Przestrzenie Hilberta i notacja Diraca

W tej lekcji precyzyjnie definiujemy przestrzenie Hilberta, pokazując najpierw ich miejsce w głównych działach matematyki: algebrze i topologii. Dojdziemy do twierdzenia klasyfikacyjnego: dwie przestrzenie Hilberta są izometrycznie izomorficzne, jeśli mają ten sam wymiar hilbertowski. Nie należy go mylić z wymiarem algebraicznym przestrzeni wektorowej, ponieważ oba zgadzają się tylko w wymiarze skończonym. Podamy przestrzenie modelowe dla wymiaru skończonego, nieskończonego przeliczalnego i nieskończonego nieprzeliczalnego oraz zarys ich zastosowań w elementarnej mechanice kwantowej. Na koniec postawimy pytanie, czy fizyka opisana przez przestrzenie Hilberta powiązane izomorfizmami pozostaje niezmienna.

1. Struktury matematyczne w fizyce

Aby dotrzeć do przestrzeni Hilberta, przypominamy krótko „mapę matematyki” najczęściej używanej w fizyce teoretycznej. Następna strona przedstawia bardzo uproszczoną i w ogromnym stopniu niepełną wersję tej mapy, wystarczającą jednak do naszego kursu, zob. Rysunek (1).

Wychodząc od intuicyjnego pojęcia zbioru punktów¹, stopniowo dodajemy do zbioru strukturę. W dalszej części wyjaśnimy ten schemat krok po kroku.

1.1. Struktury algebraiczne i przestrzenie wektorowe

Od zbiorów punktów możemy przejść wprost do lewej gałęzi mapy (1), struktur algebraicznych, używanych zazwyczaj, choć nie wyłącznie, do opisywania zbiorów liczb.

Dodajemy do zbioru jedno lub kilka działań wewnętrznych. Zależnie od spełnianych reguł, takich jak łączność, przemienność czy istnienie elementu neutralnego, otrzymujemy określone struktury.

Rysunek przedstawia podstawowe struktury: magmę, czyli zbiór z działaniem wewnętrznym bez szczególnych własności, grupy, pierścienie i ciała. Istnieje wiele innych, na przykład półgrupy, monoidy czy pierścienie nieprzemienne, pominiętych dla czytelności. Każda struktura uszczegóławia poprzednią: każde ciało jest pierścieniem, każdy pierścień jest grupą względem dodawania itd. Najważniejsza jest struktura ciała, w szczególności liczb rzeczywistych lub zespolonych z czterema zwykłymi działaniami arytmetycznymi. Pozwala ona także budować nad sobą przestrzenie wektorowe.

Możemy teraz tworzyć kombinacje liniowe oraz mówić o rodzinach liniowo niezależnych i generujących, a także o bazie i wymiarze. W tym rozdziale trzeba odróżnić dwa pojęcia: bazy algebraiczne, właściwe wszystkim przestrzeniom wektorowym, i bazy hilbertowskie, właściwe tylko przestrzeniom Hilberta. Zgadzają się one w wymiarze skończonym, lecz nie nieskończonym. Podobnie odróżniamy wymiar algebraiczny od hilbertowskiego. Warto więc przypomnieć kilka faktów.

To równoważne zwykłej definicji: rodzina $(e_i)_{i \in I}$ jest bazą wtedy i tylko wtedy, gdy jest liniowo niezależna i generuje $E$. Pojęcie bazy pozwala zdefiniować wymiar.

Nawet w wymiarze nieskończonym definicja bazy algebraicznej wymaga, by każdy wektor był skończoną sumą wektorów bazowych. Nie możemy dopuścić rozkładu na sumę nieskończoną, ponieważ trzeba by wiedzieć, czy jest zbieżna, a to wymaga topologii. W przestrzeni Hilberta stanie się to możliwe i uzasadni odpowiednie pojęcie bazy hilbertowskiej, zob. Podrozdział 2.3.

Naturalne pytanie brzmi: ile istnieje różnych przestrzeni wektorowych i czy można je sklasyfikować? Algebraicznie tak. Potrzebna jest relacja równoważności: izomorfizm przestrzeni wektorowych, czyli przyporządkowanie jeden do jednego między $E$ i $F$, zachowujące strukturę liniową:

Uwaga: definicja jest czysto algebraiczna. Jeśli $E$ i $F$ mają topologię zgodną ze strukturą wektorową, wyróżniamy izomorfizm topologiczny: wymagamy dodatkowo ciągłości $T$ i $T^{-1}$. Wrócimy do tego przy przestrzeniach unormowanych i Hilberta.

Otrzymujemy ważne twierdzenie:

Nad $\mathbb{K} = \R$ lub $\C$ istnieje więc praktycznie jeden model przestrzeni wektorowej skończonego wymiaru $n$: odpowiednio $\R^n$ lub $\C^n$, zbiór $n$-wektorów o składowych rzeczywistych lub zespolonych.

W wymiarze nieskończonym zasada jest identyczna. Przyjmując aksjomat wyboru, dowodzi się, że każda przestrzeń wektorowa ma bazę, zwaną bazą Hamela. Twierdzenie uogólnia się: dwie przestrzenie wektorowe nad tym samym ciałem $\mathbb{K}$ są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy ich bazy mają jednakową moc.

Moc nieskończonej bazy opisują pozaskończone liczby kardynalne, odróżniające różne „rozmiary” nieskończoności. Najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to $\aleph_0$: moc $\mathbb{N}$, ale także $\mathbb{Z}$ i $\mathbb{Q}$. Rekurencyjnie definiujemy hierarchię $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$, gdzie $\aleph_{n+1}$ jest najmniejszą liczbą kardynalną ściśle większą od $\aleph_n$, bez pośrednich liczb kardynalnych. W logice matematycznej hipoteza continuum zakłada brak nieskończonej mocy pośredniej między $\mathbb{N}$ i $\mathbb{R}$; wtedy $\aleph_1$ odpowiada mocy $\mathbb{R}$.

Klasyfikacja ma jednak niewielkie znaczenie praktyczne, ponieważ bazy Hamela zwykle nie można skonstruować jawnie. Pozostaje zatem głównie teoretyczna. Sytuacja zmienia się w przestrzeniach unormowanych i Hilberta, gdzie bazy ortonormalne można podać jawnie, przynajmniej dla skończonego lub przeliczalnie nieskończonego wymiaru hilbertowskiego, zob. Podrozdział 3.

Zanim dotrzemy do Hilberta, musimy jednak przejść środkową gałęzią mapy i omówić przestrzenie metryczne oraz unormowane.

1.2. Przestrzenie metryczne i unormowane

W środkowej gałęzi mapy (1) najpierw wyposażamy zbiór punktów w topologię. Szczegóły omówimy w rozdziale o topologii przestrzeni unormowanych i Hilberta. Tutaj wystarczy pamiętać, że topologia daje pojęcie lokalności, pozwalające zdefiniować zbieżność, granicę i ciągłość. Przestrzenie metryczne są w szczególności topologiczne: to zbiory punktów z odległością, która określa lokalność.

Możemy teraz połączyć gałęzie algebraiczną i topologiczną mapy 1, rozważając przestrzenie metryczne, których zbiór $X$ jest przestrzenią wektorową, czyli przestrzenie wektorowe z odległością. Prowadzi to do struktury zasadniczej dla mechaniki kwantowej, której szczególnym przypadkiem jest Hilbert: przestrzeni wektorowych unormowanych, w skrócie PWU.

Nie chcemy dopuścić każdej odległości. Ponieważ przestrzeń jest liniowa, potrzebujemy odległości zgodnej ze strukturą wektorową:

Warunki mówią, że odległość respektuje geometrię przestrzeni: jest niezmiennicza względem przesunięć, zgodnie z jednorodnością przestrzeni, a jednokładności zachowują stosunki odległości^{2  3}. Następująca własność prowadzi do przestrzeni unormowanych: jeśli $d$ jest zgodną metryką na $E$, odległość od początku, czyli wektora zerowego, $\norm{x} = d(x, 0_E)$ jest normą.

Przestrzeń wektorowa z taką odległością jest więc przestrzenią unormowaną:

Każda przestrzeń unormowana $(E, \|\cdot\|)$ kanonicznie wyznacza przestrzeń metryczną $(E, d)$ przez $d(x,y) = \|x-y\|$, automatycznie zgodną ze strukturą wektorową. Przestrzenie unormowane odpowiadają więc bijektywnie szczególnej podklasie przestrzeni metrycznych. W tym sensie stanowią ich podzbiór.

2. Przestrzenie Hilberta

Dotarliśmy do przestrzeni unormowanych z Rys. (1). Zwykle mówi się po prostu przestrzeń unormowana zamiast przestrzeń wektorowa unormowana; można też używać skrótu PWU. Następnie definiujemy przestrzenie prehilbertowskie i przestrzenie Hilberta, stanowiące matematyczne ramy mechaniki kwantowej.

Ponieważ mechanika kwantowa opiera się na liczbach zespolonych, odtąd ograniczymy się do $\mathbb{K} = \C$. Dotychczas $E$ i $F$ oznaczały przestrzenie wektorowe i unormowane. Dla przestrzeni prehilbertowskich i Hilberta użyjemy $\mathcal{H}$ i $\mathcal{G}$. Wektory nadal oznaczamy $x, y, z$ itd.

2.1. Przestrzeń prehilbertowska i iloczyn skalarny

Przestrzeń prehilbertowska to przestrzeń unormowana, której norma pochodzi od iloczynu skalarnego. Nie zawsze tak jest: niektórych norm nie da się otrzymać z iloczynu skalarnego, na przykład normy supremum⁴. Przestrzenie prehilbertowskie tworzą więc właściwy podzbiór przestrzeni unormowanych. Przypomnijmy hermitowski iloczyn skalarny nad $\C$:

Własności (1) i (2) dają sprzężoną liniowość, czyli antyliniowość, w pierwszym argumencie⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. Odwzorowanie liniowe w jednym i sprzężenie liniowe w drugim argumencie nazywa się półtoraliniowym⁶. Dalej mówimy tylko „iloczyn skalarny”; hermitowskość jest domyślna.

Uprzedzając topologię, wskażmy ważny wynik: iloczyn skalarny jest ciągły względem obu zmiennych. Jeśli $x_n \to x$ i $y_n \to y$ w normie, czyli $\|x_n - x\| \to 0$ i $\|y_n - y\| \to 0$, to

W postulatach pomiaru kwantowego zobaczymy, że prawdopodobieństwo zaobserwowania wielkości fizycznej związanej z wektorem własnym $\phi$, gdy układ jest w stanie $\psi$, wynosi $|\langle \phi , \psi \rangle|^2$; zob. sekcja 1.2 (Temat 3, Lekcja 1, niedostępne w tym języku). Ciągłość gwarantuje więc, że mała zmiana stanu $\psi$ wywołuje małą zmianę prawdopodobieństw, zgodnie z oczekiwaniem.

Iloczyn skalarny spełnia inną fundamentalną własność:

Nierówność pozwala w szczególności wykazać, że $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ jest rzeczywiście normą, jak sugeruje zapis.

Dochodzimy do definicji:

W zespolonej przestrzeni prehilbertowskiej $\mathcal{H}$ mamy następujące przydatne wzory.

Dwa ostatnie wzory wiążą się z ważnym twierdzeniem łączącym hermitowski iloczyn skalarny i normę. Twierdzenie Frécheta-von Neumanna-Jordana mówi, że norma $\|\cdot\|$ na przestrzeni unormowanej $E$ pochodzi od iloczynu skalarnego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia tożsamość równoległoboku. Ta tożsamość jest testem istnienia, a jeśli jest spełniona, wzór polaryzacyjny pozwala odtworzyć iloczyn skalarny z normy.

2.2. Zupełność i przestrzeń Hilberta

Przejście od przestrzeni prehilbertowskich do Hilberta wymaga niezbędnego pojęcia topologicznego: zupełności.

Wrócimy do tych zagadnień w odpowiednim rozdziale. Na razie podkreślmy: zupełność jest niezbędna w fizyce kwantowej. Intuicyjnie przestrzeń zupełna nie ma „dziur”: ciąg elementów $\mathcal{H}$ nie może zbiegać do czegoś poza $\mathcal{H}$. Tego brakuje liczbom wymiernym: odpowiednio skonstruowany ciąg wymierny może zbiegać do liczby niewymiernej; tak właśnie konstruuje się liczby rzeczywiste.

W mechanice kwantowej każdy fizyczny stan układu jest wektorem Hilberta i odwrotnie. To pierwszy postulat. Gdyby przestrzeń stanów nie była zupełna, funkcja falowa mogłaby podczas ewolucji Schrödingera „opuścić przestrzeń” i stać się „stanem niefizycznym”, co nie miałoby sensu.

Zupełność pojawia się w innym postulacie: wyniki pomiarów kwantowych muszą należeć do widma obserwabli fizycznych, traktowanych jako samosprzężone operatory liniowe. W przestrzeni niezupełnej operator nie zawsze ma operator sprzężony. Ponadto zupełność jest niezbędna do twierdzenia spektralnego, badającego strukturę operatorów samosprzężonych.

Każde wyrażenie kwantowe zawierające nieskończoną sumę, jak szereg Fouriera czy rozwinięcie w stanach własnych, wymaga zupełności, aby miało sens. Zapis $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ w notacji Diraca, zob. sekcja 4 (Temat 2, Lekcja 2), zakłada istnienie szeregu, gwarantowane dopiero przez zupełność.

Jest jednak dobra wiadomość: ta subtelność jest konieczna tylko w wymiarze nieskończonym. W wymiarze skończonym sprawę upraszcza ważne twierdzenie:

Możemy przejść do algebraicznego opisu przestrzeni Hilberta.

2.3. Baza algebraiczna i baza Hilberta

Przypomnieliśmy bazę algebraiczną przestrzeni wektorowej, zob. Definicja 2, pozwalającą rozkładać wektory na skończoną sumę. Główna idea wprowadzenia topologii indukowanej normą i przestrzeni zupełnej to możliwość mówienia o zbieżności ciągów. Rozważmy sumy częściowe $(x_n)$, gdzie $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ dla pewnych wektorów $x_k$. Jeśli są zbieżne, otrzymujemy szereg, czyli nieskończoną sumę: $(x_n) \to x$ i $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. Zupełność gwarantuje przynależność granicy do przestrzeni.

Gdy algebraiczny wymiar Hilberta jest nieskończony, możemy więc rozkładać wektory na nieskończony szereg. Otrzymujemy nowe pojęcie bazy:

Potrzebujemy tu topologicznego pojęcia gęstości:

Dotyczy to także Hilberta, który jest w szczególności unormowany. Totalność oznacza więc, że każdy wektor z $\H$ można dowolnie dokładnie przybliżyć skończoną kombinacją liniową elementów $\H$.

W odróżnieniu od bazy algebraicznej nie mówimy, że każdy wektor jest skończoną kombinacją liniową, lecz że można go dowolnie dobrze przybliżyć kombinacją bazy Hilberta. Dzięki zupełności przybliżenia zbiegają do x. Dla dowolnej mocy $I$ otrzymujemy:

Związek między definicją bazy Hilberta a twierdzeniem o rozwinięciu nie jest natychmiastowy.

W wymiarze nieskończonym moc bazy algebraicznej jest zawsze ściśle większa niż moc bazy Hilberta. Intuicja jest prosta: skończone kombinacje pierwszej muszą dokładnie osiągać każdy punkt $x$, a drugiej tylko go przybliżać. Ta druga jest „mniej dokładna” i wymaga mniej niezależnych kierunków.⁸. Skończone kombinacje bazy Hilberta stanowią więc tylko niewielką część przestrzeni ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$). Zwykle do przedstawienia wektorów $\mathcal{H}$ potrzebujemy zbieżnych szeregów nieskończonych.

Na koniec podajmy kolejny wzór przydatny w matematyce fizyki kwantowej.

2.4. Wymiar hilbertowski i klasyfikacja

Mamy niemal wszystkie elementy potrzebne do pełnej klasyfikacji przestrzeni Hilberta. Brakuje podstawowego niezmiennika: wymiaru hilbertowskiego.

Do klasyfikacji potrzebna jest jeszcze odpowiednia relacja równoważności. Rozszerzamy izomorfizm wektorowy z Definicji 4 najpierw na przestrzenie unormowane, potem Hilberta, korzystając na razie z intuicyjnego pojęcia ciągłości:

Jeśli $T$ zachowuje iloczyn skalarny, to $T$ automatycznie zachowuje normę ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$). Stąd określenie liniowej bijektywnej izometrii. Podstawą klasyfikacji jest twierdzenie:

Wymiar oznacza teraz oczywiście wymiar hilbertowski. Każda przestrzeń Hilberta jest izometrycznie izomorficzna z jednym z tych modeli, a klasyfikacja jest pełna. Omówimy je dalej, odkładając wymiar nieskończony nieprzeliczalny na znacznie później. Są to przestrzenie odniesienia dla układów kwantowych ze skończoną liczbą stopni swobody, jak spin; nieskończoną przeliczalną, jak mechanika kwantowa punktu; lub nieprzeliczalną, jak kwantowa teoria pola.

3. Przestrzenie modelowe

3.1. Przestrzeń Hilberta $\C^n$

Jawnie jest to zbiór $n$-tek liczb zespolonych:

wyposażony w:

• hermitowski iloczyn skalarny: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$; zauważmy sprzężenie zespolone,
• odpowiadającą mu normę euklidesową: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$.

Jest to PWU wymiaru $n$, zupełna dzięki skończonemu wymiarowi nad ciałem zupełnym. Jest więc Hilbertem. Jej baza kanoniczna, zapisana kolumnowo, to:

To baza hilbertowska o mocy $n$ i zarazem algebraiczna: każdy wektor $x \in \mathbb{C}^n$ rozkłada się dokładnie na skończoną sumę

Ta przestrzeń Hilberta opisuje dowolny układ kwantowy o skończonej liczbie wzajemnie rozróżnialnych stanów, w szczególności układy dwupoziomowe, czyli kubity.

3.2. Przestrzeń Hilberta $\ell^2(\mathbb{N})$

Jest to zbiór ciągów sumowalnych z kwadratem:

Można wykazać, że jest Hilbertem po wyposażeniu w:

• iloczyn skalarny: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$; teraz suma jest nieskończona,
• odpowiadającą normę: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$; ta sama uwaga.

Przeliczalność pokazujemy przez jawną konstrukcję bazy kanonicznej, podobnej do bazy $\C^n$. Dla każdego $i \in \mathbb{N}$ definiujemy, również kolumnowo:

wektor o $i$-tej współrzędnej równej $1$ i pozostałych $0$. Jedyna różnica względem wymiaru skończonego to nieskończona liczba składowych.

Ta przestrzeń Hilberta opisuje na przykład kwantowy oscylator harmoniczny: zobaczymy, że energetyczne stany własne indeksuje nieograniczona liczba całkowita $n$, więc każdy stan oscylatora zapisuje się jako taki szereg.

3.3. Przestrzeń Hilberta $L^2(\R)$

W jednowymiarowej mechanice kwantowej punktu funkcja falowa $\psi(x)$ jest zespoloną funkcją zmiennej rzeczywistej. Interpretacja probabilistyczna wymaga:

Naturalnie definiujemy więc przestrzeń tej mechaniki jako zbiór funkcji całkowalnych z kwadratem:

Warunek „$< \infty$” pokazuje, że stan można zawsze unormować. Wprowadzamy iloczyn skalarny:

indukujący normę:

Można wykazać, że czyni to przestrzeń Hilbertem, choć nie jest to zupełnie trywialne. Można podać jawną bazę hilbertowską; znanych jest kilka: Hermite'a, falkowa, Laguerre'a, Walsha .... Na przykład najpierw definiujemy wielomiany Hermite'a rekurencyjnie:

a następnie funkcje Hermite'a:

Przyjmujemy tutaj, że funkcje te tworzą rodzinę ortonormalną:

i totalną, a więc bazę hilbertowską. Jest to także baza własna hamiltonianu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego. Szczegóły podaje Wikipedia ^[7]. W praktyce rzadko się jej używa, ponieważ jawne wyrażenia są naprawdę okropne. Wymyślono „inną bazę”, która w rzeczywistości nią nie jest: ciągłą bazę uogólnioną, słynne kety $\ket{x}$, do których wrócimy.

3.4. Przestrzenie Hilberta $L^2(\mathbb{R}^3)$ i $L^2(\mathbb{R}^{3n})$

W trzech wymiarach analogicznie rozważamy $L^2(\R^3)$ z iloczynem skalarnym

Dla układu $n$ cząstek w trzech wymiarach przestrzeń stanów to

Iloczyn skalarny jest dany przez

a odpowiadająca norma to

Wszystkie są przestrzeniami Hilberta; przyjmujemy to bez dowodu.

4. Słowo na zakończenie

Może dziwić, że $L^2(\R)$, opisująca jednowymiarową mechanikę kwantową punktu, jest izomorficzna z $L^2(\R^3)$ opisującą fizykę trójwymiarową. W innej lekcji wyjaśnimy, dlaczego nie jest to paradoks. Główna idea: fizykę określa nie tylko Hilbert, lecz także zbiór obserwabli. Żaden izomorfizm z $L^2(\R)$ do $L^2(\R^3)$ nie przenosi jednocześnie całej algebry obserwabli 1D do 3D, czyli pojedynczej pary $[\hat{X}, \hat{P}]$ w trzy niezależne pary $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$.

Izomorfizm nie oznacza również matematycznej równości: te Hilberty są różne jako przestrzenie funkcji, choć izomorficzne w strukturze hilbertowskiej. Stwierdza tylko podobieństwo strukturalne: jednakowy rozmiar mierzony mocą baz i te same własności struktury Hilberta. Zachowuje normy, odległości, ortogonalność i topologiczne własności zbieżności, ciągłości itd.

Choć dla danej liczby kardynalnej istnieje z dokładnością do izometrii tylko jeden abstrakcyjny Hilbert, istnieje nieskończenie wiele konkretnych realizacji.

Czas poświęcony klasyfikacji nie był zmarnowany: odpowiada ona różnym sytuacjom fizycznym zależnie od „wymiarowości” układu kwantowego. Towarzyszą jej różne reguły obliczeń: skończone sumy, nieskończone szeregi lub ciągłe całki, stosownie do natury bazy. Odpowiada jej także teoria operatorów liniowych zmieniająca się radykalnie między wymiarem skończonym a nieskończonym.

5. Źródła