Przestrzenie Hilberta i notacja Diraca

1. Uogólniona baza ciągła $L^2(\mathbb{R})$

Opisaliśmy już przestrzeń modelową $L^2(\R)$ w sekcji 3.3 (Temat 2, Lekcja 1), wskazując w szczególności przeliczalną bazę Hilberta. Każdy stan fizyczny rozwija się wtedy w szereg w bazie funkcji Hermite'a. Niestety ich jawne wzory są dość niewygodne.

Wprowadzono więc inną „bazę”, która nie jest bazą Hilberta w ścisłym sensie, lecz uogólnioną bazą ciągłą. Przejście do wymiaru nieskończonego jest subtelne; ścisła konstrukcja wymaga narzędzi następnego tematu o teorii operatorów liniowych. Przyjmujemy tymczasowo poniższy zestaw wzorów jako instrukcję używania Diraca w tej „bazie”, a nie ustaloną konstrukcję matematyczną.

1.1. Baza uogólniona w reprezentacji położeniowej

Spróbujmy mimo to przedstawić kilka idei. Najpierw wprowadzamy samosprzężony „operator położenia”, oznaczany $\hat{X}$, działający na funkcje przestrzeni Hilberta $L^2(\mathbb{R})$ przez mnożenie:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

Uwaga na dziedzinę. Wyrażenie ma sens tylko wtedy, gdy funkcja $x\,\psi(x)$ pozostaje w $L^2(\R)$. Nie zawsze tak jest: niektóre funkcje całkowalne z kwadratem stają się rozbieżne po pomnożeniu przez $x$.¹ Zatem $\hat{X}$ nie można zdefiniować na całym $L^2(\R)$, lecz tylko na podprzestrzeni funkcji, których obrazy pozostają w $L^2$.

Aby uzyskać dobrze określoną dziedzinę, gęstą w $L^2$ i niezmienniczą względem zwykłych operacji (różniczkowania, mnożenia przez $x$, transformaty Fouriera), wprowadzamy przestrzeń funkcji Schwartza, oznaczaną $\mathcal{S}(\R)$:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

Są to więc funkcje gładkie i szybko malejące, takie że $f$ i wszystkie jej pochodne dążą do zera szybciej niż dowolna odwrotna potęga $x$.

Przestrzeń $\mathcal{S}(\R)$ jest:

• gęsta w $L^2(\R)$: każdą funkcję z $L^2$ można dowolnie dobrze przybliżyć funkcjami z $\mathcal{S}$,
• niezmiennicza względem różniczkowania, mnożenia przez $x$ i transformaty Fouriera.

Jest więc naturalną dziedziną do poprawnego definiowania operatorów położenia $\hat{X}$ i pędu $\hat{P}$, stanowiąc podstawę ścisłych konstrukcji formalizmu Diraca i trójki Gelfanda.

Po tych zastrzeżeniach możemy zapisać, na razie czysto formalnie², stany własne $\hat{X}$:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

Kety $\ket{x}$ tworzą uogólnioną bazę ciągłą, ponieważ pozwalają przedstawiać elementy $L^2(\R)$ jako ciągłe superpozycje, choć same $\ket{x}$ nie są wektorami przestrzeni Hilberta.

Nie są bowiem ketami w ścisłym sensie, gdyż nie dają się unormować. Zobaczmy dlaczego. Rodzina jest nieprzeliczalna, więc jej ortonormalności nie opisuje dyskretny symbol Kroneckera $\delta_{ij}$, lecz jego „wersja ciągła”:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

W szczególności:

Wprowadziliśmy tu deltę Diraca $\delta(x)$, która nie jest zwykłą funkcją, lecz dystrybucją w matematycznej teorii dystrybucji. Definiuje się ją przez działanie pod całką:

dla każdej funkcji testowej $f$ z przestrzeni Schwartza. Trzeba rozumieć, że $\delta(x)$ sama w sobie nie ma sensu, nie jest nawet liczbą. W rzeczywistości $\delta$ jest formą liniową $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ działającą na funkcje testowe³. Jest określona wyłącznie przez działanie pod całką (2), a nie przez swoje wartości $\delta(x)$.

Jeśli koniecznie chcemy widzieć w niej funkcję, możemy traktować ją jako granicę ciągu funkcji coraz bardziej skupionych wokół zera, na przykład coraz węższych funkcji Gaussa:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

Albo prostokątów wyśrodkowanych w zerze, których szerokość dąży do zera, a wysokość do nieskończoności. W tym obrazie delta jest w granicy „funkcją” zerową wszędzie poza $x = 0$, gdzie rozbiega się, zachowując całkowite pole pod wykresem równe 1.

Dlatego w fizyce pisze się mimo wszystko $\delta(0) = \infty$, lecz trzeba rozumieć nadużycie zapisu i znaczenia. W każdym razie z równ. (1) wynika, że ket $\ket{x}$ nie jest unormowany. Delta Diraca ma także niezwykle użyteczną reprezentację całkową, zapewne najważniejszy wzór tej sekcji:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

Również tutaj równość należy rozumieć w sensie dystrybucji, gdyż całka oczywiście nie zbiega i inaczej nie miałaby sensu.

„Elementy macierzowe” operatora położenia $\hat{X}$ to $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$. Nadal tak je nazywamy, porównując z poprzednią sekcją w wymiarze skończonym, choć $\hat{X}$ nie ma zwykłej reprezentacji macierzowej. Można wyobrazić sobie „macierz o ciągłych indeksach”, diagonalną w sensie dystrybucji, ale bez właściwie określonej wartości na przekątnej $x = x'$, gdyż $x\,\delta(0)$ nie jest liczbą rzeczywistą. Tu zapewne widać podstawową różnicę między operatorami liniowymi w wymiarze skończonym, czyli macierzami, a operatorami w wymiarze nieskończonym.

W bazie uogólnionej rozkład jedności ma postać:

Pozwala zapisać rozkład dowolnego ketu $\kpsi$ przestrzeni Hilberta w tej bazie ciągłej jako całkę:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

Zdefiniowaliśmy funkcję falową:

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

Podobnie bra sprzężone do $\kpsi$ rozwija się jako:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

Użyliśmy symetrii hermitowskiej iloczynu skalarnego: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

Współrzędną w $x$ wektora $\hat{X} \psi$, z definicji równą $\braket{x}{X\psi}$, zwykle zapisuje się, również ze względów estetycznych i przez porównanie z równ. (4 (Temat 2, Lekcja 2)), jako:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. W reprezentacji pędowej

W mechanice kwantowej cząstki punktowej analogicznie wprowadza się operator pędu przez jego działanie na funkcje falowe $\psi(x)$ z $L^2(\mathbb{R})$:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

Również tutaj trzeba ograniczyć się do dziedziny Schwartza, aby funkcja falowa była różniczkowalna, a jej pochodna nadal całkowalna z kwadratem.

Bardzo dobrym ćwiczeniem z tego rozdziału jest sprawdzenie, że $\hat{P}$ rzeczywiście jest samosprzężony. W tym celu najpierw badamy operator różniczkowania, oznaczany:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

Jest liniowy, bo różniczkowanie jest liniowe: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$. Oczywiście nie da się go przedstawić macierzą jak w wymiarze skończonym: działa różniczkowo na nieskończenie wymiarowej przestrzeni funkcji. Nie możemy obliczyć jego sprzężenia przez sprzężone transponowanie, ale możemy użyć definicji. Dla dwóch funkcji testowych z $\mathcal{S}(\R)$, $\phi$ i $\psi$, spełnia:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

zob. definicja 2 (Temat 2, Lekcja 2). Wstawiając rozkład jedności, po lewej otrzymujemy:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

Zatem sprzężeniem $\hat{D} = d/dx$ jest $-\hat{D} = -d/dx$. W pierwszym wierszu wstawiliśmy rozkład jedności między bra i ket; w drugim rozdzieliliśmy iloczyn, a w trzecim użyliśmy symetrii hermitowskiej. W czwartym użyliśmy definicji $\hat{D}$ i funkcji falowych; w piątym całkowaliśmy przez części po $\R$. Wyrazy brzegowe w nieskończoności znikają, gdyż funkcje Schwartza maleją szybciej niż dowolny jednomian. W ostatnich wierszach wracamy od funkcji falowych do iloczynów skalarnych, wyłączamy, a potem usuwamy rozkład jedności. Operator pędu jest więc samosprzężony, ponieważ

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

Samosprzężoność $\hat{P}$ gwarantuje rzeczywiste wartości własne, czyli możliwe pędy, oraz to, że funkcje własne tworzą zupełną bazę przestrzeni stanów w sensie uogólnionym, poprzez dystrybucje Diraca.

Stany własne pędu. Całkowicie analogicznie definiujemy uogólnione „kety” $\ket{p}$ jako stany własne $\hat{P}$:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

W reprezentacji położeniowej otrzymujemy odpowiadającą funkcję falową przez rzut na $\bra{x}$:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

To proste równanie różniczkowe o rozwiązaniu:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

Widać stąd, że przekształcenie łączące reprezentację położeniową i pędową jest dokładnie transformatą Fouriera.

Ortogonalność i zupełność. Kety $\ket{p}$ spełniają relacje analogiczne do relacji dla $\ket{x}$:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

Funkcję falową w reprezentacji pędowej definiujemy przez:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

Przekształcenie $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ jest więc transformatą Fouriera; przekształcenie odwrotne ma postać:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

Podstawowa komutacja. Wreszcie operatory $\hat{X}$ i $\hat{P}$ spełniają kanoniczną relację komutacji:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

Relacja ta stanowi podstawę całej mechaniki kwantowej cząstki punktowej. Wszystkie wzory tej sekcji wynikają wyłącznie z niej: dowodzi się, że jedyną możliwą reprezentacją hilbertowską tej algebry między X i P jest właśnie opisana. W szczególności $X$ działa przez mnożenie na funkcje falowe w x, a P przez różniczkowanie, i odwrotnie. Ten ważny wynik, twierdzenie Stone'a–von Neumanna, omówimy później szczegółowo.

1.3. Własności delty Diraca

Kończymy sekcję i rozdział kilkoma użytecznymi wzorami dla delty Diraca, zawsze rozumianymi w sensie dystrybucji, czyli pod znakiem całki:

Symetria:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

Jednorodność:

Dla każdej liczby rzeczywistej $a \neq 0$:

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

Zmiana zmiennej:

Jeśli $f$ jest regularna i ma proste miejsca zerowe $\{x_i\}$ takie, że $f(x_i) = 0$, to:

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

Pochodna delty:

Pochodną dystrybucyjną definiuje wzór

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. Źródła