सामान्य परिचय और आधारभूत प्रयोग

1. परिचय

कहीं न कहीं से शुरुआत करनी ही होती है। क्वांटम यांत्रिकी के अनेक विवरण यंग के द्वि-छिद्र प्रयोग से, या कृष्णिका विकिरण के ऐतिहासिक अध्ययन और उसे समझाने के लिए प्लांक की परिकल्पना से शुरू होते हैं (Planck, 1900)।

प्लांक ने यह विचार प्रस्तुत किया कि ऊर्जा का आदान-प्रदान केवल असतत मात्राओं में हो सकता है। इन्हीं क्वांटा से इस सिद्धांत को उसका नाम मिला। लेकिन उनके तर्क को समझने के लिए सांख्यिकीय भौतिकी जानना आवश्यक है, जो शुरुआती विद्यार्थी को हमेशा नहीं आती।

यंग का द्वि-छिद्र प्रयोग भी अत्यंत प्रभावशाली है। उसके क्वांटम रूप में, जहाँ कण एक-एक करके भेजे जाते हैं, ऐसा व्यवहार दिखाई देता है जिसे शास्त्रीय भाषा में समझना बिल्कुल संभव नहीं। किंतु लेखक की राय में, क्वांटम सिद्धांत के मूल सिद्धांत जान लेने के बाद पीछे मुड़कर इस प्रयोग को समझना बहुत आसान है। एक अर्थ में, यह अकेला प्रयोग सिद्धांत के कई सबसे विचित्र पहलुओं को समेटता है।

इसलिए हम अलग ढंग से शुरू करेंगे: स्टर्न और गेर्लाख के प्रयोग (1922) से। इसका विषय देखने में सरल और शास्त्रीय रूप से अच्छी तरह समझा हुआ है—चुंबकीय आघूर्ण वाला कण। ऐतिहासिक प्रयोग में यह कण चाँदी का परमाणु था। अभी केवल इतना स्वीकार करना होगा कि ऐसे परमाणु में वास्तव में चुंबकीय आघूर्ण होता है। उसे असमान चुंबकीय क्षेत्र में भेजने पर यांत्रिकी और विद्युतचुंबकत्व के नियम आसानी से उसके पथ की भविष्यवाणी करते हैं।

प्राप्त परिणाम भी उतने ही चकित करने वाले हैं: वे शास्त्रीय भविष्यवाणियों से मूलतः अलग हैं। अधिकाधिक परिष्कृत प्रयोगों को क्रम से जोड़ने पर शास्त्रीय वर्णन टूटता है और क्रमशः क्वांटीकरण (अनुभाग 4 देखें), क्वांटम अध्यारोपण (अनुभाग 7.2 देखें), तथा एक और शुद्ध क्वांटम घटना सामने आती है जिसे यंग का प्रयोग सीधे नहीं दिखाता: कुछ मापनों की परस्पर असंगतता (अनुभाग 6.1 देखें)।

पहले हम चुंबकीय आघूर्ण की अवधारणा दोहराएँगे। फिर प्रयोग और उस स्थिति की अपेक्षित प्रेक्षणीय बातें बताएँगे जिसमें परमाणु साधारण छोटे चुंबक जैसा व्यवहार करे। इसके बाद वास्तविक परिणाम और उनके निहितार्थ पर चर्चा करेंगे।

2. शास्त्रीय चुंबकीय आघूर्ण का पुनरावलोकन

2.1. चुंबकीय आघूर्ण

चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu}$, या चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण, एक सदिश है। प्राकृतिक चुंबक में चुंबकीय आघूर्ण होता है, जिसकी दिशा परिभाषा के अनुसार चुंबक के दक्षिण ध्रुव से उत्तर ध्रुव की ओर होती है। चुंबक के भीतर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा भी यही होती है; बाहर वे उत्तर ध्रुव से निकलकर दक्षिण ध्रुव पर लौटती हैं, चित्र 1 देखें।

यह आघूर्ण चुंबक की प्रबलता को मात्रात्मक रूप में बताने वाली मूल राशि है। उदाहरण के लिए, दक्षिण ध्रुव आमने-सामने रखे दो चुंबकों का प्रतिकर्षण उनके चुंबकीय आघूर्णों के गुणनफल और दूरी पर निर्भर करता है।

लेकिन आगे की चर्चा के लिए प्राकृतिक चुंबक बहुत सुविधाजनक नहीं हैं, क्योंकि तुरंत स्पष्ट नहीं होता कि उनका चुंबकीय क्षेत्र किससे उत्पन्न होता है। अधिक सुविधाजनक हैं विद्युतचुंबक, अर्थात धारा के पाश। किसी समतलीय पाश में $I$ धारा बहती हो और वह $S$ क्षेत्रफल घेरता हो, तो सिद्ध किया जा सकता है कि उसका चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$ है। यहाँ $\vec{n}$ पाश के तल का इकाई अभिलंब सदिश है, जिसकी दिशा दाएँ हाथ के नियम से तय होती है।

यहाँ हमें केवल इसी व्यंजक की आवश्यकता होगी। निस्संदेह, चुंबकीय आघूर्णों का सिद्धांत अधिक व्यापक है। वह किसी भी धारा वितरण का चुंबकीय आघूर्ण उस वितरण पर समाकलन द्वारा परिभाषित करता है। पाश का सूत्र उसका विशेष मामला है। इस निर्माण के लिए ^[1] का अध्याय 5 देखें।

2.2. चुंबकीय क्षेत्र से युग्मन

शास्त्रीय यांत्रिकी बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $\vec B$ में रखे चुंबकीय द्विध्रुव के तीन गुण देती है।

तीसरा सूत्र $\vec{F} = -\grad E_p$ के माध्यम से सीधे दूसरे से निकलता है। यह बताता है कि चुंबकीय आघूर्ण वाला तंत्र असमान क्षेत्र में रखने पर उसका पथ विक्षेपित करने वाला परिणामी बल अनुभव करता है। पहले दो सूत्र धारा वितरण पर लगने वाले लाप्लास बल की स्पष्ट गणना से बलाघूर्ण, और उस बल के कार्य से स्थितिज ऊर्जा निकालने पर मिलते हैं। हम यहाँ गणना नहीं दोहराएँगे; पूर्ण प्रमाण के लिए विशेषतः ^[1] के अनुभाग 5.2 और 5.7 देखें¹।

तकनीकी विवरण से हटकर मुख्य बात याद रखें। समीकरण (2) की स्थितिज ऊर्जा $\vec\mu$ के $\vec B$ के समानांतर होने पर न्यूनतम और प्रतिसमानांतर होने पर अधिकतम है। समीकरण (1) के बलाघूर्ण से चुंबकीय द्विध्रुव क्षेत्र की दिशा में संरेखित होने की प्रवृत्ति रखता है। यही दिशासूचक का सिद्धांत है। फिर भी, क्षय के अभाव में बलाघूर्ण और कोणीय संवेग प्रमेय के कारण उसकी सुई उत्तर दिशा के आसपास अनंत समय तक दोलन करती रहती। वह अंततः रुकती है क्योंकि उसके घूर्णन अक्ष का घर्षण दोलन की ऊर्जा नष्ट करता है।

2.3. जाइरोचुंबकीय अनुपात और पुरस्सरण

जब चुंबकीय आघूर्ण द्विध्रुव के आंतरिक कोणीय संवेग के समानुपाती होता है, तो यह गति एक विशेष रूप लेती है। तब समानुपात से जाइरोचुंबकीय अनुपात $\gamma$ परिभाषित करते हैं:

समीकरण (4) जैसा संबंध, उदाहरणतः वृत्तीय कक्षा में घूमते शास्त्रीय आवेश के चुंबकीय आघूर्ण के लिए मिलता है। वास्तव में, $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाला कण $R$ त्रिज्या के वृत्त पर $v$ चाल से घूमे तो वह $I=qv/(2\pi R)$ धारा के बराबर है। इसलिए उसका चुंबकीय आघूर्ण है

इस शास्त्रीय कक्षीय मॉडल में $\gamma=q/(2m)$ है। कोणीय संवेग प्रमेय और समीकरण (1) मिलकर $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$ देते हैं। यदि $\gamma$ स्थिर हो तो पुरस्सरण समीकरण मिलता है:

समान क्षेत्र में इसका हल दिखाता है कि सदिश $\vec\mu$ क्षेत्र की दिशा के चारों ओर शंकु बनाता है, अर्थात लार्मर कोणीय आवृत्ति $\omega_L=|\gamma|B$ से पुरस्सरण करता है, चित्र 2 देखें।

3. स्टर्न और गेर्लाख का प्रयोग

प्रयोग का सिद्धांत चित्र 3 में संक्षेपित है। स्रोत से उदासीन कणों को दो आमने-सामने चुंबकों के असमान चुंबकीय क्षेत्र में भेजते हैं। आगे रखा पर्दा टक्करों को दर्ज करता है और विक्षेपण हो तो उसे मापने देता है।

3.1. उपकरण

चुंबक।

बाहरी क्षेत्र समान हो तो समीकरण (3) का बल सर्वथा शून्य है। समान क्षेत्र में द्विध्रुव केवल बलाघूर्ण अनुभव करता है और द्रव्यमान केंद्र सीधा चलता रहता है। इसलिए क्षेत्र की असमानता ही प्रयोग को रोचक बनाती है।

इसे बनाने के लिए स्टर्न–गेर्लाख उपकरण, जिसे सामान्यतः SG भी कहते हैं, दो तराशे हुए चुंबक उपयोग करता है। एक नुकीला होता है, दूसरा उलटी नोक या थोड़ा वक्र तल वाला, चित्र 3 देखें। यह ज्यामिति क्षेत्र रेखाओं को ऊपर के चुंबक के नुकीले किनारे की ओर केंद्रित करती है। रेखाएँ पास आने पर क्षेत्र-नलिका में चुंबकीय फ्लक्स संरक्षण $\mathrm{div} \vec B = 0$ बताता है कि क्षेत्र उस किनारे की ओर, अर्थात यहाँ $z$ के साथ, बढ़ता है।

प्रथम कोटि में अंदर के क्षेत्र को $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$, $k>0$ लिखना चाहेंगे, लेकिन यह शून्य अपसरण की शर्त $\mathrm{div} \vec B = 0$ को पूरा नहीं करता। इसलिए क्षेत्र में अनुप्रस्थ घटक भी आवश्यक है। किनारे के प्रभावों को छोड़कर और $\vec e_x$ दिशा में अपरिवर्तिता मानकर मिलता है:

परिमाण की दृष्टि से सामान्य उपकरणों में $B_0 \sim 0{,}1$ T होता है, और चुंबकों के बीच आम तौर पर कुछ मिलीमीटर की पूरी ऊर्ध्वाधर दूरी पर $k\Delta z \ll B_0$ रहता है। चुंबकों की लंबाई कुछ सेंटीमीटर होती है।

स्रोत।

यह निर्वात में रखी छोटी भट्ठी है जिसमें ठोस चाँदी होती है। उच्च ताप पर वाष्पित परमाणु एक छेद से बाहर निकलते हैं, और कई संकीर्ण छिद्र उन परमाणुओं को चुनते हैं जिनका वेग लगभग $\vec e_x$ के समानांतर है। इस तरह समांतरित परमाणु पुंज मिलता है, जिसकी सामान्य चाल कुछ सौ मीटर प्रति सेकंड और वेग फैलाव मैक्सवेल–बोल्ट्ज़मान वितरण से आता है।

ध्यान दें, विद्युततः उदासीन कण भेजने का उद्देश्य केवल चुंबकीय द्विध्रुव प्रभाव जाँचना है। आवेशित कण भेजने पर उन पर लॉरेंत्स बल $q\,\vec v\wedge\vec B$ भी लगता, जिसका परिमाण $qvB_0$ यहाँ रुचि के बल $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ से बहुत अधिक होता।

पर्दा।

ऐतिहासिक प्रयोग में चाँदी के परमाणु धीरे-धीरे पर्दे पर जमा होकर दिखाई देने वाला निशान बनाते थे। आधुनिक प्रयोग में प्रवाह इतना कम किया जा सकता है कि टक्करें एक-एक करके दर्ज हों। यह संभावना आगे महत्वपूर्ण होगी और हम उस पर लौटेंगे।

3.2. शास्त्रीय यांत्रिकी की भविष्यवाणी

समीकरण (7) वाले क्षेत्र में चुंबकीय आघूर्ण $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$ का उदासीन कण भेजें। समीकरण 3 देता है

इसलिए द्विध्रुव केवल $z$ में नहीं, $y$ में भी विक्षेपित होता है। दूसरे स्रोतों में स्टर्न–गेर्लाख प्रयोग पढ़ चुके पाठक को आश्चर्य हो सकता है, क्योंकि अनेक व्याख्यान केवल $z$ अक्ष की बात करते हैं। वास्तव में समीकरण (8) के दोनों पद आरंभ में समान भूमिका रखते हैं।

$y$ अक्ष पर होने वाली गति की उपेक्षा कर सकने का कारण पुरस्सरण है। यहीं एक निर्णायक परिकल्पना करनी होगी जिसे बाद में उचित ठहराएँगे: परमाणु का चुंबकीय आघूर्ण उसके आंतरिक कोणीय संवेग $\vec L$ के समानुपाती है।

इस परिकल्पना में, क्योंकि स्थिर क्षेत्र $B_0\vec e_z$ सुधारों $kz\,\vec e_z$ और $-ky\,\vec e_y$ से बहुत बड़ा है, चुंबकीय आघूर्ण प्रथम कोटि में $\vec e_z$ के चारों ओर $\omega_p = |\gamma| B_0$ कोणीय आवृत्ति से पुरस्सरण करता है। यहाँ $\gamma$ जाइरोचुंबकीय अनुपात है। इस दौरान $\mu_z$ स्थिर रहता है, जबकि $\mu_y$ शून्य के आसपास दोलन करता है।

यह पुरस्सरण तेज है। ऊपर के सूत्र परमाणु जगत के लिए प्रथम दृष्टया उचित परिमाण देते हैं। मूल आवेश और इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान लेने पर $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$ बदलकर $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$ हो जाता है²। $B_0\approx0{,}1$ T पर $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ मिलता है। दूसरी ओर, चुंबक में उड़ान समय $T=\ell/v_x$ है, यानी $\ell$ कुछ सेंटीमीटर और $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ होने पर लगभग $10^{-4}$ s। इस प्रकार आघूर्ण पारगमन के दौरान कुछ लाख चक्कर लगाता है। इसलिए $y$ दिशा का औसत बल अत्यंत अच्छी शुद्धता से शून्य हो जाता है।

इस मॉडल में औसतन एकमात्र प्रासंगिक बल $\langle F_z\rangle=k\mu_z$ है। स्पष्ट है कि पर्दे पर अंतिम विक्षेपण $\mu_z$ के समानुपाती होना चाहिए। अब केवल प्रारंभिक परिस्थितियाँ देखनी हैं। परमाणु भट्ठी, अर्थात ऊष्मीय कुंड से आते हैं, जहाँ अंतरिक्ष की कोई दिशा विशेष नहीं। इसलिए SG के प्रवेश पर आघूर्णों की दिशाएँ यादृच्छिक होनी चाहिए और ऊर्ध्वाधर घटक $\mu_z$ को $-\mu$ से $+\mu$ के बीच सभी मान लगातार, एकसमान वितरण में लेने चाहिए।

शास्त्रीय पूर्वानुमान स्पष्ट है: $z$ अक्ष के साथ टक्करों की एक सतत पट्टी दिखनी चाहिए, हालाँकि वेग फैलाव के कारण उसकी घनता आवश्यक नहीं कि समान हो।

4. प्रायोगिक परिणाम

वास्तविक प्रेक्षण ऐसा नहीं है। विक्षेपण केवल $z$ में होता है, जो $y$ दिशा के औसत बल के शून्य होने के अनुरूप है। लेकिन पर्दे पर सतत पट्टी नहीं होती: प्रारंभिक अक्ष के सापेक्ष सममित दो धब्बे दिखते हैं, जिनके बीच खाली क्षेत्र होता है।

4.1. $\mu_0$ का मापन

दोनों धब्बों की सटीक स्थिति से $\mu_0$ का अनुमान लगाया जा सकता है। चुंबक में प्रवणता $k=\partial B_z/\partial z$ और अनुदैर्ध्य वेग $v_x$ को लगभग स्थिर मानने पर, परमाणु को समय $T=\ell/v_x$ के दौरान अनुप्रस्थ त्वरण मिलता है:

जिसका सरल समाकलन करके पथ को सीधी रेखा में पर्दे तक बढ़ाया जाता है। प्रयोग के ज्यामितीय प्राचलों को ध्यान में रखकर ओटो स्टर्न और वाल्टर गेर्लाख ने चाँदी के परमाणुओं के लिए इसका मान मापा और बोर मैग्नेटॉन का मान पाया:

इस मापन से परिकल्पना 4 पर लौटा जा सकता है। लेकिन इससे सीधे $\gamma$ नहीं मिलता, क्योंकि मापा गया चुंबकीय आघूर्ण है, उससे संबंधित कोणीय संवेग $L$ नहीं। केवल परिमाण की कोटि जाँची जा सकती है: परमाणु के कोणीय संवेग का स्वाभाविक पैमाना $\hbar$ है, और $L\sim\hbar$ लिखें तो $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$ मिलता है। इस प्रकार पहले मानी गई परिमाण की कोटि और लगभग $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ पुरस्सरण कोणीय आवृत्ति मिलती है, जो $y$ दिशा में विक्षेपण न दिखने के अनुरूप है।

4.2. शास्त्रीय यांत्रिकी की समस्या

प्रयोग ऐसा परिघटन दिखाता है जो शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए अपरिचित है: किसी दिए अक्ष पर चुंबकीय आघूर्ण का घटक लगातार नहीं बदलता, बल्कि क्वांटित है।

चाँदी के परमाणु में चुंबकीय आघूर्ण मान लेने पर भी समझाना बाकी है कि ऊष्मीय कुंड से आने वाली मनमानी प्रारंभिक दिशाएँ ठीक दो पुंज कैसे बनाती हैं। इस परिणाम को समझा सकने वाले दो शास्त्रीय तंत्रों पर विचार करें।

क्या चुंबक का क्षेत्र आघूर्णों को संरेखित कर सकता है? हमने देखा कि क्षय न होने पर चुंबकीय बलाघूर्ण द्विध्रुव का क्षेत्र से कोण स्थिर रखते हुए पुरस्सरण कराता है। इसलिए वह उसे न $+\vec B$ और न $-\vec B$ के साथ संरेखित करता है। पर क्या सभी क्षय उपेक्षणीय हैं? विद्युतचुंबकीय सिद्धांत सचमुच भविष्यवाणी करता है कि पुरस्सरण करता आघूर्ण विकिरण करता है³। फिर भी यह क्षय उपेक्षणीय है: परिणाम प्रकाशित होने के कुछ ही समय बाद आइंस्टाइन ने गणना करके अनुमान लगाया कि विश्रांति में एक शताब्दी से अधिक लगेगी, जबकि चुंबक से गुजरने का समय लगभग $10^{-4}$ s है ^[3]। और यदि यह पर्याप्त तेज होती भी, तो आघूर्ण सबसे कम ऊर्जा वाली, क्षेत्र के समानांतर दिशा में पहुँचते: तब दो नहीं, केवल एक धब्बा मिलता।

क्या किनारों के क्षेत्र दो धब्बों को समझा सकते हैं? चुंबक के प्रवेश और निकास पर क्षेत्र की दिशा और तीव्रता बदलती है, जिससे पुरस्सरण जटिल हो सकता है। लेकिन ये प्रभाव चुंबकों की सटीक ज्यामिति और समग्र प्रयोग की परिस्थितियों पर निर्भर हैं, इसलिए प्रयोग बदलने पर बदलने चाहिए। दो पुंजों में विभाजन इन पर निर्भर नहीं है। इसके अलावा इस शास्त्रीय मॉडल में यांत्रिकी के नियमों और मैक्सवेल समीकरणों से निर्धारित विकास प्रारंभिक दिशा का सतत फलन है: वह प्रारंभिक दिशाओं के सातत्य को केवल दो निर्गत मानों में नहीं बदल सकता।

4.3. यादृच्छिकता का प्रकट होना

प्रयोग के आधुनिक रूप में प्रवाह इतना घटाया जा सकता है कि परमाणु उपकरण से एक-एक करके गुजरें। हर परमाणु दोनों धब्बों में से किसी एक पर केवल एक टक्कर देता है। टक्करें जमा होने पर दोनों धब्बे धीरे-धीरे बनते हैं।

यह यादृच्छिकता अभी मूलभूत संयोग का अस्तित्व सिद्ध नहीं करती: परमाणु भट्ठी से निकलते हैं और उनकी प्रारंभिक परिस्थितियाँ अलग होती हैं। इसलिए पूर्वानुमान न कर पाना अभी भी इन परिस्थितियों के प्रति हमारी अज्ञानता का परिणाम हो सकता है। पुंज की तैयारी पर बेहतर नियंत्रण के बाद यह प्रश्न और महत्त्वपूर्ण होगा।

5. कई स्टर्न–गेर्लाख उपकरण क्रम में

कई SG को क्रम में लगाने वाले प्रयोग तैयारी और प्रायिकताओं की भूमिका स्पष्ट करेंगे और फिर कुछ मापनों की असंगतता दिखाएँगे।

5.1. पुंज की तैयारी

$\mathrm{SG}_z$ के निकास पर पुंज दो मार्गों में बँटता है। धनात्मक परिणाम वाले मार्ग को $z+$ और ऋणात्मक वाले को $z-$ लिखेंगे।

एक मार्ग पर अवरोध रखकर केवल दूसरा रखा जा सकता है। $z-$ रोक देने पर आगे प्रयोग में जाने वाले सभी परमाणुओं ने पहले उपकरण में $z+$ दिया है। इसलिए उपकरण केवल मापता नहीं, अगले प्रयोग के लिए सुनिश्चित पुंज तैयार भी करता है।

इस तैयारी को $\ket{z+}$ लिखेंगे। अभी इसका अर्थ केवल “$\mathrm{SG}_z$ विश्लेषक के $z+$ मार्ग से अभी-अभी निकला परमाणु” है। इस चिह्न से जुड़ी गणितीय संरचना हम धीरे-धीरे समझेंगे।

5.2. एक ही अक्ष पर पुनरुत्पादकता

पहले उपकरण का केवल $z+$ मार्ग रखकर उसके बाद दूसरा $\mathrm{SG}_z$ लगाएँ, चित्र 5 देखें। प्रयोग में दूसरा उपकरण $z+$ मार्ग पर केवल एक धब्बा बनाता है। $z-$ मार्ग खाली रहता है।

यहाँ शास्त्रीय चित्र में कोई समस्या नहीं है। यदि पहला उपकरण $\mu_z$ का मान चुनता या आघूर्णों को $z$ में संरेखित करता, और आगे उनका $\mu_z$ घटक न बदलता, तो दूसरा उपकरण सभी चुने परमाणुओं को वही विक्षेपण देता। इसलिए यह परिणाम केवल छँटाई वाले चित्र के अनुकूल है।

5.3. दो अलग अक्ष

अब दूसरे उपकरण को $\mathrm{SG}_x$ से बदलें, जिसका विश्लेषण अक्ष पहले के अक्ष के लंबवत है, चित्र 6 देखें। फिर दो धब्बे समान अनुपात में मिलते हैं।

दो शास्त्रीय व्याख्याएँ संभव हैं। यदि पहले उपकरण ने $\vec\mu$ को पूरी तरह $z$ में निर्देशित किया है, तो $\mu_x=0$: दूसरा उपकरण केंद्रीय धब्बा देना चाहिए। यदि उसने अन्य घटक तय किए बिना केवल $\mu_z$ के धनात्मक मान चुने हैं, तो $\mu_x$ का वितरण सतत रहता है: सतत पट्टी दिखनी चाहिए। कोई भी व्याख्या देखे गए दो धब्बों का पूर्वानुमान नहीं करती।

एक-एक परमाणु भेजने के मामले पर लौटें। हर परमाणु $x+$ या $x-$ मार्ग पर टकराता है; बहुत से परमाणुओं पर दोनों परिणाम समान अनुपात में आते हैं। फिर भी $\mathrm{SG}_x$ में जाने वाले पुंज की तैयारी सीधे भट्ठी से आने वाले पुंज की तुलना में बेहतर नियंत्रित है: उसके सभी परमाणु पहले उपकरण के $z+$ मार्ग में चुने गए हैं। जैसा अभी देखा, उनकी तैयारी $\ket{z+}$ तो $z$ में दोबारा मापन के निश्चित परिणाम की गारंटी भी देती है।

फिर भी यह तैयारी $x$ में मापने पर टक्कर किस मार्ग में होगी, नहीं बता सकती। इसलिए केवल भट्ठी के निकास की अव्यवस्था का तर्क पर्याप्त नहीं: वही तैयारी एक मापन निश्चित बनाती है लेकिन दूसरा यादृच्छिक रहता है। क्वांटम यांत्रिकी में प्रायिकता की भूमिका स्पष्ट होती है।

6. तीन SG उपकरण क्रम में

6.1. ZXZ: छनन तैयारी बदलता है

अब क्रम $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$ लें, चित्र 7 देखें। पहले उपकरण के बाद केवल $z+$ और दूसरे के बाद केवल $x+$ रखते हैं। अंत में इस नए पुंज को $z$ में विश्लेषित करते हैं।

शास्त्रीय रूप से चुंबकीय आघूर्ण के SG अक्ष में पूर्ण संरेखण की परिकल्पना पहले ही हटा चुके हैं: वह दूसरे उपकरण में केंद्रीय धब्बा देती, इसलिए चुनने के लिए $x+$ मार्ग ही नहीं होता। अब केवल छँटाई का चित्र रखें, तो पहला उपकरण $\mu_z$ का धनात्मक मान चुनता है और दूसरा $\mu_z$ बदले बिना $\mu_x$ के अनुसार परमाणु छाँटता है। तीसरे में केवल $z+$ मार्ग फिर मिलना चाहिए। लेकिन $z-$ वापस आता है।

अतः $x$ में छनन ने तैयारी बदल दी। $x+$ चुनने के बाद पुराना परिणाम $z+$ नए $z$ मापन का निश्चित पूर्वानुमान नहीं देता। लगता है कि दूसरे उपकरण ने अवस्था स्वयं बदल दी है।

कभी इसे “$x$ मापना $z$ की सूचना नष्ट करता है” कहकर संक्षेप में बताते हैं। यह कथन उपयोगी है, बशर्ते याद रहे कि यहाँ कुछ भी प्रयोगकर्ता के जानने या देखने पर निर्भर नहीं। $x+$ फ़िल्टर ने भौतिक रूप से नई अवस्था $\ket{x+}$ तैयार की है, और यह अवस्था $z+$ तथा $z-$ समान प्रायिकता से देती है।

6.2. ZYZ: वही प्रायिकताएँ, दूसरी तैयारी

अंत में मध्य के $x$ विश्लेषक को $y$ विश्लेषक से बदलें, और अब भी केवल धनात्मक मार्ग रखें। क्रम $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ अंतिम मापन में फिर दो समप्रायिक परिणाम देता है। यह बात $z$ के लंबवत हर मध्यवर्ती अक्ष के लिए सही है: तल $(x,y)$ में दिशा $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ के $u+$ मार्ग को चुनने पर भी अंतिम $z$ मापन में दो समप्रायिक परिणाम मिलते हैं।

लेकिन इसका अर्थ नहीं कि तैयारियाँ $\ket{x+}$, $\ket{y+}$ और $\ket{u+}$ सभी समान हैं। $x$ में विश्लेषण उन्हें अलग करेगा: पहली निश्चित रूप से $x+$ देगी, दूसरी समान अनुपात में $x+$ या $x-$, और तीसरी के लिए प्रयोग बताता है कि दोनों परिणामों की प्रायिकताएँ $\varphi$ पर निर्भर हैं। इसलिए दो तैयारियाँ एक मापन में समान प्रायिकताएँ देकर भी भौतिक रूप से अलग हो सकती हैं।

7. उभरता हुआ औपचारिक ढाँचा

हम केवल इन प्रयोगों से पूरा क्वांटम औपचारिक ढाँचा निकालने का दावा नहीं करेंगे। फिर भी शास्त्रीय वर्णन की विफलता शब्दावली पर पुनर्विचार को विवश करती है और अवस्थाएँ निरूपित करने का नया तरीका सुझाती है।

7.1. अवस्था मानों की सूची नहीं है

तैयारी $\ket{z+}$ को “$\mu_z=+\mu_0$, तथा $\mu_x$ और $\mu_y$ के अज्ञात पर पहले से निश्चित मान” तक सीमित नहीं कर सकते, जिन्हें उपकरण बस प्रकट करें। इस केवल छँटाई वाले चित्र में क्रम $Z\!X\!Z$ फिर $100\,\%$ परिणाम $z+$ देता, लेकिन ऐसा नहीं होता। तो अवस्था को पहले से मौजूद मानों की सूची से नहीं, किस तरह निरूपित करें?

7.2. क्वांटम अध्यारोपण की ओर

क्वांटम औपचारिक ढाँचे की बड़ी नवीनता यह है कि अवस्था स्वयं मापन परिणामों की प्रायिकताएँ निकालने के लिए आवश्यक जानकारी समेटती है।

तैयारी $\ket{x+}$, $x$ में निश्चित लेकिन $z$ में दो समप्रायिक परिणाम देती है। इसे निरूपित करने के लिए क्वांटम ढाँचा $\ket{x+}$ को दो अवस्थाओं $\ket{z+}$ और $\ket{z-}$ के अध्यारोपण के रूप में लिखता है:

गुणांकों को (यहाँ हर पद के आगे $1/\sqrt{2}$) आयाम कहते हैं: उनके मापांक का वर्ग $z$ में परिणामों की प्रायिकता देता है, यहाँ प्रत्येक के लिए $1/2$। $\ket{x+}$ में तैयार सभी परमाणुओं की वही अवस्था है, जिसे यह रैखिक संयोजन निरूपित करता है। यह सांख्यिकीय मिश्रण नहीं जिसमें कुछ परमाणु $\ket{z+}$ और शेष $\ket{z-}$ में हों।

यहाँ दिए परिणामों से अकेले यह संरचना पूरी तरह नहीं निकाली जा सकती। अगले पाठ के व्यतिकरण प्रयोग इसका और आधार देंगे। अंततः इसे अभिगृहीत करना पड़ेगा।

7.3. सम्मिश्र सदिश समष्टि

ZYZ और अधिक व्यापक ZUZ रूप यह प्रश्न उठाते हैं: तैयारियाँ $\ket{y+}$ या $\ket{u+}$ भी $z$ में $50/50$ देती हैं, फिर भी $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$ होने पर $\ket{x+}$ से अलग हैं। इसलिए आधार $\ket{z+},\ket{z-}$ में उनके दोनों आयामों का मापांक $1/\sqrt2$ होना चाहिए। यदि आयाम वास्तविक होते, तो $\pm1/\sqrt2$ के चिह्नों के केवल चार चुनाव रहते: यह परिमित संख्या तैयारियों $\ket{u+}$ की सतत विविधता निरूपित करने के लिए पर्याप्त नहीं।

इसीलिए क्वांटम ढाँचा सम्मिश्र आयाम उपयोग करता है, जिनकी कला मापांक बदले बिना बदल सकती है। उदाहरण के लिए, आगे हम लिखेंगे:

और व्यापक रूप से हर कोण $\varphi$ के लिए $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$। अवस्थाएँ तब अलग हैं, पर $z$ में प्रायिकताएँ हमेशा $1/2$ रहती हैं। इन रैखिक संयोजनों को गंभीरता से लेने पर अवस्थाएँ अमूर्त सम्मिश्र सदिश समष्टि के सदिशों से निरूपित होती हैं। “अमूर्त” याद दिलाता है कि गुणांक प्रायिकता आयाम हैं, शास्त्रीय चुंबकीय आघूर्ण के स्थानिक घटक नहीं। अधिक व्यापक अवस्था-तैयारी लिख सकते हैं:

आयाम और फिर उनके मापांक के वर्ग पाने के लिए अवस्था को संभावित परिणामों से संबंधित अवस्थाओं पर प्रक्षेपित करना होगा। ये घटक पाने का सबसे सरल तरीका आंतरिक गुणनफल होगा। यही नॉर्म भी परिभाषित करेगा, और यहाँ

है। नॉर्म का वर्ग संभावित परिणामों की प्रायिकताओं के योग के बराबर है: यह योग एक होना चाहिए, इसलिए अवस्था एक नॉर्म वाले सदिश से निरूपित होगी।

उभरते ढाँचे में अवस्थाएँ इस प्रकार सम्मिश्र हिल्बर्ट समष्टि के सदिश होंगी, जिसमें प्रायिकताएँ निकालने वाला आंतरिक गुणनफल होता है। इसकी रैखिक संरचना आयाम जोड़ने देती है और क्वांटम अध्यारोपण सिद्धांत व्यक्त करती है। यह सब विषय 2 में विस्तार से पढ़ेंगे।

8. आगे की चर्चा

इन प्रयोगों के एक शताब्दी बाद हम अधिक स्पष्ट कर सकते हैं कि ये वास्तव में क्या मापते हैं। स्टर्न और गेर्लाख के बाद धीरे-धीरे समझ आया कि चाँदी के परमाणु में मापा चुंबकीय आघूर्ण मुख्यतः एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन के स्पिन से जुड़ा है। स्पिन आंतरिक कोणीय संवेग है, जो इलेक्ट्रॉन के कक्षीय कोणीय संवेग से अलग है। इलेक्ट्रॉन स्पिन $1/2$ वाला कण है: किसी अक्ष पर स्पिन का प्रक्षेप मापने पर दो मान $S_z=\pm\hbar/2$ मिलते हैं।

इस स्पिन कोणीय संवेग से स्पिन के समानुपाती चुंबकीय आघूर्ण जुड़ा है:

जहाँ $e$ मूल आवेश का धनात्मक मान और $\gamma_s$ इलेक्ट्रॉन का जाइरोचुंबकीय अनुपात है। ऋण चिह्न इलेक्ट्रॉन के ऋण आवेश के कारण है: चुंबकीय आघूर्ण स्पिन के विपरीत है। इसलिए इसके घटक के दो मापनीय मान $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$ हैं, जहाँ $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$। स्पिन और चुंबकीय आघूर्ण अलग राशियाँ हैं, जो एक-दूसरे के समानुपाती हैं।

परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग भी ध्यान में रखना चाहिए, जिससे दूसरा चुंबकीय आघूर्ण जुड़ा है। हाइड्रोजन सरल उदाहरण है: उसके एकमात्र इलेक्ट्रॉन में स्पिन और कक्षीय अवस्था दोनों हैं। मूल अवस्था $1s$ में कक्षीय कोणीय संवेग शून्य है; इसलिए परमाणु के चुंबकीय आघूर्ण में इलेक्ट्रॉन का योगदान स्पिन से आता है। हाइड्रोजन पर स्टर्न–गेर्लाख प्रयोग फिप्स और टेलर ने 1927 में किया।

चाँदी के परमाणु में अधिक इलेक्ट्रॉन हैं, लेकिन इलेक्ट्रॉन विन्यास $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$ स्थिति को उसी सिद्धांत पर ले आता है। दिखाया जा सकता है कि भरे कोशों में कक्षीय और स्पिन योगदान निरस्त होते हैं। बचता है $5s$ इलेक्ट्रॉन, जिसका कक्षीय कोणीय संवेग मूल अवस्था में शून्य और स्पिन $1/2$ है। ऐतिहासिक प्रयोग ने उसी का स्पिन चुंबकीय आघूर्ण प्रकट किया।

9. संदर्भ