全体の導入と基礎を築いた実験

1. はじめに

何事も、どこかから始めなければならない。量子力学の解説の多くはヤングの二重スリット実験から、あるいは黒体放射と、それを説明するためにプランクが導入した仮説の歴史から始まる（Planck, 1900）。

プランクは、エネルギーは離散的な量によってしか交換されないという考えを導入した。この「量子」が理論の名の由来となる。しかし、彼の考え方を理解するには統計物理学の知識が必要であり、初学者がそれを備えているとは限らない。

一方、ヤングの二重スリット実験は鮮烈である。粒子を一つずつ送る量子版の実験では、古典的な言葉ではまったく理解できない振る舞いが現れる。ただし筆者の考えでは、量子論の原理を知ったあとでこの実験を理解するほうが、はるかに容易である。ある意味で、この実験だけで理論の最も奇妙な側面のいくつかをまとめて示しているからだ。

そこで本書では、シュテルンとゲルラッハの実験（1922年）という別の出発点を選ぶ。対象は、一見単純で古典的にはよく理解されている、磁気モーメントをもつ粒子である。歴史上の実験では銀原子が使われた。ひとまず認めておく必要があるのは、銀原子が実際に磁気モーメントをもつという一点だけである。これを不均一な磁場の領域へ送り込めば、力学と電磁気学の法則から、その軌道は容易に予測できる。

得られた結果もまた鮮烈であり、古典的な予測とは根本的に異なる。より精巧な実験を順につなぐと、古典的な記述は崩れ、量子化（4節参照）、量子重ね合わせ（7.2節参照）、さらにヤングの二重スリット実験では直接示されない、ある種の測定の間の非両立性（6.1節参照）という純粋に量子的な現象が現れてくる。

まず磁気モーメントとは何かを復習する。次に実験装置を説明し、原子が普通の小さな磁石として振る舞うなら何が見えるはずかを考える。そのあとで実際の結果を示し、その意味を議論する。

2. 古典的な磁気モーメントの復習

2.1. 磁気モーメント

磁気モーメント$\vec{\mu}$、すなわち磁気双極子モーメントはベクトルである。天然磁石は磁気モーメントをもち、その向きは定義により磁石のS極からN極へ向かう。これは磁石内部の磁力線の向きでもある。磁力線は外部ではN極から出てS極に戻る。図 1を参照。

このモーメントは、磁石の強さを定量化する基本量である。例えば、S極同士を向かい合わせた二つの磁石の反発は、両者の磁気モーメントの積と距離に依存する。

ただし、天然磁石は議論を進めるにはあまり便利ではない。何がその磁場を生んでいるのかが、すぐには明らかでないからである。より扱いやすいのは電磁石、つまり電流のループである。面積$S$を囲み、強さ$I$の電流が流れる平面ループでは、磁気モーメントが$\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$となることが示せる。ここで$\vec{n}$はループ面に垂直な単位ベクトルで、向きは右手の法則で決まる。

ここで必要なのはこの式だけである。もちろん磁気モーメントの理論はより一般的で、任意の電流分布の磁気モーメントを、その分布にわたる積分で定義する。ループの式はその特別な場合である。この構成については^[1]の第5章を参照されたい。

2.2. 磁場との結合

古典力学から、外部磁場$\vec B$中の磁気双極子について三つの性質が導かれる。

第3の式は$\vec{F} = -\grad E_p$によって第2の式から直接導かれる。磁気モーメントをもつ系を不均一な磁場に置くと、軌道を曲げる正味の力が働くことを示している。最初の二つの式は、電流分布に働くラプラス力の明示的な計算からトルクを、その力の仕事から位置エネルギーを求めた結果である。ここでは計算を再現せず、完全な証明については特に^[1]の5.2節と5.7節を参照する¹。

技術的な細部を超えて、まず覚えておきたいのは次の点である。式 (2)の位置エネルギーは$\vec\mu$が$\vec B$と平行なら最小、反平行なら最大になる。磁気双極子は式 (1)のトルクによって磁場にそろおうとする。これが方位磁針の動作原理である。ただし散逸がなければ、トルクと角運動量の法則により、針は北の方向のまわりをいつまでも振動するだけである。最後に止まるのは、回転軸の摩擦が振動のエネルギーを散逸させるからである。

2.3. 磁気回転比と歳差運動

磁気モーメントが双極子の内部角運動量に比例する場合、この運動は特有の形をとる。このとき比例関係によって磁気回転比$\gamma$を導入する。

式 (4)のような関係は、例えば円軌道を描く古典的電荷の磁気モーメントに現れる。実際、質量$m$、電荷$q$の粒子が半径$R$の円を速さ$v$で回ることは、電流$I=qv/(2\pi R)$に等しい。したがって磁気モーメントは

この古典的軌道モデルでは$\gamma=q/(2m)$である。角運動量の法則と式 (1)を合わせると$\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$となり、$\gamma$が一定なら歳差運動の方程式を得る。

一様磁場中でこの方程式を解くと、ベクトル$\vec\mu$は磁場の方向を軸とする円錐を描く。すなわちラーモア角振動数$\omega_L=|\gamma|B$で歳差運動する。図 2を参照。

3. シュテルン＝ゲルラッハの実験

実験の原理を図 3に示す。粒子源から中性粒子を送り出し、向かい合う二つの磁石が作る不均一な磁場を通す。その先のスクリーンで粒子の到達点を集め、偏向があればそれを測定する。

3.1. 装置

磁石。

外部磁場が一様なら、式 (3)の力は恒等的にゼロである。一様磁場中の双極子にはトルクだけが働き、重心は直進を続ける。したがって、この実験を興味深いものにするのは磁場の不均一性である。

この磁場を作るため、シュテルン＝ゲルラッハ装置（通常SGとも呼ぶ）は、先端を尖らせた磁石と、逆向きの尖端または緩く曲がった底面をもつ磁石を用いる。図 3を参照。この形状によって磁力線は上の磁石の尖った縁に集中する。磁力線の間隔が狭くなるので、磁束管における磁束保存$\mathrm{div} \vec B = 0$から、磁場はその縁に向かって、ここでは$z$の増加とともに強くなる。

一次近似では、装置内の磁場を$\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$、$k>0$と書きたくなるが、これは発散ゼロの条件$\mathrm{div} \vec B = 0$を満たさない。したがって磁場には横方向の成分も必要である。端の効果を無視し、$\vec e_x$方向の不変性を仮定すると、次を得る。

典型的な装置では、桁として$B_0 \sim 0{,}1$ Tであり、通常数ミリメートルの磁石間の鉛直間隔全体で$k\Delta z \ll B_0$となる。磁石の長さは数センチメートルである。

粒子源。

真空中に置かれた、固体の銀を入れた小さな炉である。高温で蒸発した原子は小孔から炉を出る。複数の狭いスリットが、速度がほぼ$\vec e_x$に平行な原子を選別し、平行度の高い原子ビームが得られる。典型的な速さは毎秒数百メートルで、マクスウェル＝ボルツマン分布に由来する速度のばらつきをもつ。

電気的に中性な粒子を使うのは、磁気双極子の効果だけを調べるためである。荷電粒子ならローレンツ力$q\,\vec v\wedge\vec B$も受け、その大きさ$qvB_0$は、ここで調べたい力$\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$を圧倒してしまう。

スクリーン。

歴史上の実験では、銀原子がスクリーンに徐々に堆積し、やがて目に見える跡になった。現代の実験では、流束を十分に下げて、到達を一つずつ記録できる。この可能性は後の議論で重要になるので、再び取り上げる。

3.2. 古典力学の予測

磁気モーメント$\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$をもつ中性粒子を、式 (7)の磁場領域に送り込む。式 3より

したがって双極子は$z$方向だけでなく$y$方向にも曲げられる。別の資料でシュテルン＝ゲルラッハの実験を学んだ読者は驚くかもしれない。多くの講義ノートでは$z$軸上の現象だけを説明しているからである。しかし式 (8)の二つの項は、もともと同じ役割をもつ。

$y$軸方向の運動を無視できる理由は歳差運動にある。ここで、あとから正当化する重要な仮定を置かなければならない。原子の磁気モーメントは、その原子の内部角運動量$\vec L$に比例すると仮定する。

この仮定のもとで、一定磁場$B_0\vec e_z$が補正$kz\,\vec e_z$と$-ky\,\vec e_y$よりはるかに大きいため、磁気モーメントは一次近似で$\vec e_z$のまわりを角振動数$\omega_p = |\gamma| B_0$で歳差運動する。$\gamma$は磁気回転比である。この間、$\mu_z$成分は一定のままで、$\mu_y$はゼロのまわりを振動する。

この歳差運動は速い。上の式から、原子の世界で妥当と思われる桁の見積もりが得られる。例えば$\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$に電気素量と電子質量を使えば、$\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$となる²。$B_0\approx0{,}1$ Tなら$\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$である。一方、磁石内の飛行時間は$T=\ell/v_x$で、$\ell$が数センチメートル、$v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$なら約$10^{-4}$ sとなる。磁気モーメントは通過中に数十万回も回転する。そのため、$y$方向の力の平均は非常に高い精度でゼロになる。

したがって、このモデルで平均的に意味をもつ力は$\langle F_z\rangle=k\mu_z$だけである。このことから、スクリーン上の最終的な偏向が$\mu_z$に比例するのは明らかである。残るのは初期条件である。原子は炉、つまり熱浴から出てきており、そこに特別な空間方向はない。SG入口の磁気モーメントはランダムな方向を向き、鉛直成分$\mu_z$は$-\mu$から$+\mu$までのすべての値を連続的に、一様な分布でとるはずである。

古典的な予測は明確になる。$z$軸に沿って連続した到達点の帯が見えるはずである。ただし速度のばらつきがあるので、帯の濃さは必ずしも一様ではない。

4. 実験結果

実際にはそうならない。偏向は確かに$z$方向だけに起こり、これは$y$方向の力が平均としてゼロになることと整合する。しかしスクリーンには連続した帯ではなく、初めの軸に関して対称な二つの斑点が現れ、その間は空白になる。

4.1. $\mu_0$の測定

二つの斑点の正確な位置から$\mu_0$を見積もることができる。磁石内の勾配$k=\partial B_z/\partial z$と縦方向の速度$v_x$がほぼ一定なら、原子は時間$T=\ell/v_x$の間、横方向の加速度

を受ける。これを初等的に積分したあと、軌道をスクリーンまで直線で延長する。装置の幾何学的な条件を考慮することで、オットー・シュテルンとヴァルター・ゲルラッハは銀原子についてその値を測定し、ボーア磁子の値を得た。

この測定をもとに仮定 4を振り返ることができる。ただし、測定しているのは磁気モーメントであり、それに対応する角運動量$L$ではないので、$\gamma$が直接求まるわけではない。確認できるのは桁だけである。原子の角運動量の自然な尺度は$\hbar$で、$L\sim\hbar$とすれば$|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$となる。先に仮定した桁が得られ、歳差運動の角振動数も$10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$程度となる。これは$y$方向に偏向が見られないことと整合する。

4.2. 古典力学が直面する問題

実験は古典力学になじまない現象を示している。ある軸に沿った磁気モーメントの成分は連続的に変わるのではなく、量子化されている。

銀原子が磁気モーメントをもつことを認めても、熱浴から出てくる任意の初期方向が、ちょうど二本のビームを生む理由は残る。この結果を説明しうる二つの古典的機構を検討しよう。

磁石内の磁場が磁気モーメントをそろえるのだろうか。すでに見たように、散逸がなければ、磁気トルクは双極子と磁場との角度を保ったまま歳差運動を起こす。したがって$+\vec B$にも$-\vec B$にもそろえない。しかし、散逸はすべて無視してよいのだろうか。電磁気学によれば、歳差運動する磁気モーメントは放射する³。ただし、この散逸は無視できる。結果の発表後まもなくアインシュタインはこれを計算し、緩和には一世紀以上かかると見積もった。磁石の通過時間は約$10^{-4}$ sにすぎない ^[3]。しかも十分速くても、磁気モーメントはエネルギーが最も低い、磁場に平行な方向へ向かう。その場合、斑点は二つではなく一つになる。

端部の磁場で二つの斑点を説明できるだろうか。磁石の入口と出口では磁場の方向と強さが変化し、歳差運動が複雑になりうる。ただし、その効果は磁石の正確な形状や実験条件全般に依存するので、実験ごとに変わるはずである。ところが二本のビームへの分裂はそれに依存しない。また、この古典モデルでは、力学の法則とマクスウェル方程式による時間発展は初期方向の連続関数である。連続的な初期方向の集まりを、わずか二つの出力値へ変えることはできない。

4.3. 偶然性の出現

現代の実験では、流束を十分小さくして原子を一個ずつ装置に通すことができる。原子一個は二つの斑点のどちらかに、一つだけ到達点を残す。到達点が積み重なるにつれ、斑点が徐々に姿を現す。

このランダムさだけでは、根源的な偶然性が存在するとはまだ言えない。原子は炉から出てきており、初期条件は一個ごとに違う。したがって予測できないのは、その条件を知らないためとも考えられる。ビームの準備をよりよく制御すると、この問いがさらに切実になる。

5. 複数のシュテルン＝ゲルラッハ装置を直列につなぐ

複数のSGを直列につないだ実験によって、準備と確率の役割が明確になり、ある種の測定の非両立性が現れる。

5.1. ビームの準備

$\mathrm{SG}_z$装置の出口では、ビームは二つの経路に分かれる。正の結果に対応する経路を$z+$、負の結果に対応する経路を$z-$と書く。

一方の経路に障害物を置き、もう一方だけを残すことができる。$z-$を遮断すれば、その後の実験に進む原子はすべて最初の装置で$z+$を与えている。この装置は測定するだけでなく、次の実験に向けて明確に定められたビームを準備する役割も果たす。

こうして得られた準備を$\ket{z+}$と表す。この段階では、「$\mathrm{SG}_z$分析器の$z+$経路から出てきたばかりの原子」という意味にすぎない。この記号に対応する数学的構造は、少しずつ明らかにしていく。

5.2. 同じ軸での再現性

最初の装置の$z+$経路だけを残し、その後に二台目の$\mathrm{SG}_z$を置く。図 5を参照。実験では、二台目の装置は$z+$経路に一つの斑点だけを作る。$z-$経路は空である。

ここでは古典的な描像にも問題はない。最初の装置がある$\mu_z$の値を選ぶか磁気モーメントを$z$方向にそろえ、その後に$\mu_z$成分が変わらなければ、選ばれた原子はすべて二台目でも同じ偏向を示すはずである。この結果は、単なる選別という描像と整合する。

5.3. 異なる二つの軸

今度は二台目を$\mathrm{SG}_x$に置き換え、その分析軸を最初の装置の軸と直交させる。図 6を参照。すると再び二つの斑点が、等しい割合で観測される。

二つの古典的解釈が考えられる。最初の装置が$\vec\mu$を完全に$z$方向へそろえたなら$\mu_x=0$なので、二台目は中央に斑点を作るはずである。他の成分を固定せず、$\mu_z$の正の値だけを選んだなら、$\mu_x$は連続的に分布したままで、連続した帯が見えるはずである。どちらも観測された二つの斑点を予測しない。

原子を一個ずつ送る場合に戻ろう。各原子は$x+$か$x-$経路に到達点を残し、多数の原子では両方の結果が等しい割合で現れる。しかし$\mathrm{SG}_x$に入るビームは、炉から直接出てきたものよりも準備がよく制御されている。すべての原子が最初の装置の$z+$経路で選ばれているからである。いま見たように、その準備$\ket{z+}$は、再び$z$方向に測定したときの確実な結果さえ保証する。

それでも、この準備から$x$方向の測定でどちらの経路に到達するかは予測できない。炉を出るときの乱雑さだけを持ち出す説明では、もはや十分ではない。同じ準備が一方の測定を確実にしても、他方には偶然性が残る。量子力学における確率の役割が明確になってくる。

6. 三台のSGを直列につなぐ

6.1. ZXZ：フィルタリングが準備を変える

$\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$という列を考える。図 7を参照。最初の装置の後では$z+$だけ、二台目の後では$x+$だけを残し、この新しいビームを最後に$z$方向で分析する。

古典的には、磁気モーメントがSGの軸に完全にそろうという仮説はすでに排除した。それなら二台目で中央の斑点を予測し、選べる$x+$経路がないからである。そこで単なる選別という描像を保つなら、最初の装置は$\mu_z$の正の値を選び、二台目は$\mu_z$を変えずに$\mu_x$で原子を選別する。三台目では$z+$経路だけが現れるはずである。ところが$z-$経路が再び現れる。

つまり$x$方向のフィルタリングは準備を変えたのである。$x+$を選んだ後では、以前の結果$z+$から、新しい$z$測定を確実に予測できない。二台目によって状態そのものが変わったように見える。

これを「$x$を測ると$z$の情報が壊れる」と要約することもある。この表現は便利だが、ここでは実験者の知識や観察に何も依存していないことを忘れてはいけない。$x+$フィルターが物理的に新しい状態$\ket{x+}$を準備し、その状態が$z+$と$z-$を等しい確率で与えるのである。

6.2. ZYZ：同じ確率、異なる準備

最後に、中間の$x$分析器を$y$分析器に置き換え、やはり正の経路だけを残す。$\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$の最後の測定でも二つの結果が等確率で得られる。これは$z$に垂直な任意の中間軸に一般化できる。$(x,y)$平面内の方向 $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ についても、$u+$経路を選んだ後の最後の$z$測定は二つの等確率の結果を与える。

しかし、準備$\ket{x+}$、$\ket{y+}$、$\ket{u+}$がすべて同じという意味ではない。$x$方向で分析すれば区別できる。最初の準備は確実に$x+$を与えるが、二番目は$x+$と$x-$を等しい割合で与え、三番目では二つの結果の確率が$\varphi$に依存することが実験で分かる。したがって、ある測定について同じ確率を与える二つの準備が、物理的には異なりうる。

7. 見えてくる数学的形式

これらの実験だけで量子論の数学的形式をすべて導くつもりはない。それでも古典的記述の失敗は、用語の見直しを迫り、状態を表す新しい方法を示唆する。

7.1. 状態は数値の一覧ではない

準備$\ket{z+}$を、「$\mu_z=+\mu_0$であり、$\mu_x$と$\mu_y$は未知だがすでに決まった値をもち、装置はそれを明らかにするだけ」とは捉えられない。単なる選別という描像なら、$Z\!X\!Z$列は$100\,\%$の$z+$を再現するはずだが、そうはならない。では、あらかじめ存在する値の一覧でないとしたら、状態をどう表せばよいのだろうか。

7.2. 量子重ね合わせへ

量子論の数学的形式における大きな新しさは、測定結果の確率を計算するための情報を、状態そのものがまとめている点にある。

準備$\ket{x+}$は$x$方向では確実な結果を、$z$方向では二つの等確率の結果を与える。この状況を記述するため、量子論では$\ket{x+}$を二つの状態$\ket{z+}$と$\ket{z-}$の重ね合わせとして表す。

係数（ここでは各項の前の$1/\sqrt{2}$）を振幅と呼ぶ。その絶対値の二乗が$z$方向の測定結果の確率を与え、ここではそれぞれ$1/2$である。$\ket{x+}$に準備されたすべての原子は、この線形結合で表される同じ状態にある。一部の原子が$\ket{z+}$、残りが$\ket{z-}$にあるような統計的混合ではない。

ここで示した結果だけから、この構造を完全には導けない。次のレッスンの干渉実験が、さらに根拠を与える。最終的には、公理として仮定する必要がある。

7.3. 複素ベクトル空間

ZYZ、さらに一般のZUZという変形は次の問題を提起する。準備$\ket{y+}$や$\ket{u+}$も$z$方向では$50/50$を与えるが、$\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$なら$\ket{x+}$と異なる。したがって、基底$\ket{z+},\ket{z-}$での二つの振幅は、どちらも絶対値が$1/\sqrt2$でなければならない。振幅が実数なら、$\pm1/\sqrt2$の符号の選び方は四通りしかない。この有限個の可能性では、準備$\ket{u+}$の連続的な多様性を表しきれない。

そこで量子論では複素数の振幅を使う。絶対値を変えずに位相を変えることができるからである。例えば、次のように書くことになる。

さらに一般に、任意の角度$\varphi$について$\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$となる。状態は異なるが、$z$方向の確率はつねに$1/2$である。この線形結合を本格的に受け止めると、状態を抽象的な複素ベクトル空間のベクトルで表すことになる。「抽象的」とは、その係数が確率振幅であり、古典的磁気モーメントの空間成分ではないことを示している。より一般には、状態の準備は

と書ける。振幅、そしてその絶対値の二乗を求めるには、可能な結果に対応する状態へ射影する必要がある。こうした成分を取り出す最も簡単な方法は内積を使うことである。内積はノルムも定め、ここでは

となる。ノルムの二乗は可能な結果の確率の総和に対応する。この和は一でなければならないので、状態はノルム一のベクトルで表される。

こうして見えてくる形式では、状態は複素ヒルベルト空間のベクトルとなる。そこには確率を計算するための内積が備わっている。線形構造によって振幅を足し合わせることができ、それが量子重ね合わせの原理を表す。これらはテーマ2で詳しく学ぶ。

8. さらに学ぶために

これらの実験から一世紀たった今、実際に何を測っていたのかをより正確に説明できる。シュテルンとゲルラッハの後、銀原子で測定された磁気モーメントは、主に一個の不対電子のスピンに由来すると次第に分かった。スピンは固有の角運動量であり、電子の軌道角運動量とは異なる。電子はスピン$1/2$の粒子で、そのスピンのある軸への射影を測ると、$S_z=\pm\hbar/2$という二つの値が得られる。

このスピン角運動量には、スピンに比例する磁気モーメントが対応する。

ここで$e$は電気素量の正の値、$\gamma_s$は電子の磁気回転比である。負号は電子の負電荷によるもので、磁気モーメントはスピンと逆向きになる。その成分の測定可能な二つの値は$\mu_{s,z}=\pm\mu_B$で、$\mu_B=e\hbar/(2m_e)$である。スピンと磁気モーメントは互いに比例する、別々の物理量である。

原子では、電子の軌道角運動量と、それに対応する別の磁気モーメントも考える必要がある。水素は簡単な例であり、一個の電子がスピンと軌道状態の両方をもつ。基底状態$1s$では軌道角運動量がゼロなので、原子の磁気モーメントへの電子の寄与はスピンに由来する。水素を用いたシュテルン＝ゲルラッハの実験は、フィップスとテイラーが1927年に実施した。

銀原子にはさらに多くの電子があるが、電子配置$[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$によって同じ原理に帰着する。満たされた殻では軌道とスピンの寄与が打ち消し合うことを示せる。残るのは$5s$電子で、その軌道角運動量は基底状態でゼロ、スピンは$1/2$である。歴史的な実験が明らかにしたのは、この電子のスピン磁気モーメントだった。

9. 参考文献