第 1 课: 斯特恩–盖拉赫实验

关键词 : 自旋, 磁矩, 斯特恩–盖拉赫, 拉莫尔进动, 量子化, 量子测量, 自旋分量, 原子束, 非均匀磁场, 态投影

1. 引言

总得从某处开始。许多量子力学教材以杨氏双缝实验开篇，或从黑体辐射及普朗克为解释它而提出的假设的历史讲起（Planck，1900）。

普朗克提出，能量只能以离散的份额交换；这些“量子”后来成为这门理论名称的来源。但要理解他的思路，需要具备统计物理知识，而初学者未必已经学过。

杨氏双缝实验则十分引人注目。在逐个发射粒子的量子版本中，它展现出经典观点完全无法理解的行为。不过，作者认为，在掌握量子理论的原理之后，回过头来理解这个实验会容易得多。某种意义上，它在一个实验中浓缩了理论中多个最奇特的方面。

因此，我们换一个起点，从斯特恩和盖拉赫于1922年进行的实验开始。它研究的对象看似简单，而且经典物理对它已有充分认识：一个具有磁矩的粒子。在历史上的实验中，这个粒子是银原子；我们暂时只需接受一点，即这种原子确实具有磁矩。把它送入非均匀磁场区域后，力学和电磁学定律很容易给出对其轨迹的预测。

实验结果同样令人震惊：它们与经典预测截然不同。随着实验逐步串联、变得更加精细，经典描述逐渐崩溃；我们将依次看到量子化现象（见第4节）、量子叠加（见第7.2节），以及另一种双缝实验未直接展示的纯量子现象：某些测量之间的不相容性（见第6.1节）。

我们先回顾磁矩的概念，再介绍实验以及当原子像普通小磁铁那样运动时应该观察到什么，最后给出实际结果并讨论其含义。

2. 经典磁矩回顾

2.1. 磁矩

磁矩μ⃗\vec{\mu}，也称磁偶极矩，是一个矢量。天然磁铁具有磁矩，按定义其方向由磁铁的南极指向北极。这也正是磁铁内部磁力线的方向；在磁铁外部，磁力线从北极出发，返回南极，见图 1。

磁矩是定量描述磁铁强弱的基本物理量。例如，两个南极相对的磁铁之间的排斥力取决于两者磁矩的乘积及其距离。

天然磁铁：磁力线和磁极。图中未画出磁矩 ；它沿水平方向指向右侧，即由南极指向北极。
图 1. 天然磁铁：磁力线和磁极。图中未画出磁矩μ⃗\vec{\mu}；它沿水平方向指向右侧，即由南极指向北极。

不过，用天然磁铁继续讨论并不方便，因为其磁场的来源并非一目了然。更方便的是电磁铁，也就是电流回路。对于面积为SS、通有电流II的平面线圈，可以证明其磁矩为μ⃗=IS n⃗\vec{\mu}=I S\,\vec{n}，其中n⃗\vec{n}是线圈平面的单位法向量，方向由右手定则确定。

这是我们在这里唯一需要的表达式。当然，磁矩理论更为一般：任意电流分布的磁矩由对该分布的积分定义。线圈公式只是一个特例。关于这一构造，可参阅[1]第5章。

2.2. 与磁场的耦合

经典力学给出了置于外磁场B⃗\vec B中的磁偶极子的三个性质。

命题 1 (磁偶极子：公式汇总)
置于外磁场B⃗\vec B中的磁偶极子μ⃗\vec\mu：
  1. 受到力矩
    τ⃗=μ⃗∧B⃗ \boxed{\vec\tau=\vec\mu\wedge\vec B\,}
    (1)
  2. 具有势能
    Ep=−μ⃗⋅B⃗ \boxed{E_p=-\vec{\mu}\cdot\vec B\,}
    (2)
  3. 其质心受到力
    F⃗=∇⃗(μ⃗⋅B⃗)\boxed{\vec F=\grad\left(\vec\mu\cdot\vec B\right)}
    (3)
    当B⃗\vec{B}均匀，即在空间中为常量时，此力为零。

第三个公式由第二个公式通过F⃗=−∇⃗Ep\vec{F} = -\grad E_p直接得到。它表明，具有磁矩的系统在非均匀磁场中会受到使其轨迹偏转的净力。前两个公式分别来自对电流分布所受安培力的显式计算，以及该力所做功的计算；这里不再推导，完整证明尤其可参阅[1]第5.2和5.7节1。

注释 1: 这些公式假定电流分布是稳恒的。如果电流随时间变化，麦克斯韦方程中E⃗\vec E与B⃗\vec B的耦合会改变这些表达式，使它们复杂得多。此处无需考虑这种情况，因为斯特恩—盖拉赫装置的磁场是静态的。

撇开技术细节，主要应记住以下事实。式 (2)中的势能在μ⃗\vec\mu与B⃗\vec B平行时最小，在反平行时最大：磁偶极子在式 (1)的力矩作用下具有沿磁场取向的趋势。这就是指南针的工作原理。但要注意，若没有耗散，根据力矩和角动量定理，指南针只会绕北向无休止地振荡。它之所以最终静止，是因为转轴上的摩擦耗散了振荡能量。

2.3. 旋磁比与进动

当磁矩正比于偶极子所具有的内禀角动量时，这种运动具有特殊形式。此时通过比例关系引入旋磁比γ\gamma：

μ⃗=γL⃗\boxed{\vec\mu=\gamma \vec L}
(4)

例如，沿圆形轨道运动的经典电荷的磁矩就满足式 (4)。事实上，质量为mm、电荷量为qq的粒子以速率vv沿半径为RR的圆周运动，等效于电流I=qv/(2πR)I=qv/(2\pi R)。因此，它产生的磁矩为

μ=IπR2=q2mmRv=q2mL.\mu=I\pi R^2=\frac{q}{2m}mRv=\frac{q}{2m}L.

(5)

在这个经典轨道模型中，γ=q/(2m)\gamma=q/(2m)。角动量定理与式 (1)共同给出dL⃗dt=τ⃗=μ⃗∧B⃗\frac{d\vec L}{dt} = \vec{\tau} = \vec\mu\wedge\vec B；如果γ\gamma为常量，便得到进动方程：

dμ⃗dt=γμ⃗∧B⃗\boxed{\frac{d\vec\mu}{dt}=\gamma \vec\mu\wedge\vec B}
(6)

在均匀场中，该方程的解表明，矢量μ⃗\vec\mu绕磁场方向描出一个圆锥，也就是以拉莫尔角频率ωL=∣γ∣B\omega_L=|\gamma|B进动，见图 2。

Figure
Figure
图 2
重要
在非均匀磁场中，偶极子的质心受到使轨迹偏转的力，同时偶极子自身绕磁场进动。这两种效应对理解斯特恩—盖拉赫实验都至关重要。

3. 斯特恩—盖拉赫实验

图 3概括了实验原理。从粒子源发出的中性粒子进入由两个相对磁铁产生的非均匀磁场。更远处的屏幕收集粒子的撞击，并在存在偏转时测量偏转量。

斯特恩—盖拉赫实验示意图及本章使用的坐标约定。粒子束沿 e_x传播，磁场梯度沿 e_z方向，探测屏垂直于 e_x。本图据文献~ sahoo2022classicality的图1转载。
图 3. 斯特恩—盖拉赫实验示意图及本章使用的坐标约定。粒子束沿e⃗x\vec e_x传播，磁场梯度沿e⃗z\vec e_z方向，探测屏垂直于e⃗x\vec e_x。本图据文献 [2]的图1转载。

3.1. 实验装置

磁铁。

若外磁场均匀，式 (3)中的力恒为零。处于均匀场中的偶极子只受到力矩，质心继续沿直线前进。因此，使这个实验变得有趣的是磁场的非均匀性。

为产生这样的场，斯特恩—盖拉赫装置（通常简称SG）使用两块经过加工的磁铁：一块具有尖端，另一块具有反向尖端或略微弯曲的底面，见图 3。这种几何形状使磁力线向上方磁铁的尖锐边缘集中。随着磁力线密集，磁通管中的磁通守恒divB⃗=0\mathrm{div} \vec B = 0说明，磁场向这一边缘增大，即在这里随zz增大。

在一阶近似下，我们希望将装置内部的场写成B⃗≈(B0+kz) e⃗z\vec B\approx(B_0+kz)\,\vec e_z，其中k>0k>0，但这不满足无散条件divB⃗=0\mathrm{div} \vec B = 0。因此，磁场还必须具有横向分量。忽略边缘效应并假定沿e⃗x\vec e_x方向不变，可得：

B⃗(x,y,z)=(B0+kz)e⃗z−kye⃗y.\vec{B}(x,y,z) = (B_0 + k z) \vec{e}_z - k y \vec{e}_y .
(7)

从数量级看，常见装置有B0∼0,1B_0 \sim 0{,}1 T，在磁铁之间通常为几毫米的整个竖直间隙内满足kΔz≪B0k\Delta z \ll B_0。磁铁长度为几厘米。

粒子源。

粒子源是置于真空中的小炉，内含固态银。高温下，蒸发的原子通过小孔离开炉体；数道狭缝选出速度几乎平行于e⃗x\vec e_x的原子，从而形成准直原子束。其典型速率为每秒几百米，速度展宽来自麦克斯韦—玻尔兹曼分布。

注意，我们使用电中性粒子，以便只探测磁偶极效应。若使用带电粒子，它们还会受到洛伦兹力q v⃗∧B⃗q\,\vec v\wedge\vec B，其大小为qvB0qvB_0，远远超过这里关心的∇⃗(μ⃗⋅B⃗)\grad(\vec\mu\cdot\vec B)。

屏幕。

在历史实验中，银原子逐渐沉积在屏幕上，最终形成可见痕迹。在现代实验中，可以将通量降得足够低，逐个记录撞击。这个可能性对后面的讨论很重要，我们还会回到这一点。

3.2. 经典力学的预测

将磁矩为μ⃗=μxe⃗x+μye⃗y+μze⃗z\vec\mu=\mu_x\vec e_x+\mu_y\vec e_y+\mu_z\vec e_z的中性粒子送入式 (7)的磁场区域。式 3给出

F⃗=∇⃗ ⁣(μ⃗⋅B⃗)=kμze⃗z−kμye⃗y.\vec F=\grad\!\left(\vec\mu\cdot\vec B\right) =k\mu_z \vec e_z-k\mu_y \vec e_y .
(8)

因此，偶极子不仅沿zz方向偏转，也沿yy方向偏转。曾在别处接触过斯特恩—盖拉赫实验的读者可能会感到意外，因为许多讲义只讨论zz轴上的情况。实际上，式 (8)的两项原则上具有相同的地位。

之所以可以忽略yy轴方向的运动，是因为进动；在这里，我们必须做出一个关键假设，稍后再加以论证。我们假设原子的磁矩正比于原子所具有的内禀角动量L⃗\vec L。

在这个假设下，由于恒定场B0e⃗zB_0\vec e_z远大于修正项kz e⃗zkz\,\vec e_z和−ky e⃗y-ky\,\vec e_y，磁矩在一阶近似下绕e⃗z\vec e_z以角频率ωp=∣γ∣B0\omega_p = |\gamma| B_0进动，其中γ\gamma为其旋磁比。进动过程中，μz\mu_z保持不变，而μy\mu_y绕零振荡。

这种进动很快。上述公式给出了在原子尺度上应当合理的数量级。使用基本电荷和电子质量，γ=O(q/2m)\gamma = \mathcal{O}(q/2m)变为≈e/(2me)≈8,8×1010SI\approx e/(2m_e)\approx 8{,}8\times10^{10} SI2。取B0≈0,1B_0\approx0{,}1 T，得到ωp∼1010 rad s−1\omega_p\sim10^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}。另一方面，在磁铁内的飞行时间为T=ℓ/vxT=\ell/v_x；当ℓ\ell为几厘米、vx∼600 m s−1v_x\sim600\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}时，约为10−410^{-4} s。磁矩在穿越过程中因而转过几十万圈。于是，yy方向的力以极高精度平均为零。

注释 2: 为什么不用原子质量？后面我们会认识到，此处测量的是银原子最外层那个未配对电子的自旋磁矩，见第8节；因此这里的计算在数量级上是正确的。

因此，在这一模型中，平均而言唯一相关的力是⟨Fz⟩=kμz\langle F_z\rangle=k\mu_z。这直接意味着屏幕上的最终偏转量应正比于μz\mu_z。接下来只需考察初始条件。原子来自炉子，也就是热浴，其中没有任何优选空间方向。因此，在进入SG时，磁矩应随机取向，其竖直分量μz\mu_z应连续地取遍−μ-\mu到+μ+\mu之间的所有值，且均匀分布。

经典预测于是十分明确：应沿zz轴观察到一条连续的撞击带（但由于速度展宽，它不一定均匀）。

4. 实验结果

实际观察并非如此。偏转确实只沿zz方向发生，这与yy方向的力平均为零相一致；但屏幕上没有连续条带，而是出现关于初始轴线对称的两个斑点，中间隔着空白区域。

经典预测与实验结果。左：经典力学对随机取向磁矩的预期，即一条连续的撞击带。右：实际观察到的两个离散、对称的斑点。
图 4. 经典预测与实验结果。左：经典力学对随机取向磁矩的预期，即一条连续的撞击带。右：实际观察到的两个离散、对称的斑点。
重要
一切看起来就像磁矩的被测分量只能取μz=+μ0\mu_z=+\mu_0或μz=−μ0\mu_z=-\mu_0两个值，完全不能取任何中间值。

4.1. μ0\mu_0的测量

两个斑点的精确位置可用来估计μ0\mu_0。假设磁铁内的梯度k=∂Bz/∂zk=\partial B_z/\partial z与纵向速度vxv_x近似恒定，则在时间T=ℓ/vxT=\ell/v_x内，原子具有横向加速度

az=μzm∂Bz∂z,a_z=\frac{\mu_z}{m}\frac{\partial B_z}{\partial z} ,

(9)

对其做简单积分，再将轨迹沿直线延伸至屏幕即可。考虑实验的几何参数后，奥托·斯特恩和瓦尔特·盖拉赫由此测得了银原子的这一数值，得到的正是玻尔磁子

μB=eℏ2me≈9,27×10−24JT−1.\boxed{\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}\approx 9{,}27\times10^{-24} \mathrm{J} \mathrm{T}^{-1}} .
(10)

这个测量使我们可以重新考察假设 4。但它不能直接给出γ\gamma，因为测量的是磁矩，而非与之关联的角动量LL。我们只能检验数量级：原子角动量的自然尺度为ℏ\hbar；若写成L∼ℏL\sim\hbar，则∣γ∣∼μ0/L∼e/(2me)|\gamma|\sim\mu_0/L\sim e/(2m_e)。这样就得到前面假定的数量级，以及约为1010 rad s−110^{10}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}的进动角频率，与未观察到yy方向偏转相一致。

4.2. 经典力学面临的问题

实验揭示了一种经典力学无法容纳的现象：磁矩沿给定轴的分量并不连续变化，而是量子化的。

即使承认银原子具有磁矩，仍须解释：来自热浴的任意初始取向，如何恰好产生两束原子？我们考察两种可能解释这一结果的经典机制。

磁铁内的磁场能否使磁矩沿场取向？我们已经看到，没有耗散时，磁力矩使偶极子进动，同时保持它与磁场的夹角。因此，它既不会使偶极子沿+B⃗+\vec B取向，也不会使其沿−B⃗-\vec B取向。但所有耗散都可以忽略吗？电磁理论确实预言，进动的磁矩会辐射3。不过，这种耗散可以忽略：结果发表后不久，爱因斯坦对其进行计算，估计弛豫需要一个多世纪，而穿过磁铁的时间只有约10−410^{-4} s [3]。而且，即使弛豫足够快，也只会使磁矩趋向能量最低、平行于磁场的取向：这样应当只出现一个斑点，而不是两个。

注释 3: 磁偶极子的辐射功率为P=∥μ⃗¨∥2/(6πε0c5)P=\|\ddot{\vec\mu}\|^2/(6\pi\varepsilon_0c^5)。对于大小为μ\mu、以角频率ωp\omega_p进动且与磁场保持固定夹角α\alpha的磁矩，辐射功率为P=ωp4μ2sin⁡2α/(6πε0c5)P=\omega_p^4\mu^2\sin^2\alpha/(6\pi\varepsilon_0c^5)。见[1]第9章。

边缘磁场能否解释两个斑点？在磁铁的入口和出口，磁场的方向与强度发生变化，可能使进动更复杂。不过，这些效应取决于磁铁的精确几何形状以及实验的具体条件，因而应随实验而变化。但分裂为两束的现象并不依赖这些细节。此外，在这个经典模型中，由力学定律与麦克斯韦方程决定的演化是初始取向的连续函数：它不可能把连续的初始取向变成仅有两个的输出值。

4.3. 随机性的出现

在现代版本的实验中，可以将通量降低到使原子逐个穿过装置。每个原子只留下一个撞击点，落在两个斑点中的某一个。随着撞击不断积累，两个斑点逐渐显现。

这种随机性还不足以证明存在根本性的随机：原子来自炉子，其初始条件各不相同。因此，不可预测性仍可能归因于我们不知道这些条件。当我们能更好地控制原子束的制备时，这个问题将变得更加迫切。

5. 多个斯特恩—盖拉赫装置串联

将多个SG串联的实验会进一步明确制备与概率的作用，并揭示某些测量之间的不相容性。

5.1. 原子束的制备

在SGz\mathrm{SG}_z装置的出口，原子束分成两路。我们将对应正结果的通道记作z+z+，对应负结果的通道记作z−z-。

可以在一条通道上放置障碍物，只保留另一条。如果阻挡z−z-，所有继续参与实验的原子在第一个装置中都给出了z+z+。因此，装置不再只用于测量，还用于为下一个实验制备明确的原子束。

我们将这样得到的制备记作∣z+⟩\ket{z+}。在这里，这个记号仅表示“刚从SGz\mathrm{SG}_z分析器的z+z+通道出来的原子”。我们将逐步认识这一符号所对应的数学结构。

5.2. 同一轴上的可重复性

在第一个装置后面放置第二个SGz\mathrm{SG}_z，只保留第一个装置的z+z+通道，见图 5。实验发现，第二个装置此时只产生一个斑点，位于z+z+通道。z−z-通道是空的。

两个 SG_z装置串联。只保留第一个装置的z+通道，阻挡z-通道。第二个装置只在z+通道产生一个斑点：第一次测量的结果得到完全重复。
图 5. 两个SGz\mathrm{SG}_z装置串联。只保留第一个装置的z+z+通道，阻挡z−z-通道。第二个装置只在z+z+通道产生一个斑点：第一次测量的结果得到完全重复。

经典图像在这里没有问题。如果第一个装置选出了某个μz\mu_z值，或使磁矩沿zz取向，而随后没有任何因素改变其μz\mu_z分量，那么第二个装置理应使所有选出的原子产生相同的偏转。因此，这个结果与简单筛选的图像相容。

重要 (可重复性)
在两次测量之间状态不发生演化的条件下，完全相同的理想测量重复进行时，必然给出相同结果。在这里，得到z+z+就制备了状态∣z+⟩\ket{z+}：随后沿zz测量，会以概率11得到z+z+。对z−z-同样如此。

5.3. 两个不同的轴

现在将第二个装置换成SGx\mathrm{SG}_x，其分析轴与第一个装置的分析轴垂直，见图 6。我们又会观察到两个斑点，且比例相等。

SG_z之后接 SG_x。尽管已经制备了 z+，第二个装置仍产生两个强度相等的斑点，而不是沿 e_z取向的经典磁矩所应产生的单个中央斑点。
图 6. SGz\mathrm{SG}_z之后接SGx\mathrm{SG}_x。尽管已经制备了∣z+⟩\ket{z+}，第二个装置仍产生两个强度相等的斑点，而不是沿e⃗z\vec e_z取向的经典磁矩所应产生的单个中央斑点。

可以设想两种经典解释。如果第一个装置已使μ⃗\vec\mu完全沿zz取向，那么μx=0\mu_x=0：第二个装置应产生中央斑点。如果它只选出了μz\mu_z的正值，而没有确定其他分量，那么μx\mu_x仍连续分布：应该看到连续条带。这两种解释都不能预言实际观察到的两个斑点。

回到逐个发射原子的情况。每个原子在x+x+或x−x-通道留下撞击点；对大量原子而言，两种结果比例相等。然而，进入SGx\mathrm{SG}_x的原子束比直接离开炉子的原子束受到了更严格的制备控制：其中所有原子都已从第一个装置的z+z+通道选出。如我们刚才所见，它们的制备∣z+⟩\ket{z+}甚至保证了再次沿zz测量时结果确定。

尽管如此，这种制备仍不能预言沿xx测量时撞击会出现在哪条通道。因此，仅用出炉时的无序已经不足以解释：同一种制备能使一种测量确定，却让另一种测量保持随机。量子力学中概率的作用由此逐渐清晰。

6. 三个SG装置串联

6.1. ZXZ：筛选改变制备

现在考虑SGz→SGx→SGz\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z序列，见图 7。第一个装置后只保留z+z+，第二个装置后只保留x+x+，最后沿zz分析这束新的原子束。

SG_z SG_x SG_z序列，在前两个装置之后分别选取正通道。图~ fig:sg-zz的配置中原本为空的z-通道再次出现，且强度与z+相同。
图 7. SGz→SGx→SGz\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_x\to\mathrm{SG}_z序列，在前两个装置之后分别选取正通道。图 5的配置中原本为空的z−z-通道再次出现，且强度与z+z+相同。

在经典讨论中，我们已经排除了磁矩完全沿SG轴取向的假设，因为它预言第二个装置会产生中央斑点，因而没有可供选择的x+x+通道。如果仍采用简单筛选的图像，第一个装置选出μz\mu_z的正值，第二个装置按μx\mu_x筛选原子而不改变μz\mu_z。第三个装置应当只出现z+z+通道。然而，z−z-通道却再次出现。

因此，沿xx的筛选改变了制备。选出x+x+之后，先前的结果z+z+已不能确定地预言新的zz测量。看来第二个装置改变了状态本身。

有时，人们把这一事实概括为“测量xx破坏了关于zz的信息”。这种说法有用，但必须记住，这里的现象不取决于实验者知道或观察了什么。x+x+筛选器在物理上制备了新状态∣x+⟩\ket{x+}，该状态以相等概率给出z+z+与z−z-。

重要 (不相容性)
使沿zz测量的结果确定的制备，并不能使沿xx测量的结果确定，反之亦然。不能把xx和zz分量视为两个预先存在、仅由装置揭示的经典数值。以后我们会称之为不相容可观测量。

6.2. ZYZ：概率相同，制备不同

最后，将中间沿xx的分析器换成沿yy的分析器，仍然只保留其正通道。SGz→SGy→SGz\mathrm{SG}_z\to\mathrm{SG}_y\to\mathrm{SG}_z序列的最后一次测量仍给出两个等概率结果。这可以推广到任何垂直于zz的中间轴：对于(x,y)(x,y)平面内的方向 u⃗=cos⁡φ e⃗x+sin⁡φ e⃗y\vec u=\cos\varphi\,\vec e_x+\sin\varphi\,\vec e_y， 选择u+u+通道之后，最后沿zz测量仍得到两个等概率结果。

然而，这不意味着∣x+⟩\ket{x+}、∣y+⟩\ket{y+}与∣u+⟩\ket{u+}这些制备全都相同。沿xx的分析可以区分它们：第一种必然给出x+x+，第二种以相等比例给出x+x+或x−x-，而对于第三种，实验表明两种结果的概率取决于φ\varphi。因此，两种制备可以对某项测量给出相同概率，却在物理上不同。

7. 逐渐显现的数学框架

我们并不打算仅凭这些实验推导出全部量子数学框架。不过，经典描述的失败迫使我们重新审视用语，并启发我们以新的方式表示状态。

7.1. 状态不是数值列表

制备∣z+⟩\ket{z+}不能简化为“μz=+μ0\mu_z=+\mu_0，且μx\mu_x与μy\mu_y具有未知但已经确定、仅待装置揭示的数值”。在这种简单筛选的图像中，Z ⁣X ⁣ZZ\!X\!Z序列应再次给出100 %100\,\%的z+z+，但事实并非如此。那么，若不使用预先存在的数值列表，应如何表示状态？

7.2. 走向量子叠加

量子数学框架最重要的新意是：状态本身包含了计算测量结果概率所需的信息。

制备∣x+⟩\ket{x+}使沿xx的结果确定，却使沿zz的两个结果等概率。为描述这种情况，量子数学框架将∣x+⟩\ket{x+}表示为∣z+⟩\ket{z+}与∣z−⟩\ket{z-}两个状态的叠加：

∣x+⟩=12(∣z+⟩+∣z−⟩).\ket{x+}=\frac{1}{\sqrt2} \left(\ket{z+}+\ket{z-}\right).
(11)

这些系数（这里每一项前都是1/21/\sqrt{2}）称为振幅：其模的平方给出沿zz测量各结果的概率，这里各为1/21/2。所有制备为∣x+⟩\ket{x+}的原子都处于由这个线性组合表示的同一状态。这不是一部分原子处于∣z+⟩\ket{z+}、另一部分处于∣z−⟩\ket{z-}的统计混合。

仅凭这里给出的结果，我们无法完全推导出这种结构。下一课的干涉实验将为它提供更多依据。最终，我们仍需将它作为公设。

7.3. 复向量空间

ZYZ以及更一般的ZUZ变体提出了如下问题：制备∣y+⟩\ket{y+}或∣u+⟩\ket{u+}同样在沿zz测量时给出50/5050/50，但当φ̸  =def  0(mod2π)\varphi\not\equiv0\pmod{2\pi}时，它们又不同于∣x+⟩\ket{x+}。因此，它们在基∣z+⟩,∣z−⟩\ket{z+},\ket{z-}中的两个振幅的模都必须为1/21/\sqrt2。如果振幅是实数，就只剩下±1/2\pm1/\sqrt2的四种符号选择：有限种可能不足以表示制备∣u+⟩\ket{u+}的连续多样性。

因此，量子数学框架采用复数振幅，其相位可变而模保持不变。例如，我们将会写出：

∣x+⟩=12(∣z+⟩+∣z−⟩),∣y+⟩=12(∣z+⟩+i∣z−⟩),\ket{x+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+\ket{z-}\right), \qquad \ket{y+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+i\ket{z-}\right),

(12)

更一般地，对于任意角φ\varphi，有∣u+⟩=12(∣z+⟩+eiφ∣z−⟩)\ket{u+}=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{z+}+e^{i\varphi}\ket{z-}\right)。这些状态因而不同，但沿zz测量的概率始终为1/21/2。认真对待这些线性组合，就会将状态表示为抽象复向量空间中的向量。“抽象”提醒我们：这些系数是概率振幅，而不是经典磁矩的空间分量。更一般地，一个状态的制备可写为

∣ψ⟩=α∣z+⟩+β∣z−⟩,α,β∈C.\ket{\psi}=\alpha\ket{z+}+\beta\ket{z-},\qquad \alpha,\beta\in\mathbb C.

(13)

要得到振幅及其模的平方，需要将状态投影到与各个可能结果对应的状态上。提取这些分量最简单的方法是使用内积。内积同时定义范数，在这里有

∥ψ∥2=∣α∣2+∣β∣2=1.\|\psi\|^2=|\alpha|^2+|\beta|^2=1.

(14)

因此，范数的平方对应所有可能结果的概率之和：这个和必须为一，状态也就由范数为一的向量表示。

在逐渐显现的数学框架中，状态将是复希尔伯特空间中的向量，即空间配备了可用于计算概率的内积。其线性结构使振幅可以相加，体现了量子叠加原理。这些内容将在主题2中详细研究。

8. 进一步探讨

这些实验过去一个世纪后，我们能够更准确地说明它们究竟测量了什么。在斯特恩和盖拉赫之后，人们逐渐认识到，银原子中被测的磁矩主要与一个未配对电子的自旋有关。自旋是一种内禀角动量，不同于电子的轨道角动量。电子是自旋为1/21/2的粒子：测量其自旋沿某轴的投影，会得到两个可能值Sz=±ℏ/2S_z=\pm\hbar/2。

与自旋角动量相联系的是一个正比于自旋的磁矩：

μ⃗s=−emeS⃗,∣γs∣=eme,\vec\mu_s=-\frac{e}{m_e}\vec S, \qquad |\gamma_s|=\frac{e}{m_e},

(15)

其中ee表示基本电荷的正值，γs\gamma_s为电子的旋磁比。负号源于电子带负电：其磁矩与自旋方向相反。因此，磁矩分量的两个可测值为μs,z=±μB\mu_{s,z}=\pm\mu_B，其中μB=eℏ/(2me)\mu_B=e\hbar/(2m_e)。自旋和磁矩是两个不同但彼此成正比的物理量。

在原子中，还必须考虑电子的轨道角动量，它对应另一个磁矩。氢原子提供了简单的例子：它唯一的电子既具有自旋，也具有轨道状态。在1s1s基态，轨道角动量为零，因此电子对原子磁矩的贡献来自自旋。菲普斯和泰勒于1927年完成了氢原子的斯特恩—盖拉赫实验。

银原子包含更多电子，但其电子组态[Kr] 4d10 5s1[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}\,5s^1使问题归结为同一原理。可以证明，满壳层中轨道与自旋的贡献相互抵消。于是只剩下5s5s电子；在基态，它的轨道角动量恰好为零，自旋为1/21/2。因此，历史上的实验揭示的正是它的自旋磁矩。

9. 参考资料