전체 개요와 기초를 세운 실험

1. 들어가며

어디에선가는 시작해야 한다. 양자역학을 소개하는 많은 글은 영의 이중 슬릿 실험이나, 흑체 복사와 이를 설명하기 위해 플랑크가 도입한 가설의 역사에서 출발한다(Planck, 1900).

플랑크는 에너지가 불연속적인 양으로만 교환될 수 있다는 생각을 도입했다. 이 ‘양자’가 이론의 이름이 되었다. 그러나 그의 접근을 이해하려면 통계물리학을 알아야 하며, 초심자가 언제나 그 지식을 갖추고 있는 것은 아니다.

한편 영의 이중 슬릿 실험은 매우 인상적이다. 입자를 하나씩 보내는 양자적 실험에서는 고전적 관점으로 도무지 이해할 수 없는 행동이 드러난다. 하지만 저자의 생각으로는, 양자이론의 원리를 알고 나중에 돌아보면 이 실험을 훨씬 쉽게 이해할 수 있다. 어떤 의미에서는 이 실험 하나에 이론의 가장 기묘한 측면 여러 가지가 집약되어 있기 때문이다.

따라서 우리는 다른 출발점, 슈테른과 게를라흐의 실험(1922)을 택한다. 대상은 겉보기에는 단순하고 고전적으로 잘 이해되는 물체, 곧 자기 모멘트를 지닌 입자다. 역사적 실험에서는 은 원자를 사용했으며, 당분간 받아들여야 할 것은 이 원자가 실제로 자기 모멘트를 지닌다는 사실뿐이다. 이 원자를 비균일 자기장 영역으로 보내면 역학과 전자기학 법칙으로 그 궤적을 쉽게 예측할 수 있다.

결과 역시 놀랍다. 고전적 예측과 근본적으로 다르다. 점점 정교한 실험을 이어 붙이면 고전적 설명은 무너지고, 양자화(4절 참조), 양자 중첩(7.2절 참조), 그리고 영의 실험이 직접 보여 주지 않는 또 다른 순수 양자 현상, 즉 특정 측정 사이의 비양립성(6.1절 참조)이 차례로 나타난다.

먼저 자기 모멘트가 무엇인지 복습한다. 이어 실험 장치와 원자가 보통의 작은 자석처럼 행동할 때 예상되는 관측을 설명하고, 실제 결과를 제시한 뒤 그 의미를 논의한다.

2. 고전적 자기 모멘트의 복습

2.1. 자기 모멘트

자기 모멘트 $\vec{\mu}$, 또는 자기 쌍극자 모멘트는 벡터다. 천연 자석은 자기 모멘트를 지니며, 그 방향은 정의에 따라 자석의 남극에서 북극을 향한다. 이는 자석 내부 자기력선의 방향이기도 하다. 외부에서는 자기력선이 북극에서 나와 남극으로 돌아간다. 그림 1 참조.

자기 모멘트는 자석의 세기를 정량화하는 기본 물리량이다. 예를 들어 남극끼리 마주한 두 자석 사이의 반발력은 자기 모멘트의 곱과 거리에 의존한다.

하지만 천연 자석으로 논의를 이어 가기는 그리 편하지 않다. 무엇이 그 자기장을 만드는지 곧바로 명확하지 않기 때문이다. 훨씬 편리한 것은 전자석, 즉 전류 고리다. 세기 $I$의 전류가 흐르고 면적 $S$를 둘러싸는 평면 고리에 대해 자기 모멘트가 $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$임을 보일 수 있다. 여기서 $\vec{n}$은 고리 평면의 단위 법선 벡터이며 오른손 법칙으로 방향을 정한다.

여기서 필요한 식은 이것뿐이다. 물론 자기 모멘트 이론은 더 일반적이다. 임의의 전류 분포의 자기 모멘트를 그 분포에 대한 적분으로 정의하며, 고리 공식은 특수한 경우다. 이 구성은 ^[1]의 5장을 참조한다.

2.2. 자기장과의 결합

고전역학은 외부 자기장 $\vec B$ 속 자기 쌍극자에 대해 세 가지 성질을 유도한다.

세 번째 공식은 $\vec{F} = -\grad E_p$를 통해 두 번째에서 바로 나온다. 자기 모멘트를 지닌 계가 비균일 자기장에 놓이면 궤적을 휘게 하는 알짜힘을 받음을 보여 준다. 첫 두 식은 전류 분포에 작용하는 라플라스 힘을 명시적으로 계산하여 토크를 구하고, 그 힘의 일로 퍼텐셜 에너지를 구한 결과다. 여기서는 유도를 반복하지 않으며, 전체 증명은 특히 ^[1]의 5.2절과 5.7절을 참조한다¹.

기술적인 세부 사항을 넘어서 핵심은 다음과 같다. 식 (2)의 퍼텐셜 에너지는 $\vec\mu$가 $\vec B$와 평행할 때 최소, 반평행할 때 최대다. 자기 쌍극자는 식 (1)의 토크에 의해 자기장과 나란히 정렬되려 한다. 이것이 나침반의 작동 원리다. 다만 소산이 없다면 토크와 각운동량 정리에 따라 나침반 바늘은 북쪽 방향 주위에서 끝없이 진동할 뿐이다. 결국 정지하는 것은 회전축의 마찰이 진동 에너지를 소산하기 때문이다.

2.3. 자기회전비와 세차 운동

자기 모멘트가 쌍극자의 내부 각운동량에 비례할 때 이 운동은 특별한 형태를 취한다. 이때 비례 관계로 자기회전비 $\gamma$를 도입한다.

식 (4) 같은 관계는, 예를 들어 원형 궤도를 도는 고전적 전하의 자기 모멘트에 나타난다. 실제로 전하 $q$, 질량 $m$인 입자가 반지름 $R$의 원을 속력 $v$로 돌면 전류 $I=qv/(2\pi R)$와 동등하다. 따라서 자기 모멘트는

이 고전적 궤도 모형에서는 $\gamma=q/(2m)$이다. 각운동량 정리와 식 (1)를 결합하면 $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$이고, $\gamma$가 일정하면 세차 운동 방정식을 얻는다.

균일 자기장에서 이 방정식의 해는 벡터 $\vec\mu$가 자기장 방향 주위에 원뿔을 그린다는 것을 보여 준다. 즉 라머 각진동수 $\omega_L=|\gamma|B$로 세차한다. 그림 2 참조.

3. 슈테른–게를라흐 실험

실험 원리는 그림 3에 요약되어 있다. 입자원에서 나온 중성 입자를 서로 마주한 두 자석이 만드는 비균일 자기장으로 보낸다. 더 뒤에 있는 스크린이 충돌을 기록하여 편향이 있다면 그 크기를 측정한다.

3.1. 장치

자석.

외부 자기장이 균일하면 식 (3)의 힘은 항등적으로 0이다. 균일장 속 쌍극자는 토크만 받고 질량중심은 계속 직진한다. 따라서 이 실험을 흥미롭게 만드는 것은 자기장의 비균일성이다.

이를 만들기 위해 슈테른–게를라흐 장치(흔히 SG라고도 부른다)는 두 자석을 가공한다. 하나는 뾰족하게, 다른 하나는 반대 방향의 뾰족한 모양이나 약간 굽은 바닥 모양으로 만든다. 그림 3 참조. 이 기하학적 형태는 자기력선을 위쪽 자석의 날카로운 모서리로 모은다. 자기력선 간격이 좁아지므로 자기력선 관에서의 자기 선속 보존 $\mathrm{div} \vec B = 0$은 모서리 쪽으로, 즉 여기서는 $z$가 증가할수록 자기장이 커짐을 뜻한다.

일차 근사에서는 내부 자기장을 $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$, $k>0$로 쓰고 싶지만, 이는 발산이 0이라는 조건 $\mathrm{div} \vec B = 0$을 만족하지 않는다. 따라서 자기장에는 횡방향 성분도 필요하다. 가장자리 효과를 무시하고 $\vec e_x$ 방향의 불변성을 가정하면 다음을 얻는다.

보통 장치에서 규모를 보면 $B_0 \sim 0{,}1$ T이며, 대개 수 밀리미터인 자석 사이의 전체 수직 간격에서 $k\Delta z \ll B_0$이다. 자석의 길이는 수 센티미터다.

입자원.

고체 은을 담아 진공에 놓은 작은 가열로다. 고온에서 증발한 원자는 작은 구멍으로 빠져나오고, 여러 좁은 슬릿이 속도가 거의 $\vec e_x$와 평행한 원자를 고른다. 이렇게 전형적인 속력이 초속 수백 미터인 시준 원자빔을 얻으며, 맥스웰–볼츠만 분포에서 비롯된 속도 퍼짐을 지닌다.

자기 쌍극자 효과만 조사하려고 전기적으로 중성인 입자를 사용한다는 점에 주목하자. 하전 입자를 보내면 크기 $qvB_0$의 로런츠 힘 $q\,\vec v\wedge\vec B$도 받아, 여기서 관심 있는 힘 $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$을 압도하게 된다.

스크린.

역사적 실험에서는 은 원자가 스크린에 점차 쌓여 눈에 보이는 흔적을 만들었다. 현대 실험에서는 유량을 충분히 낮춰 충돌을 하나씩 기록할 수 있다. 이 가능성은 뒤에서 중요하므로 다시 다룬다.

3.2. 고전역학의 예측

자기 모멘트 $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$를 지닌 중성 입자를 식 (7)의 자기장 영역으로 보내자. 식 3에서

따라서 쌍극자는 $z$ 방향뿐 아니라 $y$ 방향으로도 휜다. 다른 곳에서 슈테른–게를라흐 실험을 접한 독자는 놀랄 수 있다. 많은 강의 자료가 $z$축에서 일어나는 일만 설명하기 때문이다. 실제로 식 (8)의 두 항은 원칙적으로 같은 역할을 한다.

$y$축 방향 운동을 무시할 수 있는 이유는 세차 운동에 있다. 여기서는 뒤에 정당화할 중요한 가정을 해야 한다. 원자의 자기 모멘트가 원자 내부의 각운동량 $\vec L$에 비례한다고 가정한다.

이 가정 아래에서, 일정한 자기장 $B_0\vec e_z$가 보정항 $kz\,\vec e_z$와 $-ky\,\vec e_y$보다 압도적으로 크므로 자기 모멘트는 일차 근사에서 $\vec e_z$ 주위를 각진동수 $\omega_p = |\gamma| B_0$로 세차한다. $\gamma$는 자기회전비다. 세차 중 $\mu_z$ 성분은 일정하지만 $\mu_y$는 0 주위에서 진동한다.

이 세차 운동은 빠르다. 앞의 공식은 원자 세계에서 타당할 법한 크기의 차수를 준다. 예를 들어 기본 전하와 전자 질량을 쓰면 $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$는 $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$가 된다². $B_0\approx0{,}1$ T이면 $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$이다. 한편 자석 안 비행 시간은 $T=\ell/v_x$이고, $\ell$이 수 센티미터, $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$일 때 약 $10^{-4}$ s다. 자기 모멘트는 통과하는 동안 수십만 바퀴 돈다. 따라서 $y$ 방향 힘의 평균은 매우 높은 정확도로 0이 된다.

이 모형에서 평균적으로 중요한 힘은 $\langle F_z\rangle=k\mu_z$뿐이다. 그러므로 스크린의 최종 편향이 $\mu_z$에 비례해야 함은 자명하다. 남은 것은 초기 조건이다. 원자는 가열로, 즉 열 저장고에서 나오며, 그 안에는 특별한 공간 방향이 없다. SG 입구에서 자기 모멘트는 무작위 방향이어야 하고, 수직 성분 $\mu_z$는 $-\mu$에서 $+\mu$ 사이 모든 값을 연속적으로 균등하게 취해야 한다.

고전적 예측은 명확하다. $z$축을 따라 연속적인 충돌 띠가 관측되어야 한다. 다만 속도 퍼짐 때문에 띠의 밀도가 반드시 균일한 것은 아니다.

4. 실험 결과

실제로는 그렇지 않다. 편향은 확실히 $z$ 방향으로만 일어나며, 이는 $y$ 방향 힘의 평균이 0이라는 사실과 일치한다. 그러나 스크린에는 연속 띠가 아니라 원래 축에 대해 대칭인 두 점무늬가 나타나며, 그 사이 영역은 비어 있다.

4.1. $\mu_0$의 측정

두 점무늬의 정확한 위치로 $\mu_0$를 추정할 수 있다. 자석 안에서 기울기 $k=\partial B_z/\partial z$와 종방향 속도 $v_x$가 거의 일정하다고 가정하면, 원자는 시간 $T=\ell/v_x$ 동안 횡방향 가속도

를 받는다. 이를 간단히 적분한 뒤 궤적을 직선으로 스크린까지 연장한다. 오토 슈테른과 발터 게를라흐는 실험의 기하학적 조건을 고려하여 은 원자의 이 값을 측정했고, 보어 마그네톤 값을 얻었다.

이 측정을 바탕으로 가정 4을 돌아볼 수 있다. 다만 측정 대상은 자기 모멘트이지 그에 대응하는 각운동량 $L$이 아니므로 $\gamma$가 직접 구해지는 것은 아니다. 확인할 수 있는 것은 크기의 차수뿐이다. 원자 각운동량의 자연스러운 척도는 $\hbar$이고, $L\sim\hbar$로 쓰면 $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$이다. 따라서 앞에서 가정한 크기의 차수가 나오고 세차 각진동수는 $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ 정도다. 이는 $y$ 방향 편향이 관측되지 않는 것과 일치한다.

4.2. 고전역학이 직면하는 문제

실험은 고전역학으로는 설명되지 않는 현상을 보여 준다. 주어진 축을 따른 자기 모멘트 성분은 연속적으로 변하는 것이 아니라 양자화되어 있다.

은 원자가 자기 모멘트를 가진다고 인정하더라도, 열 저장고에서 나온 임의의 초기 방향이 어떻게 정확히 두 빔을 만드는지는 설명해야 한다. 이 결과를 설명할 수 있을 법한 두 고전적 기작을 살펴보자.

자석 안의 자기장이 모멘트들을 정렬할 수 있을까? 앞서 보았듯이 소산이 없으면 자기 토크는 쌍극자와 자기장 사이의 각을 유지하면서 세차 운동을 일으킨다. 따라서 $+\vec B$ 방향으로도 $-\vec B$ 방향으로도 정렬하지 않는다. 그런데 소산을 모두 무시할 수 있을까? 전자기 이론은 실제로 세차하는 모멘트가 복사한다고 예측한다³. 그러나 이 소산은 무시할 만하다. 결과 발표 직후 아인슈타인은 이를 계산하여 이완에 한 세기 이상 걸린다고 추정했다. 자석 통과 시간은 약 $10^{-4}$ s에 불과하다 ^[3]. 게다가 이완이 충분히 빠르더라도 모멘트는 에너지가 가장 낮은, 자기장과 평행한 방향으로 향한다. 그렇다면 점무늬는 두 개가 아니라 하나여야 한다.

가장자리 자기장으로 두 점무늬를 설명할 수 있을까? 자석의 입구와 출구에서는 자기장의 방향과 크기가 변하므로 세차가 복잡해질 수 있다. 하지만 이런 효과는 자석의 정확한 기하와 전반적인 실험 조건에 의존하므로 실험마다 달라져야 한다. 두 빔으로 갈라지는 현상은 그 조건에 의존하지 않는다. 또한 이 고전적 모형에서 역학 법칙과 맥스웰 방정식에 따른 변화는 초기 방향의 연속함수다. 연속적인 초기 방향의 집합을 단 두 개의 출력값으로 바꿀 수는 없다.

4.3. 무작위성의 등장

현대적 실험에서는 플럭스를 낮춰 원자가 장치를 하나씩 통과하도록 할 수 있다. 각 원자는 두 점무늬 중 하나에 단 한 번의 충돌 흔적을 남긴다. 충돌이 쌓이면서 점무늬가 점차 드러난다.

이 무작위성만으로 근본적인 우연이 존재한다고 결론 내릴 수는 없다. 원자는 가열로에서 나오고 초기 조건은 원자마다 다르다. 따라서 예측 불가능성은 여전히 그 조건을 모르는 탓일 수 있다. 빔의 준비를 더 잘 제어하면 이 문제가 한층 중요해진다.

5. 여러 슈테른–게를라흐 장치의 직렬 연결

여러 SG를 직렬로 연결한 실험은 준비와 확률의 역할을 명확히 하고, 일부 측정 사이의 비양립성을 드러낸다.

5.1. 빔의 준비

$\mathrm{SG}_z$의 출구에서 빔은 두 경로로 갈라진다. 양의 결과에 해당하는 경로를 $z+$, 음의 결과에 해당하는 경로를 $z-$로 표기한다.

한 경로에 장애물을 놓고 다른 경로만 남길 수 있다. $z-$를 차단하면 이후 실험으로 나아가는 모든 원자는 첫 장치에서 $z+$를 준 원자다. 따라서 이 장치는 측정뿐 아니라 다음 실험을 위한 잘 정의된 빔의 준비에도 쓰인다.

이렇게 얻은 준비를 $\ket{z+}$로 표기한다. 지금은 그저 “$\mathrm{SG}_z$ 분석기의 $z+$ 경로에서 막 나온 원자”라는 뜻이다. 이 기호에 대응하는 수학적 구조는 차츰 알아볼 것이다.

5.2. 같은 축에서의 재현성

첫 장치의 $z+$ 경로만 남기고 그 뒤에 두 번째 $\mathrm{SG}_z$를 놓자. 그림 5 참조. 실험에서 두 번째 장치는 $z+$ 경로에 단 하나의 점무늬만 만든다. $z-$ 경로는 비어 있다.

여기서는 고전적 그림에도 문제가 없다. 첫 장치가 특정 $\mu_z$ 값을 선택하거나 모멘트를 $z$ 방향으로 정렬하고, 이후 $\mu_z$ 성분을 바꾸는 것이 없다면, 두 번째 장치는 선택된 모든 원자에 같은 편향을 주어야 한다. 이 결과는 단순한 분류라는 그림과 양립한다.

5.3. 서로 다른 두 축

이제 두 번째 장치를 $\mathrm{SG}_x$로 바꾸어 분석축을 첫 장치의 축과 수직으로 놓자. 그림 6 참조. 다시 두 점무늬가 같은 비율로 관측된다.

두 고전적 해석을 생각할 수 있다. 첫 장치가 $\vec\mu$를 완전히 $z$ 방향으로 정렬했다면 $\mu_x=0$이므로 두 번째 장치는 중앙 점무늬를 만들어야 한다. 다른 성분을 고정하지 않고 $\mu_z$의 양의 값만 골랐다면 $\mu_x$는 여전히 연속적으로 분포하므로 연속 띠가 보여야 한다. 어느 해석도 관측된 두 점무늬를 예측하지 못한다.

원자를 하나씩 보내는 경우로 돌아가자. 각 원자는 $x+$ 또는 $x-$ 경로에 충돌하며, 많은 원자를 보면 두 결과가 같은 비율로 나타난다. 그런데 $\mathrm{SG}_x$에 들어가는 빔은 가열로에서 바로 나오는 빔보다 준비가 더 잘 제어되어 있다. 모든 원자가 첫 장치의 $z+$ 경로에서 선택되었기 때문이다. 방금 보았듯 그 준비 $\ket{z+}$는 다시 $z$ 방향으로 측정할 때 확실한 결과까지 보장한다.

그럼에도 이 준비로 $x$ 측정 시 어느 경로에 충돌할지는 예측할 수 없다. 따라서 가열로 출구의 무질서만으로는 설명이 충분하지 않다. 같은 준비가 한 측정은 확실하게 해도 다른 측정은 무작위로 남긴다. 양자역학에서 확률이 맡는 역할이 명확해진다.

6. 세 SG 장치의 직렬 연결

6.1. ZXZ: 필터링이 준비를 바꾼다

이제 $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$ 순서를 생각하자. 그림 7 참조. 첫 장치 뒤에서는 $z+$만, 두 번째 뒤에서는 $x+$만 남긴다. 마지막으로 이 새로운 빔을 $z$ 방향에서 분석한다.

고전적으로 모멘트가 SG 축에 완전히 정렬된다는 가설은 이미 배제했다. 그 가설은 두 번째 장치에서 중앙 점무늬를 예측하므로 선택할 $x+$ 경로가 없기 때문이다. 그렇다면 단순한 분류라는 그림을 유지할 경우, 첫 장치는 $\mu_z$의 양의 값을 선택하고 두 번째 장치는 $\mu_z$를 바꾸지 않은 채 $\mu_x$에 따라 원자를 분류한다. 세 번째 장치에서는 $z+$ 경로만 다시 나타나야 한다. 하지만 $z-$ 경로가 재등장한다.

따라서 $x$ 방향 필터링은 준비를 바꾸었다. $x+$를 선택한 뒤에는 이전 결과 $z+$로 새로운 $z$ 측정을 확실하게 예측할 수 없다. 두 번째 장치가 상태 자체를 바꾼 것처럼 보인다.

이를 “$x$를 측정하면 $z$의 정보가 파괴된다”고 요약하기도 한다. 이 표현은 유용하지만, 여기서 일어나는 일은 실험자가 무엇을 알고 보느냐에 의존하지 않음을 기억해야 한다. $x+$ 필터가 물리적으로 새 상태 $\ket{x+}$를 준비했고, 이 상태는 $z+$와 $z-$를 같은 확률로 준다.

6.2. ZYZ: 같은 확률, 다른 준비

마지막으로 중간의 $x$ 분석기를 $y$ 분석기로 바꾸고 여전히 양의 경로만 남기자. $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$의 마지막 측정에서도 두 결과가 같은 확률로 나온다. 이 결과는 $z$에 수직인 모든 중간 축으로 일반화된다. $(x,y)$ 평면의 방향 $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ 에 대해서도 $u+$ 경로를 선택한 후 마지막으로 $z$를 측정하면 같은 확률의 두 결과를 얻는다.

그렇다고 준비 $\ket{x+}$, $\ket{y+}$, $\ket{u+}$가 모두 같은 것은 아니다. $x$ 방향 분석으로 구별할 수 있다. 첫 준비는 확실히 $x+$를 주고, 두 번째는 $x+$와 $x-$를 같은 비율로 준다. 세 번째에서는 두 결과의 확률이 $\varphi$에 의존함을 실험이 보여 준다. 따라서 두 준비가 한 측정에서 같은 확률을 주면서도 물리적으로 다를 수 있다.

7. 모습을 드러내는 형식 체계

이 실험들만으로 양자 형식 체계 전체를 유도하려는 것은 아니다. 그러나 고전적 설명의 실패는 용어를 재검토하게 하며, 상태를 나타내는 새로운 방식을 시사한다.

7.1. 상태는 값의 목록이 아니다

준비 $\ket{z+}$를 “$\mu_z=+\mu_0$이고 $\mu_x$, $\mu_y$는 알려지지 않았으나 이미 정해져 있으며 장치가 드러내기만 하는 값”으로 축약할 수 없다. 이 단순 분류 그림에서는 $Z\!X\!Z$가 $100\,\%$의 $z+$를 다시 주어야 하지만 실제로는 그렇지 않다. 그렇다면 미리 존재하는 값의 목록 대신 상태를 어떻게 나타낼까?

7.2. 양자 중첩을 향하여

양자 형식 체계의 중요한 새로움은 상태 자체에 측정 결과의 확률을 계산하는 데 필요한 정보가 모여 있다는 점이다.

준비 $\ket{x+}$는 $x$ 방향에서는 확실한 결과를 주지만 $z$ 방향에서는 같은 확률의 두 결과를 준다. 이를 설명하기 위해 양자 형식 체계는 $\ket{x+}$를 두 상태 $\ket{z+}$와 $\ket{z-}$의 중첩으로 나타낸다.

계수(여기서는 각 항 앞의 $1/\sqrt{2}$)를 진폭이라고 한다. 그 절댓값의 제곱이 $z$ 방향 결과의 확률이며, 여기서는 각각 $1/2$이다. $\ket{x+}$로 준비된 모든 원자는 이 선형결합으로 표현되는 같은 상태에 있다. 일부는 $\ket{z+}$이고 나머지는 $\ket{z-}$인 통계적 혼합이 아니다.

여기에 제시한 결과만으로 이 구조를 완전히 유도할 수는 없다. 다음 수업의 간섭 실험이 더 많은 근거를 제공할 것이다. 결국에는 이를 가정해야 한다.

7.3. 복소 벡터 공간

ZYZ, 더 일반적으로 ZUZ 변형은 다음 문제를 제기한다. 준비 $\ket{y+}$나 $\ket{u+}$도 $z$ 방향에서 $50/50$을 주지만 $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$이면 $\ket{x+}$와 다르다. 따라서 기저 $\ket{z+},\ket{z-}$에서 두 진폭은 모두 절댓값 $1/\sqrt2$를 가져야 한다. 진폭이 실수라면 $\pm1/\sqrt2$의 부호 선택은 네 가지뿐이다. 이 유한한 가능성으로는 준비 $\ket{u+}$의 연속적인 다양성을 표현하기에 부족하다.

그래서 양자 형식 체계는 절댓값을 바꾸지 않고 위상을 바꿀 수 있는 복소수 진폭을 사용한다. 예를 들면 다음과 같이 쓸 것이다.

더 일반적으로 모든 각 $\varphi$에 대해 $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$이다. 상태들은 다르지만 $z$ 방향 확률은 여전히 $1/2$이다. 이 선형결합을 본격적으로 받아들이면 상태를 추상적인 복소 벡터 공간의 벡터로 나타내게 된다. “추상적”이라는 말은 계수가 확률 진폭이며, 고전적 자기 모멘트의 공간 성분이 아님을 상기시킨다. 더 일반적인 상태 준비는

로 쓸 수 있다. 진폭과 그 절댓값의 제곱을 얻으려면 상태를 가능한 결과에 대응하는 상태들 위로 사영해야 한다. 이 성분들을 얻는 가장 간단한 방법은 내적을 사용하는 것이다. 내적은 노름도 정의하며, 여기서는

이다. 노름의 제곱은 가능한 결과들의 확률 합에 해당한다. 이 합은 1이어야 하므로 상태는 노름이 1인 벡터로 표현된다.

이렇게 모습을 드러내는 형식 체계에서 상태는 확률을 계산할 수 있는 내적이 갖추어진 복소 힐베르트 공간의 벡터다. 그 선형 구조는 진폭을 더할 수 있게 하며 양자 중첩 원리를 나타낸다. 이 모든 내용은 주제 2에서 자세히 공부할 것이다.

8. 더 알아보기

이 실험들로부터 한 세기가 지난 지금, 실제로 무엇을 측정하는지 더 정확히 설명할 수 있다. 슈테른과 게를라흐 이후, 은 원자에서 측정한 자기 모멘트가 주로 홀전자 하나의 스핀과 관련됨이 점차 밝혀졌다. 스핀은 전자의 궤도 각운동량과 다른 고유 각운동량이다. 전자는 스핀 $1/2$ 입자이므로 한 축을 따른 스핀의 사영을 측정하면 $S_z=\pm\hbar/2$라는 두 값을 얻는다.

이 스핀 각운동량에는 스핀에 비례하는 자기 모멘트가 대응한다.

여기서 $e$는 기본 전하의 양의 값이고 $\gamma_s$는 전자의 자기회전비다. 음의 부호는 전자가 음전하를 갖기 때문이다. 자기 모멘트는 스핀과 반대 방향이다. 따라서 그 성분의 두 측정값은 $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$이며 $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$이다. 스핀과 자기 모멘트는 서로 비례하는 별개의 물리량이다.

원자에서는 전자의 궤도 각운동량과 그에 대응하는 또 다른 자기 모멘트도 고려해야 한다. 수소가 간단한 예다. 유일한 전자는 스핀과 궤도 상태를 모두 가진다. 바닥상태 $1s$에서는 궤도 각운동량이 0이므로 원자의 자기 모멘트에 대한 전자의 기여는 스핀에서 나온다. 수소를 이용한 슈테른–게를라흐 실험은 핍스와 테일러가 1927년에 수행했다.

은 원자는 전자가 더 많지만 전자 배치 $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$ 덕분에 같은 원리로 귀결된다. 가득 찬 껍질에서는 궤도와 스핀 기여가 상쇄됨을 보일 수 있다. 그러면 $5s$ 전자만 남는데, 바닥상태에서 그 궤도 각운동량은 0이고 스핀은 $1/2$이다. 역사적인 실험이 드러낸 것은 바로 이 전자의 스핀 자기 모멘트다.

9. 참고문헌