Introdução geral e experiências fundamentais

1. Introdução

É preciso começar por algum lado. Muitas apresentações da mecânica quântica começam pela experiência das fendas de Young, ou pelo estudo histórico da radiação do corpo negro e da hipótese introduzida por Planck para a explicar (Planck, 1900).

Planck introduz a ideia de que a energia só pode ser trocada em quantidades discretas, os quanta que darão nome à teoria. Mas, para compreender a sua abordagem, é necessário conhecer a física estatística, o que nem sempre acontece com quem está a começar.

A experiência das fendas de Young, por sua vez, é espetacular. Na sua versão quântica, com partículas enviadas uma a uma, revela comportamentos simplesmente incompreensíveis em termos clássicos. Na opinião do autor, porém, esta experiência é muito mais fácil de compreender a posteriori, uma vez conhecidos os princípios da teoria quântica. De certo modo, reúne por si só vários dos aspetos mais estranhos da teoria.

Começaremos, portanto, de outra forma, com a experiência de Stern e Gerlach (1922), que trata de um objeto aparentemente simples e bem compreendido classicamente: uma partícula com momento magnético. Na experiência histórica, essa partícula é um átomo de prata, e a única coisa que precisamos de admitir provisoriamente é que tal átomo possui efetivamente um momento magnético. Quando é enviado para uma região com um campo magnético não homogéneo, as leis da mecânica e do eletromagnetismo preveem facilmente a sua trajetória.

Os resultados também são espetaculares: diferem radicalmente das previsões clássicas. Encadeando experiências cada vez mais elaboradas, a descrição clássica desmorona-se e surgem sucessivamente a quantização (ver secção 4), a sobreposição quântica (ver secção 7.2) e outro fenómeno puramente quântico que as fendas de Young não evidenciam diretamente: a incompatibilidade entre certas medições (ver secção 6.1).

Começaremos por recordar o que é um momento magnético. Descreveremos depois a experiência e aquilo que deveríamos observar se o átomo se comportasse como um pequeno íman comum, antes de apresentar os resultados efetivos e discutir as suas implicações.

2. Revisão do momento magnético clássico

2.1. O momento magnético

Um momento magnético $\vec{\mu}$, ou dipolo magnético, é um vetor. Um íman natural possui um momento magnético que, por definição, aponta do polo Sul para o polo Norte do íman. Esta é também a direção das linhas de campo magnético no seu interior; no exterior, saem do polo Norte e regressam ao polo Sul, ver Figura 1.

Este momento é a grandeza fundamental que permite quantificar a intensidade de um íman. Por exemplo, a repulsão entre dois ímanes orientados Sul-Sul depende do produto dos seus momentos magnéticos e da distância.

Os ímanes naturais não são muito convenientes para prosseguir a discussão, pois não é imediatamente evidente o que gera o seu campo magnético. Muito mais práticos são os eletroímanes, isto é, as espiras de corrente. Para uma espira plana percorrida por uma corrente de intensidade $I$ e delimitando uma área $S$, demonstra-se que o momento magnético é $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$, onde $\vec{n}$ é o vetor unitário normal à espira, orientado pela regra da mão direita.

Esta é a única expressão de que precisaremos. A teoria dos momentos magnéticos é, naturalmente, mais geral: define o momento magnético de uma distribuição arbitrária de corrente através de um integral sobre essa distribuição. A fórmula da espira é um caso particular. Remetemos para os textos habituais para mais pormenores sobre esta construção, por exemplo para o capítulo 5 de ^[1].

2.2. Acoplamento ao campo magnético

A mecânica clássica deduz três propriedades de um dipolo magnético imerso num campo magnético exterior $\vec B$.

A terceira fórmula decorre diretamente da segunda através de $\vec{F} = -\grad E_p$. Mostra que um sistema com momento magnético colocado num campo não homogéneo sofre uma força resultante que desvia a sua trajetória. As duas primeiras resultam do cálculo explícito da força de Laplace sobre a distribuição de corrente (para o momento de forças) e do trabalho dessa força (para a energia potencial). Não o reproduzimos aqui e remetemos em particular para as secções 5.2 e 5.7 de ^[1] para a demonstração completa¹.

Para além dos pormenores técnicos, retenhamos sobretudo o seguinte. A energia potencial da Eq. (2) é mínima quando $\vec\mu$ é paralelo a $\vec B$ e máxima quando é antiparalelo: um dipolo magnético tende a alinhar-se com o campo através do momento de forças da Eq. (1). É este o princípio de funcionamento da bússola. Sem dissipação, porém, a agulha oscilaria indefinidamente em torno do Norte devido ao momento de forças e ao teorema do momento angular. Se acaba por parar, é porque o atrito no seu eixo de rotação dissipa a energia da oscilação.

2.3. Razão giromagnética e precessão

Esta evolução assume uma forma particular quando o momento magnético é proporcional a um momento angular interno associado ao dipolo. Nesse caso, introduzimos a razão giromagnética $\gamma$ através da proporcionalidade:

Uma relação como a Eq. (4) aparece, por exemplo, para o momento magnético de uma carga clássica numa órbita circular. Com efeito, uma carga $q$, de massa $m$, que descreve um círculo de raio $R$ à velocidade $v$, equivale a uma corrente $I=qv/(2\pi R)$. Produz, portanto, o momento magnético

Neste modelo orbital clássico, temos $\gamma=q/(2m)$. O teorema do momento angular e a Eq. (1) dão conjuntamente $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$ e, se $\gamma$ for constante, a equação de precessão:

Num campo uniforme, a solução desta equação mostra que o vetor $\vec\mu$ descreve um cone em torno da direção do campo, ou seja, precessa, à frequência angular de Larmor $\omega_L=|\gamma|B$, ver Figura 2.

3. A experiência de Stern e Gerlach

O princípio da experiência está resumido na Figura 3. Uma fonte envia partículas neutras para um campo magnético não homogéneo criado por dois ímanes frente a frente. Um ecrã mais adiante recolhe os impactos e permite medir um eventual desvio.

3.1. O dispositivo

Os ímanes.

A força da Eq. (3) é identicamente nula se o campo exterior for uniforme. Um dipolo num campo homogéneo sofre apenas um momento de forças e o seu centro de massa continua em linha reta. É, portanto, a não homogeneidade do campo que torna a experiência interessante.

Para a gerar, um Stern e Gerlach (designação habitual do dispositivo, também chamado SG) utiliza dois ímanes talhados, um em ponta e o outro em ponta invertida ou com fundo ligeiramente curvo, ver Figura 3. Esta geometria concentra as linhas de campo junto à aresta pontiaguda do íman superior. Como as linhas se aproximam, a conservação do fluxo magnético $\mathrm{div} \vec B = 0$ num tubo de campo indica que o campo aumenta em direção a essa aresta, aqui com $z$.

À primeira ordem, gostaríamos de escrever o campo interior como $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ com $k>0$, mas isso não satisfaria a condição de divergência nula $\mathrm{div} \vec B = 0$. O campo tem, pois, de possuir uma componente transversal. Desprezando os efeitos de bordo e supondo invariância segundo $\vec e_x$, obtemos:

Em ordem de grandeza, os dispositivos habituais têm $B_0 \sim 0{,}1$ T, com $k\Delta z \ll B_0$ em toda a separação vertical entre os ímanes, tipicamente de alguns milímetros. Os ímanes têm alguns centímetros de comprimento.

A fonte.

É um pequeno forno sob vácuo contendo prata sólida. A alta temperatura, os átomos vaporizados saem por um orifício e várias fendas estreitas selecionam os que têm velocidade quase paralela a $\vec e_x$. Obtém-se assim um feixe atómico colimado, com velocidade típica de algumas centenas de metros por segundo e a dispersão herdada da distribuição de Maxwell-Boltzmann.

Enviam-se partículas eletricamente neutras para sondar apenas os efeitos magnéticos dipolares. Partículas carregadas sofreriam também a força de Lorentz $q\,\vec v\wedge\vec B$, de módulo $qvB_0$, que dominaria largamente a força $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ que aqui nos interessa.

O ecrã.

Na experiência histórica, os átomos de prata depositavam-se progressivamente no ecrã até formar um traço visível. Numa experiência moderna, pode reduzir-se o fluxo o suficiente para registar os impactos um a um. Esta possibilidade será importante mais adiante, e voltaremos a ela.

3.2. Previsão da mecânica clássica

Enviemos para a região de campo da Eq. (7) uma partícula neutra com momento magnético $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$. A equação 3 dá

O dipolo é, portanto, desviado não só segundo $z$, mas também segundo $y$. Quem já encontrou a experiência de Stern e Gerlach noutras fontes poderá estranhar este facto, porque muitos apontamentos se limitam a descrever o que acontece no eixo $z$. Na realidade, os dois termos da Eq. (8) desempenham a priori o mesmo papel.

A razão pela qual podemos desprezar o que acontece no eixo $y$ está na precessão, e é aqui que precisamos de fazer uma hipótese crucial que justificaremos a posteriori. Suporemos que o momento magnético do átomo é proporcional a um momento angular interno $\vec L$ que este possui.

Com esta hipótese, e uma vez que o campo constante $B_0\vec e_z$ domina largamente as correções $kz\,\vec e_z$ e $-ky\,\vec e_y$, o momento magnético precessa à primeira ordem em torno de $\vec e_z$ à frequência angular $\omega_p = |\gamma| B_0$, onde $\gamma$ é a razão giromagnética. Durante a precessão, $\mu_z$ permanece constante e $\mu_y$ oscila em torno de zero.

Esta precessão é rápida. As fórmulas anteriores fornecem ordens de grandeza a priori adequadas ao mundo atómico. Assim, $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ torna-se $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$ usando a carga elementar e a massa do eletrão². Com $B_0\approx0{,}1$ T obtemos $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Por outro lado, o tempo de voo no íman é $T=\ell/v_x$, cerca de $10^{-4}$ s para $\ell$ de alguns centímetros e $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. O momento magnético completa assim algumas centenas de milhares de voltas durante o atravessamento. A força segundo $y$ tem, pois, média nula com excelente precisão.

Neste modelo, a única força relevante em média é $\langle F_z\rangle=k\mu_z$. Isso implica imediatamente que o desvio final no ecrã deve ser proporcional a $\mu_z$. Restam as condições iniciais. Os átomos saem de um forno, isto é, de um banho térmico, onde nenhuma direção espacial é privilegiada. À entrada do SG, os momentos magnéticos devem estar orientados aleatoriamente, e a componente vertical $\mu_z$ deve assumir continuamente todos os valores entre $-\mu$ e $+\mu$, com distribuição uniforme.

A previsão clássica é inequívoca: deve observar-se uma faixa contínua de impactos ao longo do eixo $z$, embora não necessariamente uniforme devido à dispersão de velocidades.

4. Os resultados experimentais

Não é isso que se observa. O desvio ocorre apenas segundo $z$, o que é coerente com a anulação da força média segundo $y$, mas o ecrã não apresenta uma faixa contínua: surgem duas manchas simétricas em relação ao eixo inicial, separadas por uma região vazia.

4.1. A medição de $\mu_0$

A posição precisa das duas manchas permite estimar $\mu_0$. Supondo aproximadamente constantes o gradiente $k=\partial B_z/\partial z$ e a velocidade longitudinal $v_x$ no íman, o átomo sofre a aceleração transversal

durante o intervalo $T=\ell/v_x$. Integra-se esta expressão de forma elementar e prolonga-se depois a trajetória em linha reta até ao ecrã. Tendo em conta os parâmetros geométricos da experiência, Otto Stern e Walther Gerlach puderam assim medir o seu valor para os átomos de prata e encontraram o valor do magnetão de Bohr

Esta medição permite voltar à hipótese 4. Contudo, não fornece diretamente $\gamma$, pois mede o momento magnético e não o momento angular $L$ que lhe estaria associado. Podemos apenas verificar uma ordem de grandeza: a escala natural de um momento angular atómico é $\hbar$, e, escrevendo $L\sim\hbar$, temos $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$. Recuperamos assim a ordem de grandeza postulada anteriormente e uma frequência angular de precessão da ordem de $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, coerente com a ausência observada de desvio segundo $y$.

4.2. O problema para a mecânica clássica

A experiência evidencia um fenómeno estranho à mecânica clássica: a componente de um momento magnético segundo um dado eixo não varia continuamente, mas é quantizada.

Mesmo admitindo que o átomo de prata possui um momento magnético, falta explicar como orientações iniciais quaisquer, provenientes de um banho térmico, conduzem exatamente a dois feixes. Examinemos dois mecanismos clássicos que poderiam explicar este resultado.

Poderia o campo no íman alinhar os momentos? Sem dissipação, vimos que o momento de forças magnético faz o dipolo precessar conservando o seu ângulo com o campo. Não o alinha, portanto, nem com $+\vec B$ nem com $-\vec B$. Mas podemos desprezar toda a dissipação? A teoria eletromagnética prevê, de facto, que um momento em precessão emite radiação³. Esta dissipação é, porém, desprezável: pouco depois da publicação dos resultados, Einstein calculou-a e estimou que a relaxação exigiria mais de um século, contra cerca de $10^{-4}$ s de trânsito no íman ^[3]. Mesmo que fosse suficientemente rápida, levaria os momentos à orientação de menor energia, paralela ao campo: observaríamos uma única mancha, não duas.

Poderiam os campos de bordo explicar as duas manchas? À entrada e à saída do íman, a direção e a intensidade do campo variam e podem complicar a precessão. Estes efeitos dependem, contudo, da geometria precisa dos ímanes e da experiência em geral, pelo que deveriam variar de uma experiência para outra. Mas a separação em dois feixes não depende deles. Além disso, neste modelo clássico, a evolução regida pelas leis da mecânica e pelas equações de Maxwell é uma função contínua da orientação inicial: não pode transformar o contínuo das orientações iniciais em apenas dois valores de saída.

4.3. O aparecimento do acaso

Numa versão moderna da experiência, pode reduzir-se o fluxo até que os átomos atravessem o aparelho um a um. Cada átomo produz um único impacto numa das duas manchas. Estas desenham-se progressivamente à medida que os impactos se acumulam.

Este caráter aleatório ainda não basta para estabelecer a existência de um acaso fundamental: os átomos saem de um forno e as suas condições iniciais variam de átomo para átomo. A imprevisibilidade poderia, por isso, continuar a ser atribuída à nossa ignorância dessas condições. A questão tornar-se-á mais premente quando controlarmos melhor a preparação do feixe.

5. Vários aparelhos de Stern e Gerlach em série

As experiências que combinam vários SG em série irão esclarecer o papel da preparação e das probabilidades, revelando depois a incompatibilidade entre certas medições.

5.1. Preparação de um feixe

À saída de um aparelho $\mathrm{SG}_z$, o feixe separa-se em duas vias. Designaremos por $z+$ a via correspondente ao resultado positivo e por $z-$ a correspondente ao negativo.

Pode colocar-se um obstáculo numa das vias e conservar apenas a outra. Se bloquearmos $z-$, todos os átomos que prosseguem a experiência deram o resultado $z+$ no primeiro aparelho. O dispositivo deixa, portanto, de servir apenas para medir: serve para preparar um feixe bem definido para a experiência seguinte.

Designaremos por $\ket{z+}$ a preparação assim obtida. Nesta fase, a notação significa simplesmente «um átomo que acabou de sair pela via $z+$ de um analisador $\mathrm{SG}_z$». Descobriremos progressivamente a estrutura matemática associada a este símbolo.

5.2. Reprodutibilidade segundo o mesmo eixo

Coloquemos um segundo $\mathrm{SG}_z$ depois do primeiro, conservando apenas a via $z+$ do primeiro aparelho, ver Figura 5. Observa-se experimentalmente que o segundo aparelho produz então uma única mancha, situada na via $z+$. A via $z-$ está vazia.

A imagem clássica não coloca aqui qualquer problema. Se o primeiro aparelho selecionasse um valor de $\mu_z$ ou alinhasse os momentos segundo $z$, e se nada modificasse depois a sua componente $\mu_z$, o segundo deveria produzir o mesmo desvio para todos os átomos selecionados. O resultado é, portanto, compatível com a imagem de uma simples triagem.

5.3. Dois eixos diferentes

Substituamos agora o segundo aparelho por um $\mathrm{SG}_x$, cujo eixo de análise é perpendicular ao do primeiro, ver Figura 6. Observam-se novamente duas manchas, em proporções iguais.

São possíveis duas interpretações clássicas. Se o primeiro aparelho orientou completamente $\vec\mu$ segundo $z$, então $\mu_x=0$: o segundo deveria produzir uma mancha central. Se apenas selecionou os valores positivos de $\mu_z$, sem fixar as restantes componentes, então $\mu_x$ continua distribuído de forma contínua: deveríamos observar uma faixa contínua. Nenhuma das interpretações prevê as duas manchas observadas.

Voltemos ao caso dos átomos enviados um a um. Cada átomo produz um impacto na via $x+$ ou na via $x-$; num grande número de átomos, os dois resultados surgem em proporções iguais. Contudo, o feixe que entra em $\mathrm{SG}_x$ tem uma preparação mais bem controlada do que o que sai diretamente do forno: todos os seus átomos foram selecionados na via $z+$ do primeiro aparelho. A sua preparação $\ket{z+}$ garante mesmo, como acabámos de ver, um resultado certo numa nova medição segundo $z$.

Ainda assim, esta preparação não permite prever em que via ocorrerá o impacto na medição segundo $x$. O argumento da simples desordem à saída do forno já não basta: uma mesma preparação torna uma medição certa, mas deixa a outra aleatória. O papel das probabilidades na mecânica quântica torna-se mais claro.

6. Três aparelhos SG em série

6.1. ZXZ: a filtragem altera a preparação

Consideremos agora a sequência $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$, ver Figura 7. Após o primeiro aparelho, conservamos apenas $z+$. Após o segundo, conservamos apenas $x+$. Por fim, analisamos este novo feixe segundo $z$.

Classicamente, já excluímos a hipótese de um alinhamento completo do momento magnético segundo o eixo do SG, pois ela preveria uma mancha central no segundo aparelho, sem qualquer via $x+$ a selecionar. Se conservarmos a imagem de uma simples triagem, o primeiro aparelho seleciona um valor positivo de $\mu_z$ e o segundo separa os átomos segundo $\mu_x$ sem modificar $\mu_z$. O terceiro deveria então dar apenas a via $z+$. No entanto, a via $z-$ reaparece.

A filtragem segundo $x$ alterou, portanto, a preparação. Após selecionar $x+$, o resultado anterior $z+$ já não permite prever com certeza a nova medição de $z$. Parece que o próprio estado foi modificado pelo segundo aparelho.

Por vezes resume-se este facto dizendo que «medir $x$ destrói a informação sobre $z$». A expressão é útil, desde que nos lembremos de que nada depende aqui daquilo que o experimentador sabe ou observa. O filtro $x+$ preparou fisicamente um novo estado, $\ket{x+}$, que dá os dois resultados $z+$ e $z-$ com probabilidades iguais.

6.2. ZYZ: mesmas probabilidades, outra preparação

Substituamos finalmente o analisador intermédio segundo $x$ por um segundo $y$, conservando ainda apenas a sua via positiva. A sequência $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ volta a dar dois resultados equiprováveis na última medição. Isto generaliza-se a qualquer eixo intermédio perpendicular a $z$: para uma direção $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ no plano $(x,y)$, selecionar a via $u+$ conduz novamente a dois resultados equiprováveis na última medição segundo $z$.

Isto não significa, porém, que as preparações $\ket{x+}$, $\ket{y+}$ ou $\ket{u+}$ sejam todas idênticas. Uma análise segundo $x$ distingui-las-ia: daria certamente $x+$ para a primeira, mas $x+$ ou $x-$ em partes iguais para a segunda, e a experiência mostra que as probabilidades dos dois resultados dependem de $\varphi$ para a terceira. Duas preparações podem, portanto, dar as mesmas probabilidades para uma medição e ser fisicamente diferentes.

7. O formalismo que se delineia

Não pretendemos deduzir todo o formalismo quântico apenas destas experiências. O fracasso da descrição clássica obriga-nos, contudo, a rever o vocabulário e sugere uma nova maneira de representar os estados.

7.1. Um estado não é uma lista de valores

A preparação $\ket{z+}$ não pode reduzir-se ao dado «$\mu_z=+\mu_0$, com valores desconhecidos mas já fixados de $\mu_x$ e $\mu_y$», que os aparelhos se limitariam a revelar. Nesta imagem de uma simples triagem, a sequência $Z\!X\!Z$ voltaria a dar $100\,\%$ de $z+$, o que não acontece. Como representar então um estado, se não através de uma lista de valores preexistentes?

7.2. Rumo à sobreposição quântica

A grande novidade do formalismo quântico é que o próprio estado reúne os dados necessários para calcular as probabilidades dos resultados das medições.

A preparação $\ket{x+}$ dá um resultado certo segundo $x$, mas dois resultados equiprováveis segundo $z$. Para descrever esta situação, o formalismo quântico representa $\ket{x+}$ como uma sobreposição dos dois estados $\ket{z+}$ e $\ket{z-}$:

Os coeficientes (aqui $1/\sqrt{2}$ antes de cada termo) chamam-se amplitudes: o quadrado do seu módulo dá as probabilidades dos resultados segundo $z$, aqui $1/2$ para cada um. Todos os átomos preparados em $\ket{x+}$ têm o mesmo estado, representado por esta combinação linear. Não se trata de uma mistura estatística em que alguns átomos estariam em $\ket{z+}$ e os restantes em $\ket{z-}$.

Não podemos deduzir inteiramente esta estrutura apenas dos resultados aqui apresentados. As experiências de interferência da lição seguinte dar-lhe-ão maior justificação. Em última análise, será necessário postulá-la.

7.3. Um espaço vetorial complexo

As variantes ZYZ e, mais geralmente, ZUZ levantam a seguinte questão: as preparações $\ket{y+}$ ou $\ket{u+}$ também dão $50/50$ segundo $z$, embora sejam diferentes de $\ket{x+}$ quando $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$. As suas duas amplitudes na base $\ket{z+},\ket{z-}$ devem, portanto, ter módulo $1/\sqrt2$. Se as amplitudes fossem reais, restariam apenas as quatro escolhas de sinais $\pm1/\sqrt2$: este número finito de possibilidades não bastaria para representar a diversidade contínua das preparações $\ket{u+}$.

O formalismo quântico utiliza, portanto, amplitudes complexas, cujas fases podem variar sem modificar os módulos. Seremos levados, por exemplo, a escrever:

e, mais geralmente, $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$ para qualquer ângulo $\varphi$. Os estados são então distintos, mas as probabilidades segundo $z$ continuam a valer $1/2$. Levar a sério estas combinações lineares conduz a representar os estados por vetores de um espaço vetorial complexo abstrato. A palavra «abstrato» recorda que os seus coeficientes são amplitudes de probabilidade e não as componentes espaciais de um momento magnético clássico. Uma preparação do estado poderá escrever-se, mais geralmente, como

Para obter as amplitudes e depois o quadrado do seu módulo, será necessário projetar o estado sobre os estados associados aos resultados possíveis. A forma mais simples de recuperar estas componentes será utilizar um produto interno. Este definirá também uma norma, tendo aqui

O quadrado da norma corresponde assim à soma das probabilidades dos resultados possíveis: essa soma deve valer um, pelo que o estado será representado por um vetor de norma um.

No formalismo que se delineia, os estados serão, portanto, vetores de um espaço de Hilbert complexo, isto é, munido de um produto interno que permite calcular as probabilidades. A sua estrutura linear permite somar as amplitudes e traduz o princípio da sobreposição quântica. Tudo isto será estudado em detalhe no tema 2.

8. Para ir mais longe

Um século após estas experiências, podemos precisar o que elas realmente medem. Após Stern e Gerlach, compreendeu-se progressivamente que o momento magnético medido no átomo de prata está essencialmente ligado ao spin de um eletrão desemparelhado. Este spin é um momento angular intrínseco, distinto do momento angular orbital do eletrão. O eletrão é uma partícula de spin $1/2$: medir a projeção do seu spin segundo um eixo dá dois valores possíveis, $S_z=\pm\hbar/2$.

A este momento angular de spin está associado um momento magnético, proporcional ao spin:

onde $e$ designa o valor positivo da carga elementar e $\gamma_s$ a razão giromagnética do eletrão. O sinal menos está ligado à carga negativa do eletrão: o seu momento magnético tem sentido oposto ao spin. Os dois valores mensuráveis da sua componente são, portanto, $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$, com $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$. O spin e o momento magnético são duas grandezas distintas, proporcionais entre si.

Num átomo, é necessário ter também em conta o momento angular orbital do eletrão, ao qual está associado outro momento magnético. O hidrogénio fornece um exemplo simples: o seu único eletrão possui tanto spin como um estado orbital. No estado fundamental $1s$, o momento angular orbital é nulo; a contribuição eletrónica para o momento magnético do átomo vem, portanto, do spin. Phipps e Taylor realizaram a experiência de Stern e Gerlach com hidrogénio em 1927.

O átomo de prata contém mais eletrões, mas a sua configuração eletrónica, $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$, reduz a situação ao mesmo princípio. Pode mostrar-se que, nas camadas completas, as contribuições orbitais e de spin se compensam. Resta o eletrão $5s$, cujo momento angular orbital é, neste caso, nulo no estado fundamental e cujo spin vale $1/2$. Foi, portanto, o seu momento magnético de spin que a experiência histórica evidenciou.

9. Referências