خانه/موضوع‌ها/موضوع 1

مقدمهٔ کلی و آزمایش‌های بنیادین

چند آزمایش تاریخی که نارسایی مکانیک کلاسیک را آشکار کردند.

آزمایش اشترن–گرلاخ

مقدمه‌ای تجربی بر اسپین، گشتاور مغناطیسی و کوانتیده‌شدن مشاهده‌شده در آزمایش اشترن–گرلاخ.

اسپینگشتاور مغناطیسیاشترن–گرلاختقدیم لارمورکوانتیده‌شدناندازه‌گیری کوانتومیمؤلفه‌های اسپینباریکهٔ اتمیمیدان مغناطیسی ناهمگنتصویر حالت

1. مقدمه

بالاخره باید از جایی آغاز کرد. بسیاری از معرفی‌های مکانیک کوانتومی با آزمایش دوشکاف یانگ، یا با بررسی تاریخی تابش جسم سیاه و فرضیه‌ای آغاز می‌شوند که پلانک برای توضیح آن مطرح کرد (پلانک، 1900).

پلانک این اندیشه را مطرح کرد که انرژی تنها در مقدارهای گسسته مبادله می‌شود؛ همان کوانتوم‌هایی که نام نظریه از آن‌ها گرفته شد. اما برای فهم رویکرد او باید فیزیک آماری دانست، و دانشجوی تازه‌کار همیشه چنین دانشی ندارد.

آزمایش دوشکاف یانگ نیز شگفت‌انگیز است. در نسخهٔ کوانتومی آن، که ذرات یکی‌یکی فرستاده می‌شوند، رفتارهایی آشکار می‌شوند که با مفاهیم کلاسیک اصلاً فهم‌پذیر نیستند. اما به نظر نویسنده، فهم این آزمایش پس از آن، یعنی پس از آشنایی با اصول نظریهٔ کوانتومی، بسیار آسان‌تر است. به نوعی، این آزمایش به‌تنهایی چندین جنبه از عجیب‌ترین جنبه‌های نظریه را در خود جمع می‌کند.

بنابراین از راه دیگری آغاز می‌کنیم: آزمایش اشترن و گرلاخ (1922)، دربارهٔ چیزی که ظاهراً ساده است و در فیزیک کلاسیک به‌خوبی فهمیده می‌شود؛ ذره‌ای دارای گشتاور مغناطیسی. در آزمایش تاریخی، این ذره یک اتم نقره است و تنها چیزی که باید موقتاً بپذیریم این است که چنین اتمی واقعاً گشتاور مغناطیسی دارد. وقتی آن را به ناحیه‌ای با میدان مغناطیسی ناهمگن می‌فرستیم، قوانین مکانیک و الکترومغناطیس به‌آسانی مسیرش را پیش‌بینی می‌کنند.

نتایج نیز شگفت‌انگیزند: آن‌ها اساساً با پیش‌بینی‌های کلاسیک تفاوت دارند. با پشت سر هم قرار دادن آزمایش‌هایی پیچیده‌تر، توصیف کلاسیک فرو می‌ریزد و به‌ترتیب پدیدهٔ کوانتیده‌شدن (نگاه کنید به بخش 4)، برهم‌نهی کوانتومی (نگاه کنید به بخش 7.2)، و پدیده‌ای کاملاً کوانتومی آشکار می‌شوند که شکاف‌های یانگ مستقیماً نشان نمی‌دهند: ناسازگاری میان بعضی اندازه‌گیری‌ها (نگاه کنید به بخش 6.1).

نخست یادآوری می‌کنیم که گشتاور مغناطیسی چیست. سپس آزمایش و آنچه را باید می‌دیدیم اگر اتم مانند آهنربایی کوچک و معمولی رفتار می‌کرد توضیح می‌دهیم؛ آنگاه نتایج واقعی را بیان می‌کنیم و پیامدهایشان را بررسی می‌کنیم.

2. یادآوری گشتاور مغناطیسی کلاسیک

2.1. گشتاور مغناطیسی

گشتاور مغناطیسی μ⃗\vec{\mu}، یا دوقطبی مغناطیسی، یک بردار است. آهنربای طبیعی گشتاور مغناطیسی دارد که بنا بر تعریف از قطب جنوب به قطب شمال آن جهت دارد. این همان جهت خطوط میدان مغناطیسی درون آهنرباست؛ در بیرون، خطوط از قطب شمال خارج می‌شوند و به قطب جنوب بازمی‌گردند، نگاه کنید به شکل 1.

این گشتاور کمیت بنیادی برای سنجش شدت آهنرباست. برای نمونه، دافعهٔ میان دو آهنربا که قطب‌های جنوبشان روبه‌روی هم است، به حاصل‌ضرب گشتاورهای مغناطیسی و فاصله بستگی دارد.

آهنربای طبیعی: خطوط میدان و قطب‌ها. گشتاور مغناطیسی رسم نشده است، اما افقی و رو به راست، در جهت جنوب به شمال است.
شکل 1. آهنربای طبیعی: خطوط میدان و قطب‌ها. گشتاور مغناطیسی μ⃗\vec{\mu} رسم نشده است، اما افقی و رو به راست، در جهت جنوب به شمال است.

اما آهنرباهای طبیعی برای ادامهٔ بحث چندان مناسب نیستند، زیرا بلافاصله روشن نیست چه چیزی میدان مغناطیسی آن‌ها را ایجاد می‌کند. آهنرباهای الکتریکی، یعنی حلقه‌های جریان، بسیار مناسب‌ترند. برای یک حلقهٔ تخت با جریان II که مساحت SS را در بر می‌گیرد، نشان داده می‌شود که گشتاور مغناطیسی μ⃗=IS n⃗\vec{\mu}=I S\,\vec{n} است؛ در اینجا n⃗\vec{n} بردار یکهٔ عمود بر حلقه است که جهتش با قاعدهٔ دست راست تعیین می‌شود.

این تنها رابطه‌ای است که اینجا نیاز داریم. البته نظریهٔ گشتاورهای مغناطیسی کلی‌تر است. این نظریه گشتاور مغناطیسی هر توزیع جریان را با انتگرالی روی آن توزیع تعریف می‌کند. فرمول حلقه حالت خاصی از آن است. برای جزئیات بیشتر این ساخت به منابع درسی متداول (برای مثال فصل 5 از [1]) ارجاع می‌دهیم.

2.2. جفت‌شدن با میدان مغناطیسی

مکانیک کلاسیک برای یک دوقطبی مغناطیسی در میدان مغناطیسی خارجی B⃗\vec B سه ویژگی به دست می‌دهد.

گزاره 1 (دوقطبی مغناطیسی: مجموعهٔ فرمول‌ها)
دوقطبی مغناطیسی μ⃗\vec\mu در میدان مغناطیسی خارجی B⃗\vec B:
  1. گشتاور نیروی زیر را تجربه می‌کند

    τ⃗=μ⃗∧B⃗\boxed{\vec\tau=\vec\mu\wedge\vec B }
    (1)

  2. انرژی پتانسیل زیر را دارد

    Ep=−μ⃗⋅B⃗\boxed{E_p=-\vec{\mu}\cdot\vec B }
    (2)

  3. نیروی زیر بر مرکز جرمش وارد می‌شود

    F⃗=∇⃗(μ⃗⋅B⃗)\boxed{\vec F=\grad\left(\vec\mu\cdot\vec B\right)}
    (3)

    که هرگاه B⃗\vec{B} یکنواخت، یعنی در فضا ثابت باشد، صفر است.

فرمول سوم مستقیماً از دومی و رابطهٔ F⃗=−∇⃗Ep\vec{F} = -\grad E_p نتیجه می‌شود. نشان می‌دهد دستگاهی دارای گشتاور مغناطیسی در میدان ناهمگن نیروی خالصی تجربه می‌کند که مسیرش را منحرف می‌کند. دو فرمول نخست از محاسبهٔ صریح نیروی لاپلاس بر توزیع جریان (برای گشتاور نیرو) و کار آن نیرو (برای انرژی پتانسیل) به دست می‌آیند؛ این محاسبه را اینجا تکرار نمی‌کنیم و برای اثبات کامل به‌ویژه به بخش‌های 5.2 و 5.7 از [1] ارجاع می‌دهیم1.

یادداشت 1: این فرمول‌ها توزیع جریان پایا را فرض می‌کنند. اگر جریان به زمان وابسته باشد، جفت‌شدن‌های میان E⃗\vec E و B⃗\vec B در معادلات ماکسول این روابط را تغییر می‌دهند و بسیار پیچیده‌تر می‌کنند. این موضوع اینجا مطرح نیست، زیرا میدان اشترن و گرلاخ ایستا است.

فراتر از جزئیات فنی، به‌ویژه این را به خاطر بسپاریم: انرژی پتانسیل معادلهٔ (2) وقتی μ⃗\vec\mu موازی B⃗\vec B است کمینه، و وقتی پادموازی است بیشینه است. دوقطبی مغناطیسی بر اثر گشتاور نیروی معادلهٔ (1) تمایل دارد با میدان هم‌راستا شود. این اصل کار قطب‌نماست. اما بدون اتلاف، عقربهٔ قطب‌نما به دلیل گشتاور نیرو و قضیهٔ تکانهٔ زاویه‌ای تا ابد حول جهت شمال نوسان می‌کرد. اگر سرانجام ساکن می‌شود، به این دلیل است که اصطکاک محور چرخش انرژی این نوسان را تلف می‌کند.

2.3. نسبت ژیرومغناطیسی و تقدیم

وقتی گشتاور مغناطیسی با تکانهٔ زاویه‌ای درونی دوقطبی متناسب باشد، این تحول شکل ویژه‌ای می‌گیرد. در این حالت، نسبت ژیرومغناطیسی γ\gamma را با تناسب زیر تعریف می‌کنیم:

μ⃗=γL⃗\boxed{\vec\mu=\gamma \vec L}
(4)

رابطه‌ای مانند معادلهٔ (4) مثلاً برای گشتاور مغناطیسی یک بار کلاسیک در مدار دایره‌ای ظاهر می‌شود. در واقع، باری به اندازهٔ qq و جرم mm که دایره‌ای به شعاع RR را با تندی vv می‌پیماید، معادل جریان I=qv/(2πR)I=qv/(2\pi R) است. بنابراین گشتاور مغناطیسی زیر را تولید می‌کند

μ=IπR2=q2mmRv=q2mL.\mu=I\pi R^2=\frac{q}{2m}mRv=\frac{q}{2m}L.

(5)

در این مدل مداری کلاسیک، γ=q/(2m)\gamma=q/(2m) است. قضیهٔ تکانهٔ زاویه‌ای همراه با معادلهٔ (1) رابطهٔ dL⃗dt=τ⃗=μ⃗∧B⃗\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B را می‌دهد؛ سپس اگر γ\gamma ثابت باشد، معادلهٔ تقدیم به دست می‌آید:

dμ⃗dt=γμ⃗∧B⃗\boxed{\frac{d\vec\mu}{dt}=\gamma \vec\mu\wedge\vec B}
(6)

در میدان یکنواخت، حل این معادله نشان می‌دهد که بردار μ⃗\vec\mu حول جهت میدان مخروطی را طی می‌کند، یعنی با بسامد زاویه‌ای لارمور ωL=∣γ∣B\omega_L=|\gamma|B تقدیم می‌کند؛ نگاه کنید به شکل 2.

Figure
Figure
شکل 2
مهم
در میدان مغناطیسی ناهمگن، مرکز جرم دوقطبی نیرویی را تجربه می‌کند که مسیرش را منحرف می‌کند، در حالی که خود دوقطبی حول میدان تقدیم می‌کند. هر دو اثر برای فهم آزمایش اشترن و گرلاخ حیاتی‌اند.

3. آزمایش اشترن و گرلاخ

اصل آزمایش در شکل 3 خلاصه شده است. ذرات خنثی از چشمه‌ای به میدان مغناطیسی ناهمگنی فرستاده می‌شوند که دو آهنربای روبه‌رو ایجاد کرده‌اند. پرده‌ای در پایین‌دست برخوردها را ثبت می‌کند و اندازه‌گیری انحراف، اگر وجود داشته باشد، را ممکن می‌سازد.

طرح آزمایش اشترن و گرلاخ با قرارداد محورهایی که در سراسر فصل به کار می‌رود. باریکه در راستای e_x منتشر می‌شود، گرادیان میدان در راستای e_z است، و پردهٔ آشکارسازی بر e_x عمود است. شکل بر پایهٔ شکل 1 از~ sahoo2022classicality بازنشر شده است.
شکل 3. طرح آزمایش اشترن و گرلاخ با قرارداد محورهایی که در سراسر فصل به کار می‌رود. باریکه در راستای e⃗x\vec e_x منتشر می‌شود، گرادیان میدان در راستای e⃗z\vec e_z است، و پردهٔ آشکارسازی بر e⃗x\vec e_x عمود است. شکل بر پایهٔ شکل 1 از [2] بازنشر شده است.

3.1. دستگاه

آهنرباها.

اگر میدان خارجی یکنواخت باشد، نیروی معادلهٔ (3) همانی صفر است. دوقطبی در میدان همگن تنها گشتاور نیرو می‌گیرد و مرکز جرمش مستقیم پیش می‌رود. پس ناهمگنی میدان است که آزمایش را جالب می‌کند.

برای ایجاد این میدان، دستگاه اشترن و گرلاخ (نام رایج دستگاه، یا به اختصار SG) از دو آهنربای تراش‌خورده استفاده می‌کند؛ یکی نوک‌تیز و دیگری دارای فرورفتگی مقابل یا کف اندکی خمیده، نگاه کنید به شکل 3. این هندسه خطوط میدان را به سوی لبهٔ تیز آهنربای بالایی متمرکز می‌کند. با نزدیک‌شدن خطوط میدان، پایستگی شار مغناطیسی divB⃗=0\mathrm{div} \vec B = 0 در یک لولهٔ میدان می‌گوید که میدان به سوی آن لبه، یعنی اینجا با افزایش zz، قوی‌تر می‌شود.

در مرتبهٔ نخست مایلیم میدان درون دستگاه را به صورت B⃗≈(B0+kz) e⃗z\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z با k>0k>0 بنویسیم، اما این شرط واگرایی صفر divB⃗=0\mathrm{div} \vec B = 0 را برآورده نمی‌کند. بنابراین میدان باید مؤلفهٔ عرضی هم داشته باشد. با نادیده‌گرفتن اثرهای لبه و فرض ناوردایی در راستای e⃗x\vec e_x می‌یابیم:

B⃗(x,y,z)=(B0+kz)e⃗z−kye⃗y.\vec{B}(x,y,z) = (B_0 + k z) \vec{e}_z - k y \vec{e}_y .
(7)

از نظر مرتبهٔ بزرگی، دستگاه‌های معمول B0∼0,1B_0 \sim 0{,}1 T دارند، و در سراسر شکاف عمودی میان آهنرباها، که معمولاً چند میلی‌متر است، kΔz≪B0k\Delta z \ll B_0 برقرار است. طول آهنرباها چند سانتی‌متر است.

چشمه.

کورهٔ کوچکی در خلأ است که نقرهٔ جامد دارد. در دمای بالا، اتم‌های تبخیرشده از روزنه‌ای خارج می‌شوند و چند شکاف باریک اتم‌هایی را برمی‌گزینند که سرعتشان تقریباً موازی e⃗x\vec e_x است. به این ترتیب باریکهٔ اتمی هم‌راستاشده‌ای با تندی معمول چند صد متر بر ثانیه به دست می‌آید؛ پراکندگی تندی آن از توزیع ماکسول-بولتزمن می‌آید.

توجه کنید که ذرات خنثای الکتریکی می‌فرستیم تا تنها اثرهای دوقطبی مغناطیسی را بررسی کنیم. اگر ذرات باردار می‌فرستادیم، نیروی لورنتس q v⃗∧B⃗q\,\vec v\wedge\vec B با اندازهٔ qvB0qvB_0 هم بر آن‌ها وارد می‌شد و بسیار بیشتر از نیروی ∇⃗(μ⃗⋅B⃗)\grad(\vec\mu\cdot\vec B) مورد نظر ما بود.

پرده.

در آزمایش تاریخی، اتم‌های نقره به‌تدریج روی پرده رسوب می‌کردند و سرانجام رد دیدنی می‌ساختند. در آزمایش امروزی می‌توان شار را آن‌قدر کاهش داد که برخوردها یکی‌یکی ثبت شوند. این امکان در ادامه مهم خواهد بود و به آن بازمی‌گردیم.

3.2. پیش‌بینی مکانیک کلاسیک

ذره‌ای خنثی با گشتاور مغناطیسی μ⃗=μxe⃗x+μye⃗y+μze⃗z\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z را به ناحیهٔ میدان معادلهٔ (7) بفرستیم. معادلهٔ 3 می‌دهد

F⃗=∇⃗ ⁣(μ⃗⋅B⃗)=kμze⃗z−kμye⃗y.\vec F=\grad\!\left(\vec\mu\cdot\vec B\right) =k\mu_z \vec e_z-k\mu_y \vec e_y .
(8)

پس دوقطبی نه‌تنها در راستای zz، بلکه در راستای yy نیز منحرف می‌شود. خواننده‌ای که پیش‌تر آزمایش اشترن و گرلاخ را جای دیگری دیده است شاید از این موضوع شگفت‌زده شود، چون بسیاری از جزوه‌ها تنها آنچه را روی محور zz رخ می‌دهد شرح می‌دهند. در واقع، دو جملهٔ معادلهٔ (8) در نگاه نخست نقش یکسانی دارند.

علت اینکه می‌توان آنچه را در راستای yy رخ می‌دهد نادیده گرفت، تقدیم است، و اینجا باید فرضی اساسی بگذاریم که بعداً توجیهش خواهیم کرد. فرض می‌کنیم گشتاور مغناطیسی اتم با تکانهٔ زاویه‌ای درونی L⃗\vec L که اتم دارد متناسب است.

با این فرض، و چون میدان ثابت B0e⃗zB_0\vec e_z بسیار بزرگ‌تر از تصحیح‌های kz e⃗zkz\,\vec e_z و −ky e⃗y-ky\,\vec e_y است، گشتاور مغناطیسی در مرتبهٔ نخست حول e⃗z\vec e_z با بسامد زاویه‌ای ωp=∣γ∣B0\omega_p = |\gamma| B_0 تقدیم می‌کند؛ γ\gamma نسبت ژیرومغناطیسی آن است. طی این تقدیم، مؤلفهٔ μz\mu_z ثابت می‌ماند و μy\mu_y حول صفر نوسان می‌کند.

این تقدیم سریع است. فرمول‌های پیشین مرتبه‌های بزرگی‌ای می‌دهند که در جهان اتمی ابتدا معقول‌اند. پس با به‌کارگیری بار بنیادی و جرم الکترون، γ=O(q/2m)\gamma = \mathcal{O}(q/2m) به ≈e/(2me)≈8,8×1010SI\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI تبدیل می‌شود2. با B0≈0,1B_0\approx0{,}1 T به ωp∼1010 rad s−1\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1} می‌رسیم. از سوی دیگر، زمان پرواز در آهنربا T=ℓ/vxT=\ell/v_x است؛ برای ℓ\ell چند سانتی‌متر و vx∼600 m s−1v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} حدود 10−410^{-4} s. بنابراین گشتاور مغناطیسی طی عبور چند صد هزار دور می‌زند. در نتیجه میانگین نیروی راستای yy با دقت بسیار خوبی صفر می‌شود.

یادداشت 2: چرا به جای آن جرم اتم را به کار نبریم؟ در نهایت می‌پذیریم که آنچه اینجا اندازه می‌گیریم گشتاور مغناطیسی اسپین الکترون تنها در آخرین پوستهٔ اتم نقره است، نگاه کنید به بخش 8؛ بنابراین محاسبهٔ ما از نظر مرتبهٔ بزرگی درست است

پس در این مدل تنها نیروی مؤثر به‌طور میانگین ⟨Fz⟩=kμz\langle F_z\rangle=k\mu_z است. بی‌درنگ نتیجه می‌شود که انحراف نهایی روی پرده باید متناسب با μz\mu_z باشد. تنها پرسش باقی‌مانده شرایط اولیه است. اتم‌ها از کوره، یعنی حمام گرمایی، خارج می‌شوند و هیچ جهت فضایی در آن برتری ندارد. بنابراین گشتاورهای مغناطیسی هنگام ورود به SG باید جهت‌های تصادفی داشته باشند و مؤلفهٔ عمودی‌شان μz\mu_z همهٔ مقدارهای میان −μ-\mu و +μ+\mu را به‌طور پیوسته و با توزیع یکنواخت بگیرد.

پیش‌بینی کلاسیک اکنون روشن است: باید نواری پیوسته از برخوردها در راستای محور zz ببینیم (اما به دلیل پراکندگی تندی، نه لزوماً با چگالی یکنواخت).

4. نتایج آزمایش

آنچه می‌بینیم این نیست. انحراف تنها در راستای zz رخ می‌دهد، که با صفرشدن میانگین نیروی راستای yy سازگار است، اما روی پرده نوار پیوسته‌ای نیست: دو لکه متقارن نسبت به محور اولیه دیده می‌شود که ناحیه‌ای خالی آن‌ها را از هم جدا می‌کند.

پیش‌بینی کلاسیکی و نتیجهٔ آزمایش. چپ، انتظار مکانیک کلاسیک برای گشتاورهای مغناطیسی با جهت‌های تصادفی: نواری پیوسته از برخوردها. راست، آنچه واقعاً مشاهده می‌شود: دو لکهٔ گسسته و متقارن.
شکل 4. پیش‌بینی کلاسیکی و نتیجهٔ آزمایش. چپ، انتظار مکانیک کلاسیک برای گشتاورهای مغناطیسی با جهت‌های تصادفی: نواری پیوسته از برخوردها. راست، آنچه واقعاً مشاهده می‌شود: دو لکهٔ گسسته و متقارن.
مهم
پس همه‌چیز چنان رخ می‌دهد که گویی مؤلفهٔ اندازه‌گیری‌شدهٔ گشتاور مغناطیسی تنها می‌تواند دو مقدار μz=+μ0\mu_z=+\mu_0 یا μz=−μ0\mu_z=-\mu_0 را بگیرد و هیچ مقدار میانی مجاز نیست.

4.1. اندازه‌گیری μ0\mu_0

مکان دقیق دو لکه امکان برآورد μ0\mu_0 را فراهم می‌کند. با فرض تقریباً ثابت‌بودن گرادیان k=∂Bz/∂zk=\partial B_z/\partial z و سرعت طولی vxv_x در آهنربا، اتم طی مدت T=ℓ/vxT=\ell/v_x شتاب عرضی زیر را تجربه می‌کند:

az=μzm∂Bz∂z,a_z=\frac{\mu_z}{m}\frac{\partial B_z}{\partial z} ,

(9)

از آن به‌سادگی انتگرال می‌گیریم و سپس مسیر را در خط مستقیم تا پرده ادامه می‌دهیم. اتو اشترن و والتر گرلاخ با درنظرگرفتن پارامترهای هندسی آزمایش توانستند مقدار آن را برای اتم‌های نقره اندازه بگیرند و مقدار مگنتون بور را یافتند:

μB=eℏ2me≈9,27×10−24JT−1.\boxed{\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}\approx 9{,}27\times10^{-24} \mathrm{J} \mathrm{T}^{-1}} .
(10)

این اندازه‌گیری به ما اجازه می‌دهد به فرض 4 بازگردیم. بااین‌حال γ\gamma را مستقیماً نمی‌دهد، زیرا گشتاور مغناطیسی را می‌سنجد، نه تکانهٔ زاویه‌ای LL که با آن مرتبط خواهد بود. تنها می‌توان مرتبهٔ بزرگی را بررسی کرد: مقیاس طبیعی تکانهٔ زاویه‌ای اتمی ℏ\hbar است و اگر بنویسیم L∼ℏL\sim\hbar، آنگاه ∣γ∣∼μ0/L∼e/(2me)|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e). بدین‌ترتیب مرتبهٔ بزرگی فرض‌شده در بالا و بسامد زاویه‌ای تقدیم از مرتبهٔ 1010 rad s−110^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1} را بازیابی می‌کنیم که با مشاهده‌نشدن انحراف در راستای yy سازگار است.

4.2. مشکل مکانیک کلاسیک

آزمایش پدیده‌ای بیگانه با مکانیک کلاسیک را آشکار می‌کند: مؤلفهٔ گشتاور مغناطیسی در راستای محوری معین پیوسته تغییر نمی‌کند، بلکه کوانتیده است.

حتی اگر بپذیریم اتم نقره گشتاور مغناطیسی دارد، هنوز باید توضیح دهیم چگونه جهت‌گیری‌های اولیهٔ دلخواه که از حمام گرمایی می‌آیند دقیقاً به دو باریکه منجر می‌شوند. دو سازوکار کلاسیک را بررسی کنیم که ممکن است این نتیجه را توضیح دهند.

آیا میدان درون آهنربا می‌تواند گشتاورها را هم‌راستا کند؟ دیدیم که بدون اتلاف، گشتاور نیروی مغناطیسی سبب تقدیم دوقطبی می‌شود و زاویهٔ آن با میدان را حفظ می‌کند. پس آن را نه با +B⃗+\vec B و نه با −B⃗-\vec B هم‌راستا می‌کند. اما آیا می‌توان همهٔ اتلاف‌ها را نادیده گرفت؟ نظریهٔ الکترومغناطیسی پیش‌بینی می‌کند که گشتاور در حال تقدیم تابش می‌کند3. بااین‌حال این اتلاف ناچیز است: اندکی پس از انتشار نتایج، اینشتین آن را محاسبه کرد و برآورد کرد که واهلش بیش از یک قرن زمان می‌برد، در برابر زمان عبور حدود 10−410^{-4} s از آهنربا [3]. حتی اگر به‌اندازهٔ کافی سریع بود، گشتاورها را به جهت کمترین انرژی، موازی میدان، می‌برد: در آن صورت تنها یک لکه می‌دیدیم، نه دو لکه.

یادداشت 3: توان تابشی دوقطبی مغناطیسی برابر P=∥μ⃗¨∥2/(6πε0c5)P=\|\ddot{\vec\mu}\|^2/(6\pi\varepsilon_0c^5) است. برای گشتاوری با اندازهٔ μ\mu که با بسامد زاویه‌ای ωp\omega_p و زاویهٔ ثابت α\alpha نسبت به میدان تقدیم می‌کند، این توان P=ωp4μ2sin⁡2α/(6πε0c5)P=\omega_p^4\mu^2\sin^2\alpha/(6\pi\varepsilon_0c^5) است. نگاه کنید به فصل 9 از [1].

آیا میدان‌های لبه می‌توانند دو لکه را توضیح دهند؟ در ورودی و خروجی آهنربا، جهت و شدت میدان تغییر می‌کنند و ممکن است تقدیم را پیچیده کنند. بااین‌حال این اثرها به هندسهٔ دقیق آهنرباها و جزئیات کلی آزمایش بستگی دارند و بنابراین باید از آزمایشی به آزمایش دیگر تغییر کنند. اما جدایی به دو باریکه به آن‌ها وابسته نیست. افزون بر این، در این مدل کلاسیک، تحول بر پایهٔ قوانین مکانیک و معادلات ماکسول تابعی پیوسته از جهت‌گیری اولیه است: نمی‌تواند پیوستار جهت‌گیری‌های اولیه را به تنها دو مقدار خروجی تبدیل کند.

4.3. پدیدارشدن تصادف

در نسخه‌ای امروزی از آزمایش، می‌توان شار را آن‌قدر کم کرد که اتم‌ها یکی‌یکی از دستگاه بگذرند. هر اتم تنها یک برخورد در یکی از دو لکه ایجاد می‌کند. با انباشته‌شدن برخوردها، لکه‌ها به‌تدریج شکل می‌گیرند.

این ویژگی تصادفی هنوز برای اثبات وجود تصادف بنیادی کافی نیست: اتم‌ها از کوره خارج می‌شوند و شرایط اولیه‌شان از اتمی به اتم دیگر فرق دارد. پیش‌بینی‌ناپذیری را هنوز می‌توان به ناآگاهی ما از این شرایط نسبت داد. وقتی آماده‌سازی باریکه را بهتر کنترل کنیم، این پرسش جدی‌تر خواهد شد.

5. چند دستگاه اشترن و گرلاخ پشت سر هم

آزمایش‌هایی که چند SG را پشت سر هم قرار می‌دهند نقش آماده‌سازی و احتمال‌ها را روشن‌تر می‌کنند و سپس ناسازگاری میان بعضی اندازه‌گیری‌ها را نشان می‌دهند.

5.1. آماده‌سازی باریکه

در خروجی دستگاه SGz\mathrm{SG}_z، باریکه به دو شاخه جدا می‌شود. شاخهٔ نتیجهٔ مثبت را z+z+ و شاخهٔ نتیجهٔ منفی را z−z- می‌نامیم.

می‌توان مانعی در یکی از شاخه‌ها گذاشت و تنها دیگری را نگه داشت. اگر z−z- مسدود شود، تمام اتم‌هایی که آزمایش را ادامه می‌دهند در دستگاه نخست نتیجهٔ z+z+ داده‌اند. بنابراین دستگاه تنها برای اندازه‌گیری نیست: برای آماده‌سازی باریکه‌ای به‌خوبی تعریف‌شده برای آزمایش بعدی نیز به کار می‌رود.

آماده‌سازی به‌دست‌آمده را ∣z+⟩\ket{z+} می‌نامیم. در این مرحله، این نماد تنها به معنای «اتمی است که همین حالا از شاخهٔ z+z+ یک تحلیلگر SGz\mathrm{SG}_z خارج شده است». ساختار ریاضی مرتبط با این نماد را به‌تدریج کشف خواهیم کرد.

5.2. تکرارپذیری در یک محور

یک SGz\mathrm{SG}_z دوم را پس از اولی قرار دهیم و تنها شاخهٔ z+z+ دستگاه نخست را نگه داریم؛ نگاه کنید به شکل 5. در آزمایش مشاهده می‌شود که دستگاه دوم تنها یک لکه در شاخهٔ z+z+ می‌دهد. شاخهٔ z−z- خالی است.

دو دستگاه SG_z پشت سر هم. تنها شاخهٔ z+ دستگاه نخست نگه داشته می‌شود و شاخهٔ z- مسدود است. دستگاه دوم فقط یک لکه در شاخهٔ z+ می‌دهد: نتیجهٔ اندازه‌گیری نخست کاملاً تکرار می‌شود.
شکل 5. دو دستگاه SGz\mathrm{SG}_z پشت سر هم. تنها شاخهٔ z+z+ دستگاه نخست نگه داشته می‌شود و شاخهٔ z−z- مسدود است. دستگاه دوم فقط یک لکه در شاخهٔ z+z+ می‌دهد: نتیجهٔ اندازه‌گیری نخست کاملاً تکرار می‌شود.

تصویر کلاسیک در اینجا مشکلی ندارد. اگر دستگاه نخست مقداری از μz\mu_z را انتخاب می‌کرد یا گشتاورها را در راستای zz هم‌راستا می‌کرد و بعد چیزی مؤلفهٔ μz\mu_z آن‌ها را تغییر نمی‌داد، دستگاه دوم باید برای تمام اتم‌های انتخاب‌شده همان انحراف را ایجاد می‌کرد. پس این نتیجه با تصویر جداسازی ساده سازگار است.

مهم (تکرارپذیری)
اندازه‌گیری ایدئالی که عیناً تکرار شود، بدون تحول حالت بین دو اندازه‌گیری، با قطعیت همان نتیجه را می‌دهد. اینجا به‌دست‌آوردن z+z+ حالت ∣z+⟩\ket{z+} را آماده می‌کند: اندازه‌گیری تازه در راستای zz با احتمال 11 نتیجهٔ z+z+ می‌دهد. برای z−z- نیز همین‌طور است.

5.3. دو محور متفاوت

اکنون دستگاه دوم را با SGx\mathrm{SG}_x جایگزین کنیم که محور تحلیل آن بر محور نخست عمود است؛ نگاه کنید به شکل 6. دوباره دو لکه با نسبت‌های برابر می‌بینیم.

دستگاه SG_z و سپس دستگاه SG_x. با وجود آماده‌سازی z+، دستگاه دوم دو لکه با شدت برابر می‌دهد، نه یک لکهٔ مرکزی که از گشتاور مغناطیسی کلاسیک هم‌راستا با e_z انتظار می‌رود.
شکل 6. دستگاه SGz\mathrm{SG}_z و سپس دستگاه SGx\mathrm{SG}_x. با وجود آماده‌سازی ∣z+⟩\ket{z+}، دستگاه دوم دو لکه با شدت برابر می‌دهد، نه یک لکهٔ مرکزی که از گشتاور مغناطیسی کلاسیک هم‌راستا با e⃗z\vec e_z انتظار می‌رود.

دو تفسیر کلاسیک ممکن است. اگر دستگاه نخست μ⃗\vec\mu را کاملاً در راستای zz قرار داده باشد، آنگاه μx=0\mu_x=0: دستگاه دوم باید لکه‌ای مرکزی بدهد. اگر فقط مقادیر مثبت μz\mu_z را انتخاب کرده باشد، بدون تعیین مؤلفه‌های دیگر، آنگاه μx\mu_x همچنان توزیعی پیوسته دارد: باید نواری پیوسته ببینیم. هیچ‌یک از این دو تفسیر، دو لکهٔ مشاهده‌شده را پیش‌بینی نمی‌کند.

به حالتی بازگردیم که اتم‌ها یکی‌یکی فرستاده می‌شوند. هر اتم در شاخهٔ x+x+ یا x−x- برخورد می‌کند؛ برای تعداد زیادی اتم، دو نتیجه با نسبت برابر ظاهر می‌شوند. بااین‌حال باریکه‌ای که وارد SGx\mathrm{SG}_x می‌شود آماده‌سازی کنترل‌شده‌تری از باریکهٔ مستقیم کوره دارد: تمام اتم‌هایش در شاخهٔ z+z+ دستگاه نخست انتخاب شده‌اند. همان‌طور که دیدیم، آماده‌سازی ∣z+⟩\ket{z+} حتی نتیجه‌ای قطعی را در اندازه‌گیری تازه در راستای zz تضمین می‌کند.

با وجود این، این آماده‌سازی اجازه نمی‌دهد پیش‌بینی کنیم برخورد هنگام اندازه‌گیری در راستای xx در کدام شاخه رخ می‌دهد. استدلال بی‌نظمی ساده در خروجی کوره دیگر کافی نیست: آماده‌سازی یکسانی که یک اندازه‌گیری را قطعی می‌کند، دیگری را تصادفی باقی می‌گذارد. نقش احتمال‌ها در مکانیک کوانتومی روشن‌تر می‌شود.

6. سه دستگاه SG پشت سر هم

6.1. ZXZ: پالایش آماده‌سازی را تغییر می‌دهد

اکنون دنبالهٔ SGz→SGx→SGz\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z را در نظر بگیریم؛ نگاه کنید به شکل 7. پس از دستگاه نخست تنها z+z+ و پس از دومی تنها x+x+ را نگه می‌داریم. سرانجام این باریکهٔ تازه را در راستای zz تحلیل می‌کنیم.

دنبالهٔ SG_z SG_x SG_z، با انتخاب شاخهٔ مثبت پس از هریک از دو دستگاه نخست. شاخهٔ z- که در آرایش شکل~ fig:sg-zz خالی بود، با شدتی برابر با z+ دوباره ظاهر می‌شود.
شکل 7. دنبالهٔ SGz→SGx→SGz\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z، با انتخاب شاخهٔ مثبت پس از هریک از دو دستگاه نخست. شاخهٔ z−z- که در آرایش شکل 5 خالی بود، با شدتی برابر با z+z+ دوباره ظاهر می‌شود.

از دید کلاسیک، فرض هم‌راستایی کامل گشتاور مغناطیسی با محور SG را پیش‌تر کنار گذاشته‌ایم، زیرا در دستگاه دوم لکه‌ای مرکزی پیش‌بینی می‌کرد و در نتیجه شاخهٔ x+x+ برای انتخاب وجود نداشت. اگر تصویر جداسازی ساده را حفظ کنیم، دستگاه نخست مقدار مثبتی از μz\mu_z را انتخاب می‌کند و سپس دومی اتم‌ها را بر پایهٔ μx\mu_x جدا می‌کند، بدون آنکه μz\mu_z تغییر کند. دستگاه سوم باید تنها شاخهٔ z+z+ را بازیابد. اما شاخهٔ z−z- دوباره ظاهر می‌شود.

پس پالایش در راستای xx آماده‌سازی را تغییر داده است. پس از انتخاب x+x+، نتیجهٔ قبلی z+z+ دیگر پیش‌بینی قطعی اندازه‌گیری تازهٔ zz را ممکن نمی‌کند. به نظر می‌رسد خود حالت به‌وسیلهٔ دستگاه دوم تغییر کرده است.

گاهی این واقعیت را چنین خلاصه می‌کنند که «اندازه‌گیری xx اطلاعات مربوط به zz را از بین می‌برد». این عبارت مفید است، به شرط آنکه یادمان باشد هیچ‌چیز در اینجا به دانسته‌ها یا نگاه آزمایشگر وابسته نیست. پالایهٔ x+x+ از نظر فیزیکی حالت تازه‌ای، ∣x+⟩\ket{x+}، آماده کرده و این حالت دو نتیجهٔ z+z+ و z−z- را با احتمال برابر می‌دهد.

مهم (ناسازگاری)
آماده‌سازی‌هایی که نتیجهٔ اندازه‌گیری در راستای zz را قطعی می‌کنند، نتیجهٔ اندازه‌گیری در راستای xx را قطعی نمی‌کنند و برعکس. مؤلفه‌های xx و zz را نمی‌توان دو عدد کلاسیک ازپیش‌موجود دانست که دستگاه‌ها فقط آشکارشان می‌کنند. بعداً از مشاهده‌پذیرهای ناسازگار سخن خواهیم گفت.

6.2. ZYZ: احتمال‌های یکسان، آماده‌سازی متفاوت

سرانجام تحلیلگر میانی در راستای xx را با تحلیلگری در راستای yy جایگزین کنیم و باز تنها شاخهٔ مثبتش را نگه داریم. دنبالهٔ SGz→SGy→SGz\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z در آخرین اندازه‌گیری باز دو نتیجهٔ هم‌احتمال می‌دهد. این نتیجه به هر محور میانی عمود بر zz تعمیم می‌یابد: برای جهت u⃗=cos⁡φ e⃗x+sin⁡φ e⃗y\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y در صفحهٔ (x,y)(x,y)، انتخاب شاخهٔ u+u+ باز در اندازه‌گیری نهایی در راستای zz دو نتیجهٔ هم‌احتمال می‌دهد.

اما این بدان معنا نیست که آماده‌سازی‌های ∣x+⟩\ket{x+}، ∣y+⟩\ket{y+} یا ∣u+⟩\ket{u+} همه یکسان‌اند. تحلیل در راستای xx آن‌ها را متمایز می‌کند: برای اولی قطعاً x+x+، برای دومی x+x+ یا x−x- با نسبت برابر می‌دهد، و آزمایش نشان می‌دهد که برای سومی احتمال‌های دو نتیجه به φ\varphi وابسته‌اند. پس دو آماده‌سازی می‌توانند برای یک اندازه‌گیری احتمال‌های یکسان بدهند و در عین حال از نظر فیزیکی متفاوت باشند.

7. صورت‌بندی در حال شکل‌گیری

ادعا نمی‌کنیم که تمام صورت‌بندی کوانتومی را تنها از این آزمایش‌ها استخراج می‌کنیم. بااین‌حال شکست توصیف کلاسیک ما را به بازنگری واژگانمان وامی‌دارد و راه تازه‌ای برای نمایش حالت‌ها پیشنهاد می‌کند.

7.1. حالت فهرستی از مقادیر نیست

آماده‌سازی ∣z+⟩\ket{z+} را نمی‌توان به دادهٔ «μz=+μ0\mu_z=+\mu_0، همراه با مقادیر نامعلوم ولی ازپیش‌تعیین‌شدهٔ μx\mu_x و μy\mu_y» فروکاست که دستگاه‌ها فقط آشکارشان کنند. در این تصویر جداسازی ساده، دنبالهٔ Z ⁣X ⁣ZZ\!X\!Z نتیجهٔ z+z+ را با نسبت 100 %100\,\% بازمی‌داد، درحالی‌که چنین نیست. پس اگر حالت فهرست مقادیر ازپیش‌موجود نیست، چگونه باید آن را نمایش داد؟

7.2. به سوی برهم‌نهی کوانتومی

نوآوری اصلی صورت‌بندی کوانتومی این است که خود حالت داده‌های لازم برای محاسبهٔ احتمال نتایج اندازه‌گیری را در بر می‌گیرد.

آماده‌سازی ∣x+⟩\ket{x+} در راستای xx نتیجه‌ای قطعی، اما در راستای zz دو نتیجهٔ هم‌احتمال می‌دهد. صورت‌بندی کوانتومی برای توصیف این وضعیت، ∣x+⟩\ket{x+} را برهم‌نهی دو حالت ∣z+⟩\ket{z+} و ∣z−⟩\ket{z-} نمایش می‌دهد:

∣x+⟩=12(∣z+⟩+∣z−⟩).\ket{x+}=\frac{1}{\sqrt2} \left(\ket{z+}+\ket{z-}\right).
(11)

ضرایب (اینجا 1/21/\sqrt{2} پیش از هر جمله) دامنه نام دارند: مربع قدرمطلقشان احتمال نتایج در راستای zz را می‌دهد، اینجا 1/21/2 برای هرکدام. تمام اتم‌های آماده‌شده در ∣x+⟩\ket{x+} حالت یکسانی دارند که با این ترکیب خطی نمایش داده می‌شود. این یک مخلوط آماری نیست که در آن برخی اتم‌ها در ∣z+⟩\ket{z+} و بقیه در ∣z−⟩\ket{z-} باشند.

این ساختار را نمی‌توان تنها از نتایج ارائه‌شده در اینجا به‌طور کامل استخراج کرد. آزمایش‌های تداخل در درس بعد آن را بیشتر توجیه خواهند کرد. در نهایت باید آن را به‌عنوان اصل موضوع بپذیریم.

7.3. فضای برداری مختلط

نسخه‌های ZYZ و به‌طور کلی‌تر ZUZ این پرسش را پیش می‌کشند: آماده‌سازی‌های ∣y+⟩\ket{y+} یا ∣u+⟩\ket{u+} نیز در راستای zz نتیجهٔ 50/5050/50 می‌دهند، اما هنگامی که φ̸  =def  0(mod2π)\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}، با ∣x+⟩\ket{x+} متفاوت‌اند. پس دو دامنهٔ آن‌ها در پایهٔ ∣z+⟩,∣z−⟩\ket{z+},\ket{z-} باید قدرمطلق 1/21/\sqrt2 داشته باشد. اگر دامنه‌ها حقیقی بودند، فقط چهار انتخاب علامت برای ±1/2\pm1/\sqrt2 باقی می‌ماند: این تعداد متناهی امکان برای نمایش تنوع پیوستهٔ آماده‌سازی‌های ∣u+⟩\ket{u+} کافی نبود.

پس صورت‌بندی کوانتومی از دامنه‌های مختلط استفاده می‌کند که فازهایشان می‌توانند بدون تغییر قدرمطلق تغییر کنند. برای مثال، خواهیم نوشت:

∣x+⟩=12(∣z+⟩+∣z−⟩),∣y+⟩=12(∣z+⟩+i∣z−⟩),\ket{x+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+\ket{z-}\right), \qquad \ket{y+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+i\ket{z-}\right),

(12)

و به‌طور کلی‌تر برای هر زاویهٔ φ\varphi، ∣u+⟩=12(∣z+⟩+eiφ∣z−⟩)\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right). حالت‌ها متفاوت‌اند، اما احتمال‌ها در راستای zz همواره 1/21/2 می‌مانند. جدی‌گرفتن این ترکیب‌های خطی ما را به نمایش حالت‌ها با بردارهایی در یک فضای برداری مختلط انتزاعی می‌رساند. واژهٔ «انتزاعی» یادآور می‌شود که ضرایب، دامنه‌های احتمال‌اند، نه مؤلفه‌های فضایی یک گشتاور مغناطیسی کلاسیک. آماده‌سازی حالت را به‌طور کلی‌تر می‌توان چنین نوشت:

∣ψ⟩=α∣z+⟩+β∣z−⟩,α,β∈C.\ket{\psi}=\alpha\ket{z+}+\beta\ket{z-},\qquad \alpha,\beta\in\mathbb C.

(13)

برای دستیابی به دامنه‌ها و سپس مربع قدرمطلقشان، باید حالت را روی حالت‌های مرتبط با نتایج ممکن تصویر کنیم. ساده‌ترین راه به‌دست‌آوردن این مؤلفه‌ها استفاده از یک ضرب داخلی خواهد بود. این ضرب یک نرم نیز تعریف می‌کند که اینجا

∥ψ∥2=∣α∣2+∣β∣2=1.\|\psi\|^2=|\alpha|^2+|\beta|^2=1.

(14)

بنابراین مربع نرم برابر مجموع احتمال‌های نتایج ممکن است: این مجموع باید یک باشد و حالت با برداری با نرم یک نمایش داده خواهد شد.

در صورت‌بندی در حال شکل‌گیری، حالت‌ها بردارهای یک فضای هیلبرت مختلط خواهند بود، یعنی فضایی مجهز به ضرب داخلی که محاسبهٔ احتمال‌ها را ممکن می‌کند. ساختار خطی آن اجازهٔ جمع‌کردن دامنه‌ها را می‌دهد و اصل برهم‌نهی کوانتومی را بیان می‌کند. همهٔ این مطالب در مبحث 2 به‌تفصیل بررسی خواهد شد.

8. برای مطالعهٔ بیشتر

یک قرن پس از این آزمایش‌ها، می‌توانیم روشن کنیم واقعاً چه چیزی را اندازه می‌گیرند. پس از اشترن و گرلاخ، به‌تدریج فهمیدیم که گشتاور مغناطیسی اندازه‌گیری‌شده در اتم نقره اساساً به اسپین یک الکترون جفت‌نشده مربوط است. این اسپین تکانهٔ زاویه‌ای ذاتی است و با تکانهٔ زاویه‌ای مداری الکترون تفاوت دارد. الکترون ذره‌ای با اسپین 1/21/2 است: اندازه‌گیری تصویر اسپینش روی یک محور دو مقدار ممکن می‌دهد، Sz=±ℏ/2S_z=\pm\hbar/2.

با این تکانهٔ زاویه‌ای اسپین، یک گشتاور مغناطیسی متناسب با اسپین مرتبط است:

μ⃗s=−emeS⃗,∣γs∣=eme,\vec\mu_s=-\frac{e}{m_e}\vec S, \qquad |\gamma_s|=\frac{e}{m_e},

(15)

که در آن ee مقدار مثبت بار بنیادی و γs\gamma_s نسبت ژیرومغناطیسی الکترون است. علامت منفی به بار منفی الکترون مربوط است: گشتاور مغناطیسی آن خلاف جهت اسپینش است. پس دو مقدار اندازه‌پذیر مؤلفهٔ آن μs,z=±μB\mu_{s,z}=\pm\mu_B است، با μB=eℏ/(2me)\mu_B=e\hbar/(2m_e). اسپین و گشتاور مغناطیسی دو کمیت متمایز و متناسب با یکدیگرند.

در اتم باید تکانهٔ زاویه‌ای مداری الکترون را هم در نظر گرفت که گشتاور مغناطیسی دیگری با آن مرتبط است. هیدروژن مثال ساده‌ای است: تنها الکترونش هم اسپین دارد و هم حالت مداری. در حالت پایهٔ 1s1s، تکانهٔ زاویه‌ای مداری صفر است؛ پس سهم الکترونی گشتاور مغناطیسی اتم از اسپین می‌آید. آزمایش اشترن و گرلاخ روی هیدروژن در سال 1927 توسط فیپس و تیلور انجام شد.

اتم نقره الکترون‌های بیشتری دارد، اما آرایش الکترونی آن، [Kr] 4d10 5s1[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1، وضعیت را به همان اصل برمی‌گرداند. می‌توان نشان داد که در پوسته‌های پر، سهم‌های مداری و اسپینی یکدیگر را خنثی می‌کنند. آنگاه الکترون 5s5s باقی می‌ماند که تکانهٔ زاویه‌ای مداری‌اش در حالت پایه صفر و اسپینش 1/21/2 است. بنابراین آزمایش تاریخی گشتاور مغناطیسی اسپین همین الکترون را آشکار کرد.

9. منابع