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总论与奠基性实验

几个否定经典力学普遍适用性的历史实验。

斯特恩–盖拉赫实验

通过斯特恩–盖拉赫实验介绍自旋、磁矩以及实验中观察到的量子化。

自旋磁矩斯特恩–盖拉赫拉莫尔进动量子化量子测量自旋分量原子束非均匀磁场态投影

1. 引言

总得从某处开始。许多量子力学教材以杨氏双缝实验开篇，或从黑体辐射及普朗克为解释它而提出的假设的历史讲起（Planck，1900）。

普朗克提出，能量只能以离散的份额交换；这些“量子”后来成为这门理论名称的来源。但要理解他的思路，需要具备统计物理知识，而初学者未必已经学过。

杨氏双缝实验则十分引人注目。在逐个发射粒子的量子版本中，它展现出经典观点完全无法理解的行为。不过，作者认为，在掌握量子理论的原理之后，回过头来理解这个实验会容易得多。某种意义上，它在一个实验中浓缩了理论中多个最奇特的方面。

因此，我们换一个起点，从斯特恩和盖拉赫于1922年进行的实验开始。它研究的对象看似简单，而且经典物理对它已有充分认识：一个具有磁矩的粒子。在历史上的实验中，这个粒子是银原子；我们暂时只需接受一点，即这种原子确实具有磁矩。把它送入非均匀磁场区域后，力学和电磁学定律很容易给出对其轨迹的预测。

实验结果同样令人震惊：它们与经典预测截然不同。随着实验逐步串联、变得更加精细，经典描述逐渐崩溃；我们将依次看到量子化现象（见第4节）、量子叠加（见第7.2节），以及另一种双缝实验未直接展示的纯量子现象：某些测量之间的不相容性（见第6.1节）。

我们先回顾磁矩的概念，再介绍实验以及当原子像普通小磁铁那样运动时应该观察到什么，最后给出实际结果并讨论其含义。

2. 经典磁矩回顾

2.1. 磁矩

磁矩μ⃗\vec{\mu}，也称磁偶极矩，是一个矢量。天然磁铁具有磁矩，按定义其方向由磁铁的南极指向北极。这也正是磁铁内部磁力线的方向；在磁铁外部，磁力线从北极出发，返回南极，见图 1。

磁矩是定量描述磁铁强弱的基本物理量。例如，两个南极相对的磁铁之间的排斥力取决于两者磁矩的乘积及其距离。

天然磁铁：磁力线和磁极。图中未画出磁矩 ；它沿水平方向指向右侧，即由南极指向北极。
图 1. 天然磁铁：磁力线和磁极。图中未画出磁矩μ⃗\vec{\mu}；它沿水平方向指向右侧，即由南极指向北极。

不过，用天然磁铁继续讨论并不方便，因为其磁场的来源并非一目了然。更方便的是电磁铁，也就是电流回路。对于面积为SS、通有电流II的平面线圈，可以证明其磁矩为μ⃗=IS n⃗\vec{\mu}=I S\,\vec{n}，其中n⃗\vec{n}是线圈平面的单位法向量，方向由右手定则确定。

这是我们在这里唯一需要的表达式。当然，磁矩理论更为一般：任意电流分布的磁矩由对该分布的积分定义。线圈公式只是一个特例。关于这一构造，可参阅[1]第5章。

2.2. 与磁场的耦合

经典力学给出了置于外磁场B⃗\vec B中的磁偶极子的三个性质。

命题 1 (磁偶极子：公式汇总)
置于外磁场B⃗\vec B中的磁偶极子μ⃗\vec\mu：
  1. 受到力矩

    τ⃗=μ⃗∧B⃗\boxed{\vec\tau=\vec\mu\wedge\vec B }
    (1)

  2. 具有势能

    Ep=−μ⃗⋅B⃗\boxed{E_p=-\vec{\mu}\cdot\vec B }
    (2)

  3. 其质心受到力

    F⃗=∇⃗(μ⃗⋅B⃗)\boxed{\vec F=\grad\left(\vec\mu\cdot\vec B\right)}
    (3)

    当B⃗\vec{B}均匀，即在空间中为常量时，此力为零。

第三个公式由第二个公式通过F⃗=−∇⃗Ep\vec{F} = -\grad E_p直接得到。它表明，具有磁矩的系统在非均匀磁场中会受到使其轨迹偏转的净力。前两个公式分别来自对电流分布所受安培力的显式计算，以及该力所做功的计算；这里不再推导，完整证明尤其可参阅[1]第5.2和5.7节1。

注释 1: 这些公式假定电流分布是稳恒的。如果电流随时间变化，麦克斯韦方程中E⃗\vec E与B⃗\vec B的耦合会改变这些表达式，使它们复杂得多。此处无需考虑这种情况，因为斯特恩—盖拉赫装置的磁场是静态的。

撇开技术细节，主要应记住以下事实。式 (2)中的势能在μ⃗\vec\mu与B⃗\vec B平行时最小，在反平行时最大：磁偶极子在式 (1)的力矩作用下具有沿磁场取向的趋势。这就是指南针的工作原理。但要注意，若没有耗散，根据力矩和角动量定理，指南针只会绕北向无休止地振荡。它之所以最终静止，是因为转轴上的摩擦耗散了振荡能量。

2.3. 旋磁比与进动

当磁矩正比于偶极子所具有的内禀角动量时，这种运动具有特殊形式。此时通过比例关系引入旋磁比γ\gamma：

μ⃗=γL⃗\boxed{\vec\mu=\gamma \vec L}
(4)

例如，沿圆形轨道运动的经典电荷的磁矩就满足式 (4)。事实上，质量为mm、电荷量为qq的粒子以速率vv沿半径为RR的圆周运动，等效于电流I=qv/(2πR)I=qv/(2\pi R)。因此，它产生的磁矩为

μ=IπR2=q2mmRv=q2mL.\mu=I\pi R^2=\frac{q}{2m}mRv=\frac{q}{2m}L.

(5)

在这个经典轨道模型中，γ=q/(2m)\gamma=q/(2m)。角动量定理与式 (1)共同给出dL⃗dt=τ⃗=μ⃗∧B⃗\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B；如果γ\gamma为常量，便得到进动方程：

dμ⃗dt=γμ⃗∧B⃗\boxed{\frac{d\vec\mu}{dt}=\gamma \vec\mu\wedge\vec B}
(6)

在均匀场中，该方程的解表明，矢量μ⃗\vec\mu绕磁场方向描出一个圆锥，也就是以拉莫尔角频率ωL=∣γ∣B\omega_L=|\gamma|B进动，见图 2。

Figure
Figure
图 2
重要
在非均匀磁场中，偶极子的质心受到使轨迹偏转的力，同时偶极子自身绕磁场进动。这两种效应对理解斯特恩—盖拉赫实验都至关重要。

3. 斯特恩—盖拉赫实验

图 3概括了实验原理。从粒子源发出的中性粒子进入由两个相对磁铁产生的非均匀磁场。更远处的屏幕收集粒子的撞击，并在存在偏转时测量偏转量。

斯特恩—盖拉赫实验示意图及本章使用的坐标约定。粒子束沿 e_x传播，磁场梯度沿 e_z方向，探测屏垂直于 e_x。本图据文献~ sahoo2022classicality的图1转载。
图 3. 斯特恩—盖拉赫实验示意图及本章使用的坐标约定。粒子束沿e⃗x\vec e_x传播，磁场梯度沿e⃗z\vec e_z方向，探测屏垂直于e⃗x\vec e_x。本图据文献 [2]的图1转载。

3.1. 实验装置

磁铁。

若外磁场均匀，式 (3)中的力恒为零。处于均匀场中的偶极子只受到力矩，质心继续沿直线前进。因此，使这个实验变得有趣的是磁场的非均匀性。

为产生这样的场，斯特恩—盖拉赫装置（通常简称SG）使用两块经过加工的磁铁：一块具有尖端，另一块具有反向尖端或略微弯曲的底面，见图 3。这种几何形状使磁力线向上方磁铁的尖锐边缘集中。随着磁力线密集，磁通管中的磁通守恒divB⃗=0\mathrm{div} \vec B = 0说明，磁场向这一边缘增大，即在这里随zz增大。

在一阶近似下，我们希望将装置内部的场写成B⃗≈(B0+kz) e⃗z\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z，其中k>0k>0，但这不满足无散条件divB⃗=0\mathrm{div} \vec B = 0。因此，磁场还必须具有横向分量。忽略边缘效应并假定沿e⃗x\vec e_x方向不变，可得：

B⃗(x,y,z)=(B0+kz)e⃗z−kye⃗y.\vec{B}(x,y,z) = (B_0 + k z) \vec{e}_z - k y \vec{e}_y .
(7)

从数量级看，常见装置有B0∼0,1B_0 \sim 0{,}1 T，在磁铁之间通常为几毫米的整个竖直间隙内满足kΔz≪B0k\Delta z \ll B_0。磁铁长度为几厘米。

粒子源。

粒子源是置于真空中的小炉，内含固态银。高温下，蒸发的原子通过小孔离开炉体；数道狭缝选出速度几乎平行于e⃗x\vec e_x的原子，从而形成准直原子束。其典型速率为每秒几百米，速度展宽来自麦克斯韦—玻尔兹曼分布。

注意，我们使用电中性粒子，以便只探测磁偶极效应。若使用带电粒子，它们还会受到洛伦兹力q v⃗∧B⃗q\,\vec v\wedge\vec B，其大小为qvB0qvB_0，远远超过这里关心的∇⃗(μ⃗⋅B⃗)\grad(\vec\mu\cdot\vec B)。

屏幕。

在历史实验中，银原子逐渐沉积在屏幕上，最终形成可见痕迹。在现代实验中，可以将通量降得足够低，逐个记录撞击。这个可能性对后面的讨论很重要，我们还会回到这一点。

3.2. 经典力学的预测

将磁矩为μ⃗=μxe⃗x+μye⃗y+μze⃗z\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z的中性粒子送入式 (7)的磁场区域。式 3给出

F⃗=∇⃗ ⁣(μ⃗⋅B⃗)=kμze⃗z−kμye⃗y.\vec F=\grad\!\left(\vec\mu\cdot\vec B\right) =k\mu_z \vec e_z-k\mu_y \vec e_y .
(8)

因此，偶极子不仅沿zz方向偏转，也沿yy方向偏转。曾在别处接触过斯特恩—盖拉赫实验的读者可能会感到意外，因为许多讲义只讨论zz轴上的情况。实际上，式 (8)的两项原则上具有相同的地位。

之所以可以忽略yy轴方向的运动，是因为进动；在这里，我们必须做出一个关键假设，稍后再加以论证。我们假设原子的磁矩正比于原子所具有的内禀角动量L⃗\vec L。

在这个假设下，由于恒定场B0e⃗zB_0\vec e_z远大于修正项kz e⃗zkz\,\vec e_z和−ky e⃗y-ky\,\vec e_y，磁矩在一阶近似下绕e⃗z\vec e_z以角频率ωp=∣γ∣B0\omega_p = |\gamma| B_0进动，其中γ\gamma为其旋磁比。进动过程中，μz\mu_z保持不变，而μy\mu_y绕零振荡。

这种进动很快。上述公式给出了在原子尺度上应当合理的数量级。使用基本电荷和电子质量，γ=O(q/2m)\gamma = \mathcal{O}(q/2m)变为≈e/(2me)≈8,8×1010SI\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI2。取B0≈0,1B_0\approx0{,}1 T，得到ωp∼1010 rad s−1\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}。另一方面，在磁铁内的飞行时间为T=ℓ/vxT=\ell/v_x；当ℓ\ell为几厘米、vx∼600 m s−1v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}时，约为10−410^{-4} s。磁矩在穿越过程中因而转过几十万圈。于是，yy方向的力以极高精度平均为零。

注释 2: 为什么不用原子质量？后面我们会认识到，此处测量的是银原子最外层那个未配对电子的自旋磁矩，见第8节；因此这里的计算在数量级上是正确的。

因此，在这一模型中，平均而言唯一相关的力是⟨Fz⟩=kμz\langle F_z\rangle=k\mu_z。这直接意味着屏幕上的最终偏转量应正比于μz\mu_z。接下来只需考察初始条件。原子来自炉子，也就是热浴，其中没有任何优选空间方向。因此，在进入SG时，磁矩应随机取向，其竖直分量μz\mu_z应连续地取遍−μ-\mu到+μ+\mu之间的所有值，且均匀分布。

经典预测于是十分明确：应沿zz轴观察到一条连续的撞击带（但由于速度展宽，它不一定均匀）。

4. 实验结果

实际观察并非如此。偏转确实只沿zz方向发生，这与yy方向的力平均为零相一致；但屏幕上没有连续条带，而是出现关于初始轴线对称的两个斑点，中间隔着空白区域。

经典预测与实验结果。左：经典力学对随机取向磁矩的预期，即一条连续的撞击带。右：实际观察到的两个离散、对称的斑点。
图 4. 经典预测与实验结果。左：经典力学对随机取向磁矩的预期，即一条连续的撞击带。右：实际观察到的两个离散、对称的斑点。
重要
一切看起来就像磁矩的被测分量只能取μz=+μ0\mu_z=+\mu_0或μz=−μ0\mu_z=-\mu_0两个值，完全不能取任何中间值。

4.1. μ0\mu_0的测量

两个斑点的精确位置可用来估计μ0\mu_0。假设磁铁内的梯度k=∂Bz/∂zk=\partial B_z/\partial z与纵向速度vxv_x近似恒定，则在时间T=ℓ/vxT=\ell/v_x内，原子具有横向加速度

az=μzm∂Bz∂z,a_z=\frac{\mu_z}{m}\frac{\partial B_z}{\partial z} ,

(9)

对其做简单积分，再将轨迹沿直线延伸至屏幕即可。考虑实验的几何参数后，奥托·斯特恩和瓦尔特·盖拉赫由此测得了银原子的这一数值，得到的正是玻尔磁子

μB=eℏ2me≈9,27×10−24JT−1.\boxed{\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}\approx 9{,}27\times10^{-24} \mathrm{J} \mathrm{T}^{-1}} .
(10)

这个测量使我们可以重新考察假设 4。但它不能直接给出γ\gamma，因为测量的是磁矩，而非与之关联的角动量LL。我们只能检验数量级：原子角动量的自然尺度为ℏ\hbar；若写成L∼ℏL\sim\hbar，则∣γ∣∼μ0/L∼e/(2me)|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)。这样就得到前面假定的数量级，以及约为1010 rad s−110^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}的进动角频率，与未观察到yy方向偏转相一致。

4.2. 经典力学面临的问题

实验揭示了一种经典力学无法容纳的现象：磁矩沿给定轴的分量并不连续变化，而是量子化的。

即使承认银原子具有磁矩，仍须解释：来自热浴的任意初始取向，如何恰好产生两束原子？我们考察两种可能解释这一结果的经典机制。

磁铁内的磁场能否使磁矩沿场取向？我们已经看到，没有耗散时，磁力矩使偶极子进动，同时保持它与磁场的夹角。因此，它既不会使偶极子沿+B⃗+\vec B取向，也不会使其沿−B⃗-\vec B取向。但所有耗散都可以忽略吗？电磁理论确实预言，进动的磁矩会辐射3。不过，这种耗散可以忽略：结果发表后不久，爱因斯坦对其进行计算，估计弛豫需要一个多世纪，而穿过磁铁的时间只有约10−410^{-4} s [3]。而且，即使弛豫足够快，也只会使磁矩趋向能量最低、平行于磁场的取向：这样应当只出现一个斑点，而不是两个。

注释 3: 磁偶极子的辐射功率为P=∥μ⃗¨∥2/(6πε0c5)P=\|\ddot{\vec\mu}\|^2/(6\pi\varepsilon_0c^5)。对于大小为μ\mu、以角频率ωp\omega_p进动且与磁场保持固定夹角α\alpha的磁矩，辐射功率为P=ωp4μ2sin⁡2α/(6πε0c5)P=\omega_p^4\mu^2\sin^2\alpha/(6\pi\varepsilon_0c^5)。见[1]第9章。

边缘磁场能否解释两个斑点？在磁铁的入口和出口，磁场的方向与强度发生变化，可能使进动更复杂。不过，这些效应取决于磁铁的精确几何形状以及实验的具体条件，因而应随实验而变化。但分裂为两束的现象并不依赖这些细节。此外，在这个经典模型中，由力学定律与麦克斯韦方程决定的演化是初始取向的连续函数：它不可能把连续的初始取向变成仅有两个的输出值。

4.3. 随机性的出现

在现代版本的实验中，可以将通量降低到使原子逐个穿过装置。每个原子只留下一个撞击点，落在两个斑点中的某一个。随着撞击不断积累，两个斑点逐渐显现。

这种随机性还不足以证明存在根本性的随机：原子来自炉子，其初始条件各不相同。因此，不可预测性仍可能归因于我们不知道这些条件。当我们能更好地控制原子束的制备时，这个问题将变得更加迫切。

5. 多个斯特恩—盖拉赫装置串联

将多个SG串联的实验会进一步明确制备与概率的作用，并揭示某些测量之间的不相容性。

5.1. 原子束的制备

在SGz\mathrm{SG}_z装置的出口，原子束分成两路。我们将对应正结果的通道记作z+z+，对应负结果的通道记作z−z-。

可以在一条通道上放置障碍物，只保留另一条。如果阻挡z−z-，所有继续参与实验的原子在第一个装置中都给出了z+z+。因此，装置不再只用于测量，还用于为下一个实验制备明确的原子束。

我们将这样得到的制备记作∣z+⟩\ket{z+}。在这里，这个记号仅表示“刚从SGz\mathrm{SG}_z分析器的z+z+通道出来的原子”。我们将逐步认识这一符号所对应的数学结构。

5.2. 同一轴上的可重复性

在第一个装置后面放置第二个SGz\mathrm{SG}_z，只保留第一个装置的z+z+通道，见图 5。实验发现，第二个装置此时只产生一个斑点，位于z+z+通道。z−z-通道是空的。

两个 SG_z装置串联。只保留第一个装置的z+通道，阻挡z-通道。第二个装置只在z+通道产生一个斑点：第一次测量的结果得到完全重复。
图 5. 两个SGz\mathrm{SG}_z装置串联。只保留第一个装置的z+z+通道，阻挡z−z-通道。第二个装置只在z+z+通道产生一个斑点：第一次测量的结果得到完全重复。

经典图像在这里没有问题。如果第一个装置选出了某个μz\mu_z值，或使磁矩沿zz取向，而随后没有任何因素改变其μz\mu_z分量，那么第二个装置理应使所有选出的原子产生相同的偏转。因此，这个结果与简单筛选的图像相容。

重要 (可重复性)
在两次测量之间状态不发生演化的条件下，完全相同的理想测量重复进行时，必然给出相同结果。在这里，得到z+z+就制备了状态∣z+⟩\ket{z+}：随后沿zz测量，会以概率11得到z+z+。对z−z-同样如此。

5.3. 两个不同的轴

现在将第二个装置换成SGx\mathrm{SG}_x，其分析轴与第一个装置的分析轴垂直，见图 6。我们又会观察到两个斑点，且比例相等。

SG_z之后接 SG_x。尽管已经制备了 z+，第二个装置仍产生两个强度相等的斑点，而不是沿 e_z取向的经典磁矩所应产生的单个中央斑点。
图 6. SGz\mathrm{SG}_z之后接SGx\mathrm{SG}_x。尽管已经制备了∣z+⟩\ket{z+}，第二个装置仍产生两个强度相等的斑点，而不是沿e⃗z\vec e_z取向的经典磁矩所应产生的单个中央斑点。

可以设想两种经典解释。如果第一个装置已使μ⃗\vec\mu完全沿zz取向，那么μx=0\mu_x=0：第二个装置应产生中央斑点。如果它只选出了μz\mu_z的正值，而没有确定其他分量，那么μx\mu_x仍连续分布：应该看到连续条带。这两种解释都不能预言实际观察到的两个斑点。

回到逐个发射原子的情况。每个原子在x+x+或x−x-通道留下撞击点；对大量原子而言，两种结果比例相等。然而，进入SGx\mathrm{SG}_x的原子束比直接离开炉子的原子束受到了更严格的制备控制：其中所有原子都已从第一个装置的z+z+通道选出。如我们刚才所见，它们的制备∣z+⟩\ket{z+}甚至保证了再次沿zz测量时结果确定。

尽管如此，这种制备仍不能预言沿xx测量时撞击会出现在哪条通道。因此，仅用出炉时的无序已经不足以解释：同一种制备能使一种测量确定，却让另一种测量保持随机。量子力学中概率的作用由此逐渐清晰。

6. 三个SG装置串联

6.1. ZXZ：筛选改变制备

现在考虑SGz→SGx→SGz\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z序列，见图 7。第一个装置后只保留z+z+，第二个装置后只保留x+x+，最后沿zz分析这束新的原子束。

SG_z SG_x SG_z序列，在前两个装置之后分别选取正通道。图~ fig:sg-zz的配置中原本为空的z-通道再次出现，且强度与z+相同。
图 7. SGz→SGx→SGz\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z序列，在前两个装置之后分别选取正通道。图 5的配置中原本为空的z−z-通道再次出现，且强度与z+z+相同。

在经典讨论中，我们已经排除了磁矩完全沿SG轴取向的假设，因为它预言第二个装置会产生中央斑点，因而没有可供选择的x+x+通道。如果仍采用简单筛选的图像，第一个装置选出μz\mu_z的正值，第二个装置按μx\mu_x筛选原子而不改变μz\mu_z。第三个装置应当只出现z+z+通道。然而，z−z-通道却再次出现。

因此，沿xx的筛选改变了制备。选出x+x+之后，先前的结果z+z+已不能确定地预言新的zz测量。看来第二个装置改变了状态本身。

有时，人们把这一事实概括为“测量xx破坏了关于zz的信息”。这种说法有用，但必须记住，这里的现象不取决于实验者知道或观察了什么。x+x+筛选器在物理上制备了新状态∣x+⟩\ket{x+}，该状态以相等概率给出z+z+与z−z-。

重要 (不相容性)
使沿zz测量的结果确定的制备，并不能使沿xx测量的结果确定，反之亦然。不能把xx和zz分量视为两个预先存在、仅由装置揭示的经典数值。以后我们会称之为不相容可观测量。

6.2. ZYZ：概率相同，制备不同

最后，将中间沿xx的分析器换成沿yy的分析器，仍然只保留其正通道。SGz→SGy→SGz\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z序列的最后一次测量仍给出两个等概率结果。这可以推广到任何垂直于zz的中间轴：对于(x,y)(x,y)平面内的方向 u⃗=cos⁡φ e⃗x+sin⁡φ e⃗y\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y， 选择u+u+通道之后，最后沿zz测量仍得到两个等概率结果。

然而，这不意味着∣x+⟩\ket{x+}、∣y+⟩\ket{y+}与∣u+⟩\ket{u+}这些制备全都相同。沿xx的分析可以区分它们：第一种必然给出x+x+，第二种以相等比例给出x+x+或x−x-，而对于第三种，实验表明两种结果的概率取决于φ\varphi。因此，两种制备可以对某项测量给出相同概率，却在物理上不同。

7. 逐渐显现的数学框架

我们并不打算仅凭这些实验推导出全部量子数学框架。不过，经典描述的失败迫使我们重新审视用语，并启发我们以新的方式表示状态。

7.1. 状态不是数值列表

制备∣z+⟩\ket{z+}不能简化为“μz=+μ0\mu_z=+\mu_0，且μx\mu_x与μy\mu_y具有未知但已经确定、仅待装置揭示的数值”。在这种简单筛选的图像中，Z ⁣X ⁣ZZ\!X\!Z序列应再次给出100 %100\,\%的z+z+，但事实并非如此。那么，若不使用预先存在的数值列表，应如何表示状态？

7.2. 走向量子叠加

量子数学框架最重要的新意是：状态本身包含了计算测量结果概率所需的信息。

制备∣x+⟩\ket{x+}使沿xx的结果确定，却使沿zz的两个结果等概率。为描述这种情况，量子数学框架将∣x+⟩\ket{x+}表示为∣z+⟩\ket{z+}与∣z−⟩\ket{z-}两个状态的叠加：

∣x+⟩=12(∣z+⟩+∣z−⟩).\ket{x+}=\frac{1}{\sqrt2} \left(\ket{z+}+\ket{z-}\right).
(11)

这些系数（这里每一项前都是1/21/\sqrt{2}）称为振幅：其模的平方给出沿zz测量各结果的概率，这里各为1/21/2。所有制备为∣x+⟩\ket{x+}的原子都处于由这个线性组合表示的同一状态。这不是一部分原子处于∣z+⟩\ket{z+}、另一部分处于∣z−⟩\ket{z-}的统计混合。

仅凭这里给出的结果，我们无法完全推导出这种结构。下一课的干涉实验将为它提供更多依据。最终，我们仍需将它作为公设。

7.3. 复向量空间

ZYZ以及更一般的ZUZ变体提出了如下问题：制备∣y+⟩\ket{y+}或∣u+⟩\ket{u+}同样在沿zz测量时给出50/5050/50，但当φ̸  =def  0(mod2π)\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}时，它们又不同于∣x+⟩\ket{x+}。因此，它们在基∣z+⟩,∣z−⟩\ket{z+},\ket{z-}中的两个振幅的模都必须为1/21/\sqrt2。如果振幅是实数，就只剩下±1/2\pm1/\sqrt2的四种符号选择：有限种可能不足以表示制备∣u+⟩\ket{u+}的连续多样性。

因此，量子数学框架采用复数振幅，其相位可变而模保持不变。例如，我们将会写出：

∣x+⟩=12(∣z+⟩+∣z−⟩),∣y+⟩=12(∣z+⟩+i∣z−⟩),\ket{x+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+\ket{z-}\right), \qquad \ket{y+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+i\ket{z-}\right),

(12)

更一般地，对于任意角φ\varphi，有∣u+⟩=12(∣z+⟩+eiφ∣z−⟩)\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)。这些状态因而不同，但沿zz测量的概率始终为1/21/2。认真对待这些线性组合，就会将状态表示为抽象复向量空间中的向量。“抽象”提醒我们：这些系数是概率振幅，而不是经典磁矩的空间分量。更一般地，一个状态的制备可写为

∣ψ⟩=α∣z+⟩+β∣z−⟩,α,β∈C.\ket{\psi}=\alpha\ket{z+}+\beta\ket{z-},\qquad \alpha,\beta\in\mathbb C.

(13)

要得到振幅及其模的平方，需要将状态投影到与各个可能结果对应的状态上。提取这些分量最简单的方法是使用内积。内积同时定义范数，在这里有

∥ψ∥2=∣α∣2+∣β∣2=1.\|\psi\|^2=|\alpha|^2+|\beta|^2=1.

(14)

因此，范数的平方对应所有可能结果的概率之和：这个和必须为一，状态也就由范数为一的向量表示。

在逐渐显现的数学框架中，状态将是复希尔伯特空间中的向量，即空间配备了可用于计算概率的内积。其线性结构使振幅可以相加，体现了量子叠加原理。这些内容将在主题2中详细研究。

8. 进一步探讨

这些实验过去一个世纪后，我们能够更准确地说明它们究竟测量了什么。在斯特恩和盖拉赫之后，人们逐渐认识到，银原子中被测的磁矩主要与一个未配对电子的自旋有关。自旋是一种内禀角动量，不同于电子的轨道角动量。电子是自旋为1/21/2的粒子：测量其自旋沿某轴的投影，会得到两个可能值Sz=±ℏ/2S_z=\pm\hbar/2。

与自旋角动量相联系的是一个正比于自旋的磁矩：

μ⃗s=−emeS⃗,∣γs∣=eme,\vec\mu_s=-\frac{e}{m_e}\vec S, \qquad |\gamma_s|=\frac{e}{m_e},

(15)

其中ee表示基本电荷的正值，γs\gamma_s为电子的旋磁比。负号源于电子带负电：其磁矩与自旋方向相反。因此，磁矩分量的两个可测值为μs,z=±μB\mu_{s,z}=\pm\mu_B，其中μB=eℏ/(2me)\mu_B=e\hbar/(2m_e)。自旋和磁矩是两个不同但彼此成正比的物理量。

在原子中，还必须考虑电子的轨道角动量，它对应另一个磁矩。氢原子提供了简单的例子：它唯一的电子既具有自旋，也具有轨道状态。在1s1s基态，轨道角动量为零，因此电子对原子磁矩的贡献来自自旋。菲普斯和泰勒于1927年完成了氢原子的斯特恩—盖拉赫实验。

银原子包含更多电子，但其电子组态[Kr] 4d10 5s1[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1使问题归结为同一原理。可以证明，满壳层中轨道与自旋的贡献相互抵消。于是只剩下5s5s电子；在基态，它的轨道角动量恰好为零，自旋为1/21/2。因此，历史上的实验揭示的正是它的自旋磁矩。

9. 参考资料