Przestrzenie Hilberta i notacja Diraca

Zdefiniowane obiekty spełniają podstawowe własności, prawdziwe w dowolnym wymiarze przestrzeni Hilberta i niezależnie od ograniczoności operatorów. W przypadku nieograniczonym również można zdefiniować sprzężenie, ale jest to matematycznie subtelniejsze; wrócimy do tego w następnym temacie o teorii operatorów liniowych. Ponieważ cały świat używa Diraca, własności te stanowią faktycznie algebraiczne reguły rachunku kwantowego i trzeba je koniecznie opanować.

Ta lekcja zbiera wszystkie poznane użyteczne wzory, nawet kosztem powtórzeń, i dodaje kilka nowych. Najpierw podajemy reguły dla dowolnego wymiaru, następnie zestaw dla wymiaru skończonego, gdzie notacja Diraca sprowadza się do jawnego rachunku macierzowego.

1. Reguły rachunku w dowolnym wymiarze

Własności iloczynu skalarnego.

Niech $(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2$ będą wektorami przestrzeni Hilberta, a $(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$ skalarami. Iloczyn skalarny spełnia:

1. Symetria hermitowska:

   $$\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}$$

   (1)

2. Antyliniowość z lewej: bra przypisane do $\lambda \ket{\psi}$ to $\lambda^* \bra{\psi}$, czyli:

   $$\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{oraz} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }$$

   (2)

3. Liniowość z prawej:

   $$\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}$$

   (3)

4. Kombinacje liniowe: poprzednie własności pozwalają rozwijać złożone wyrażenia w zwykły sposób. Na przykład dla wszystkich $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C$:

   $$\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }$$

   (4)

5. Norma: z definicji

   $$\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}$$

   (5)

   z równością wtedy i tylko wtedy, gdy $\ket{\psi} = 0$ jest wektorem zerowym, czasem, choć rzadko, oznaczanym $\ket{\varnothing}$.

Własności sprzężenia.

Powtarzamy dwa wzory definiujące sprzężenie:

oraz

Pozwala to także wykazać, przez symetrię hermitowską:

Własności operatorów sprzężonych.

Dla dowolnych ciągłych operatorów liniowych $\hat{A}, \hat{B}$ na $\mathcal{H}$ i każdego skalara $\lambda \in \mathbb{C}$:

Operator ket-bra.

Bracket jest liczbą, lecz ket-bra jest operatorem, zwanym iloczynem zewnętrznym, bez związku z iloczynem zewnętrznym form różniczkowych. Dwóm wektorom $\ket{\phi}$ i $\ket{\psi}$ przypisujemy operator $\ket{\phi}\bra{\psi}$ określony przez:

Rozkład operatora jednostkowego.

Operator jednostkowy w $\Hilb$ oznaczamy $\mathbf{1}$ i definiujemy przez $\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb$. W przeliczalnej bazie Hilberta $\{\ket{e_i}\}_{i \in I}$, gdzie $I$ jest skończony lub przeliczalnie nieskończony, operator jednostkowy $\mathbf{1}$ zapisuje się:

Wzór jest niezwykle użyteczny w praktyce. Nazywa się też rozkładem jedności lub relacją zupełności. Prawa strona jest sumą w wymiarze skończonym albo szeregiem zbieżnym w wymiarze przeliczalnie nieskończonym. W wymiarze nieprzeliczalnym jest fałszywy.

Rozkład hilbertowski.

Poprzedni wzór bezpośrednio odtwarza twierdzenie o rozkładzie z lekcji 1, gdy $\psi_i$ oznacza współrzędną ketu $\kpsi$ wzdłuż $\ket{e_i}$:

Jest to suma lub szereg zależnie od wymiaru. Rozkład ketu ma odpowiednik dla bra:

Norma wynosi wtedy:

Kilka szczególnych operatorów.

Następny temat szczegółowo przedstawia teorię operatorów liniowych na przestrzeni Hilberta. Zanotujmy już kilka częstych przypadków. Wśród operatorów $\Hilb \to \Hilb$ wyróżniamy:

1. $\hat A$, hermitowski lub samosprzężony, jeśli $\hat{A}^\dagger = \hat{A}$,
2. $\hat U$, unitarny, jeśli $\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$,
3. $\hat P$, projektor, jeśli $\hat{P}^2 = \hat{P}$,
4. $\hat P$, projektor ortogonalny: projektor samosprzężony.

Operatory unitarne są bijektywne, liniowe i zachowują iloczyn skalarny. Już je znamy: są to izomorfizmy izometryczne, tutaj dokładniej automorfizmy izometryczne, bo rozważamy tylko operatory liniowe z $\Hilb$ w siebie.

2. Zestaw wzorów w wymiarze skończonym

Jeśli przestrzeń Hilberta ma skończony wymiar $n$, możemy bardziej skonkretyzować reguły. Wszystkie wzory z poprzedniej sekcji obowiązują, a sumy zapisujemy jako skończone: $\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}$.

Po wyborze bazy ortonormalnej $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ notacja Diraca odpowiada jawnemu rachunkowi macierzowemu, który teraz opiszemy. Uwaga: poniższe rozważania nie mają żadnego sensu w wymiarze nieskończonym.

Kety jako wektory kolumnowe.

Kanonicznie reprezentujemy kety bazy $\mathcal{B}$ przez macierze $(n,1)$, czyli wektory kolumnowe:

Liczba $1$ zajmuje $i$-tą pozycję. Dzięki rozkładowi algebraicznemu

wszystkie kety zapisujemy jako kolumny: dla $\ket{v} \in \mathcal{H}$ piszemy:

Bazę $\mathcal{B}$ tego rozwinięcia będziemy pomijać, chyba że jest potrzebna. Współrzędne otrzymuje się przez rzuty ortogonalne:

Bra jako sprzężone wektory wierszowe.

Forma $\varphi_u$ przypisana do wektora $u$ musi spełniać dla każdego wektora $v$:

z antyliniowości hermitowskiego iloczynu skalarnego z lewej. Aby otrzymać tę sumę jako iloczyn macierzowy, $\bra{u}$ musi być wierszem sprzężonych współrzędnych $u$:

Wówczas iloczyn skalarny $\braket{u}{v}$ jest zwykłym iloczynem macierzy:

Zatem bra $\bra{u}$ jest sprzężoną transpozycją ketu $\ket{u}$. Operacja dagger w wymiarze skończonym sprowadza się więc do sprzężonego transponowania:

W wymiarze nieskończonym jest to fałszywe, a nawet pozbawione sensu, gdyż transpozycja nie jest zdefiniowana¹.

Macierzowa reprezentacja operatorów.

W bazie ortonormalnej $\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n$ w wymiarze skończonym każdy operator liniowy $\hat{A}$ rozkłada się:

Prowadzi to w wymiarze skończonym do naturalnego utożsamienia operatora liniowego $\hat{A}$ z daszkiem i jego macierzy $A$ bez daszka. Wzór jest odpowiednikiem Diraca dla rozwinięcia macierzowego $A = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}$, gdzie $E_{ij}$ jest macierzą elementarną z $1$ na pozycji $(i,j)$ i zerami poza nią. Zatem $E_{ij}$ reprezentuje operator $\ket{e_i} \bra{e_j}$. Współczynniki $A_{ij}$ nazywamy elementami macierzowymi operatora $\hat{A}$ w bazie $\{\ket{e_i}\}$. Wynoszą one:

Ze względów estetycznych częściej piszemy:

Operator jednostkowy reprezentuje oczywiście macierz jednostkowa; jego elementy to $\delta_{ij}$, symbol Kroneckera.

Ślad operatora.

Dalej często będziemy rozważać ślad operatora $\hat{A}$. W notacji Diraca oblicza się go przez:

Wyrażenie to nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej.

Sprzężenie i sprzężona transpozycja.

W wymiarze skończonym macierz operatora sprzężonego $\hat{A}^\dagger$ jest sprzężoną transpozycją macierzy operatora $\hat{A}$:

Krótki dowód pokazuje praktyczne użycie poznanych reguł. Elementy macierzowe $\hat{A}^\dagger$ są z definicji równe:

Z definicji sprzężenia:

Z symetrii hermitowskiej $\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*$, czyli jest to właśnie element macierzowy $A_{ji}^*$. Zatem:

Dowodzi to własności. W wymiarze skończonym możemy więc przez jawny rachunek macierzowy sprawdzić, czy operator jest hermitowski, unitarny itd.

3. Źródła