen $B_0 \sim 0{,}1$ T, con $k\Delta z \ll B_0$ en toda la separación vertical entre los imanes, típicamente de unos milímetros. Los imanes miden unos centímetros de largo.

La fuente.

Es un pequeño horno en vacío que contiene plata sólida. A alta temperatura, los átomos vaporizados salen por un orificio y varias rendijas estrechas seleccionan aquellos cuya velocidad es casi paralela a $\vec e_x$. Así se obtiene un haz atómico colimado, con velocidad típica de unos cientos de metros por segundo y la dispersión heredada de la distribución de Maxwell-Boltzmann.

Se envían partículas eléctricamente neutras para sondear únicamente los efectos magnéticos dipolares. Las partículas cargadas experimentarían también la fuerza de Lorentz $q\,\vec v\wedge\vec B$, de módulo $qvB_0$, que dominaría ampliamente la fuerza $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ que nos interesa aquí.

La pantalla.

En el experimento histórico, los átomos de plata se depositaban progresivamente sobre la pantalla hasta formar una huella visible. En un experimento moderno puede reducirse el flujo lo suficiente para registrar los impactos uno a uno. Esta posibilidad será importante más adelante, y volveremos a ella.

3.2. Predicción de la mecánica clásica

Enviemos a la región de campo de la Ec. (7) una partícula neutra con momento magnético $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$. La ecuación 3 da

El dipolo se desvía, por tanto, no solo según $z$, sino también según $y$. Quien ya haya visto el experimento de Stern y Gerlach en otras fuentes quizá se sorprenda, pues muchos apuntes se limitan a describir lo que ocurre en el eje $z$. En realidad, los dos términos de la Ec. (8) desempeñan a priori el mismo papel.

La razón por la que podemos despreciar lo que ocurre en el eje $y$ está en la precesión, y aquí debemos introducir una hipótesis crucial que justificaremos a posteriori. Supondremos que el momento magnético del átomo es proporcional a un momento angular interno $\vec L$ que este posee.

Con esta hipótesis, y puesto que el campo constante $B_0\vec e_z$ domina ampliamente las correcciones $kz\,\vec e_z$ y $-ky\,\vec e_y$, el momento magnético precesa a primer orden alrededor de $\vec e_z$ con frecuencia angular $\omega_p = |\gamma| B_0$, donde $\gamma$ es su relación giromagnética. Durante esta precesión, $\mu_z$ permanece constante y $\mu_y$ oscila alrededor de cero.

Esta precesión es rápida. Las fórmulas anteriores proporcionan órdenes de magnitud a priori adecuados para el mundo atómico. Así, $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ se convierte en $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$ usando la carga elemental y la masa del electrón². Con $B_0\approx0{,}1$ T obtenemos $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Por otro lado, el tiempo de vuelo dentro del imán es $T=\ell/v_x$, aproximadamente $10^{-4}$ s para $\ell$ de unos centímetros y $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. El momento magnético realiza así unos cientos de miles de vueltas durante el tránsito. La fuerza según $y$ tiene, por tanto, un promedio nulo con excelente precisión.

En este modelo, la única fuerza relevante en promedio es $\langle F_z\rangle=k\mu_z$. Esto implica de inmediato que la desviación final en la pantalla debe ser proporcional a $\mu_z$. Solo queda determinar las condiciones iniciales. Los átomos salen de un horno, es decir, de un baño térmico, donde ninguna dirección espacial es privilegiada. Al entrar en el SG, sus momentos magnéticos deben estar orientados al azar, y su componente vertical $\mu_z$ debe tomar continuamente todos los valores entre $-\mu$ y $+\mu$, con distribución uniforme.

La predicción clásica es inequívoca: debe observarse una banda continua de impactos a lo largo del eje $z$, aunque no necesariamente uniforme debido a la dispersión de velocidades.

4. Los resultados experimentales

Eso no es lo que se observa. La desviación ocurre únicamente según $z$, lo cual es coherente con la anulación de la fuerza media según $y$, pero la pantalla no presenta una banda continua: aparecen dos manchas simétricas respecto al eje inicial, separadas por una región vacía.

4.1. La medida de $\mu_0$

La posición precisa de las dos manchas permite estimar $\mu_0$. Suponiendo aproximadamente constantes el gradiente $k=\partial B_z/\partial z$ y la velocidad longitudinal $v_x$ dentro del imán, el átomo experimenta la aceleración transversal

durante un tiempo $T=\ell/v_x$. Se integra de forma elemental y se prolonga después la trayectoria en línea recta hasta la pantalla. Teniendo en cuenta los parámetros geométricos del experimento, Otto Stern y Walther Gerlach pudieron medir así su valor para los átomos de plata y encontraron el valor del magnetón de Bohr

Esta medida permite volver a la hipótesis 4. Sin embargo, no proporciona directamente $\gamma$, pues mide el momento magnético y no el momento angular $L$ que estaría asociado a él. Solo podemos comprobar un orden de magnitud: la escala natural de un momento angular atómico es $\hbar$, y si escribimos $L\sim\hbar$, entonces $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$. Recuperamos así el orden de magnitud postulado anteriormente y una frecuencia angular de precesión del orden de $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, coherente con la ausencia observada de desviación según $y$.

4.2. El problema para la mecánica clásica

El experimento pone de manifiesto un fenómeno ajeno a la mecánica clásica: la componente de un momento magnético según un eje dado no varía continuamente, sino que está cuantizada.

Incluso admitiendo que el átomo de plata posee un momento magnético, queda por explicar cómo unas orientaciones iniciales cualesquiera, procedentes de un baño térmico, conducen exactamente a dos haces. Examinemos dos mecanismos clásicos que podrían explicar este resultado.

¿Podría el campo dentro del imán alinear los momentos? Sin disipación, hemos visto que el momento de fuerzas magnético hace precesar el dipolo conservando su ángulo con el campo. Por tanto, no lo alinea ni con $+\vec B$ ni con $-\vec B$. Pero ¿podemos despreciar toda disipación? La teoría electromagnética predice, en efecto, que un momento en precesión radia³. Sin embargo, esta disipación es despreciable: poco después de publicarse los resultados, Einstein la calculó y estimó que la relajación requeriría más de un siglo, frente a unos $10^{-4}$ s de tránsito por el imán ^[3]. Incluso si fuera suficientemente rápida, llevaría los momentos a la orientación de menor energía, paralela al campo: se observaría una sola mancha, no dos.

¿Podrían los campos de borde explicar las dos manchas? A la entrada y a la salida del imán, la dirección y la intensidad del campo varían y pueden complicar la precesión. Sin embargo, estos efectos dependen de la geometría precisa de los imanes y del experimento en general, por lo que deberían variar de un experimento a otro. La separación en dos haces no depende de ellos. Además, en este modelo clásico, la evolución regida por las leyes de la mecánica y las ecuaciones de Maxwell es una función continua de la orientación inicial: no puede transformar el continuo de orientaciones iniciales en solo dos valores de salida.

4.3. La aparición del azar

En una versión moderna del experimento, puede reducirse el flujo hasta que los átomos atraviesen el dispositivo uno a uno. Cada átomo produce un único impacto en una u otra de las dos manchas. Estas se forman progresivamente a medida que se acumulan los impactos.

Este carácter aleatorio todavía no basta para establecer la existencia de un azar fundamental: los átomos salen de un horno y sus condiciones iniciales varían de un átomo a otro. La imprevisibilidad aún podría atribuirse a nuestra ignorancia de esas condiciones. La cuestión será más apremiante cuando controlemos mejor la preparación del haz.

5. Varios aparatos de Stern y Gerlach en serie

Los experimentos que combinan varios SG en serie precisarán el papel de la preparación y de las probabilidades, y después mostrarán la incompatibilidad entre ciertas medidas.

5.1. Preparación de un haz

A la salida de un aparato $\mathrm{SG}_z$, el haz se separa en dos canales. Denotaremos por $z+$ el canal correspondiente al resultado positivo y por $z-$ el correspondiente al negativo.

Podemos colocar un obstáculo en uno de los canales y conservar solo el otro. Si bloqueamos $z-$, todos los átomos que continúan el experimento han dado el resultado $z+$ en el primer aparato. El dispositivo ya no sirve únicamente para medir: sirve para preparar un haz bien definido para el experimento siguiente.

Denotaremos por $\ket{z+}$ la preparación obtenida. Por ahora, esta notación significa simplemente «un átomo que acaba de salir por el canal $z+$ de un analizador $\mathrm{SG}_z$». Descubriremos progresivamente la estructura matemática asociada a este símbolo.

5.2. Reproducibilidad sobre un mismo eje

Coloquemos un segundo $\mathrm{SG}_z$ después del primero, conservando solo el canal $z+$ del primer aparato, véase la Figura 5. Se observa experimentalmente que el segundo aparato produce entonces una sola mancha, situada en el canal $z+$. El canal $z-$ está vacío.

La imagen clásica no plantea aquí ningún problema. Si el primer aparato seleccionara un valor de $\mu_z$ o alineara los momentos según $z$, y si nada modificara después su componente $\mu_z$, el segundo debería dar la misma desviación para todos los átomos seleccionados. Este resultado es, por tanto, compatible con la imagen de una simple clasificación.

5.3. Dos ejes diferentes

Sustituyamos ahora el segundo aparato por un $\mathrm{SG}_x$, cuyo eje de análisis es perpendicular al del primero, véase la Figura 6. Se observan de nuevo dos manchas en proporciones iguales.

Hay dos interpretaciones clásicas posibles. Si el primer aparato ha orientado completamente $\vec\mu$ según $z$, entonces $\mu_x=0$: el segundo debería producir una mancha central. Si solo ha seleccionado los valores positivos de $\mu_z$, sin fijar las demás componentes, entonces $\mu_x$ sigue distribuido de forma continua: deberíamos observar una banda continua. Ninguna de las dos interpretaciones predice las dos manchas observadas.

Volvamos al caso en que se envían átomos uno a uno. Cada átomo produce un impacto en el canal $x+$ o en el canal $x-$; para un gran número de átomos, ambos resultados aparecen en proporciones iguales. Sin embargo, el haz que entra en $\mathrm{SG}_x$ tiene una preparación mejor controlada que el que sale directamente del horno: todos sus átomos se han seleccionado en el canal $z+$ del primer aparato. Su preparación $\ket{z+}$ garantiza incluso, como acabamos de ver, un resultado cierto en una nueva medida según $z$.

Aun así, esta preparación no permite predecir en qué canal se producirá el impacto al medir según $x$. El argumento del simple desorden a la salida del horno ya no basta: una misma preparación hace cierta una medida y deja la otra aleatoria. Se precisa así el papel de las probabilidades en la mecánica cuántica.

6. Tres aparatos SG en serie

6.1. ZXZ: el filtrado cambia la preparación

Consideremos ahora la secuencia $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$, véase la Figura 7. Tras el primer aparato conservamos solo $z+$. Tras el segundo conservamos solo $x+$. Por último, analizamos este nuevo haz según $z$.

Clásicamente, ya hemos descartado la hipótesis de una alineación completa del momento magnético con el eje del SG, pues predeciría una mancha central en el segundo aparato y, por tanto, ningún canal $x+$ que seleccionar. Si conservamos la imagen de una simple clasificación, el primer aparato selecciona un valor positivo de $\mu_z$ y el segundo clasifica los átomos según $\mu_x$ sin modificar $\mu_z$. El tercero debería entonces dar únicamente el canal $z+$. Sin embargo, reaparece el canal $z-$.

El filtrado según $x$ ha cambiado la preparación. Tras seleccionar $x+$, el resultado anterior $z+$ ya no permite predecir con certeza la nueva medida de $z$. Parece que el segundo aparato ha modificado el propio estado.

Este hecho se resume a veces diciendo que «medir $x$ destruye la información sobre $z$». La expresión es útil si recordamos que nada depende aquí de lo que sepa u observe quien realiza el experimento. El filtro $x+$ ha preparado físicamente un nuevo estado, $\ket{x+}$, que da los dos resultados $z+$ y $z-$ con probabilidades iguales.

6.2. ZYZ: mismas probabilidades, distinta preparación

Sustituyamos por último el analizador intermedio según $x$ por uno según $y$, conservando de nuevo solo su canal positivo. La secuencia $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ vuelve a dar dos resultados equiprobables en la última medida. Esto se generaliza a cualquier eje intermedio perpendicular a $z$: para una dirección $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ del plano $(x,y)$, seleccionar el canal $u+$ conduce de nuevo a dos resultados equiprobables en la última medida según $z$.

Esto no significa que las preparaciones $\ket{x+}$, $\ket{y+}$ o $\ket{u+}$ sean todas idénticas. Un análisis según $x$ las distinguiría: daría con certeza $x+$ para la primera, pero $x+$ o $x-$ a partes iguales para la segunda; para la tercera, el experimento muestra que las probabilidades de ambos resultados dependen de $\varphi$. Por tanto, dos preparaciones pueden dar las mismas probabilidades para una medida y ser físicamente diferentes.

7. El formalismo que se perfila

No pretendemos deducir todo el formalismo cuántico únicamente de estos experimentos. Sin embargo, el fracaso de la descripción clásica nos obliga a revisar nuestro vocabulario y sugiere una nueva manera de representar los estados.

7.1. Un estado no es una lista de valores

La preparación $\ket{z+}$ no puede reducirse al dato «$\mu_z=+\mu_0$, con valores desconocidos pero ya fijados de $\mu_x$ y $\mu_y$» que los aparatos se limitarían a revelar. En esta imagen de una simple clasificación, la secuencia $Z\!X\!Z$ volvería a dar $100\,\%$ de $z+$, lo cual no ocurre. ¿Cómo representar entonces un estado, si no es mediante una lista de valores preexistentes?

7.2. Hacia la superposición cuántica

La gran novedad del formalismo cuántico es que el propio estado reúne los datos que permiten calcular las probabilidades de los resultados de medida.

La preparación $\ket{x+}$ da un resultado cierto según $x$, pero dos resultados equiprobables según $z$. Para describir esta situación, el formalismo cuántico representa $\ket{x+}$ como una superposición de los dos estados $\ket{z+}$ y $\ket{z-}$:

Los coeficientes (aquí $1/\sqrt{2}$ ante cada término) se llaman amplitudes: el cuadrado de su módulo da las probabilidades de los resultados según $z$, aquí $1/2$ para cada uno. Todos los átomos preparados en $\ket{x+}$ tienen el mismo estado, representado por esta combinación lineal. No se trata de una mezcla estadística en la que algunos átomos estarían en $\ket{z+}$ y los demás en $\ket{z-}$.

No podemos deducir por completo esta estructura solo a partir de los resultados presentados aquí. Los experimentos de interferencia de la siguiente lección aportarán una justificación adicional. En última instancia, habrá que postularla.

7.3. Un espacio vectorial complejo

Las variantes ZYZ y, más generalmente, ZUZ plantean la siguiente cuestión: las preparaciones $\ket{y+}$ o $\ket{u+}$ también dan $50/50$ según $z$, aunque difieren de $\ket{x+}$ cuando $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$. Sus dos amplitudes en la base $\ket{z+},\ket{z-}$ deben tener, por tanto, módulo $1/\sqrt2$. Si fueran reales, solo quedarían las cuatro combinaciones de signos $\pm1/\sqrt2$: este número finito de posibilidades no bastaría para representar la diversidad continua de las preparaciones $\ket{u+}$.

El formalismo cuántico utiliza, por tanto, amplitudes complejas, cuyas fases pueden variar sin modificar los módulos. Por ejemplo, llegaremos a escribir:

y, más generalmente, $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$ para cualquier ángulo $\varphi$. Los estados son entonces distintos, pero las probabilidades según $z$ siguen siendo $1/2$. Tomar en serio estas combinaciones lineales lleva a representar los estados mediante vectores de un espacio vectorial complejo abstracto. La palabra «abstracto» recuerda que sus coeficientes son amplitudes de probabilidad y no componentes espaciales de un momento magnético clásico. Más generalmente, una preparación del estado podrá escribirse como

Para acceder a las amplitudes y después al cuadrado de su módulo, habrá que proyectar el estado sobre los estados asociados a los resultados posibles. La forma más sencilla de recuperar esas componentes será utilizar un producto escalar. Este definirá también una norma, con, en este caso,

El cuadrado de la norma corresponde así a la suma de las probabilidades de los resultados posibles: esa suma debe valer uno, por lo que el estado estará representado por un vector de norma uno.

En el formalismo que se perfila, los estados serán, por tanto, vectores de un espacio de Hilbert complejo, es decir, dotado de un producto escalar que permite calcular las probabilidades. Su estructura lineal permite sumar las amplitudes y expresa el principio de superposición cuántica. Todo ello se estudiará en detalle en el tema 2.

8. Para profundizar

Un siglo después de estos experimentos, podemos precisar qué miden realmente. Tras Stern y Gerlach se comprendió progresivamente que el momento magnético medido en el átomo de plata está esencialmente ligado al espín de un electrón desapareado. Este espín es un momento angular intrínseco, distinto del momento angular orbital del electrón. El electrón es una partícula de espín $1/2$: medir la proyección de su espín según un eje da dos valores posibles, $S_z=\pm\hbar/2$.

A este momento angular de espín está asociado un momento magnético, proporcional al espín:

donde $e$ designa el valor positivo de la carga elemental y $\gamma_s$ la relación giromagnética del electrón. El signo menos está ligado a la carga negativa del electrón: su momento magnético es opuesto a su espín. Los dos valores medibles de su componente son, por tanto, $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$, con $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$. El espín y el momento magnético son dos magnitudes distintas, proporcionales entre sí.

En un átomo hay que considerar también el momento angular orbital del electrón, al que está asociado otro momento magnético. El hidrógeno ofrece un ejemplo sencillo: su único electrón tiene tanto espín como un estado orbital. En el estado fundamental $1s$, el momento angular orbital es nulo; por tanto, la contribución electrónica al momento magnético del átomo procede del espín. Phipps y Taylor realizaron el experimento de Stern y Gerlach con hidrógeno en 1927.

El átomo de plata contiene más electrones, pero su configuración electrónica, $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$, reduce la situación al mismo principio. Puede demostrarse que, en las capas completas, las contribuciones orbitales y de espín se compensan. Queda entonces el electrón $5s$, cuyo momento angular orbital resulta ser nulo en el estado fundamental y cuyo espín vale $1/2$. Es, por tanto, su momento magnético de espín lo que puso de manifiesto el experimento histórico.

9. Referencias