1. Idea dualności

Dualność jest motywem przewodnim tej lekcji. Spróbujmy nadać jej intuicyjną interpretację. W matematyce obejmuje wiele sytuacji, lecz w przestrzeniach Hilberta wyraża prostą i głęboką ideę: wektor można traktować nie tylko jako obiekt sam w sobie, lecz także jako operator działający na inne wektory i wytwarzający liczby, czyli jako formę liniową. W mechanice kwantowej otrzymana liczba jest amplitudą prawdopodobieństwa.

Formalizm kwantowy w pełni wykorzystuje oba aspekty, a notacja Diraca daje pomysłowy system ich wygodnego opisu. Kety, zapisywane $\ket{u}$, reprezentują wektory; bra, zapisywane $\bra{u}$, reprezentują działające na nie formy liniowe. Połączenie $\langle u|v\rangle$ daje skalar, zwany bracketem, natomiast wyrażenia takie jak $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ opisują operatory.

Notacja ta stała się standardowym językiem fizyki kwantowej i trzeba ją w pełni opanować. Po lekcji zamieszczona zostanie karta z regułami rachunku. Można nauczyć się operować symbolami, nie rozumiejąc kryjącej się za nimi matematyki. Aby jednak pojąć ich głębszy sens, trzeba zrealizować zarysowany tu program: zrozumieć konstrukcję pełnego utożsamienia wektorów z formami liniowymi oraz to, dlaczego prowadzi ona naturalnie do kolejnego kluczowego obiektu, operatora sprzężonego.

W następnej sekcji spróbujemy zbudować izomorfizm między przestrzenią wektorową a jej dualem algebraicznym, zbiorem wszystkich form liniowych. Zobaczymy, że jest to niemożliwe. Choć przestrzeń skończenie wymiarowa jest izomorficzna ze swoim dualem, izomorfizm nie jest kanoniczny: zależy od dowolnie wybranej bazy. W wymiarze nieskończonym sytuacja jest gorsza: taki izomorfizm po prostu nie istnieje. Przeszkody te wykluczają automatyczne utożsamienie i uzasadniają wykorzystanie bogatszej struktury przestrzeni Hilberta.

Sekcja 3 pokazuje, jak ta dodatkowa struktura pozwala pokonać trudności. Dzięki iloczynowi skalarnemu i ograniczeniu do ciągłych form liniowych, tworzących dual topologiczny, otrzymujemy niezwykły wynik. Twierdzenie Riesza mówi, że w dowolnym wymiarze istnieje kanoniczny antyliniowy izomorfizm izometryczny między przestrzenią Hilberta a jej dualem topologicznym.

Stanowi to ścisłą podstawę notacji Diraca, opisanej w sekcjach 4 i 5: ketów, bra i operatorów liniowych. Następnie pokażemy, jak izomorfizm Riesza naturalnie wprowadza operator sprzężony, w sekcji 6. Sekcja 7 podsumowuje konstrukcję pełnym schematem. W całej lekcji przypadek skończenie wymiarowy będzie konkretnym przykładem; zawsze pracujemy nad ciałem $\mathbb{C}$.

2. Formy liniowe i dual algebraiczny

Niech $E$ będzie przestrzenią wektorową nad $\C$. Jej dual algebraiczny $E^*$ to zbiór form liniowych na $E$, czyli odwzorowań liniowych $\varphi : E \to \C.$

W skończonym wymiarze $n$, ustaliwszy bazę $(e_1,\dots,e_n)$ przestrzeni $E$, możemy zbudować odpowiadającą jej rodzinę form liniowych $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ w $E^*$ określoną przez:

Dowodzi się, że rodzina jest liniowo niezależna i generująca, a zatem stanowi bazę $E^*$, zwaną bazą dualną. Stąd $\dim(E^*) = \dim(E)$, więc $E$ i $E^*$ są izomorficzne. Przykładem izomorfizmu jest odwzorowanie $T$, przypisujące każdemu wektorowi $x = \sum x_i e_i$ formę $w_x = \sum x_i \theta_i$.

Jednak $T$ jest w pewnym sensie sztuczne, bo zależy od początkowego wyboru bazy $E$. Zmiana bazy zmienia też $T$. Nie ma więc kanonicznego, naturalnego utożsamienia przestrzeni wektorowej z jej dualem algebraicznym.

W wymiarze nieskończonym klasyczny wynik mówi, że $E$ nigdy nie jest izomorficzna ze swoim dualem algebraicznym, którego wymiar jest ściśle większy; zob. twierdzenie Erdösa–Kaplansky'ego. Jeśli na przykład $E$ ma przeliczalny wymiar algebraiczny, jej dual ma nieprzeliczalny wymiar algebraiczny.

W obu przypadkach brakuje kanonicznego utożsamienia wektorów i form liniowych.

3. Dual topologiczny i twierdzenie Riesza

W przestrzeni Hilberta $\H$ norma związana z iloczynem skalarnym wyróżnia szczególną klasę form liniowych: formy ciągłe. Mówimy, że $\varphi : \H \to \C$ jest ciągła w $x_0$, jeśli

Jeśli jest ciągła w jednym punkcie, z liniowości wynika ciągłość wszędzie¹. Ciągłe formy liniowe tworzą podprzestrzeń dualu algebraicznego, zwaną dualem topologicznym i oznaczaną również, nieco nieściśle, $\H^*$.

Uwaga: norma ta jest szczególnym przypadkiem normy operatorowej, którą poznamy w sekcji 1.5 (Temat 4, Lekcja 3, niedostępne w tym języku). Konstrukcja działa w każdej przestrzeni unormowanej. Specyfikę Hilberta wyraża następne twierdzenie: iloczyn skalarny pozwala bijektywnie utożsamić każdą ciągłą formę liniową z wektorem.

Odwzorowanie $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ z $\mathcal{H}$ do $\H^*$ jest różnowartościowe już w przestrzeni prehilbertowskiej. Jeśli $\varphi_u = \varphi_v$, to dla każdego $x$ z $\mathcal{H}$ mamy $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$; wybierając $x = u - v$ i korzystając z dodatniej określoności, dostajemy $u = v$.

Twierdzenie Riesza mówi, że jest ono również surjektywne. To nietrywialne i zachodzi tylko w przestrzeniach Hilberta. W niezupełnej przestrzeni prehilbertowskiej istnieją na przykład ciągłe formy liniowe, których nie można wyrazić przez iloczyn skalarny z wektorem tej przestrzeni; odwzorowanie nie jest surjektywne.

Riesz daje zatem poszukiwaną bijekcję $\Phi$ między $\mathcal{H}$ a $\mathcal{H}^*$. Wynika stąd:

4. Notacja Diraca: bra, kety i brackety

Notacja Diraca jest po prostu innym zapisem izomorfizmu Riesza. Definiujemy kety, bra i brackety, po czym zapisujemy za ich pomocą rozkład w bazie Hilberta z poprzedniej lekcji.

1. Kety. Wektor $u \in \mathcal{H}$ zapisujemy jako ket: $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$ Struktura liniowa daje reguły: $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. Bra. Każdemu wektorowi $u \in \H$ przypisujemy przez $\Phi$ formę $\varphi_u$. Zapisujemy ją jako bra, umieszczając wewnątrz odpowiadający wektor: $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$ Zatem $\bra{u}$ reprezentuje wektor $u$ jako formę liniową: „oblicz iloczyn skalarny z $u$ i zwróć liczbę”. Mamy: $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ z antyliniowości $\Phi$.
3. Bracket. Oba zapisy pozwalają utworzyć iloczyn skalarny, po angielsku bracket lub inner product, jako iloczyn bra przez ket: $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$ Notacja wyraża działanie formy liniowej $\bra{u}$ na wektor $\ket{x}$: $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. Rozkład hilbertowski. W dowolnym wymiarze poznaliśmy rozkład $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$, którego suma jest skończona lub zbiega w $\mathcal{H}$, gdy $I$ jest nieskończony. W notacji Diraca:
   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)
   Wielkości $u_i$ są współrzędnymi ketu $u$ w bazie. Otrzymujemy je przez rzut ortogonalny na $e_i$ jako $u_i = \braket{e_i}{u}$, nie jako $\braket{u}{e_i}$, co daje $u_i^*$. To częsty błąd, zapewne dlatego, że w zwykłym rachunku wektorowym na $\R^n$ współrzędną $v_i$ wektora $\vec{v}$ otrzymujemy przez $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$. Może to sugerować $u_i = \braket{u}{e_i}$ w przypadku kwantowym, ale pomijałoby półtoraliniowość nad $\C$ i natychmiast prowadziło do błędu rachunkowego. Dla bra:
   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)
   a kwadrat normy wynosi
   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   gdzie druga równość jest równością Parsevala.
5. Operacja dagger. Izomorfizm $\Phi$ od ketów do bra zwykle oznaczamy górnym symbolem $\dagger$. Tego samego symbolu używamy dla odwrotności $\Phi^{-1}$ od bra do ketów. Operacja dagger staje się przez to inwolucją. Z przyjętej konwencji: $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(odwzorowanie } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(odwzorowanie } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(inwolucja)} \end{aligned}$$

Zilustrujmy to w wymiarze skończonym. Wybieramy $\H$ wymiaru $n$ i bazę Hilberta $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ z kanonicznym iloczynem skalarnym; zob. sekcja 3.1 (Temat 2, Lekcja 1). Kety bazowe reprezentujemy jako wektory kolumnowe, macierze $(n,1)$:

Liczba $1$ zajmuje $i$-tą pozycję. Wszystkie kety $\ket{u}$ zapisują się jako kolumny

z $u_i = \braket{e_i}{u}$. Forma $\varphi_u$ przypisana do $u$ musi spełniać dla każdego wektora $v$:

Aby otrzymać tę sumę, $\bra{u}$ musi być reprezentowane przez wektor wierszowy $(1, n)$ sprzężonych współrzędnych $u$:

Wówczas iloczyn skalarny $\braket{u}{v}$ jest zwykłym iloczynem macierzy:

Na przykład w wymiarze 2:

Otrzymaliśmy:

W wymiarze nieskończonym nie ma to sensu, bo transpozycja nie jest zdefiniowana. Jednak w $\ell^2(\N)$ i jej bazie kanonicznej wszystko działa podobnie, jeśli rozważymy nieskończone wiersze lub kolumny i zastąpimy skończone sumy szeregami zbieżnymi. Może to pomóc intuicji, lecz ściśle rzecz biorąc nie są to macierze ani transponowanie.

5. Operatory, elementy macierzowe i rozkład jedności

Kontynuujemy opis notacji Diraca, wprowadzając odwzorowania liniowe, czyli operatory liniowe, $\hat A$ z $\mathcal{H}$ do $\mathcal{G}$, gdzie $\mathcal{G}$ jest inną przestrzenią Hilberta.

Zapis operatorów. W fizyce zwykle oznacza się je daszkiem. Operator $\hat A$ działający na $v$ daje $\hat A v$. W notacji Diraca mamy dwa równoważne zapisy; drugi jest częstszy:

Podobnie iloczyn skalarny z operatorem zapisujemy:

Druga postać jest częstsza ze względów estetycznych.

Elementy macierzowe. Przypadek $\bra{w} = \bra{e_i}$ i $\ket{u} = \ket{e_j}$ jest szczególnie ważny, bo definiuje elementy macierzowe $\hat A$:

W wymiarze nieskończonym nie zawsze ma to sens: $\ket{e_i}$ musi należeć do dziedziny $\hat A$; wrócimy do tego. W wymiarze skończonym definicja jest przejrzysta. Reprezentując wektory bazowe jako kolumny, każdemu operatorowi liniowemu jednoznacznie przypisujemy jego macierz: $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$, z $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. Równanie $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ staje się zwykłym iloczynem $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$, a iloczyn skalarny ma postać $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$.

Operatory ket-bra. Bracket jest liczbą, ale ket-bra jest operatorem, zwanym iloczynem zewnętrznym, bez związku z iloczynem zewnętrznym form różniczkowych. Dwóm wektorom $\ket{u}$ i $\ket{v}$ z tej samej przestrzeni Hilberta $\H$ przypisujemy $\ket{u}\bra{v}$ z $\H$ do $\H$, określony przez:

Również tutaj, w wymiarze skończonym, ważny jest $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$. Wszystkie jego elementy są zerowe z wyjątkiem „1” w wierszu $i$ i kolumnie $j$; macierz ma postać:

Każdy operator liniowy $\hat{A}$ rozkłada się w wymiarze skończonym według swoich elementów macierzowych:

gdzie $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. W wymiarze nieskończonym nie zawsze jest to możliwe; gdy rozkład istnieje, należy go rozumieć w sensie zbieżności silnej. Wrócimy do tego w następnych lekcjach.

Rozkład operatora jednostkowego. Operator jednostkowy w $\mathcal{H}$, oznaczany $\mathbf{1}$, określa $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ dla każdego $\ket{x} \in \mathcal{H}$. W wymiarze skończonym reprezentuje go macierz jednostkowa. Ogólniej:

także w wymiarze nieskończonym przeliczalnym, gdzie szereg zbiega silnie. Nazywa się to rozkładem jedności lub relacją zupełności. Jest niezwykle użyteczne w rachunkach kwantowych. Uwaga: w przestrzeniach nieośrodkowych jest fałszywe²

6. Operator sprzężony

Wróćmy do Riesza i rozważmy ciągły operator liniowy³ $\hat{A}$ z $\mathcal{H}$ do $\mathcal{G}$, gdzie $\H$ i $\G$ są przestrzeniami Hilberta, być może z $\H = \G$.

Gdy $\hat{A}$ działa na $\ket{u} \in \mathcal{H}$, otrzymujemy $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$. Naturalnie pytamy o bra przypisane przez Riesza do $\ket{v}$, czyli formę na $\G$: $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$. Prowadzi to do operatora sprzężonego do $\hat{A}$, również oznaczanego $\hat{A}^\dagger$, kluczowego w mechanice kwantowej.

Aby wyznaczyć $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$, ustalmy dowolny ket $\ket{w} \in \mathcal{G}$ i rozważmy formę liniową na $\H$:

Indeks $\G$ wskazuje, gdzie liczymy iloczyn skalarny. Przyjmujemy, że $\varphi$ jest ciągłą formą liniową na $\mathcal{H}$, jeśli $\hat{A}$ jest ciągły. Z twierdzenia Riesza w $\mathcal{H}$ istnieje dokładnie jeden $\ket{z} \in \mathcal{H}$ taki, że $\varphi = \varphi_z$:

Przypisujemy więc wektorowi $\ket{w}$ z $\G$ dokładnie jeden $\ket{z}$ z $\H$. Formalnie jest to działanie operatora sprzężonego $\hat{A}^\dagger$: $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$. Operator $\hat A$ działa z $\H$ do $\G$, a sprzężony z $\G$ do $\H$.

Powtarzając konstrukcję dla każdego $\ket{w}$, łatwo sprawdzamy, że otrzymany operator jest liniowy i ciągły. Otrzymujemy:

Sprzężenie ma dwa praktyczne zastosowania w formalnym rachunku kwantowym.

1. Wzór pokazuje, że „przy ustalonych pozycjach $u$ i $w$ sprzężenie pozwala przenieść operator z lewej na prawą stronę”.
2. Z symetrii hermitowskiej $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$ mamy także:
   $$\boxed{\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H},\ \forall\,\ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)
   Pokazuje to, że „sprzężenie pozwala zamieniać bra i ket z dokładnością do sprzężenia zespolonego”.

Obie tożsamości są równoważne. Trzeba uważać na przestrzenie początkową i końcową $\H$ i $\G$ oraz na to, czy używamy iloczynu skalarnego w $\H$, czy w $\G$. W praktyce niemal zawsze $\H = \G$, co upraszcza zapis.

Zilustrujmy konstrukcję w wymiarze skończonym. Główny wynik brzmi:

Nadal potrzebna jest jawna odpowiedź: czym jest bra $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ kanonicznie przypisane do $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$? Wzór (6) odpowiada poprzez iloczyn skalarny prawdziwy dla każdego $w$, pozwalając napisać:

Dwie formy liniowe zgodne na każdym $w$ są równe. Kluczowe jest zrozumienie tego obiektu: częsty błąd polega na przekonaniu, że „operator sprzężony działa z lewej na bra”. To fałsz! $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ jest złożeniem operatorów, nie działaniem z lewej. Przestrzenie początkowe i końcowe to:

Zatem $\bra{u} \hat A^\dagger$ jest złożeniem $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$, czyli formą liniową na $\mathcal{G}$. Zwyczajowe pomijanie $\circ$ może powodować nieporozumienia.

Wreszcie z $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$, stosując dagger, otrzymujemy:

Poniższy rysunek podsumowuje związki między bra, ketami, operatorem $\hat A$ i jego sprzężeniem.

Kończymy kilkoma ważnymi własnościami sprzężenia:

7. Źródła