Utangulizi wa jumla na majaribio ya msingi

1. Utangulizi

Lazima tuanze mahali fulani. Maelezo mengi ya utangulizi wa mekanika ya kwanta huanza na jaribio la mianya ya Young, au uchunguzi wa kihistoria wa mnururisho wa kitu cheusi na dhana iliyoletwa na Planck kuueleza (Planck, 1900).

Planck alileta wazo kwamba nishati inaweza kubadilishanwa kwa kiasi tofauti tofauti tu, yaani kwanta zilizolipa nadharia jina lake. Lakini kuelewa njia yake kunahitaji ufahamu wa fizikia ya kitakwimu, ambao mwanafunzi anayeanza si lazima awe nao.

Jaribio la mianya ya Young lenyewe ni la kushangaza. Katika toleo lake la kwanta, chembe zinapotumwa moja moja, linaonyesha tabia zisizoeleweka kabisa kwa maelezo ya kiklasiki. Hata hivyo, kwa maoni ya mwandishi, jaribio hili ni rahisi zaidi kuelewa baadaye, baada ya kujua kanuni za nadharia ya kwanta. Kwa namna fulani, lenyewe linajumuisha vipengele kadhaa vya ajabu zaidi vya nadharia hiyo.

Kwa hiyo tutaanza kwa njia nyingine, kwa jaribio la Stern na Gerlach (1922), linalohusu kitu kinachoonekana rahisi na kueleweka vizuri kiklasiki: chembe yenye momenti ya sumaku. Katika jaribio la kihistoria, chembe hiyo ni atomi ya fedha, na jambo pekee tunalopaswa kukubali kwa muda ni kwamba atomi hiyo kweli ina momenti ya sumaku. Inapotumwa kwenye eneo lenye uga wa sumaku usio sawia, sheria za mekanika na usumakuumeme hutabiri njia yake kwa urahisi.

Matokeo nayo ni ya kushangaza: yanatofautiana kabisa na utabiri wa kiklasiki. Kwa kufuatisha majaribio yanayozidi kuwa changamano, maelezo ya kiklasiki huvunjika na tunaona kwa zamu hali ya ukwantishaji (tazama sehemu 4), superposisheni ya kwanta (tazama sehemu 7.2), na jambo jingine la kwanta pekee ambalo mianya ya Young hailionyeshi moja kwa moja: kutopatana kwa vipimo fulani (tazama sehemu 6.1).

Tutaanza kwa kukumbusha maana ya momenti ya sumaku. Kisha tutaeleza jaribio na kile ambacho kingetarajiwa kuonekana kama atomi ingekuwa sumaku ndogo ya kawaida, halafu tutawasilisha matokeo yaliyopatikana kweli na kujadili yanachomaanisha.

2. Kumbusho kuhusu momenti ya sumaku ya kiklasiki

2.1. Momenti ya sumaku

Momenti ya sumaku $\vec{\mu}$, au dipoli ya sumaku, ni vekta. Sumaku asilia ina momenti ya sumaku ambayo kwa ufafanuzi inaelekea kutoka ncha ya Kusini kwenda ncha ya Kaskazini. Huo pia ni mwelekeo wa mistari ya uga wa sumaku ndani ya sumaku; nje, mistari hiyo hutoka ncha ya Kaskazini na kurudi ncha ya Kusini, tazama Kielelezo 1.

Momenti hii ni kiasi cha msingi kinachopima nguvu ya sumaku. Kwa mfano, msukumano kati ya sumaku mbili zilizoelekeza ncha zao za Kusini zikabiliane hutegemea zao la momenti zao za sumaku na umbali.

Lakini sumaku asilia si rahisi sana kutumia kuendeleza mjadala, kwa sababu chanzo cha uga wake wa sumaku hakionekani mara moja. Sumakuumeme, yaani vitanzi vya mkondo, zinafaa zaidi. Kwa kitanzi bapa kinachopitisha mkondo wa ukubwa $I$ na kuzunguka eneo $S$, huthibitishwa kwamba momenti ya sumaku ni $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$, ambapo $\vec{n}$ ni vekta ya kizio yenye mwelekeo wima kwa kitanzi, unaowekwa na kanuni ya mkono wa kulia.

Huo ndio usemi pekee tutakaohitaji hapa. Bila shaka nadharia ya momenti za sumaku ni pana zaidi. Hufafanua momenti ya sumaku ya mgawanyo wowote wa mkondo kwa integrali juu ya mgawanyo huo. Fomula ya kitanzi ni hali yake maalumu. Kwa maelezo zaidi ya ujenzi huu, rejea vitabu vya kawaida vya kozi (kwa mfano, sura ya 5 ya ^[1]).

2.2. Mwingiliano na uga wa sumaku

Mekanika ya kiklasiki hutoa sifa tatu za dipoli ya sumaku iliyowekwa katika uga wa sumaku wa nje $\vec B$.

Fomula ya tatu hutokana moja kwa moja na ya pili kupitia $\vec{F} = -\grad E_p$. Inaonyesha kwamba mfumo wenye momenti ya sumaku ukiwekwa katika uga usio sawia hupata nguvu tokeo inayokengeusha njia yake. Mbili za kwanza hutokana na hesabu ya wazi ya nguvu ya Laplace inayotenda kwenye mgawanyo wa mkondo (kwa momenti ya nguvu), na kazi ya nguvu hiyo (kwa nishati ya potenshali); hatuzirudii hapa, na tunaelekeza hasa kwenye sehemu 5.2 na 5.7 za ^[1] kwa uthibitisho kamili¹.

Zaidi ya maelezo ya kiufundi, tukumbuke hasa hili. Nishati ya potenshali katika Mling. (2) ni ndogo zaidi wakati $\vec\mu$ ni sambamba na $\vec B$, na kubwa zaidi wakati zinaelekea kinyume: dipoli ya sumaku huelekea kujipanga sambamba na uga kupitia momenti ya nguvu ya Mling. (1). Hii ndiyo kanuni ya dira. Hata hivyo, bila upotevu wa nishati, sindano ya dira ingeendelea kuyumba bila mwisho kuzunguka mwelekeo wa Kaskazini kutokana na momenti ya nguvu na nadharia ya momentamu ya pembe. Ikiwa hatimaye inatulia, ni kwa sababu msuguano kwenye mhimili wake wa kuzunguka hupoteza nishati ya myumbo huo.

2.3. Uwiano wa jairosumaku na presesheni

Mwendo huu huchukua umbo maalumu wakati momenti ya sumaku inalingana sawia na momentamu ya pembe ya ndani inayohusishwa na dipoli. Katika hali hiyo tunafafanua uwiano wa jairosumaku $\gamma$ kupitia uhusiano wa usawia:

Uhusiano kama Mling. (4) hujitokeza, kwa mfano, kwa momenti ya sumaku ya chaji ya kiklasiki katika obiti ya duara. Hakika, chaji $q$ yenye masi $m$ inayozunguka duara la radiusi $R$ kwa kasi $v$ ni sawa na mkondo $I=qv/(2\pi R)$. Kwa hiyo huzalisha momenti ya sumaku

Katika modeli hii ya obiti ya kiklasiki, $\gamma=q/(2m)$. Nadharia ya momentamu ya pembe pamoja na Mling. (1) hutoa $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$, kisha, kama $\gamma$ haibadiliki, mlinganyo wa presesheni:

Katika uga sawia, suluhisho la mlinganyo huu huonyesha kwamba vekta $\vec\mu$ huchora koni kuzunguka mwelekeo wa uga, yaani hufanya presesheni, kwa marudio ya pembe ya Larmor $\omega_L=|\gamma|B$, tazama Kielelezo 2.

3. Jaribio la Stern na Gerlach

Kanuni ya jaribio imefupishwa katika Kielelezo 3. Chembe zisizo na chaji hutumwa kutoka chanzo hadi kwenye uga wa sumaku usio sawia unaotengenezwa na sumaku mbili zinazokabiliana. Skrini iliyo mbali zaidi hukusanya migongano ya chembe na kuruhusu kupima mkengeuko, ikiwa upo.

3.1. Kifaa

Sumaku.

Nguvu ya Mling. (3) ni sifuri kabisa ikiwa uga wa nje ni sawia. Dipoli katika uga sawia hupata momenti ya nguvu tu, na kitovu chake cha masi huendelea moja kwa moja. Kwa hiyo kutokuwa sawia kwa uga ndiko kunakofanya jaribio livutie.

Ili kuuzalisha, kifaa cha Stern na Gerlach (jina la kawaida la kifaa hiki, au SG kwa kifupi) hutumia sumaku mbili zilizochongwa, moja ikiwa na ncha kali na nyingine ikiwa na shimo la umbo la kinyume au sakafu iliyopinda kidogo, tazama Kielelezo 3. Jiometria hii hukusanya mistari ya uga kuelekea ukingo mkali wa sumaku ya juu. Mistari inapokaribiana, uhifadhi wa flaksi ya sumaku $\mathrm{div} \vec B = 0$ katika neli ya uga hutuambia kwamba uga huongezeka kuelekea ukingo huo, yaani hapa kadiri $z$ inavyoongezeka.

Kwa daraja la kwanza, tungependa kuandika uga ndani ya kifaa kama $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$ ambapo $k>0$, lakini hilo halingetimiza sharti la daivajensi sifuri $\mathrm{div} \vec B = 0$. Kwa hiyo uga lazima uwe pia na kijenzi cha kuvuka. Tukipuuza athari za kingo na kudhani kutobadilika kwa $\vec e_x$, tunapata:

Kwa daraja la ukubwa, vifaa vya kawaida vina $B_0 \sim 0{,}1$ T, pamoja na $k\Delta z \ll B_0$ katika pengo lote la wima kati ya sumaku, kwa kawaida milimita chache. Sumaku zina urefu wa sentimita chache.

Chanzo.

Ni tanuru dogo lililowekwa katika ombwe na lenye fedha imara. Kwa joto la juu, atomi zilizovukiza hutoka tanuruni kupitia tundu, na mianya kadhaa myembamba huchagua zile ambazo kasi yake ni karibu sambamba na $\vec e_x$: hivyo hupatikana boriti ya atomi iliyokolimishwa, yenye kasi ya kawaida ya mita mamia kadhaa kwa sekunde, pamoja na mtawanyiko unaotokana na mgawanyo wa Maxwell-Boltzmann.

Tambua kwamba tunatuma chembe zisizo na chaji ya umeme ili kuchunguza athari za dipoli za sumaku pekee. Tukituma chembe zenye chaji, zingepata pia nguvu ya Lorentz $q\,\vec v\wedge\vec B$, yenye ukubwa $qvB_0$, ambayo ingezidi kwa mbali sana nguvu $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ tunayoichunguza hapa.

Skrini.

Katika jaribio la kihistoria, atomi za fedha zilitua taratibu kwenye skrini na hatimaye kuunda alama inayoonekana. Katika jaribio la kisasa, mtiririko unaweza kupunguzwa vya kutosha kurekodi migongano moja moja. Uwezekano huu utakuwa muhimu baadaye, na tutaurudia.

3.2. Utabiri wa mekanika ya kiklasiki

Tutume kwenye eneo la uga wa Mling. (7) chembe isiyo na chaji yenye momenti ya sumaku $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$. Mlinganyo 3 hutoa

Kwa hiyo dipoli hukengeuka si kwa $z$ tu bali pia kwa $y$. Msomaji aliyewahi kukutana na jaribio la Stern na Gerlach mahali pengine huenda akashangazwa na hili, kwa sababu maandishi mengi ya mihadhara huzungumzia yanayotokea kwenye mhimili $z$ pekee. Kwa kweli, sehemu mbili za Mling. (8) zina jukumu sawa mwanzoni.

Sababu ya kupuuza kinachotokea kwenye mhimili $y$ iko katika presesheni, na hapa lazima tuweke dhana muhimu ambayo tutaithibitisha baadaye. Tutadhani kwamba momenti ya sumaku ya atomi inalingana sawia na momentamu ya pembe ya ndani $\vec L$ inayobebwa nayo.

Chini ya dhana hii, na kwa kuwa uga usiobadilika $B_0\vec e_z$ unazidi sana masahihisho $kz\,\vec e_z$ na $-ky\,\vec e_y$, momenti ya sumaku hufanya presesheni kwa daraja la kwanza kuzunguka $\vec e_z$ kwa marudio ya pembe $\omega_p = |\gamma| B_0$, ambapo $\gamma$ ni uwiano wake wa jairosumaku. Wakati wa presesheni, kijenzi $\mu_z$ hubaki bila kubadilika huku $\mu_y$ kikiyumba kuzunguka sifuri.

Presesheni hii ni ya haraka. Fomula tulizoona hutoa makadirio ya madaraja ya ukubwa yanayofaa mwanzoni katika ulimwengu wa atomi. Hivyo $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ huwa $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$ tukitumia chaji ya msingi na masi ya elektroni². Kwa $B_0\approx0{,}1$ T, tunapata $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Kwa upande mwingine, muda wa kusafiri ndani ya sumaku ni $T=\ell/v_x$, karibu $10^{-4}$ s kwa $\ell$ ya sentimita chache na $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Hivyo momenti ya sumaku hufanya mizunguko laki kadhaa wakati wa kupita. Wastani wa nguvu katika mwelekeo $y$ kwa hiyo huwa sifuri kwa usahihi mkubwa sana.

Kwa hiyo, katika modeli hii nguvu pekee muhimu kwa wastani ni $\langle F_z\rangle=k\mu_z$. Hii inamaanisha moja kwa moja kwamba mkengeuko wa mwisho kwenye skrini lazima ulingane sawia na $\mu_z$. Kilichobaki ni kuuliza hali za mwanzo ni zipi. Atomi hutoka kwenye tanuru, yaani hifadhi ya joto ambayo haipendelei mwelekeo wowote wa nafasi. Zinapoingia SG, momenti za sumaku lazima ziwe zimeelekezwa bila mpangilio, na kijenzi chao cha wima $\mu_z$ kichukue kwa mwendelezo thamani zote kati ya $-\mu$ na $+\mu$, kwa mgawanyo sawia.

Utabiri wa kiklasiki basi hauna utata: tunapaswa kuona ukanda endelevu wa migongano kwenye mhimili $z$ (lakini si lazima wenye msongamano sawia, kutokana na mtawanyiko wa kasi).

4. Matokeo ya majaribio

Hicho sicho kinachoonekana. Mkengeuko hutokea kwa $z$ pekee, jambo linalolingana na wastani wa nguvu kwa $y$ kuwa sifuri, lakini skrini haina ukanda endelevu: ina madoa mawili yaliyo linganifu kuhusu mhimili wa mwanzo, yakitenganishwa na eneo tupu.

4.1. Kupima $\mu_0$

Mahali sahihi pa madoa mawili huruhusu kukadiria thamani ya $\mu_0$. Tukidhani kwamba gradienti $k=\partial B_z/\partial z$ na kasi ya urefu $v_x$ ndani ya sumaku ni takribani zisizobadilika, atomi hupata mchapuko wa kuvuka katika muda $T=\ell/v_x$

ambao tunaweza kuufanyia integrali kwa urahisi kabla ya kuendeleza njia kwa mstari mnyoofu hadi skrini. Kwa kuzingatia vigezo vya jiometria ya jaribio, Otto Stern na Walther Gerlach waliweza kupima thamani yake kwa atomi za fedha, na kupata thamani ya magnetoni ya Bohr

Kipimo hiki hutuwezesha kurudia dhana 4. Hata hivyo hakitoi $\gamma$ moja kwa moja, kwa sababu hupima momenti ya sumaku wala si momentamu ya pembe $L$ inayohusishwa nayo. Tunaweza kuhakiki daraja la ukubwa tu: kipimo cha asili cha momentamu ya pembe ya atomi ni $\hbar$, na tukiandika $L\sim\hbar$, basi $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$. Hivyo tunapata tena daraja la ukubwa lililodhaniwa hapo juu na marudio ya pembe ya presesheni ya daraja la $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, yanayolingana na kutokuonekana kwa mkengeuko kwa $y$.

4.2. Tatizo kwa mekanika ya kiklasiki

Jaribio linaonyesha jambo geni kwa mekanika ya kiklasiki: kijenzi cha momenti ya sumaku kwenye mhimili fulani hakibadiliki kwa mwendelezo, bali kimekwantishwa.

Hata tukikubali kwamba atomi ya fedha ina momenti ya sumaku, bado tunahitaji kueleza jinsi mielekeo yoyote ya mwanzo kutoka hifadhi ya joto inavyoleta boriti mbili hasa. Tuchunguze mifumo miwili ya kiklasiki inayoweza kueleza matokeo haya.

Je, uga ndani ya sumaku unaweza kupanga momenti sambamba nao? Bila upotevu wa nishati, tumeona kwamba momenti ya nguvu ya sumaku husababisha dipoli kufanya presesheni huku ikihifadhi pembe yake na uga. Kwa hiyo haiipangi sambamba na $+\vec B$ wala $-\vec B$. Lakini je, upotevu wote wa nishati unaweza kupuuzwa? Nadharia ya usumakuumeme hutabiri kweli kwamba momenti inayofanya presesheni hunururisha³. Hata hivyo, upotevu huu wa nishati ni mdogo mno: muda mfupi baada ya matokeo kuchapishwa, Einstein aliuhesabu na kukadiria kwamba utulivu ungehitaji zaidi ya karne moja, ikilinganishwa na muda wa kupita ndani ya sumaku wa karibu $10^{-4}$ s ^[3]. Hata kama ungekuwa wa haraka vya kutosha, ungeelekeza momenti kwenye mwelekeo wenye nishati ndogo zaidi, sambamba na uga: tungeona doa moja tu, si mawili.

Je, uga wa kingo unaweza kueleza madoa mawili? Kwenye ingilio na tokeo la sumaku, mwelekeo na ukubwa wa uga hubadilika na unaweza kufanya presesheni iwe changamano. Hata hivyo, athari hizi hutegemea jiometria mahususi ya sumaku na jaribio kwa ujumla, hivyo zinapaswa kubadilika kutoka jaribio moja hadi jingine. Lakini utengano kuwa boriti mbili hauzitegemei. Aidha, katika modeli hii ya kiklasiki, mageuzi yanayofuata sheria za mekanika na milinganyo ya Maxwell ni fungsi endelevu ya mwelekeo wa mwanzo: hayawezi kubadilisha mwendelezo wa mielekeo ya mwanzo kuwa thamani mbili tu za kutoka.

4.3. Kuibuka kwa unasibu

Katika toleo la kisasa la jaribio, mtiririko unaweza kupunguzwa kiasi kwamba atomi hupita kwenye kifaa moja moja. Kila atomi hugonga mara moja kwenye mojawapo ya madoa mawili. Madoa haya hujitokeza taratibu kadiri migongano inavyokusanyika.

Unasibu huu bado hautoshi kuthibitisha uwepo wa unasibu wa msingi: atomi hutoka kwenye tanuru na hali zao za mwanzo hutofautiana kutoka atomi moja hadi nyingine. Kutoweza kutabiri bado kunaweza kuhusishwa na kutokujua kwetu hali hizo. Swali hili litakuwa muhimu zaidi tutakapodhibiti vizuri zaidi utayarishaji wa boriti.

5. Stern na Gerlach kadhaa mfululizo

Majaribio yanayounganisha SG kadhaa mfululizo yatafafanua jukumu la utayarishaji na uwezekano, kisha yataonyesha kutopatana kwa vipimo fulani.

5.1. Kutayarisha boriti

Kwenye tokeo la kifaa $\mathrm{SG}_z$, boriti hutengana kuwa mikondo miwili. Tutaita mkondo wa matokeo chanya $z+$ na ule wa matokeo hasi $z-$.

Kizuizi kinaweza kuwekwa kwenye mkondo mmoja na kubakiza mwingine tu. Tukizuia $z-$, atomi zote zinazoendelea na jaribio zimetoa matokeo $z+$ katika kifaa cha kwanza. Kwa hiyo kifaa hakitumiki kupima tu: kinatumika pia kutayarisha boriti iliyofafanuliwa vizuri kwa jaribio linalofuata.

Tutauita utayarishaji huu $\ket{z+}$. Kwa hatua hii, alama hiyo inamaanisha tu “atomi iliyotoka sasa hivi kupitia mkondo $z+$ wa kichanganuzi $\mathrm{SG}_z$”. Tutagundua taratibu muundo wa hisabati unaohusishwa na alama hii.

5.2. Kurudiwa kwa matokeo kwenye mhimili uleule

Tuweke $\mathrm{SG}_z$ ya pili baada ya ya kwanza, tukibakiza mkondo $z+$ tu wa kifaa cha kwanza, tazama Kielelezo 5. Jaribio linaonyesha kwamba kifaa cha pili hutengeneza doa moja tu, kwenye mkondo $z+$. Mkondo $z-$ ni tupu.

Taswira ya kiklasiki haina tatizo hapa. Ikiwa kifaa cha kwanza kilichagua thamani fulani ya $\mu_z$ au kupanga momenti katika mwelekeo $z$, na hakuna kilichobadilisha baadaye kijenzi chao $\mu_z$, kifaa cha pili kingetoa mkengeuko uleule kwa atomi zote zilizochaguliwa. Kwa hiyo matokeo haya yanapatana na taswira ya kuchambua tu.

5.3. Mihimili miwili tofauti

Sasa tubadilishe kifaa cha pili kwa $\mathrm{SG}_x$, ambacho mhimili wake wa uchanganuzi ni wima kwa wa kwanza, tazama Kielelezo 6. Tunaona tena madoa mawili kwa uwiano sawa.

Tafsiri mbili za kiklasiki zinawezekana. Ikiwa kifaa cha kwanza kimeelekeza $\vec\mu$ kikamilifu kwa $z$, basi $\mu_x=0$: kifaa cha pili kingetengeneza doa la katikati. Ikiwa kimechagua tu thamani chanya za $\mu_z$, bila kuamua vijenzi vingine, basi $\mu_x$ bado ina mgawanyo endelevu: tungeona ukanda endelevu. Hakuna mojawapo ya tafsiri hizi inayotabiri madoa mawili yanayoonekana.

Turudie hali ambapo atomi hutumwa moja moja. Kila atomi hugonga kwenye mkondo $x+$ au $x-$; kwa atomi nyingi, matokeo haya mawili hutokea kwa uwiano sawa. Hata hivyo, boriti inayoingia $\mathrm{SG}_x$ imetayarishwa kwa udhibiti bora kuliko ile inayotoka moja kwa moja tanuruni: atomi zake zote zimechaguliwa kwenye mkondo $z+$ wa kifaa cha kwanza. Utayarishaji wao $\ket{z+}$ hata huhakikisha, kama tulivyoona sasa hivi, matokeo ya hakika katika kipimo kipya kwa $z$.

Licha ya hayo, utayarishaji huu hauturuhusu kutabiri atomi itagonga kwenye mkondo upi katika kipimo kwa $x$. Hoja ya kutokuwa na mpangilio kwenye tokeo la tanuru pekee haitoshi tena: utayarishaji uleule unaofanya kipimo kimoja kiwe cha hakika huacha kingine kiwe cha nasibu. Jukumu la uwezekano katika mekanika ya kwanta linazidi kuwa wazi.

6. Vifaa vitatu vya SG mfululizo

6.1. ZXZ: uchujaji hubadili utayarishaji

Sasa tuchunguze mfuatano $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$, tazama Kielelezo 7. Baada ya kifaa cha kwanza tunabakiza $z+$ tu. Baada ya cha pili tunabakiza $x+$ tu. Mwishowe tunachanganua boriti hii mpya kwa $z$.

Kiklasiki, tayari tumekataa dhana ya kupanga momenti ya sumaku kikamilifu katika mhimili wa SG, kwa sababu ingetabiri doa la katikati katika kifaa cha pili, hivyo kusingekuwa na mkondo $x+$ wa kuchagua. Tukibakiza taswira ya kuchambua tu, kifaa cha kwanza huchagua thamani chanya ya $\mu_z$, kisha cha pili huchambua atomi kulingana na $\mu_x$ bila kubadili $\mu_z$. Kifaa cha tatu basi kingepata mkondo $z+$ pekee. Lakini mkondo $z-$ hujitokeza tena.

Kwa hiyo uchujaji kwa $x$ umebadili utayarishaji. Baada ya kuchagua $x+$, matokeo ya awali $z+$ hayaruhusu tena kutabiri kwa uhakika kipimo kipya cha $z$. Inaonekana kwamba hali yenyewe imebadilishwa na kifaa cha pili.

Wakati mwingine jambo hili hufupishwa kwa kusema kwamba “kupima $x$ huharibu taarifa kuhusu $z$”. Kauli hii inafaa mradi tukumbuke kwamba hakuna kinachotegemea kile mjaribishaji anachojua au kuangalia. Kichujio $x+$ kimetayarisha kimwili hali mpya, $\ket{x+}$, na hali hii hutoa matokeo $z+$ na $z-$ kwa uwezekano sawa.

6.2. ZYZ: uwezekano uleule, utayarishaji mwingine

Hatimaye tubadilishe kichanganuzi cha kati kwa $x$ kwa kichanganuzi kwa $y$, tukibakiza tena mkondo wake chanya tu. Mfuatano $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ hutoa tena matokeo mawili yenye uwezekano sawa katika kipimo cha mwisho. Matokeo haya yanatumika kwa kila mhimili wa kati ulio wima kwa $z$: kwa mwelekeo $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ katika bapa $(x,y)$, kuchagua mkondo $u+$ hutoa tena matokeo mawili yenye uwezekano sawa katika kipimo cha mwisho kwa $z$.

Hata hivyo, hii haimaanishi kwamba matayarisho $\ket{x+}$, $\ket{y+}$ au $\ket{u+}$ yote yanafanana. Uchanganuzi kwa $x$ ungeyatofautisha: ungetoa $x+$ kwa uhakika kwa la kwanza, lakini $x+$ au $x-$ kwa uwiano sawa kwa la pili; kwa la tatu, jaribio linaonyesha kwamba uwezekano wa matokeo mawili hutegemea $\varphi$. Kwa hiyo matayarisho mawili yanaweza kutoa uwezekano uleule kwa kipimo kimoja, huku yakiwa tofauti kimwili.

7. Mfumo wa kihisabati unaojitokeza

Hatudai kupata mfumo mzima wa kihisabati wa kwanta kutokana na majaribio haya pekee. Hata hivyo, kushindwa kwa maelezo ya kiklasiki kunatulazimisha kutathmini upya msamiati wetu na kunapendekeza njia mpya ya kuwakilisha hali.

7.1. Hali si orodha ya thamani

Utayarishaji $\ket{z+}$ hauwezi kufupishwa kuwa taarifa “$\mu_z=+\mu_0$, pamoja na thamani zisizojulikana lakini zilizokwishaamuliwa za $\mu_x$ na $\mu_y$”, ambazo vifaa vingefichua tu. Katika taswira hii ya kuchambua tu, mfuatano $Z\!X\!Z$ ungetoa tena $100\,\%$ za $z+$, lakini si hivyo. Basi hali iwakilishweje ikiwa si kwa orodha ya thamani zilizokuwapo tayari?

7.2. Kuelekea superposisheni ya kwanta

Jambo jipya kuu katika mfumo wa kihisabati wa kwanta ni kwamba hali yenyewe hukusanya taarifa zinazowezesha kuhesabu uwezekano wa matokeo ya vipimo.

Utayarishaji $\ket{x+}$ hutoa matokeo ya hakika kwa $x$, lakini matokeo mawili yenye uwezekano sawa kwa $z$. Ili kueleza hali hii, mfumo wa kihisabati wa kwanta huwakilisha $\ket{x+}$ kama superposisheni ya hali mbili $\ket{z+}$ na $\ket{z-}$:

Vigawo (hapa $1/\sqrt{2}$ mbele ya kila kipengele) huitwa amplitudo: mraba wa moduli yake hutoa uwezekano wa matokeo kwa $z$, hapa $1/2$ kwa kila moja. Atomi zote zilizotayarishwa katika $\ket{x+}$ zina hali ileile, inayowakilishwa na muunganiko huu wa mstari. Huu si mchanganyiko wa kitakwimu ambapo atomi fulani zingekuwa katika $\ket{z+}$ na nyingine katika $\ket{z-}$.

Hatuwezi kupata muundo huu kikamilifu kutokana na matokeo yaliyowasilishwa hapa pekee. Majaribio ya mwingiliano yatakayowasilishwa katika somo linalofuata yatauunga mkono zaidi. Hatimaye, itabidi tuukubali kama postuleti.

7.3. Nafasi ya vekta changamano

Matoleo ZYZ, na kwa ujumla zaidi ZUZ, yanaibua swali lifuatalo: matayarisho $\ket{y+}$ au $\ket{u+}$ nayo hutoa $50/50$ kwa $z$, lakini yanatofautiana na $\ket{x+}$ wakati $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$. Kwa hiyo amplitudo zake mbili katika besi $\ket{z+},\ket{z-}$ lazima ziwe na moduli $1/\sqrt2$. Ikiwa amplitudo zingekuwa halisi, kungebaki chaguo nne tu za ishara $\pm1/\sqrt2$: idadi hii yenye kikomo ya uwezekano isingetosha kuwakilisha utofauti endelevu wa matayarisho $\ket{u+}$.

Kwa hiyo mfumo wa kihisabati wa kwanta hutumia amplitudo changamano, ambazo awamu zake zinaweza kubadilika bila kubadili moduli. Kwa mfano, tutakuja kuandika:

na kwa ujumla zaidi $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$ kwa kila pembe $\varphi$. Hali zinatofautiana, lakini uwezekano kwa $z$ daima ni $1/2$. Kuchukulia miunganiko hii ya mstari kwa uzito hutuelekeza kuwakilisha hali kama vekta katika nafasi dhahania ya vekta changamano. Neno “dhahania” linakumbusha kwamba vigawo vyake ni amplitudo za uwezekano, wala si vijenzi vya anga vya momenti ya sumaku ya kiklasiki. Kwa ujumla zaidi, utayarishaji wa hali unaweza kuandikwa kama

Ili kupata amplitudo, kisha mraba wa moduli zake, itabidi tufanye projeksheni ya hali kwenye hali zinazohusishwa na matokeo yanayowezekana. Njia rahisi zaidi ya kupata vijenzi hivi itakuwa kutumia zao la ndani. Pia litafafanua norma, ambapo hapa

Hivyo mraba wa norma unalingana na jumla ya uwezekano wa matokeo yanayowezekana: jumla hii lazima iwe moja, na hali itawakilishwa kwa vekta yenye norma moja.

Katika mfumo wa kihisabati unaojitokeza, hali zitakuwa vekta za nafasi changamano ya Hilbert, yaani yenye zao la ndani linalowezesha kuhesabu uwezekano. Muundo wake wa mstari huruhusu kujumlisha amplitudo na huwakilisha kanuni ya superposisheni ya kwanta. Haya yote yatachunguzwa kwa kina katika mada 2.

8. Kwa uchunguzi zaidi

Karne moja baada ya majaribio haya, tunaweza kufafanua kile yanachopima kweli. Baada ya Stern na Gerlach, ilieleweka taratibu kwamba momenti ya sumaku inayopimwa katika atomi ya fedha hasa inahusishwa na spini ya elektroni isiyo na mwenzi. Spini hii ni momentamu ya pembe ya ndani, tofauti na momentamu ya pembe ya obiti ya elektroni. Elektroni ni chembe yenye spini $1/2$: kupima projeksheni ya spini yake kwenye mhimili fulani hutoa thamani mbili zinazowezekana, $S_z=\pm\hbar/2$.

Momentamu hii ya pembe ya spini inahusishwa na momenti ya sumaku, iliyo sawia na spini:

ambapo $e$ inaonyesha thamani chanya ya chaji ya msingi, na $\gamma_s$ ni uwiano wa jairosumaku wa elektroni. Ishara hasi inahusishwa na chaji hasi ya elektroni: momenti yake ya sumaku inaelekea kinyume na spini yake. Kwa hiyo thamani mbili zinazopimika za kijenzi chake ni $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$, ambapo $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$. Spini na momenti ya sumaku ni kiasi viwili tofauti vilivyo sawia.

Katika atomi, lazima pia tuzingatie momentamu ya pembe ya obiti ya elektroni, inayohusishwa na momenti nyingine ya sumaku. Hidrojeni hutoa mfano rahisi: elektroni yake pekee ina spini na hali ya obiti. Katika hali ya msingi $1s$, momentamu ya pembe ya obiti ni sifuri; hivyo mchango wa elektroni kwa momenti ya sumaku ya atomi hutokana na spini. Jaribio la Stern na Gerlach kwa hidrojeni lilifanywa na Phipps na Taylor mwaka 1927.

Atomi ya fedha ina elektroni nyingi zaidi, lakini mpangilio wake wa elektroni, $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$, hurudisha hali hii kwenye kanuni ileile. Inaweza kuonyeshwa kwamba katika maganda yaliyojaa, michango ya obiti na spini hufutana. Hivyo inabaki elektroni $5s$, ambayo momentamu yake ya pembe ya obiti ni sifuri katika hali ya msingi, na spini yake ni $1/2$. Kwa hiyo momenti yake ya sumaku ya spini ndiyo iliyoonyeshwa na jaribio la kihistoria.

9. Marejeo