Karta 1: Notacja Diraca w wymiarze skończonym

Słowa kluczowe : Notacja Diraca, Hermitowski iloczyn skalarny, Sprzężenie, Operator ket-bra, Rozkład jedności, Wymiar skończony, Elementy macierzowe, Ślad, Transpozycja ze sprzężeniem, Zestaw wzorów

Zdefiniowane obiekty spełniają podstawowe własności, prawdziwe w dowolnym wymiarze przestrzeni Hilberta i niezależnie od ograniczoności operatorów. W przypadku nieograniczonym również można zdefiniować sprzężenie, ale jest to matematycznie subtelniejsze; wrócimy do tego w następnym temacie o teorii operatorów liniowych. Ponieważ cały świat używa Diraca, własności te stanowią faktycznie algebraiczne reguły rachunku kwantowego i trzeba je koniecznie opanować.

Ta lekcja zbiera wszystkie poznane użyteczne wzory, nawet kosztem powtórzeń, i dodaje kilka nowych. Najpierw podajemy reguły dla dowolnego wymiaru, następnie zestaw dla wymiaru skończonego, gdzie notacja Diraca sprowadza się do jawnego rachunku macierzowego.

1. Reguły rachunku w dowolnym wymiarze

Własności iloczynu skalarnego.

Niech (∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 będą wektorami przestrzeni Hilberta, a (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 skalarami. Iloczyn skalarny spełnia:

  1. Symetria hermitowska:
    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}
    (1)
  2. Antyliniowość z lewej: bra przypisane do λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} to λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi}, czyli:
    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣oraz⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{oraz} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }
    (2)
  3. Liniowość z prawej:
    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}
    (3)
  4. Kombinacje liniowe: poprzednie własności pozwalają rozwijać złożone wyrażenia w zwykły sposób. Na przykład dla wszystkich α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C:
    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }
    (4)
  5. Norma: z definicji
    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}
    (5)
    z równością wtedy i tylko wtedy, gdy ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 jest wektorem zerowym, czasem, choć rzadko, oznaczanym ∣∅⟩\ket{\varnothing}.
Własności sprzężenia.

Powtarzamy dwa wzory definiujące sprzężenie:

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

oraz

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

Pozwala to także wykazać, przez symetrię hermitowską:

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

Własności operatorów sprzężonych.

Dla dowolnych ciągłych operatorów liniowych A^,B^\hat{A}, \hat{B} na H\mathcal{H} i każdego skalara λ∈C\lambda \in \mathbb{C}:

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (antyliniowosˊcˊ)(A^B^)†=B^†A^†,(uwaga na kolejnosˊcˊ)(A^†)†=A^,    (inwolucja).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(antyliniowość)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(uwaga na kolejność)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(inwolucja)}. \end{aligned}
Operator ket-bra.

Bracket jest liczbą, lecz ket-bra jest operatorem, zwanym iloczynem zewnętrznym, bez związku z iloczynem zewnętrznym form różniczkowych. Dwóm wektorom ∣φ⟩\ket{\phi} i ∣ψ⟩\ket{\psi} przypisujemy operator ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} określony przez:

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
Rozkład operatora jednostkowego.

Operator jednostkowy w H\Hilb oznaczamy 1\mathbf{1} i definiujemy przez 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb. W przeliczalnej bazie Hilberta {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I}, gdzie II jest skończony lub przeliczalnie nieskończony, operator jednostkowy 1\mathbf{1} zapisuje się:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

Wzór jest niezwykle użyteczny w praktyce. Nazywa się też rozkładem jedności lub relacją zupełności. Prawa strona jest sumą w wymiarze skończonym albo szeregiem zbieżnym w wymiarze przeliczalnie nieskończonym. W wymiarze nieprzeliczalnym jest fałszywy.

Rozkład hilbertowski.

Poprzedni wzór bezpośrednio odtwarza twierdzenie o rozkładzie z lekcji 1, gdy ψi\psi_i oznacza współrzędną ketu ∣ψ⟩\kpsi wzdłuż ∣ei⟩\ket{e_i}:

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

Jest to suma lub szereg zależnie od wymiaru. Rozkład ketu ma odpowiednik dla bra:

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

Norma wynosi wtedy:

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

Uwaga 1 (Uwaga na kolejność!)
Współrzędne ketu to ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi}, a nie ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i}, co daje ψi∗\psi_i^*. Hermitowski iloczyn skalarny nie jest przemienny, więc kolejność ma znaczenie. W Rn\mathbb{R}^n ze zwykłym euklidesowym iloczynem skalarnym współrzędną viv_i wektora v⃗\vec{v} otrzymujemy przez vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i. Mogłoby to sugerować kwantowy wzór ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i}, ale jest on błędny!
Kilka szczególnych operatorów.

Następny temat szczegółowo przedstawia teorię operatorów liniowych na przestrzeni Hilberta. Zanotujmy już kilka częstych przypadków. Wśród operatorów H→H\Hilb \to \Hilb wyróżniamy:

  1. A^\hat A, hermitowski lub samosprzężony, jeśli A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A},
  2. U^\hat U, unitarny, jeśli U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1},
  3. P^\hat P, projektor, jeśli P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P},
  4. P^\hat P, projektor ortogonalny: projektor samosprzężony.

Operatory unitarne są bijektywne, liniowe i zachowują iloczyn skalarny. Już je znamy: są to izomorfizmy izometryczne, tutaj dokładniej automorfizmy izometryczne, bo rozważamy tylko operatory liniowe z H\Hilb w siebie.

2. Zestaw wzorów w wymiarze skończonym

Jeśli przestrzeń Hilberta ma skończony wymiar nn, możemy bardziej skonkretyzować reguły. Wszystkie wzory z poprzedniej sekcji obowiązują, a sumy zapisujemy jako skończone: ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}.

Po wyborze bazy ortonormalnej B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n notacja Diraca odpowiada jawnemu rachunkowi macierzowemu, który teraz opiszemy. Uwaga: poniższe rozważania nie mają żadnego sensu w wymiarze nieskończonym.

Kety jako wektory kolumnowe.

Kanonicznie reprezentujemy kety bazy B\mathcal{B} przez macierze (n,1)(n,1), czyli wektory kolumnowe:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

Liczba 11 zajmuje ii-tą pozycję. Dzięki rozkładowi algebraicznemu

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

wszystkie kety zapisujemy jako kolumny: dla ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H} piszemy:

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

Bazę B\mathcal{B} tego rozwinięcia będziemy pomijać, chyba że jest potrzebna. Współrzędne otrzymuje się przez rzuty ortogonalne:

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

Bra jako sprzężone wektory wierszowe.

Forma φu\varphi_u przypisana do wektora uu musi spełniać dla każdego wektora vv:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

z antyliniowości hermitowskiego iloczynu skalarnego z lewej. Aby otrzymać tę sumę jako iloczyn macierzowy, ⟨u∣\bra{u} musi być wierszem sprzężonych współrzędnych uu:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

Wówczas iloczyn skalarny ⟨u|v⟩\braket{u}{v} jest zwykłym iloczynem macierzy:

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

Zatem bra ⟨u∣\bra{u} jest sprzężoną transpozycją ketu ∣u⟩\ket{u}. Operacja dagger w wymiarze skończonym sprowadza się więc do sprzężonego transponowania:

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

W wymiarze nieskończonym jest to fałszywe, a nawet pozbawione sensu, gdyż transpozycja nie jest zdefiniowana1.

Uwaga 1: Co najwyżej w ℓ2(N)\ell^2(\N) z bazą kanoniczną opisaną w sekcji 3.2 (Temat 2, Lekcja 1) wiele działa podobnie, jeśli rozważymy nieskończone kolumny lub wiersze i zastąpimy skończone sumy szeregami zbieżnymi. Może to pomóc intuicji, ale ściśle rzecz biorąc nie są to macierze. W L2(R)L^2(\R) nie ma to już żadnego sensu, choć istnieje także odpowiednik całkowy; zob. następna lekcja.
Macierzowa reprezentacja operatorów.

W bazie ortonormalnej {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n w wymiarze skończonym każdy operator liniowy A^\hat{A} rozkłada się:

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

Prowadzi to w wymiarze skończonym do naturalnego utożsamienia operatora liniowego A^\hat{A} z daszkiem i jego macierzy AA bez daszka. Wzór jest odpowiednikiem Diraca dla rozwinięcia macierzowego A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij}, gdzie EijE_{ij} jest macierzą elementarną z 11 na pozycji (i,j)(i,j) i zerami poza nią. Zatem EijE_{ij} reprezentuje operator ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j}. Współczynniki AijA_{ij} nazywamy elementami macierzowymi operatora A^\hat{A} w bazie {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\}. Wynoszą one:

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

Ze względów estetycznych częściej piszemy:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

Operator jednostkowy reprezentuje oczywiście macierz jednostkowa; jego elementy to δij\delta_{ij}, symbol Kroneckera.

Ślad operatora.

Dalej często będziemy rozważać ślad operatora A^\hat{A}. W notacji Diraca oblicza się go przez:

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

Wyrażenie to nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej.

Sprzężenie i sprzężona transpozycja.

W wymiarze skończonym macierz operatora sprzężonego A^†\hat{A}^\dagger jest sprzężoną transpozycją macierzy operatora A^\hat{A}:

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

Krótki dowód pokazuje praktyczne użycie poznanych reguł. Elementy macierzowe A^†\hat{A}^\dagger są z definicji równe:

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

Z definicji sprzężenia:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

Z symetrii hermitowskiej ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*, czyli jest to właśnie element macierzowy Aji∗A_{ji}^*. Zatem:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

Dowodzi to własności. W wymiarze skończonym możemy więc przez jawny rachunek macierzowy sprawdzić, czy operator jest hermitowski, unitarny itd.

3. Źródła

Do tej lekcji nie dodano jeszcze źródeł.