عمومی تعارف اور بنیادی تجربات

1. تعارف

کہیں نہ کہیں سے آغاز کرنا ضروری ہے۔ کوانٹم میکانیات کے بہت سے تعارف ینگ کے دو شگافوں کے تجربے سے، یا سیاہ جسم کی تابکاری اور اسے سمجھانے کے لیے پلانک کے پیش کردہ مفروضے کے تاریخی مطالعے سے شروع ہوتے ہیں (پلانک، 1900)۔

پلانک نے یہ تصور پیش کیا کہ توانائی کا تبادلہ صرف منفصل مقداروں میں ہو سکتا ہے؛ یہی کوانٹا نظریے کے نام کی بنیاد بنے۔ لیکن ان کا طریقہ سمجھنے کے لیے شماریاتی طبیعیات جاننا ضروری ہے، جو ابتدائی طالب علم ہمیشہ نہیں جانتا۔

ینگ کے دو شگافوں کا تجربہ بھی حیرت انگیز ہے۔ اس کی کوانٹم صورت میں، جب ذرات ایک ایک کرکے بھیجے جاتے ہیں، ایسے رویے سامنے آتے ہیں جو کلاسیکی اصطلاحات میں بالکل ناقابل فہم ہیں۔ تاہم مصنف کی رائے میں، کوانٹم نظریے کے اصول جان لینے کے بعد اس تجربے کو سمجھنا کہیں آسان ہے۔ ایک لحاظ سے یہ اکیلا تجربہ نظریے کے کئی عجیب ترین پہلوؤں کو سمیٹتا ہے۔

اس لیے ہم ایک مختلف راستے سے، اشٹرن اور گرلاخ کے تجربے (1922) سے آغاز کریں گے، جس کا موضوع بظاہر زیادہ سادہ اور کلاسیکی طور پر اچھی طرح سمجھا جانے والا جسم ہے: مقناطیسی مومنٹ رکھنے والا ذرہ۔ تاریخی تجربے میں یہ ذرہ چاندی کا ایٹم ہے، اور عارضی طور پر ہمیں صرف یہ ماننا ہے کہ ایسا ایٹم واقعی مقناطیسی مومنٹ رکھتا ہے۔ اسے غیر یکساں مقناطیسی میدان والی جگہ بھیجا جائے تو میکانیات اور برقناطیسیت کے قوانین اس کی راہ کی آسانی سے پیش گوئی کرتے ہیں۔

حاصل شدہ نتائج بھی حیرت انگیز ہیں: وہ کلاسیکی پیش گوئیوں سے بنیادی طور پر مختلف ہیں۔ مسلسل زیادہ پیچیدہ تجربات ترتیب دینے سے کلاسیکی وضاحت ٹوٹ جاتی ہے، اور باری باری کوانٹائزیشن (دیکھیے حصہ 4)، کوانٹم سپرپوزیشن (دیکھیے حصہ 7.2)، اور ایک اور خالص کوانٹم مظہر ظاہر ہوتا ہے جسے ینگ کے شگاف براہ راست ظاہر نہیں کرتے: بعض پیمائشوں کی باہمی ناموافقت (دیکھیے حصہ 6.1)۔

ہم پہلے یاد دلائیں گے کہ مقناطیسی مومنٹ کیا ہے۔ پھر تجربہ اور یہ بیان کریں گے کہ اگر ایٹم عام چھوٹے مقناطیس کی طرح برتاؤ کرتا تو کیا دکھائی دینا چاہیے تھا۔ اس کے بعد حقیقی نتائج پیش کرکے ان کے مضمرات پر گفتگو کریں گے۔

2. کلاسیکی مقناطیسی مومنٹ کی یاد دہانی

2.1. مقناطیسی مومنٹ

مقناطیسی مومنٹ $\vec{\mu}$، یا مقناطیسی دو قطبی، ایک سمتیہ ہے۔ قدرتی مقناطیس کا مقناطیسی مومنٹ تعریف کے مطابق اس کے جنوبی قطب سے شمالی قطب کی طرف ہوتا ہے۔ یہی مقناطیس کے اندر مقناطیسی میدان کی لکیروں کی سمت بھی ہے؛ باہر یہ لکیریں شمالی قطب سے نکل کر جنوبی قطب کی طرف واپس آتی ہیں، دیکھیے شکل 1۔

یہ مومنٹ وہ بنیادی مقدار ہے جو مقناطیس کی طاقت کو مقداری طور پر بیان کرتی ہے۔ مثلاً دو مقناطیسوں کے جنوبی قطب آمنے سامنے ہوں تو ان کے درمیان دفع، مقناطیسی مومنٹوں کے حاصل ضرب اور فاصلے پر منحصر ہوتی ہے۔

لیکن قدرتی مقناطیس بحث آگے بڑھانے کے لیے زیادہ سہل نہیں، کیونکہ فوری طور پر واضح نہیں کہ ان کا مقناطیسی میدان کس سے پیدا ہوتا ہے۔ برقی مقناطیس، یعنی رو کے حلقے، کہیں زیادہ موزوں ہیں۔ ایک مسطح حلقہ جس میں $I$ رو بہتی ہو اور جو $S$ رقبے کو گھیرتا ہو، اس کے لیے ثابت کیا جاتا ہے کہ مقناطیسی مومنٹ $\vec{\mu}=I S\,\vec{n}$ ہے، جہاں $\vec{n}$ حلقے پر عمود اکائی سمتیہ ہے اور اس کی سمت دائیں ہاتھ کے قاعدے سے مقرر ہوتی ہے۔

یہی واحد عبارت ہے جس کی یہاں ضرورت ہوگی۔ یقیناً مقناطیسی مومنٹوں کا نظریہ زیادہ عمومی ہے۔ یہ کسی بھی رو کی تقسیم کا مقناطیسی مومنٹ اس تقسیم پر تکمل سے متعین کرتا ہے۔ حلقے کا فارمولا اس کی ایک خاص صورت ہے۔ اس تشکیل کی مزید تفصیل کے لیے معمول کے درسی متون، مثلاً ^[1] کے باب 5، کی طرف رجوع کریں۔

2.2. مقناطیسی میدان سے تعامل

کلاسیکی میکانیات بیرونی مقناطیسی میدان $\vec B$ میں رکھے گئے مقناطیسی دو قطبی کی تین خصوصیات اخذ کرتی ہے۔

تیسرا فارمولا $\vec{F} = -\grad E_p$ کے ذریعے براہ راست دوسرے سے حاصل ہوتا ہے۔ یہ دکھاتا ہے کہ غیر یکساں میدان میں رکھا گیا مقناطیسی مومنٹ رکھنے والا نظام ایسی خالص قوت محسوس کرتا ہے جو اس کی راہ موڑ دیتی ہے۔ پہلے دو فارمولے رو کی تقسیم پر لگنے والی لاپلاس قوت کے صریح حساب (قوتی مومنٹ کے لیے)، اور اس قوت کے کام (امکانی توانائی کے لیے) سے نکلتے ہیں۔ ہم یہ حساب یہاں نہیں دہراتے؛ مکمل ثبوت کے لیے بالخصوص ^[1] کے حصوں 5.2 اور 5.7 کی طرف رجوع کریں¹۔

تکنیکی تفصیلات سے ہٹ کر خصوصاً یہ یاد رکھیں۔ مساوات (2) کی امکانی توانائی $\vec\mu$ کے $\vec B$ کے متوازی ہونے پر کم ترین، اور مخالف متوازی ہونے پر زیادہ ترین ہوتی ہے: مقناطیسی دو قطبی مساوات (1) کے قوتی مومنٹ کے ذریعے میدان کے ساتھ سیدھ میں آنے کا رجحان رکھتا ہے۔ یہی قطب نما کے کام کا اصول ہے۔ لیکن توانائی کے ضیاع کے بغیر، قوتی مومنٹ اور زاویائی معیار حرکت کے قضیے کی وجہ سے قطب نما کی سوئی شمال کی سمت کے گرد ہمیشہ جھولتی رہتی۔ اگر وہ آخر رک جاتی ہے تو اس لیے کہ گھومنے کے محور پر رگڑ اس جھول کی توانائی ضائع کرتی ہے۔

2.3. جائرو مقناطیسی تناسب اور تقدیمی حرکت

جب مقناطیسی مومنٹ دو قطبی سے متعلق اندرونی زاویائی معیار حرکت کے متناسب ہو، تو یہ حرکت ایک خاص صورت اختیار کرتی ہے۔ اس حالت میں ہم جائرو مقناطیسی تناسب $\gamma$ کو اس تناسب سے متعارف کرتے ہیں:

مساوات (4) جیسا تعلق مثلاً دائرہ نما مدار میں کلاسیکی بار کے مقناطیسی مومنٹ کے لیے آتا ہے۔ واقعی، $m$ کمیت کا بار $q$ جو $R$ رداس کے دائرے پر $v$ رفتار سے چلتا ہے، رو $I=qv/(2\pi R)$ کے برابر ہے۔ اس لیے وہ مقناطیسی مومنٹ پیدا کرتا ہے

اس کلاسیکی مداری ماڈل میں $\gamma=q/(2m)$ ہے۔ زاویائی معیار حرکت کا قضیہ اور مساوات (1) مل کر $\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B$ دیتے ہیں؛ پھر اگر $\gamma$ مستقل ہو تو تقدیمی حرکت کی مساوات ملتی ہے:

یکساں میدان میں اس مساوات کا حل دکھاتا ہے کہ سمتیہ $\vec\mu$ میدان کی سمت کے گرد مخروط بناتا ہے، یعنی لارمور زاویائی تعدد $\omega_L=|\gamma|B$ کے ساتھ تقدیمی حرکت کرتا ہے، دیکھیے شکل 2۔

3. اشٹرن اور گرلاخ کا تجربہ

تجربے کا اصول شکل 3 میں سمیٹا گیا ہے۔ ایک منبع سے غیر باردار ذرات کو غیر یکساں مقناطیسی میدان میں بھیجا جاتا ہے جو دو آمنے سامنے مقناطیس بناتے ہیں۔ آگے رکھا پردہ ٹکراؤ جمع کرتا ہے اور، اگر انحراف ہو، تو اسے ناپنے دیتا ہے۔

3.1. آلاتی ترتیب

مقناطیس۔

بیرونی میدان یکساں ہو تو مساوات (3) کی قوت عین صفر ہے۔ یکساں میدان میں دو قطبی پر صرف قوتی مومنٹ لگتا ہے اور اس کا مرکز کمیت سیدھا چلتا رہتا ہے۔ لہٰذا میدان کا غیر یکساں ہونا ہی تجربے کو دلچسپ بناتا ہے۔

اسے بنانے کے لیے اشٹرن اور گرلاخ آلہ (آلے کا عام نام، یا مختصراً SG) تراشے ہوئے دو مقناطیس استعمال کرتا ہے؛ ایک نوک دار، دوسرا الٹی نوک کے شگاف یا قدرے خمیدہ تہہ والا، دیکھیے شکل 3۔ یہ جیومیٹری میدان کی لکیروں کو اوپر والے مقناطیس کے نوک دار کنارے کی طرف سمیٹتی ہے۔ لکیریں قریب ہوتی ہیں، اس لیے میدان کی نلی میں مقناطیسی بہاؤ کا تحفظ $\mathrm{div} \vec B = 0$ بتاتا ہے کہ میدان اس کنارے کی طرف، یعنی یہاں $z$ کے ساتھ، بڑھتا ہے۔

پہلے مرتبے میں ہم آلے کے اندر میدان کو $\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z$، جہاں $k>0$، لکھنا چاہیں گے، مگر یہ صفر تباعد کی شرط $\mathrm{div} \vec B = 0$ پوری نہیں کرتا۔ اس لیے میدان کا ایک عرضی جزو بھی ضروری ہے۔ کناروں کے اثرات نظرانداز اور $\vec e_x$ کی سمت عدم تغیر فرض کرکے ملتا ہے:

مرتبت کے لحاظ سے عام آلات میں $B_0 \sim 0{,}1$ T ہوتا ہے، اور مقناطیسوں کے درمیان پوری عمودی دوری، جو عموماً چند ملی میٹر ہے، میں $k\Delta z \ll B_0$۔ مقناطیس چند سینٹی میٹر لمبے ہوتے ہیں۔

منبع۔

یہ خلا میں رکھی ایک چھوٹی بھٹی ہے جس میں ٹھوس چاندی ہوتی ہے۔ بلند درجہ حرارت پر بخارات بننے والے ایٹم ایک سوراخ سے نکلتے ہیں، اور کئی باریک شگاف وہ ایٹم چنتے ہیں جن کی سمتی رفتار تقریباً $\vec e_x$ کے متوازی ہے۔ یوں ہم راستا ایٹمی شہتیر ملتا ہے، جس کی عام رفتار چند سو میٹر فی سیکنڈ اور رفتار کی پراگندگی میکسویل-بولٹزمان تقسیم سے آتی ہے۔

یاد رہے کہ برقی طور پر غیر باردار ذرات بھیجے جاتے ہیں تاکہ صرف مقناطیسی دو قطبی اثرات جانچے جائیں۔ باردار ذرات بھیجے جاتے تو ان پر لورنتس قوت $q\,\vec v\wedge\vec B$ بھی لگتی، جس کی مقدار $qvB_0$ ہے، اور وہ یہاں مطلوب قوت $\grad(\vec\mu\cdot\vec B)$ سے کہیں غالب ہوتی۔

پردہ۔

تاریخی تجربے میں چاندی کے ایٹم پردے پر بتدریج جمع ہوکر نظر آنے والا نشان بناتے تھے۔ جدید تجربے میں بہاؤ اتنا کم کیا جا سکتا ہے کہ ٹکراؤ ایک ایک کرکے درج ہوں۔ یہ امکان آگے اہم ہوگا، اور ہم اس پر واپس آئیں گے۔

3.2. کلاسیکی میکانیات کی پیش گوئی

مساوات (7) کے میدان میں ایک غیر باردار ذرہ بھیجیں جس کا مقناطیسی مومنٹ $\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z$ ہے۔ مساوات 3 دیتی ہے

لہٰذا دو قطبی صرف $z$ نہیں، $y$ کی سمت بھی منحرف ہوتا ہے۔ جو قاری اشٹرن اور گرلاخ کا تجربہ پہلے کہیں دیکھ چکا ہو وہ شاید حیران ہو، کیونکہ بہت سے درسی نوٹس صرف $z$ محور پر ہونے والی بات بیان کرتے ہیں۔ درحقیقت مساوات (8) کی دونوں حدیں ابتدا میں یکساں کردار رکھتی ہیں۔

$y$ محور پر ہونے والی حرکت کو نظرانداز کرنے کی وجہ تقدیمی حرکت ہے، اور یہاں ایک اہم مفروضہ ضروری ہے جسے بعد میں درست ثابت کریں گے۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ ایٹم کا مقناطیسی مومنٹ اس کے اندرونی زاویائی معیار حرکت $\vec L$ کے متناسب ہے۔

اس مفروضے کے تحت، اور چونکہ مستقل میدان $B_0\vec e_z$ تصحیحوں $kz\,\vec e_z$ اور $-ky\,\vec e_y$ سے بہت بڑا ہے، مقناطیسی مومنٹ پہلے مرتبے میں $\vec e_z$ کے گرد زاویائی تعدد $\omega_p = |\gamma| B_0$ سے تقدیمی حرکت کرتا ہے، جہاں $\gamma$ اس کا جائرو مقناطیسی تناسب ہے۔ اس حرکت میں جزو $\mu_z$ مستقل رہتا ہے جبکہ $\mu_y$ صفر کے گرد جھولتا ہے۔

مگر یہ تقدیمی حرکت تیز ہے۔ اوپر کے فارمولے ایٹمی دنیا میں بظاہر مناسب مرتبتیں دیتے ہیں۔ بنیادی بار اور الیکٹران کی کمیت استعمال کرنے سے $\gamma = \mathcal{O}(q/2m)$، $\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI$ بن جاتا ہے²۔ $B_0\approx0{,}1$ T سے $\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ ملتا ہے۔ دوسری جانب، مقناطیس میں پرواز کا وقت $T=\ell/v_x$ ہے، یعنی چند سینٹی میٹر $\ell$ اور $v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ کے لیے تقریباً $10^{-4}$ s۔ یوں مقناطیسی مومنٹ گزرتے ہوئے چند لاکھ چکر مکمل کرتا ہے۔ اس لیے $y$ کی سمت قوت کا اوسط نہایت عمدہ صحت سے صفر ہوتا ہے۔

لہٰذا اس ماڈل میں اوسطاً واحد متعلقہ قوت $\langle F_z\rangle=k\mu_z$ ہے۔ اس سے فوراً نکلتا ہے کہ پردے پر آخری انحراف $\mu_z$ کے متناسب ہونا چاہیے۔ اب صرف ابتدائی حالات پوچھنا باقی ہے۔ ایٹم بھٹی، یعنی حرارتی غسل، سے نکلتے ہیں جہاں خلا کی کوئی سمت ترجیحی نہیں۔ SG کے داخلے پر مقناطیسی مومنٹوں کی سمتیں بے ترتیب ہونی چاہییں، اور ان کا عمودی جزو $\mu_z$، $-\mu$ اور $+\mu$ کے درمیان تمام قدریں مسلسل اور یکساں تقسیم کے ساتھ لیتا ہے۔

اب کلاسیکی پیش گوئی غیر مبہم ہے: $z$ محور کے ساتھ ٹکراؤ کی مسلسل پٹی دکھائی دینی چاہیے (رفتار کی پراگندگی کے باعث ضروری نہیں کہ کثافت یکساں ہو)۔

4. تجرباتی نتائج

ایسا مشاہدہ نہیں ہوتا۔ انحراف واقعی صرف $z$ کی سمت ہوتا ہے، جو $y$ کی سمت قوت کے اوسط کے صفر ہونے سے مطابقت رکھتا ہے، مگر پردے پر مسلسل پٹی نہیں بنتی: ابتدائی محور کے لحاظ سے متناظر دو دھبے نظر آتے ہیں جن کے درمیان خالی علاقہ ہوتا ہے۔

4.1. $\mu_0$ کی پیمائش

دو دھبوں کی عین جگہ سے $\mu_0$ کی قدر کا تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ مقناطیس میں میلان $k=\partial B_z/\partial z$ اور طولی رفتار $v_x$ کو تقریباً مستقل فرض کریں تو ایٹم مدت $T=\ell/v_x$ کے دوران عرضی اسراع محسوس کرتا ہے

جس کا سادہ تکمل لینے کے بعد راہ کو سیدھی لکیر میں پردے تک بڑھایا جاتا ہے۔ تجربے کے جیومیٹریائی پیرامیٹر ملحوظ رکھ کر اوٹو اشٹرن اور والٹر گرلاخ چاندی کے ایٹموں کے لیے اس کی قدر ناپ سکے، اور انہیں بوہر میگنیٹون کی قدر ملی

یہ پیمائش مفروضے 4 کی طرف واپس آنے کا موقع دیتی ہے۔ تاہم اس سے براہ راست $\gamma$ نہیں ملتا، کیونکہ یہ مقناطیسی مومنٹ کو ناپتی ہے، اس سے وابستہ ممکنہ زاویائی معیار حرکت $L$ کو نہیں۔ ہم صرف مرتبت کی جانچ کر سکتے ہیں: ایٹمی زاویائی معیار حرکت کا قدرتی پیمانہ $\hbar$ ہے، اور اگر $L\sim\hbar$ لکھیں تو $|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)$۔ یوں پہلے فرض کی گئی مرتبت اور $10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ کی مرتبت کا تقدیمی زاویائی تعدد دوبارہ ملتے ہیں، جو $y$ کی سمت انحراف کے مشاہدہ نہ ہونے سے مطابقت رکھتے ہیں۔

4.2. کلاسیکی میکانیات کا مسئلہ

تجربہ ایک ایسا مظہر ظاہر کرتا ہے جو کلاسیکی میکانیات سے اجنبی ہے: کسی معین محور کی سمت مقناطیسی مومنٹ کا جزو مسلسل نہیں بدلتا بلکہ کوانٹائزڈ ہوتا ہے۔

یہ مان لینے کے باوجود کہ چاندی کے ایٹم کا مقناطیسی مومنٹ ہے، یہ سمجھانا باقی ہے کہ حرارتی غسل سے آنے والی من مانی ابتدائی سمتیں عین دو شہتیروں تک کیسے پہنچتی ہیں۔ آئیے دو کلاسیکی طریقوں کا جائزہ لیں جو اس نتیجے کی وضاحت کر سکتے ہوں۔

کیا مقناطیس کے اندر میدان مومنٹوں کو اپنی سیدھ میں لا سکتا ہے؟ توانائی کے ضیاع کے بغیر، ہم دیکھ چکے ہیں کہ مقناطیسی قوتی مومنٹ دو قطبی کو میدان کے ساتھ اس کا زاویہ برقرار رکھتے ہوئے تقدیمی حرکت دیتا ہے۔ لہٰذا وہ اسے نہ $+\vec B$ کے ساتھ سیدھ میں لاتا ہے، نہ $-\vec B$ کے ساتھ۔ لیکن کیا ہر قسم کے ضیاع کو نظرانداز کیا جا سکتا ہے؟ برقناطیسی نظریہ واقعی پیش گوئی کرتا ہے کہ تقدیمی حرکت کرتا مومنٹ تابکاری خارج کرتا ہے³۔ تاہم یہ ضیاع قابل نظرانداز ہے: نتائج کی اشاعت کے کچھ ہی عرصے بعد آئن سٹائن نے اس کا حساب لگایا اور تخمینہ دیا کہ استرخا میں ایک صدی سے زیادہ وقت لگے گا، جبکہ مقناطیس سے گزرنے کا وقت تقریباً $10^{-4}$ s ہے ^[3]۔ اور اگر یہ عمل کافی تیز بھی ہوتا تو مومنٹوں کو میدان کے متوازی، کم ترین توانائی کی سمت لے جاتا: تب دو کے بجائے صرف ایک دھبہ دکھائی دیتا۔

کیا کناروں کے میدان دو دھبوں کی وضاحت کر سکتے ہیں؟ مقناطیس کے داخلے اور اخراج پر میدان کی سمت اور شدت بدلتی ہیں اور تقدیمی حرکت کو پیچیدہ بنا سکتی ہیں۔ تاہم یہ اثرات مقناطیسوں کی عین جیومیٹری اور عمومی تجرباتی ترتیب پر منحصر ہیں، اس لیے انہیں ایک تجربے سے دوسرے میں بدلنا چاہیے۔ لیکن دو شہتیروں میں تقسیم اس پر منحصر نہیں۔ مزید یہ کہ اس کلاسیکی ماڈل میں میکانیات کے قوانین اور میکسویل کی مساوات کے تحت ارتقا ابتدائی سمت کا مسلسل تفاعل ہے: وہ ابتدائی سمتوں کے تسلسل کو صرف دو خروجی قدروں میں تبدیل نہیں کر سکتا۔

4.3. اتفاقیت کا ظہور

تجربے کی ایک جدید صورت میں بہاؤ اتنا کم کیا جا سکتا ہے کہ ایٹم آلے سے ایک ایک کرکے گزریں۔ ہر ایٹم دونوں دھبوں میں سے کسی ایک میں صرف ایک ٹکراؤ پیدا کرتا ہے۔ ٹکراؤ جمع ہوتے جاتے ہیں تو یہ دھبے بتدریج ابھرتے ہیں۔

یہ اتفاقی کردار ابھی بنیادی اتفاقیت کا وجود ثابت کرنے کے لیے کافی نہیں: ایٹم بھٹی سے نکلتے ہیں اور ان کے ابتدائی حالات ایک ایٹم سے دوسرے میں بدلتے ہیں۔ لہٰذا پیش گوئی نہ کر سکنے کو ابھی ان حالات سے ہماری ناواقفیت سے منسوب کیا جا سکتا ہے۔ جب ہم شہتیر کی تیاری کو بہتر طور پر قابو کریں گے تو یہ سوال زیادہ اہم ہو جائے گا۔

5. یکے بعد دیگرے کئی اشٹرن اور گرلاخ آلات

کئی SG آلات کو سلسلے میں ملانے والے تجربات تیاری اور احتمالات کے کردار کو واضح کریں گے، اور پھر بعض پیمائشوں کی باہمی ناموافقت ظاہر کریں گے۔

5.1. شہتیر کی تیاری

آلے $\mathrm{SG}_z$ سے نکلتے وقت شہتیر دو شاخوں میں تقسیم ہوتا ہے۔ مثبت نتیجے کی شاخ کو $z+$ اور منفی نتیجے کی شاخ کو $z-$ کہیں گے۔

ایک شاخ میں رکاوٹ رکھ کر صرف دوسری برقرار رکھی جا سکتی ہے۔ اگر $z-$ کو مسدود کریں تو تجربے میں آگے جانے والے تمام ایٹموں نے پہلے آلے میں $z+$ نتیجہ دیا ہوگا۔ یوں آلہ صرف پیمائش نہیں کرتا: وہ اگلے تجربے کے لیے ایک معین شہتیر تیار بھی کرتا ہے۔

اس طرح حاصل شدہ تیاری کو $\ket{z+}$ لکھیں گے۔ اس مرحلے پر اس علامت کا مطلب صرف یہ ہے: «وہ ایٹم جو ابھی $\mathrm{SG}_z$ تجزیہ کار کی $z+$ شاخ سے نکلا ہے»۔ اس علامت سے وابستہ ریاضیاتی ساخت بتدریج سامنے آئے گی۔

5.2. ایک ہی محور پر نتیجے کی تکرار

پہلے آلے کے بعد دوسرا $\mathrm{SG}_z$ رکھیں اور پہلے کی صرف $z+$ شاخ برقرار رکھیں، دیکھیے شکل 5۔ تجرباتی طور پر دیکھا جاتا ہے کہ دوسرا آلہ تب $z+$ شاخ میں صرف ایک دھبہ پیدا کرتا ہے۔ $z-$ شاخ خالی ہوتی ہے۔

کلاسیکی تصویر یہاں کوئی مسئلہ نہیں پیدا کرتی۔ اگر پہلا آلہ $\mu_z$ کی ایک قدر منتخب کرتا یا مومنٹوں کو $z$ کی سمت سیدھ میں لاتا، اور اس کے بعد کوئی چیز ان کے جزو $\mu_z$ کو نہ بدلتی، تو دوسرے آلے کو تمام منتخب ایٹموں کے لیے وہی انحراف دوبارہ دینا چاہیے تھا۔ لہٰذا یہ نتیجہ محض چھانٹی کی تصویر سے مطابقت رکھتا ہے۔

5.3. دو مختلف محور

لیکن اب دوسرے آلے کی جگہ $\mathrm{SG}_x$ رکھیں، جس کا تجزیاتی محور پہلے کے محور پر عمود ہے، دیکھیے شکل 6۔ پھر دو دھبے برابر تناسب میں نظر آتے ہیں۔

دو کلاسیکی تعبیریں ممکن ہیں۔ اگر پہلے آلے نے $\vec\mu$ کو مکمل طور پر $z$ کی سمت کر دیا ہو، تو $\mu_x=0$ ہے: دوسرے آلے کو ایک مرکزی دھبہ پیدا کرنا چاہیے۔ اگر اس نے دوسرے اجزا طے کیے بغیر صرف $\mu_z$ کی مثبت قدریں منتخب کی ہوں، تو $\mu_x$ کی تقسیم مسلسل رہتی ہے: ایک مسلسل پٹی نظر آنی چاہیے۔ ان دونوں تعبیروں میں سے کوئی بھی مشاہدہ شدہ دو دھبوں کی پیش گوئی نہیں کرتی۔

دوبارہ اس صورت پر آئیں جب ایٹم ایک ایک کرکے بھیجے جائیں۔ ہر ایٹم $x+$ یا $x-$ شاخ میں ایک ٹکراؤ پیدا کرتا ہے؛ بہت سے ایٹموں کے لیے دونوں نتائج برابر تناسب میں آتے ہیں۔ تاہم $\mathrm{SG}_x$ میں داخل ہونے والے شہتیر کی تیاری، بھٹی سے براہ راست نکلنے والے شہتیر کی نسبت بہتر قابو میں ہے: اس کے تمام ایٹم پہلے آلے کی $z+$ شاخ میں منتخب ہوئے ہیں۔ جیسا کہ ہم ابھی دیکھ چکے ہیں، ان کی تیاری $\ket{z+}$، $z$ کی سمت نئی پیمائش میں یقینی نتیجے کی ضمانت بھی دیتی ہے۔

اس کے باوجود یہ تیاری پیش گوئی نہیں کرنے دیتی کہ $x$ کی سمت پیمائش میں ٹکراؤ کس شاخ میں ہوگا۔ بھٹی سے نکلتے وقت کی محض بے ترتیبی کا استدلال اب کافی نہیں: ایک ہی تیاری ایک پیمائش کو یقینی بناتی ہے مگر دوسری کو اتفاقی چھوڑتی ہے۔ کوانٹم میکانیات میں احتمالات کا کردار زیادہ واضح ہوتا ہے۔

6. یکے بعد دیگرے تین SG آلات

6.1. ZXZ: چھاننا تیاری کو بدل دیتا ہے

اب سلسلہ $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z$ دیکھیں، دیکھیے شکل 7۔ پہلے آلے کے بعد صرف $z+$ رکھتے ہیں۔ دوسرے کے بعد صرف $x+$ رکھتے ہیں۔ آخر میں اس نئے شہتیر کا $z$ کی سمت تجزیہ کرتے ہیں۔

کلاسیکی طور پر مقناطیسی مومنٹ کے SG محور کی مکمل سیدھ میں آنے کا مفروضہ ہم پہلے ہی رد کر چکے ہیں، کیونکہ وہ دوسرے آلے میں ایک مرکزی دھبہ بتاتا، اور انتخاب کے لیے کوئی $x+$ شاخ نہ ہوتی۔ اگر اب محض چھانٹی کی تصویر برقرار رکھیں، تو پہلا آلہ $\mu_z$ کی ایک مثبت قدر منتخب کرتا ہے، اور دوسرا $\mu_z$ کو بدلے بغیر ایٹموں کو $\mu_x$ کے مطابق چھانٹتا ہے۔ تیسرے آلے کو تب صرف $z+$ شاخ دوبارہ دینی چاہیے۔ لیکن $z-$ شاخ دوبارہ ظاہر ہوتی ہے۔

لہٰذا $x$ کی سمت چھاننے نے تیاری بدل دی ہے۔ $x+$ منتخب کرنے کے بعد، پہلے کا نتیجہ $z+$ اب $z$ کی نئی پیمائش کی یقینی پیش گوئی نہیں کرنے دیتا۔ یوں لگتا ہے کہ دوسرے آلے نے خود حالت کو بدل دیا ہے۔

کبھی اس بات کو یوں سمیٹا جاتا ہے کہ «$x$ ناپنا $z$ کی معلومات کو مٹا دیتا ہے»۔ یہ جملہ مفید ہے، بشرطیکہ یاد رہے کہ یہاں کوئی بات اس پر منحصر نہیں کہ تجربہ کرنے والا کیا جانتا یا دیکھتا ہے۔ $x+$ فلٹر نے طبیعی طور پر نئی حالت $\ket{x+}$ تیار کی ہے، اور یہ حالت $z+$ اور $z-$ دونوں نتائج برابر احتمالات سے دیتی ہے۔

6.2. ZYZ: وہی احتمالات، مختلف تیاری

آخر میں درمیانی $x$ تجزیہ کار کی جگہ $y$ تجزیہ کار رکھیں، اور اب بھی صرف اس کی مثبت شاخ برقرار رکھیں۔ سلسلہ $\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z$ آخری پیمائش میں پھر دو برابر احتمال والے نتائج دیتا ہے۔ یہ نتیجہ $z$ پر عمود ہر درمیانی محور تک عمومی ہوتا ہے: مستوی $(x,y)$ میں سمت $\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y$ کے لیے $u+$ شاخ منتخب کرنا بھی $z$ کی سمت آخری پیمائش میں دو برابر احتمال والے نتائج دیتا ہے۔

تاہم اس کا مطلب یہ نہیں کہ تیاریاں $\ket{x+}$، $\ket{y+}$ یا $\ket{u+}$ سب یکساں ہیں۔ $x$ کی سمت تجزیہ ان میں فرق ظاہر کرے گا: پہلی کے لیے یقینی طور پر $x+$ ملے گا، دوسری کے لیے برابر تناسب سے $x+$ یا $x-$، اور تجربہ دکھاتا ہے کہ تیسری کے لیے دونوں نتائج کے احتمالات $\varphi$ پر منحصر ہیں۔ لہٰذا دو تیاریاں طبیعی طور پر مختلف ہوتے ہوئے بھی ایک پیمائش کے لیے یکساں احتمالات دے سکتی ہیں۔

7. ابھرتا ہوا ریاضیاتی ڈھانچہ

ہم یہ دعویٰ نہیں کریں گے کہ صرف ان تجربات سے پورا کوانٹم ریاضیاتی ڈھانچہ اخذ ہو جاتا ہے۔ تاہم کلاسیکی وضاحت کی ناکامی اپنی اصطلاحات پر نظرثانی کا تقاضا کرتی ہے اور حالتوں کی نمائندگی کا نیا طریقہ سجھاتی ہے۔

7.1. حالت قدروں کی فہرست نہیں

تیاری $\ket{z+}$ کو محض یہ کہنے تک محدود نہیں کیا جا سکتا کہ «$\mu_z=+\mu_0$ ہے، جبکہ $\mu_x$ اور $\mu_y$ کی نامعلوم مگر پہلے سے طے شدہ قدریں ہیں» جنہیں آلات صرف ظاہر کرتے ہیں۔ اس محض چھانٹی کی تصویر میں سلسلہ $Z\!X\!Z$ دوبارہ $100\,\%$ نتائج $z+$ دیتا، جو حقیقت نہیں۔ پھر حالت کو پہلے سے موجود قدروں کی فہرست کے بجائے کس طرح ظاہر کیا جائے؟

7.2. کوانٹم سپرپوزیشن کی طرف

کوانٹم ریاضیاتی ڈھانچے کی بڑی نئی بات یہ ہے کہ خود حالت ان معلومات کو سمیٹتی ہے جن سے پیمائش کے نتائج کے احتمالات نکالے جاتے ہیں۔

تیاری $\ket{x+}$، $x$ کی سمت یقینی نتیجہ دیتی ہے، لیکن $z$ کی سمت دو برابر احتمال والے نتائج۔ اس صورت کو بیان کرنے کے لیے کوانٹم ریاضیاتی ڈھانچہ $\ket{x+}$ کو دونوں حالتوں $\ket{z+}$ اور $\ket{z-}$ کی سپرپوزیشن کے طور پر لکھتا ہے:

عددی سر، یعنی یہاں ہر حد کے سامنے $1/\sqrt{2}$، ایمپلی ٹیوڈ کہلاتے ہیں: ان کی مطلق مقداروں کے مربع $z$ کی سمت نتائج کے احتمالات دیتے ہیں، یہاں ہر ایک کے لیے $1/2$۔ $\ket{x+}$ میں تیار کیے گئے تمام ایٹم ایک ہی حالت رکھتے ہیں، جسے یہ خطی امتزاج ظاہر کرتا ہے۔ یہ ایسا شماریاتی آمیزہ نہیں جس میں کچھ ایٹم $\ket{z+}$ اور باقی $\ket{z-}$ میں ہوں۔

ہم صرف یہاں پیش کردہ نتائج سے یہ ساخت پوری طرح اخذ نہیں کر سکتے۔ اگلے سبق کے تداخلی تجربات اس کے لیے مزید جواز فراہم کریں گے۔ بالآخر اسے ایک بنیادی مفروضے کے طور پر قبول کرنا ہوگا۔

7.3. ایک مختلط سمتی فضا

ZYZ اور زیادہ عمومی طور پر ZUZ کی صورتیں یہ سوال اٹھاتی ہیں: تیاریاں $\ket{y+}$ یا $\ket{u+}$ بھی $z$ کی سمت $50/50$ دیتی ہیں، مگر جب $\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}$ ہو تو $\ket{x+}$ سے مختلف ہوتی ہیں۔ لہٰذا اساس $\ket{z+},\ket{z-}$ میں ان کے دونوں ایمپلی ٹیوڈ کی مطلق مقدار $1/\sqrt2$ ہونی چاہیے۔ اگر ایمپلی ٹیوڈ حقیقی ہوتے تو علامتوں $\pm1/\sqrt2$ کے صرف چار انتخاب باقی رہتے: یہ محدود امکانات تیاریوں $\ket{u+}$ کے مسلسل تنوع کی نمائندگی کے لیے کافی نہ ہوتے۔

لہٰذا کوانٹم ریاضیاتی ڈھانچہ مختلط ایمپلی ٹیوڈ استعمال کرتا ہے، جن کے فیز مطلق مقدار بدلے بغیر بدل سکتے ہیں۔ مثلاً آگے ہم یوں لکھیں گے:

اور زیادہ عمومی طور پر ہر زاویے $\varphi$ کے لیے $\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)$۔ تب حالتیں مختلف ہیں، مگر $z$ کی سمت احتمالات اب بھی $1/2$ ہیں۔ ان خطی امتزاجوں کو سنجیدگی سے لینا ہمیں حالتوں کو ایک تجریدی مختلط سمتی فضا میں سمتیوں کے ذریعے ظاہر کرنے کی طرف لے جاتا ہے۔ «تجریدی» لفظ یاد دلاتا ہے کہ ان کے عددی سر احتمال کے ایمپلی ٹیوڈ ہیں، کسی کلاسیکی مقناطیسی مومنٹ کے مکانی اجزا نہیں۔ حالت کی تیاری کو زیادہ عمومی طور پر یوں لکھا جا سکے گا

ایمپلی ٹیوڈ اور پھر ان کی مطلق مقداروں کے مربع حاصل کرنے کے لیے حالت کو ممکنہ نتائج سے وابستہ حالتوں پر اسقاط کرنا ہوگا۔ ان اجزا کو حاصل کرنے کا آسان ترین طریقہ اندرونی ضرب استعمال کرنا ہوگا۔ یہی ایک نورم بھی متعین کرے گا، جس کے لیے یہاں

یوں نورم کا مربع ممکنہ نتائج کے احتمالات کے مجموعے کے برابر ہے: یہ مجموعہ ایک ہونا چاہیے، اس لیے حالت کو اکائی نورم کے سمتیے سے ظاہر کیا جائے گا۔

ابھرتے ہوئے ریاضیاتی ڈھانچے میں حالتیں ایک مختلط ہلبرٹ فضا کے سمتیے ہوں گی، یعنی ایسی فضا جس میں احتمالات نکالنے کے لیے اندرونی ضرب ہو۔ اس کی خطی ساخت ایمپلی ٹیوڈ جمع کرنے دیتی ہے اور کوانٹم سپرپوزیشن کے اصول کو ظاہر کرتی ہے۔ ان سب باتوں کا موضوع 2 میں تفصیل سے مطالعہ ہوگا۔

8. مزید مطالعے کے لیے

ان تجربات کے ایک صدی بعد ہم زیادہ واضح طور پر بتا سکتے ہیں کہ وہ دراصل کیا ناپتے ہیں۔ اشٹرن اور گرلاخ کے بعد بتدریج سمجھ آیا کہ چاندی کے ایٹم میں ناپا جانے والا مقناطیسی مومنٹ بنیادی طور پر ایک غیر جوڑا بند الیکٹران کے سپن سے متعلق ہے۔ یہ سپن اندرونی زاویائی معیار حرکت ہے، جو الیکٹران کے مداری زاویائی معیار حرکت سے مختلف ہے۔ الیکٹران سپن $1/2$ کا ذرہ ہے: کسی محور پر اس کے سپن کے اسقاط کی پیمائش دو ممکنہ قدریں دیتی ہے، $S_z=\pm\hbar/2$۔

اس سپن زاویائی معیار حرکت سے ایک مقناطیسی مومنٹ وابستہ ہے جو سپن کے متناسب ہے:

جہاں $e$ بنیادی بار کی مثبت قدر اور $\gamma_s$ الیکٹران کا جائرو مقناطیسی تناسب ہے۔ منفی علامت الیکٹران کے منفی بار سے متعلق ہے: اس کا مقناطیسی مومنٹ اس کے سپن کی مخالف سمت میں ہے۔ لہٰذا اس کے جزو کی دو قابل پیمائش قدریں $\mu_{s,z}=\pm\mu_B$ ہیں، جہاں $\mu_B=e\hbar/(2m_e)$۔ سپن اور مقناطیسی مومنٹ دو الگ مقداریں ہیں جو ایک دوسرے کے متناسب ہیں۔

ایٹم میں الیکٹران کے مداری زاویائی معیار حرکت کو بھی ملحوظ رکھنا پڑتا ہے، جس سے ایک اور مقناطیسی مومنٹ وابستہ ہوتا ہے۔ ہائیڈروجن ایک سادہ مثال ہے: اس کا اکیلا الیکٹران سپن بھی رکھتا ہے اور مداری حالت بھی۔ بنیادی حالت $1s$ میں مداری زاویائی معیار حرکت صفر ہے؛ لہٰذا ایٹم کے مقناطیسی مومنٹ میں الیکٹران کا حصہ سپن سے آتا ہے۔ ہائیڈروجن پر اشٹرن اور گرلاخ کا تجربہ فپس اور ٹیلر نے 1927 میں کیا۔

چاندی کے ایٹم میں زیادہ الیکٹران ہیں، مگر اس کی الیکٹرانی ترتیب $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1$ صورت حال کو اسی اصول پر لے آتی ہے۔ دکھایا جا سکتا ہے کہ مکمل خولوں میں مداری اور سپن کے حصے ایک دوسرے کو منسوخ کرتے ہیں۔ تب الیکٹران $5s$ باقی رہتا ہے، جس کا مداری زاویائی معیار حرکت بنیادی حالت میں صفر اور سپن $1/2$ ہے۔ لہٰذا تاریخی تجربے نے اسی کے سپن مقناطیسی مومنٹ کو ظاہر کیا۔

9. حوالہ جات