Introduzione generale ed esperimenti fondamentali

1. Introduzione

Da qualche parte bisogna pur cominciare. Molte presentazioni della meccanica quantistica iniziano con l'esperimento delle fenditure di Young, oppure con lo studio storico della radiazione di corpo nero e dell'ipotesi introdotta da Planck per spiegarla (Planck, 1900).

Planck introduce l'idea che l'energia possa essere scambiata soltanto in quantità discrete, i quanti che daranno il nome alla teoria. Per comprenderne il ragionamento occorre però conoscere la fisica statistica, e non sempre chi inizia gli studi possiede queste conoscenze.

L'esperimento delle fenditure di Young, dal canto suo, è spettacolare. Nella versione quantistica, con particelle inviate una alla volta, rivela comportamenti semplicemente incomprensibili in termini classici. Secondo l'autore, però, questo esperimento è molto più facile da capire a posteriori, una volta noti i principi della teoria quantistica. In un certo senso, riassume da solo diversi tra gli aspetti più strani della teoria.

Cominceremo quindi diversamente, con l'esperimento di Stern e Gerlach (1922), che riguarda un oggetto apparentemente semplice e ben compreso classicamente: una particella dotata di momento magnetico. Nell'esperimento storico si tratta di un atomo d'argento, e l'unica cosa da ammettere provvisoriamente è che un tale atomo possieda effettivamente un momento magnetico. Quando lo si invia in una regione con un campo magnetico disomogeneo, le leggi della meccanica e dell'elettromagnetismo ne prevedono facilmente la traiettoria.

Anche i risultati sono spettacolari: differiscono radicalmente dalle previsioni classiche. Concatenando esperimenti sempre più elaborati, la descrizione classica crolla e vediamo emergere successivamente la quantizzazione (si veda la sezione 4), la sovrapposizione quantistica (si veda la sezione 7.2) e un altro fenomeno puramente quantistico che le fenditure di Young non mostrano direttamente: l'incompatibilità fra determinate misure (si veda la sezione 6.1).

Inizieremo ricordando che cos'è un momento magnetico. Descriveremo poi l'esperimento e ciò che si dovrebbe osservare se l'atomo si comportasse come un piccolo magnete ordinario, quindi presenteremo i risultati effettivi e ne discuteremo le implicazioni.

2. Richiami sul momento magnetico classico

2.1. Il momento magnetico

Un momento magnetico $\vec{\mu}$, o dipolo magnetico, è un vettore. Un magnete naturale possiede un momento magnetico che per definizione è diretto dal polo Sud al polo Nord del magnete. Questa è anche la direzione delle linee di campo magnetico al suo interno; all'esterno esse escono dal polo Nord e ritornano al polo Sud, si veda la Figura 1.

Questo momento è la grandezza fondamentale che quantifica l'intensità di un magnete. Per esempio, la repulsione tra due magneti orientati Sud-Sud dipende dal prodotto dei loro momenti magnetici e dalla distanza.

I magneti naturali, tuttavia, non sono molto comodi per proseguire la discussione, perché non è immediatamente evidente che cosa generi il loro campo magnetico. Molto più pratici sono gli elettromagneti, cioè le spire percorse da corrente. Per una spira piana con corrente di intensità $I$ che delimita una superficie $S$, si dimostra che il momento magnetico vale $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$, dove $\vec{n}$ è il versore normale alla spira, orientato secondo la regola della mano destra.

Questa è l'unica espressione di cui avremo bisogno. La teoria dei momenti magnetici è naturalmente più generale: definisce il momento magnetico di una distribuzione qualsiasi di corrente mediante un integrale su tale distribuzione. La formula della spira ne è un caso particolare. Per maggiori dettagli su questa costruzione rimandiamo ai testi consueti, per esempio al capitolo 5 di ^[1].

2.2. Accoppiamento al campo magnetico

La meccanica classica ricava tre proprietà di un dipolo magnetico immerso in un campo magnetico esterno $\vec B$.

La terza formula segue direttamente dalla seconda tramite $\vec{F} = -\grad E_p$. Mostra che un sistema dotato di momento magnetico, posto in un campo disomogeneo, subisce una forza risultante che ne devia la traiettoria. Le prime due derivano dal calcolo esplicito della forza di Laplace sulla distribuzione di corrente (per il momento torcente) e del lavoro di tale forza (per l'energia potenziale). Non lo riproduciamo qui e rimandiamo in particolare alle sezioni 5.2 e 5.7 di ^[1] per la dimostrazione completa¹.

Al di là dei dettagli tecnici, ricordiamo soprattutto questo. L'energia potenziale nell'Eq. (2) è minima quando $\vec\mu$ è parallelo a $\vec B$ e massima quando è antiparallelo: un dipolo magnetico tende ad allinearsi al campo tramite il momento torcente dell'Eq. (1). È il principio di funzionamento della bussola. In assenza di dissipazione, però, l'ago oscillerebbe indefinitamente attorno alla direzione Nord, per effetto del momento torcente e del teorema del momento angolare. Se alla fine si ferma, è perché l'attrito sul suo asse di rotazione dissipa l'energia dell'oscillazione.

2.3. Rapporto giromagnetico e precessione

Questa evoluzione assume una forma particolare quando il momento magnetico è proporzionale a un momento angolare interno associato al dipolo. In questo caso introduciamo il rapporto giromagnetico $\gamma$ tramite la proporzionalità:

Una relazione come l'Eq. (4) compare, per esempio, per il momento magnetico di una carica classica in orbita circolare. Una carica $q$, di massa $m$, che percorre un cerchio di raggio $R$ alla velocità $v$, equivale infatti a una corrente $I=qv/(2\pi R)$. Produce quindi il momento magnetico

In questo modello orbitale classico vale $\gamma=q/(2m)$. Il teorema del momento angolare e l'Eq. (1) danno insieme $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$ e quindi, se $\gamma$ è costante, l'equazione di precessione:

In un campo uniforme, la soluzione mostra che il vettore $\vec\mu$ descrive un cono attorno alla direzione del campo, cioè compie un moto di precessione, alla pulsazione di Larmor $\omega_L=|\gamma|B$, si veda la Figura 2.

3. L'esperimento di Stern e Gerlach

Il principio dell'esperimento è riassunto nella Figura 3. Una sorgente invia particelle neutre in un campo magnetico disomogeneo creato da due magneti affacciati. Uno schermo più lontano raccoglie gli impatti e permette di misurare un'eventuale deviazione.

3.1. L'apparato

I magneti.

La forza dell'Eq. (3) è identicamente nulla se il campo esterno è uniforme. Un dipolo in un campo omogeneo subisce soltanto un momento torcente e il suo centro di massa prosegue in linea retta. È dunque la disomogeneità del campo a rendere interessante l'esperimento.

Per generarla, uno Stern e Gerlach (nome comune dell'apparato, detto anche SG) usa due magneti sagomati, uno a punta e l'altro a punta rovesciata o con fondo leggermente curvo, si veda la Figura 3. Questa geometria concentra le linee di campo verso lo spigolo appuntito del magnete superiore. Poiché le linee si addensano, la conservazione del flusso magnetico $\mathrm{div} \vec B = 0$ in un tubo di campo indica che il campo cresce verso quello spigolo, qui quindi con $z$.

Al primo ordine vorremmo scrivere il campo interno come $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ con $k>0$, ma ciò non soddisferebbe la condizione di divergenza nulla $\mathrm{div} \vec B = 0$. Il campo deve quindi possedere anche una componente trasversale. Trascurando gli effetti di bordo e supponendo l'invarianza lungo $\vec e_x$, si trova:

Come ordine di grandezza, negli apparati usuali $B_0 \sim 0{,}1$ T, con $k\Delta z \ll B_0$ su tutta la distanza verticale fra i magneti, tipicamente alcuni millimetri. La lunghezza dei magneti è di alcuni centimetri.

La sorgente.

È un piccolo forno sotto vuoto contenente argento solido. Ad alta temperatura, gli atomi vaporizzati escono da un'apertura e diverse fenditure strette selezionano quelli con velocità quasi parallela a $\vec e_x$: si ottiene un fascio atomico collimato, con velocità tipica di alcune centinaia di metri al secondo e la dispersione ereditata dalla distribuzione di Maxwell-Boltzmann.

Si inviano particelle elettricamente neutre per sondare soltanto gli effetti magnetici dipolari. Particelle cariche subirebbero anche la forza di Lorentz $q\,\vec v\wedge\vec B$, di modulo $qvB_0$, che dominerebbe ampiamente la forza $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ di nostro interesse.

Lo schermo.

Nell'esperimento storico, gli atomi d'argento si depositavano progressivamente sullo schermo fino a formare una traccia visibile. In un esperimento moderno si può ridurre il flusso abbastanza da registrare gli impatti uno alla volta. Questa possibilità sarà importante nel seguito e vi ritorneremo.

3.2. Previsione della meccanica classica

Inviamo nella regione di campo dell'Eq. (7) una particella neutra con momento magnetico $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$. L'equazione 3 dà

Il dipolo viene quindi deviato non soltanto lungo $z$, ma anche lungo $y$. Chi ha già incontrato altrove l'esperimento di Stern e Gerlach potrebbe stupirsene, perché molte dispense si limitano a descrivere ciò che avviene sull'asse $z$. In realtà, i due termini dell'Eq. (8) svolgono a priori lo stesso ruolo.

La ragione per cui possiamo trascurare ciò che avviene sull'asse $y$ sta nella precessione, ed è qui che dobbiamo introdurre un'ipotesi cruciale, da giustificare a posteriori. Supporremo che il momento magnetico dell'atomo sia proporzionale a un suo momento angolare interno $\vec L$.

Con questa ipotesi, e poiché il campo costante $B_0\vec e_z$ domina ampiamente le correzioni $kz\,\vec e_z$ e $-ky\,\vec e_y$, il momento magnetico compie, al primo ordine, un moto di precessione attorno a $\vec e_z$ alla pulsazione $\omega_p = |\gamma| B_0$, dove $\gamma$ è il rapporto giromagnetico. Durante la precessione, $\mu_z$ resta quindi costante mentre $\mu_y$ oscilla attorno a zero.

Questa precessione è rapida. Le formule precedenti forniscono ordini di grandezza a priori appropriati al mondo atomico. Usando carica elementare e massa dell'elettrone, $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ diventa $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$². Con $B_0\approx0{,}1$ T otteniamo $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. D'altra parte, il tempo di volo nel magnete è $T=\ell/v_x$, circa $10^{-4}$ s per $\ell$ di alcuni centimetri e $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Il momento magnetico compie così alcune centinaia di migliaia di giri durante l'attraversamento. La forza lungo $y$ ha quindi media nulla con precisione eccellente.

In questo modello l'unica forza rilevante, in media, è dunque $\langle F_z\rangle=k\mu_z$. Ne segue immediatamente che la deviazione finale sullo schermo deve essere proporzionale a $\mu_z$. Restano solo le condizioni iniziali. Gli atomi escono da un forno, cioè da un bagno termico in cui nessuna direzione spaziale è privilegiata. All'ingresso dello SG i momenti magnetici devono quindi essere orientati casualmente, e la loro componente verticale $\mu_z$ assumere con continuità tutti i valori fra $-\mu$ e $+\mu$, con distribuzione uniforme.

La previsione classica è inequivocabile: si deve osservare una banda continua di impatti lungo l'asse $z$, non necessariamente uniforme a causa della dispersione delle velocità.

4. I risultati sperimentali

Non è questo che si osserva. La deviazione avviene soltanto lungo $z$, coerentemente con l'annullarsi della forza media lungo $y$, ma sullo schermo non appare una banda continua: si vedono due macchie, simmetriche rispetto all'asse iniziale e separate da una regione vuota.

4.1. La misura di $\mu_0$

La posizione precisa delle due macchie permette di stimare $\mu_0$. Supponendo approssimativamente costanti il gradiente $k=\partial B_z/\partial z$ e la velocità longitudinale $v_x$ nel magnete, l'atomo subisce l'accelerazione trasversale

per un intervallo $T=\ell/v_x$. La si integra in modo elementare e si prolunga poi la traiettoria in linea retta fino allo schermo. Tenendo conto dei parametri geometrici dell'esperimento, Otto Stern e Walther Gerlach poterono così misurarne il valore per gli atomi d'argento, trovando quello del magnetone di Bohr

Questa misura permette di tornare sull'ipotesi 4. Non fornisce però direttamente $\gamma$, perché riguarda il momento magnetico e non il momento angolare $L$ che gli sarebbe associato. Possiamo soltanto verificare un ordine di grandezza: la scala naturale di un momento angolare atomico è $\hbar$, e scrivendo $L\sim\hbar$ si ha $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$. Ritroviamo così l'ordine di grandezza postulato in precedenza e una pulsazione di precessione dell'ordine di $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, coerente con l'assenza osservata di deviazione lungo $y$.

4.2. Il problema per la meccanica classica

L'esperimento mette in evidenza un fenomeno estraneo alla meccanica classica: la componente di un momento magnetico lungo un dato asse non varia con continuità, ma è quantizzata.

Anche ammettendo che l'atomo d'argento possieda un momento magnetico, resta da spiegare come orientazioni iniziali qualsiasi, provenienti da un bagno termico, conducano esattamente a due fasci. Esaminiamo due meccanismi classici che potrebbero spiegare questo risultato.

Il campo nel magnete potrebbe allineare i momenti? Senza dissipazione, abbiamo visto che il momento torcente magnetico imprime al dipolo un moto di precessione conservandone l'angolo con il campo. Non lo allinea quindi né con $+\vec B$ né con $-\vec B$. Ma possiamo trascurare ogni dissipazione? La teoria elettromagnetica prevede infatti che un momento in precessione irradi³. Questa dissipazione è tuttavia trascurabile: poco dopo la pubblicazione dei risultati, Einstein la calcolò e stimò che il rilassamento avrebbe richiesto più di un secolo, contro circa $10^{-4}$ s di transito nel magnete ^[3]. Anche se fosse abbastanza rapida, porterebbe i momenti verso l'orientazione di energia minima, parallela al campo: si osserverebbe una sola macchia, non due.

I campi di bordo potrebbero spiegare le due macchie? All'ingresso e all'uscita del magnete, direzione e intensità del campo variano e possono complicare la precessione. Questi effetti dipendono però dalla geometria precisa dei magneti e dell'esperimento in generale, e dovrebbero quindi variare da un esperimento all'altro. La separazione in due fasci, invece, non ne dipende. Inoltre, in questo modello classico, l'evoluzione secondo le leggi della meccanica e le equazioni di Maxwell è una funzione continua dell'orientazione iniziale: non può trasformare il continuo delle orientazioni iniziali in soli due valori in uscita.

4.3. La comparsa del caso

In una versione moderna dell'esperimento si può ridurre il flusso fino a far attraversare l'apparato agli atomi uno alla volta. Ogni atomo produce un solo impatto, in una delle due macchie. Queste si delineano progressivamente man mano che gli impatti si accumulano.

Questa casualità non basta ancora a stabilire l'esistenza di un caso fondamentale: gli atomi escono da un forno e le loro condizioni iniziali variano da un atomo all'altro. L'imprevedibilità potrebbe dunque essere ancora attribuita alla nostra ignoranza di tali condizioni. La questione diventerà più pressante quando controlleremo meglio la preparazione del fascio.

5. Più apparati di Stern e Gerlach in serie

Gli esperimenti con più SG in serie chiariranno il ruolo della preparazione e delle probabilità, mostrando poi l'incompatibilità fra determinate misure.

5.1. Preparazione di un fascio

All'uscita di un apparato $\mathrm{SG}_z$, il fascio si separa in due canali. Indicheremo con $z+$ quello corrispondente al risultato positivo e con $z-$ quello corrispondente al negativo.

Si può collocare un ostacolo su uno dei canali e conservare soltanto l'altro. Se blocchiamo $z-$, tutti gli atomi che proseguono l'esperimento hanno dato il risultato $z+$ nel primo apparato. Il dispositivo non serve quindi più soltanto a misurare: serve a preparare un fascio ben definito per l'esperimento successivo.

Indicheremo con $\ket{z+}$ la preparazione così ottenuta. Per ora questa notazione significa semplicemente «un atomo appena uscito dal canale $z+$ di un analizzatore $\mathrm{SG}_z$». Scopriremo progressivamente la struttura matematica associata a questo simbolo.

5.2. Riproducibilità lungo lo stesso asse

Poniamo un secondo $\mathrm{SG}_z$ dopo il primo, conservando soltanto il canale $z+$ del primo apparato, si veda la Figura 5. Si osserva sperimentalmente che il secondo apparato produce allora una sola macchia, nel canale $z+$. Il canale $z-$ è vuoto.

L'immagine classica non pone qui alcun problema. Se il primo apparato selezionasse un valore di $\mu_z$ o allineasse i momenti lungo $z$, e se nulla ne modificasse poi la componente $\mu_z$, il secondo dovrebbe dare la stessa deviazione per tutti gli atomi selezionati. Questo risultato è dunque compatibile con l'immagine di una semplice selezione.

5.3. Due assi diversi

Sostituiamo ora il secondo apparato con un $\mathrm{SG}_x$, il cui asse di analisi è perpendicolare a quello del primo, si veda la Figura 6. Si osservano nuovamente due macchie in proporzioni uguali.

Sono possibili due interpretazioni classiche. Se il primo apparato ha orientato completamente $\vec\mu$ lungo $z$, allora $\mu_x=0$: il secondo dovrebbe produrre una macchia centrale. Se ha soltanto selezionato i valori positivi di $\mu_z$, senza fissare le altre componenti, allora $\mu_x$ rimane distribuito con continuità: si dovrebbe osservare una banda continua. Nessuna delle due interpretazioni prevede le due macchie osservate.

Torniamo al caso degli atomi inviati uno alla volta. Ogni atomo produce un impatto nel canale $x+$ o nel canale $x-$; su un grande numero di atomi, i due risultati compaiono in proporzioni uguali. Eppure il fascio che entra in $\mathrm{SG}_x$ ha una preparazione meglio controllata di quello che esce direttamente dal forno: tutti i suoi atomi sono stati selezionati nel canale $z+$ del primo apparato. Come abbiamo appena visto, la loro preparazione $\ket{z+}$ garantisce persino un risultato certo in una nuova misura lungo $z$.

Ciò nonostante, questa preparazione non permette di prevedere in quale canale avverrà l'impatto nella misura lungo $x$. L'argomento del semplice disordine all'uscita del forno non basta più: una stessa preparazione rende certa una misura, lasciando l'altra casuale. Si precisa così il ruolo delle probabilità nella meccanica quantistica.

6. Tre apparati SG in serie

6.1. ZXZ: il filtraggio cambia la preparazione

Consideriamo ora la sequenza $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$, si veda la Figura 7. Dopo il primo apparato conserviamo soltanto $z+$. Dopo il secondo conserviamo soltanto $x+$. Infine analizziamo questo nuovo fascio lungo $z$.

Classicamente, abbiamo già escluso l'ipotesi di un allineamento completo del momento magnetico lungo l'asse dello SG: essa prevederebbe una macchia centrale nel secondo apparato, quindi nessun canale $x+$ da selezionare. Se manteniamo allora l'immagine di una semplice selezione, il primo apparato seleziona un valore positivo di $\mu_z$ e il secondo suddivide gli atomi secondo $\mu_x$ senza modificare $\mu_z$. Il terzo dovrebbe quindi restituire soltanto il canale $z+$. Eppure il canale $z-$ ricompare.

Il filtraggio lungo $x$ ha dunque cambiato la preparazione. Dopo aver selezionato $x+$, il precedente risultato $z+$ non permette più di prevedere con certezza la nuova misura di $z$. Sembra che il secondo apparato abbia modificato lo stato stesso.

A volte si riassume questo fatto dicendo che «misurare $x$ distrugge l'informazione su $z$». L'espressione è utile, purché si ricordi che nulla dipende da ciò che lo sperimentatore sa o guarda. Il filtro $x+$ ha fisicamente preparato un nuovo stato, $\ket{x+}$, che dà i due risultati $z+$ e $z-$ con uguali probabilità.

6.2. ZYZ: stesse probabilità, altra preparazione

Sostituiamo infine l'analizzatore intermedio lungo $x$ con uno lungo $y$, conservando ancora soltanto il suo canale positivo. La sequenza $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ dà nuovamente due risultati equiprobabili nell'ultima misura. Ciò si generalizza a qualunque asse intermedio perpendicolare a $z$: per una direzione $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ nel piano $(x,y)$, selezionare il canale $u+$ conduce ancora a due risultati equiprobabili nell'ultima misura lungo $z$.

Questo non significa però che le preparazioni $\ket{x+}$, $\ket{y+}$ o $\ket{u+}$ siano tutte identiche. Un'analisi lungo $x$ le distinguerebbe: darebbe certamente $x+$ per la prima, ma $x+$ o $x-$ in parti uguali per la seconda, e l'esperimento mostra che le probabilità dei due risultati dipendono da $\varphi$ per la terza. Due preparazioni possono dunque dare le stesse probabilità per una misura pur essendo fisicamente diverse.

7. Il formalismo che si delinea

Non pretenderemo di dedurre l'intero formalismo quantistico da questi soli esperimenti. Il fallimento della descrizione classica ci obbliga però a rivedere il vocabolario e suggerisce un nuovo modo di rappresentare gli stati.

7.1. Uno stato non è una lista di valori

La preparazione $\ket{z+}$ non può ridursi al dato «$\mu_z=+\mu_0$, con valori sconosciuti ma già fissati di $\mu_x$ e $\mu_y$», che gli apparati si limiterebbero a rivelare. In questa immagine di una semplice selezione, la sequenza $Z\!X\!Z$ restituirebbe $100\,\%$ di $z+$, cosa che non avviene. Come rappresentare allora uno stato, se non con una lista di valori preesistenti?

7.2. Verso la sovrapposizione quantistica

La principale novità del formalismo quantistico è che lo stato stesso raccoglie i dati che permettono di calcolare le probabilità dei risultati delle misure.

La preparazione $\ket{x+}$ dà un risultato certo lungo $x$, ma due risultati equiprobabili lungo $z$. Per descrivere questa situazione, il formalismo quantistico rappresenta $\ket{x+}$ come una sovrapposizione dei due stati $\ket{z+}$ e $\ket{z-}$:

I coefficienti (qui $1/\sqrt{2}$ davanti a ciascun termine) si chiamano ampiezze: il quadrato del loro modulo dà le probabilità dei risultati lungo $z$, qui $1/2$ per ciascuno. Tutti gli atomi preparati in $\ket{x+}$ hanno lo stesso stato, rappresentato da questa combinazione lineare. Non si tratta di una miscela statistica in cui alcuni atomi sarebbero in $\ket{z+}$ e gli altri in $\ket{z-}$.

Non possiamo dedurre interamente questa struttura dai soli risultati qui presentati. Gli esperimenti di interferenza della prossima lezione la giustificheranno ulteriormente. In definitiva, dovremo postularla.

7.3. Uno spazio vettoriale complesso

Le varianti ZYZ e, più in generale, ZUZ pongono la seguente questione: anche le preparazioni $\ket{y+}$ o $\ket{u+}$ danno $50/50$ lungo $z$, pur essendo diverse da $\ket{x+}$ quando $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$. Le loro due ampiezze nella base $\ket{z+},\ket{z-}$ devono quindi avere modulo $1/\sqrt2$. Se le ampiezze fossero reali, rimarrebbero soltanto le quattro scelte di segni $\pm1/\sqrt2$: questo numero finito di possibilità non basterebbe a rappresentare la diversità continua delle preparazioni $\ket{u+}$.

Il formalismo quantistico utilizza quindi ampiezze complesse, le cui fasi possono variare senza modificarne i moduli. Arriveremo per esempio a scrivere:

e, più in generale, $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$ per qualunque angolo $\varphi$. Gli stati sono allora distinti, ma le probabilità lungo $z$ valgono sempre $1/2$. Prendere sul serio queste combinazioni lineari porta a rappresentare gli stati con vettori in uno spazio vettoriale complesso astratto. La parola «astratto» ricorda che i loro coefficienti sono ampiezze di probabilità, non le componenti spaziali di un momento magnetico classico. Una preparazione dello stato potrà scriversi, più generalmente, come

Per ottenere le ampiezze e poi il quadrato del loro modulo, occorrerà proiettare lo stato sugli stati associati ai possibili risultati. Il modo più semplice per ricavare queste componenti sarà usare un prodotto scalare. Esso definirà anche una norma, con, in questo caso,

Il quadrato della norma corrisponde così alla somma delle probabilità dei risultati possibili: questa somma deve valere uno e lo stato sarà quindi rappresentato da un vettore di norma uno.

Nel formalismo che si delinea, gli stati saranno dunque vettori di uno spazio di Hilbert complesso, cioè dotato di un prodotto scalare che permette di calcolare le probabilità. La sua struttura lineare consente di sommare le ampiezze ed esprime il principio di sovrapposizione quantistica. Tutto questo verrà studiato in dettaglio nel tema 2.

8. Per approfondire

Un secolo dopo questi esperimenti possiamo precisare che cosa misurino realmente. Dopo Stern e Gerlach si comprese progressivamente che il momento magnetico misurato nell'atomo d'argento è essenzialmente legato allo spin di un elettrone spaiato. Questo spin è un momento angolare intrinseco, distinto dal momento angolare orbitale dell'elettrone. L'elettrone è una particella di spin $1/2$: misurare la proiezione del suo spin lungo un asse dà due valori possibili, $S_z=\pm\hbar/2$.

A questo momento angolare di spin è associato un momento magnetico, proporzionale allo spin:

dove $e$ indica il valore positivo della carica elementare e $\gamma_s$ il rapporto giromagnetico dell'elettrone. Il segno meno è legato alla carica negativa dell'elettrone: il suo momento magnetico è opposto allo spin. I due valori misurabili della sua componente sono dunque $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$, con $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$. Lo spin e il momento magnetico sono due grandezze distinte, proporzionali tra loro.

In un atomo occorre considerare anche il momento angolare orbitale dell'elettrone, al quale è associato un altro momento magnetico. L'idrogeno offre un esempio semplice: il suo unico elettrone possiede sia uno spin sia uno stato orbitale. Nello stato fondamentale $1s$ il momento angolare orbitale è nullo; il contributo elettronico al momento magnetico dell'atomo proviene quindi dallo spin. L'esperimento di Stern e Gerlach con l'idrogeno fu realizzato da Phipps e Taylor nel 1927.

L'atomo d'argento contiene più elettroni, ma la sua configurazione elettronica, $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$, riconduce la situazione allo stesso principio. Si può mostrare che nei gusci completi i contributi orbitali e di spin si compensano. Rimane l'elettrone $5s$, il cui momento angolare orbitale risulta nullo nello stato fondamentale e il cui spin vale $1/2$. È dunque il suo momento magnetico di spin che l'esperimento storico ha messo in evidenza.

9. Riferimenti