فضاءات هيلبرت وترميز ديراك

نعرّف في هذا الدرس فضاءات هيلبرت تعريفاً دقيقاً، مبينين أولاً كيف وأين تقع ضمن فرعي الرياضيات الكبيرين: الجبر والطوبولوجيا. سنصل إلى مبرهنة تصنيف فضاءات هيلبرت: فضاءان لهيلبرت متشاكلان تشاكلاً حافظاً للمسافة إذا كان لهما البعد الهيلبرتي نفسه. ينبغي ألا نخلط هذا المفهوم بالبعد الجبري للفضاء المتجهي، إذ لا يتطابقان إلا في البعد المنتهي. سنقدم الفضاءات النموذجية المرجعية لكل حالة (بعد منته، ولا نهائي قابل للعد، ولا نهائي غير قابل للعد)، مع لمحة عن استخداماتها في ميكانيكا الكم الأولية. ونختتم بمدخل إلى مسألة ثبات الفيزياء أو تغيرها عندما تعرّفها فضاءات هيلبرت مرتبطة بتشاكلات.

1. البنى الرياضية في الفيزياء

للوصول إلى فضاءات هيلبرت، نقدم تذكيراً موجزاً بـ« خريطة الرياضيات »   الأكثر استخداماً في الفيزياء النظرية. تعرض الصفحة التالية نسخة مبسطة جداً وناقصة إلى حد كبير جداً من مثل هذه الخريطة، لكنها تكفي لهذا المقرر، انظر الشكل (1).

إذا اخترنا البدء بالمفهوم الحدسي لمجموعة نقاط¹، فإننا نضيف تدريجياً بنية إلى هذه المجموعة. وسنشرح هذا المخطط شيئاً فشيئاً فيما يلي.

1.1. البنى الجبرية والفضاءات المتجهية

انطلاقاً من مجموعات النقاط، يمكن التوجه مباشرة إلى الفرع الأيسر من الخريطة (1)، أي البنى الجبرية، التي تستخدم عموماً لوصف مجموعات الأعداد، ولكن ليس وحدها.

لذلك نضيف عملية تركيب داخلية واحدة أو أكثر إلى مجموعة النقاط؛ وكلما حققت هذه العمليات قواعد معينة (التجميعية، والتبادلية، ووجود عنصر محايد، وغيرها)، حصلنا على بنى محددة.

نمثل في الشكل بعض البنى الأساسية: الماغما (مجموعة مزودة بعملية تركيب داخلية من دون خصائص محددة)، والزمر، والحلقات، والحقول. توجد بنى كثيرة أخرى، كأنصاف الزمر والمونويدات والحلقات غير التبادلية، لكنها لم تُعرض لتبسيط القراءة. كل بنية تخصّص السابقة: كل حقل حلقة، وكل حلقة زمرة بالنسبة للجمع، وهكذا. وبنية الحقل هي الأهم، لأنها خصوصاً بنية الأعداد الحقيقية أو العقدية المزودة بالعمليات الحسابية الأربع المعتادة. وهي أيضاً ما يسمح ببناء فضاءات متجهية فوقها.

يمكن عندئذ تكوين تراكيب خطية والحديث عن عائلات مستقلة خطياً أو مولّدة، وكذلك عن أساس الفضاء المتجهي وبعده. انتبه: سنستخدم في هذا الفصل مفهومين للأساس يجب تمييزهما جيداً: الأسس الجبرية الصالحة لجميع الفضاءات المتجهية، والأسس الهيلبرتية الصالحة لفضاءات هيلبرت وحدها. يتطابقان في البعد المنتهي، ولا يتطابقان في البعد اللانهائي. كذلك ينبغي التمييز بين البعد الجبري والبعد الهيلبرتي. لذا تلزم بعض التذكيرات قبل المتابعة.

يكافئ هذا التعريف التعريف المعتاد الآخر: العائلة $(e_i)_{i \in I}$ أساس إذا وفقط إذا كانت مستقلة خطياً ومولّدة لـ$E$ معاً. يتيح مفهوم الأساس الحديث عن بعد الفضاء المتجهي.

لاحظ أنه حتى في البعد اللانهائي، يتطلب تعريف الأساس الجبري أن يتحلل كل متجه إلى مجموع منته من متجهات الأساس. السبب أننا لا نستطيع السماح بتحليل إلى مجموع لانهائي، لأن ذلك يتطلب معرفة تقارب المجموع، وهو ما يحتاج إلى طوبولوجيا. سيصبح ذلك ممكناً في فضاء هيلبرت، ويبرر مفهوماً مناسباً للأساس الهيلبرتي، انظر القسم 2.3.

سؤال طبيعي هو: كم يوجد من فضاءات متجهية مختلفة؟ هل يمكن تصنيفها؟ الجواب نعم، جبرياً. نحتاج لذلك إلى علاقة تكافؤ: تشاكل الفضاءات المتجهية، وهو علاقة واحد لواحد بين فضاءين متجهيين $E$ و$F$ تحترم البنية الخطية:

ملاحظة: هذا التعريف جبري محض. عندما يُزوّد $E$ و$F$ بطوبولوجيا متوافقة مع بنيتهما المتجهية، نميّز مفهوم التشاكل الطوبولوجي: نطلب أيضاً استمرارية كل من $T$ و$T^{-1}$. سنعود إلى ذلك في الفضاءات المتجهية المعيارية وفضاءات هيلبرت.

لدينا عندئذ المبرهنة الأساسية:

إذن على $\mathbb{K} = \R$ أو $\C$ لا يوجد عملياً إلا نموذج واحد لفضاء متجهي منتهي البعد $n$: على الترتيب $\R^n$ أو $\C^n$، مجموعة المتجهات ذات $n$ مركبات حقيقية أو عقدية.

في البعد اللانهائي، مبدأ التصنيف نفسه: إذا قبلنا بديهية الاختيار، نثبت أن كل فضاء متجهي يمتلك أساساً (يسمى أساس هامل)، وتُعمّم مبرهنة التصنيف هكذا: فضاءان متجهيان على الحقل نفسه $\mathbb{K}$ متشاكلان إذا وفقط إذا كانت لأسسيهما القوة نفسها.

تُعبّر قوة الأساس اللانهائي بواسطة الأعداد الأصلية فوق المنتهية. وهي تميز «أحجاماً» مختلفة للانهاية. أصغر عدد أصلي لانهائي يرمز إليه بـ$\aleph_0$: إنه قوة $\mathbb{N}$، وكذلك $\mathbb{Z}$ و$\mathbb{Q}$. ثم نعرّف تراجعياً التسلسل $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$، حيث كل $\aleph_{n+1}$ أصغر عدد أصلي أكبر تماماً من $\aleph_n$ (لا يوجد عدد أصلي بينهما). في المنطق الرياضي، تفترض فرضية المتصل عدم وجود لانهاية ذات قوة وسطية بين $\mathbb{N}$ و$\mathbb{R}$؛ عندئذ يوافق $\aleph_1$ قوة $\mathbb{R}$.

لكن هذا التصنيف قليل الفائدة من حيث إن أساس هامل غير قابل عموماً للبناء الصريح. لذلك يبقى تصنيف الفضاءات المتجهية نظرياً بالدرجة الأولى. يتغير الوضع في الفضاءات المعيارية وفضاءات هيلبرت، حيث يمكن إعطاء الأسس المتعامدة المعيارية صراحة، على الأقل في البعد الهيلبرتي المنتهي أو اللانهائي القابل للعد، انظر القسم 3.

لكن قبل بلوغ فضاءات هيلبرت، ينبغي اتباع الفرع الأوسط من خريطة الرياضيات والحديث عن الفضاءات المترية والمعيارية.

1.2. الفضاءات المترية والفضاءات المعيارية

إذا اتبعنا الفرع الأوسط من الخريطة (1)، فعلينا أولاً تزويد مجموعة نقاط بطوبولوجيا؛ سنفصل ذلك في فصل آخر (طوبولوجيا الفضاءات المعيارية وفضاءات هيلبرت). هنا يكفي تذكر أن الطوبولوجيا تقدم مفهوم المحلية الذي يسمح بتعريف التقارب والنهاية والاستمرارية. خصوصاً، الفضاءات المترية فضاءات طوبولوجية: هي فضاءات نقاط مزودة بمسافة، وتُستخدم المسافة لتعريف المحلية.

بعد ذلك يمكن دمج الفرعين الجبري والطوبولوجي للخريطة 1 بدراسة الفضاءات المترية التي تكون مجموعتها الأساسية $X$ فضاءً متجهياً، أي الفضاءات المتجهية المزودة بمسافة. سيقودنا ذلك إلى بنية أساسية الأهمية في ميكانيكا الكم، وفضاءات هيلبرت حالة خاصة منها: الفضاءات المتجهية المعيارية، أو EVN.

لاحظ أننا لا نريد إباحة كل المسافات. بما أن الفضاء خطي، نريد مسافة متوافقة مع البنية المتجهية:

تعبر هذه الشروط عن احترام المسافة لهندسة الفضاء المتجهي: يجب أن تثبت تحت الانسحاب (تجانس الفضاء)، وأن تحافظ التحاكيّات على نسب المسافات^{2  3}. تقودنا القضية التالية الآن إلى الفضاءات المعيارية: إذا كانت $d$ مترية متوافقة على الفضاء المتجهي $E$، فإن تطبيق المسافة إلى الأصل، أي إلى المتجه الصفري، $\norm{x} = d(x, 0_E)$، معيار.

الفضاء المتجهي المزود بمثل هذه المسافة يكون فضاءً متجهياً معيارياً:

يحدد كل فضاء متجهي معياري $(E, \|\cdot\|)$ بصورة قانونية فضاءً مترياً $(E, d)$ عبر $d(x,y) = \|x-y\|$، وتكون هذه المترية تلقائياً متوافقة مع البنية المتجهية. لذلك تتقابل الفضاءات المتجهية المعيارية تقابلاً واحداً لواحد مع صنف جزئي محدد من الفضاءات المترية. بهذا المعنى، هي مجموعة جزئية منها.

2. فضاءات هيلبرت

وصلنا بذلك إلى الفضاءات المعيارية في الشكل (1). من المعتاد اختصار «فضاء متجهي معياري» إلى «فضاء معياري»، أو استخدام الاختصار EVN. الخطوة التالية هي تعريف الفضاءات قبل الهيلبرتية، ثم فضاءات هيلبرت التي تشكل الإطار الرياضي لميكانيكا الكم.

بما أن ميكانيكا الكم مبنية على الأعداد العقدية، سنقتصر من الآن على الحالة $\mathbb{K} = \C$. استخدمنا حتى الآن الحرفين $E$ و$F$ للفضاءات المتجهية والمعيارية. من الآن سنستخدم $\mathcal{H}$ و$\mathcal{G}$ للفضاءات الهيلبرتية وقبل الهيلبرتية. وستبقى المتجهات مرموزة بـ$x, y, z$ وغيرها.

2.1. الفضاء قبل الهيلبرتي والجداء الداخلي

الفضاء قبل الهيلبرتي فضاء متجهي معياري ينشأ معياره من جداء داخلي. وهذا ليس صحيحاً دائماً: بعض المعايير لا يمكن الحصول عليها من جداء داخلي، مثل معيار الحد الأعلى⁴. إذن الفضاءات قبل الهيلبرتية مجموعة جزئية حقيقية من الفضاءات المتجهية المعيارية. نذكّر بتعريف الجداء الداخلي الهرميتي على $\C$:

اجتماع الخاصيتين (1) و(2) يستلزم الخطية المرافقة (أو ضد الخطية) في المتغير الأول⁵: $\langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda^* \langle x, z \rangle + \mu^* \langle y, z \rangle$. يسمى التطبيق الخطي في متغير والخطي المرافق في الآخر نصف ثنائي الخطية⁶. فيما يلي سنقول «جداء داخلي» من دون تكرار «هرميتي»، فهي مفهومة ضمناً.

نستبق الخصائص الطوبولوجية للإشارة إلى نتيجة مهمة: الجداء الداخلي مستمر في المتغيرين، أي إذا كان $x_n \to x$ و$y_n \to y$ بمعنى المعيار (أي $\|x_n - x\| \to 0$ و$\|y_n - y\| \to 0$)، فإن

سنرى في مسلمات القياس الكمومي أن احتمال رصد كمية فيزيائية مرتبطة بمتجه ذاتي $\phi$، عندما يكون النظام في الحالة $\psi$، يعطى بـ$|\langle \phi , \psi \rangle|^2$ (انظر القسم 1.2 (المحور 3, الدرس 1, غير متاح بهذه اللغة)). لذلك تضمن استمرارية الجداء الداخلي أن تغيراً صغيراً في الحالة $\psi$ يؤدي إلى تغير صغير في الاحتمالات، وهو أمر مرغوب.

يحقق الجداء الداخلي خاصية أساسية أخرى:

تستخدم هذه المتباينة خصوصاً لإثبات أن التطبيق $x \mapsto \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ معيار بالفعل، كما يوحي الترميز.

نصل بذلك إلى التعريف التالي:

في فضاء قبل هيلبرتي عقدي $\mathcal{H}$، لدينا الصيغ المفيدة التالية.

ترتبط الصيغتان الأخيرتان بمبرهنة مهمة تصل الجداء الداخلي الهرميتي بالمعيار. تقرر مبرهنة فريشيه-فون نيومان-جوردان أن معياراً $\|\cdot\|$ على فضاء معياري $E$ ينشأ من جداء داخلي إذا وفقط إذا حقق متطابقة متوازي الأضلاع. هذه المتطابقة هي الاختبار: تتيح التحقق من وجود جداء داخلي، وإذا وجد، كانت صيغة الاستقطاب الوصفة لإعادة بنائه من المعيار.

2.2. الاكتمال وفضاء هيلبرت

للانتقال من الفضاءات قبل الهيلبرتية إلى الهيلبرتية، لا غنى عن مفهوم طوبولوجي: الاكتمال.

سنعود إلى هذه الجوانب الطوبولوجية في الفصل المخصص. حالياً نكتفي بالإشارة إلى أن الاكتمال أساسي للفيزياء الكمومية. حدسياً، الفضاء الكامل ليس فيه « ثقوب ». أي لا يمكن وجود متتالية من عناصر $\mathcal{H}$ تتقارب إلى شيء ليس في $\mathcal{H}$. هذا ما ينقص الأعداد النسبية مثلاً: متتالية نسبية مبنية جيداً قد تتقارب إلى عدد غير نسبي؛ وبهذه الطريقة نبني مجموعة الأعداد الحقيقية.

في ميكانيكا الكم، كل حالة فيزيائية للنظام متجه من فضاء هيلبرت، والعكس صحيح. هذه المسلمة الأولى لميكانيكا الكم. لذا لو لم يكن فضاء الحالات كاملاً، لاستطاع تطور دالة موجية مثلاً أن « يخرج من الفضاء » تحت تأثير معادلة شرودنغر، ويصبح « حالة غير فيزيائية »، وهو أمر لا معنى له.

يدخل الاكتمال أيضاً في مسلمة أساسية أخرى: يجب أن توافق نتائج القياسات الكمومية طيف المرصودات الفيزيائية المنظور إليها كمؤثرات خطية ذاتية المرافق. لكن المؤثر لا يمتلك دائماً مرافقاً في فضاء غير كامل، كما أن اكتمال الفضاء ضروري للمبرهنة الطيفية التي تتيح دراسة بنية المؤثرات ذاتية المرافق.

أخيراً، كل تعبير كمومي يتضمن مجموعاً لانهائياً (مثلاً نشر متسلسلة فورييه، أو التحليل على أساس حالات ذاتية، وغيرها) يحتاج إلى الاكتمال ليكون ذا معنى. فكتابة $|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |n\rangle$ بترميز ديراك (انظر القسم 4 (المحور 2, الدرس 2)) تفترض وجود هذه المتسلسلة، وهو ما لا يضمنه إلا الاكتمال.

لكن ثمة خبر جيد: هذه الدقة المتعلقة بالاكتمال لازمة في البعد اللانهائي وحده. في البعد المنتهي تبسط مبرهنة مهمة المسألة:

يمكننا الآن الانتقال إلى الوصف الجبري لفضاءات هيلبرت.

2.3. الأساس الجبري وأساس هيلبرت

ذكّرنا أعلاه بتعريف الأساس الجبري في الفضاءات المتجهية، انظر التعريف 2. ورأينا أنه يتيح تحليل المتجهات إلى مجموع منته. الفكرة الأساسية من إدخال طوبولوجيا يستحثها المعيار وفضاء كامل هي التالية: أصبح بإمكاننا الحديث عن تقارب المتتاليات. خصوصاً، يمكن النظر إلى تقارب المجاميع الجزئية $(x_n)$، حيث $x_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$ لمتجهات معينة $x_k$. إذا تقارب هذا المجموع، حصلنا على متسلسلة، أي مجموع لانهائي: $(x_n) \to x$ و$x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$. عندما يكون الفضاء كاملاً، نضمن انتماء هذه النهاية إليه.

بعبارة أخرى، عندما يكون البعد الجبري لفضاء هيلبرت لانهائياً، يمكننا الآن السماح بتحليل المتجهات إلى متسلسلة لانهائية. وهذا يعطينا مفهوماً جديداً للأساس:

لفهم هذا التعريف نحتاج إلى مفهوم الكثافة الطوبولوجي:

يصح ذلك أيضاً لفضاء هيلبرت، وهو خصوصاً معياري. إذن التمام يعني أن كل متجه من $\H$ يمكن تقريبه كيفما نشاء بتركيب خطي منته من عناصر $\H$.

بخلاف الأساس الجبري، لا نقول إن كل متجه يتحلل إلى تركيب خطي منته من العناصر، بل يمكن تقريبه بالدقة التي نشاء بتركيب خطي من أساس هيلبرت. بفضل الاكتمال، تتقارب هذه التقريبات فعلاً إلى x. لدينا عندئذ المبرهنة التالية لقوة اعتباطية لـ$I$:

الرابط بين تعريف أساس هيلبرت ومبرهنة التحليل ليس مباشراً.

نلاحظ أنه في البعد اللانهائي تكون قوة الأساس الجبري دائماً أكبر تماماً من قوة أساس هيلبرت. الحدس بسيط: التراكيب الخطية المنتهية للأساس الجبري يجب أن تبلغ كل نقطة $x$، بينما يكفي لأساس هيلبرت أن تقربها. لذا يكون الأخير « أقل دقة » ويحتاج إلى اتجاهات مستقلة أقل.⁸. أي إن التراكيب الخطية المنتهية لأساس هيلبرت لا تشكل إلا جزءاً ضئيلاً جداً من الفضاء ($\mathrm{Vect}(e_i) \subsetneq \mathcal{H}$). لذلك نحتاج عموماً إلى متسلسلات لانهائية متقاربة لتمثيل متجهات $\mathcal{H}$.

لنذكر أخيراً صيغة أخرى مفيدة جداً في رياضيات الفيزياء الكمومية.

2.4. البعد الهيلبرتي والتصنيف

أصبح لدينا تقريباً كل ما يلزم لإتمام تصنيف فضاءات هيلبرت. ينقصنا ثابت أساسي، هو البعد الهيلبرتي:

لتصنيف فضاءات هيلبرت، نحتاج أخيراً إلى علاقة تكافؤ مناسبة بينها. لذلك نوسّع مفهوم تشاكل الفضاءات المتجهية في التعريف 4 إلى الفضاءات المعيارية أولاً ثم الهيلبرتية، مكتفين مؤقتاً بمفهوم حدسي للاستمرارية:

لاحظ أنه إذا حفظ $T$ الجداء الداخلي، فإن $T$ يحفظ المعيار تلقائياً ($\|T(x)\|_{\mathcal{G}} = \|x\|_{\H}$). لهذا نتحدث عن تحويل حافظ للمسافة (خطي وتقابلي). حجر أساس التصنيف هو المبرهنة التالية:

من الواضح أن «البعد» يشير الآن إلى البعد الهيلبرتي. كل فضاء هيلبرت متشاكل تشاكلاً حافظاً للمسافة مع أحد هذه الفضاءات النموذجية، والتصنيف كامل. سنفصلها في القسم التالي، تاركين البعد اللانهائي غير القابل للعد إلى وقت متأخر. وهي فضاءات مرجعية للأنظمة الكمومية ذات درجات الحرية المنتهية (مثل اللف المغزلي)، أو اللانهائية القابلة للعد (مثل ميكانيكا الكم للجسيم النقطي)، أو غير القابلة للعد (مثل نظرية الحقول الكمومية).

3. الفضاءات النموذجية

3.1. فضاء هيلبرت $\C^n$

صراحةً، هو مجموعة الترتيبات ذات $n$ أعداد عقدية:

مزودة بـ:

• الجداء الداخلي الهرميتي: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^* y_i$ (لاحظ المرافق العقدي)
• المعيار الإقليدي المرتبط: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2}$

إنه فضاء متجهي معياري بعده $n$، مضمون الاكتمال لأنه منتهي البعد على حقل كامل. لذلك هو فضاء هيلبرت. أساسه القانوني، بمتجه عمودي، هو:

إنه أساس هيلبرتي قوته $n$، وأساس جبري أيضاً، أي إن كل متجه $x \in \mathbb{C}^n$ يتحلل تماماً إلى المجموع المنتهي:

يستخدم هذا الفضاء لكل نظام كمومي ذي عدد منته من الحالات القابلة للتمييز، وخصوصاً الأنظمة ذات المستويين أو الكيوبتات.

3.2. فضاء هيلبرت $\ell^2(\mathbb{N})$

يُعرّف بمجموعة المتتاليات القابلة لجمع المربعات:

يمكن إثبات أنه فضاء هيلبرت عندما يُزوّد بـ:

• الجداء الداخلي: $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^* y_i$ (لاحظ المجموع اللانهائي هذه المرة)،
• المعيار المرتبط: $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2}$ (الملاحظة نفسها)

نبيّن هنا قابليته للعد ببناء أساسه القانوني صراحة. يشبه أساس $\C^n$. لكل $i \in \mathbb{N}$ نعرّف، بمتجه عمودي أيضاً:

أي المتجه الذي إحداثيته ذات الرتبة $i$ تساوي $1$ والبقية $0$. الفرق الوحيد عن البعد المنتهي هو أن له عدداً لانهائياً من المركبات.

يستخدم هذا الفضاء مثلاً لوصف المهتز التوافقي في ميكانيكا الكم، إذ سنرى أن حالات الطاقة الذاتية مفهرسة بعدد صحيح $n$ غير محدود، بحيث تكتب كل حالة للمهتز التوافقي بمتسلسلة من هذا النوع.

3.3. فضاء هيلبرت $L^2(\R)$

في ميكانيكا الكم لجسيم نقطي في بعد واحد، دالة الموجة $\psi(x)$ دالة عقدية القيمة لمتغير حقيقي. يتطلب التفسير الاحتمالي:

لذلك نُقاد طبيعياً إلى تعريف الفضاء المرتبط بهذه الميكانيكا بأنه مجموعة الدوال القابلة لتكامل المربع:

الشرط «$< \infty$» يبين أنه يمكن دائماً معايرة حالة. نزوّده بالجداء الداخلي:

الذي يستحث المعيار:

يمكن إثبات أن ذلك يجعله فضاء هيلبرت، لكنه ليس أمراً بديهياً تماماً. يمكن إعطاء أساس هيلبرتي صريح. توجد أسس معروفة عدة (هرميت، والمويجات، ولاغير، ووالش ...). مثلاً نعرّف أولاً كثيرات حدود هرميت بالعلاقة التراجعية:

ثم نعرّف دوال هرميت:

سنقبل هنا أن هذه الدوال تشكل عائلة متعامدة معيارية:

وتامة؛ فهي إذن أساس هيلبرتي. ملاحظة: هي أيضاً الأساس الذاتي لهاملتوني المهتز التوافقي أحادي البعد. للمزيد نرجع إلى ويكيبيديا ^[7]. عملياً، قليلًا ما يستخدم هذا الأساس لأن التعبيرات الصريحة شديدة التعقيد. ابتُكر « أساس آخر » (ليس أساساً فعلياً)، بل أساس مستمر معمّم، هو الكيتات الشهيرة $\ket{x}$ التي سنعود إليها.

3.4. فضاءا هيلبرت $L^2(\mathbb{R}^3)$ و$L^2(\mathbb{R}^{3n})$

في ثلاثة أبعاد، ندرس على نحو مماثل $L^2(\R^3)$ بالجداء الداخلي

لنظام من $n$ جسيمات في ثلاثة أبعاد، فضاء الحالات هو

يعطى الجداء الداخلي بـ

والمعيار المرتبط هو

كلها فضاءات هيلبرت (مقبول دون برهان).

4. كلمة أخيرة

قد يصدم القارئ مما رأيناه أن $L^2(\R)$، المستخدم لوصف ميكانيكا الكم لجسيم نقطي في بعد واحد، متشاكل مع $L^2(\R^3)$ المستخدم لنمذجة فيزياء ثلاثة أبعاد. سنرى في درس آخر بالتفصيل لماذا لا يشكل هذا مفارقة. الفكرة الأساسية أن الفيزياء لا يحددها فضاء هيلبرت وحده، بل أيضاً مجموعة من المرصودات. ولا يستطيع أي تشاكل من $L^2(\R)$ إلى $L^2(\R^3)$ نقل جبر المرصودات أحادي البعد كله في آن واحد إلى جبر ثلاثة أبعاد (أي من زوج واحد $[\hat{X}, \hat{P}]$ إلى ثلاثة أزواج مستقلة $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar \delta_{ij}$).

هذا التشاكل لا يصف مساواة رياضية أيضاً: فضاءا هيلبرت هذان مختلفان بالفعل كفضاءي دوال، لكنهما متشاكلان في البنية الهيلبرتية. لا يؤكد التشاكل إلا التشابه البنيوي بينهما، أي الحجم نفسه (بقوة أسسيهما الهيلبرتيين) والخصائص نفسها للبنية الهيلبرتية: تُحفظ بهذا التشاكل المعايير والمسافات والتعامد والخصائص الطوبولوجية للتقارب والاستمرارية وغيرها.

وهكذا، رغم وجود فضاء هيلبرت مجرد واحد فقط لكل عدد أصلي حتى تحويل حافظ للمسافة، توجد له تحقيقات ملموسة لانهائية.

لم يكن قضاء هذا الوقت لفهم تصنيف فضاءات هيلبرت عديم الفائدة: رأينا أنه يوافق في الفيزياء أوضاعاً مختلفة بحسب « بُعدية » النظام الكمومي المدروس. خصوصاً، تصحب التصنيف قواعد حساب مختلفة (مجاميع منتهية، أو متسلسلات لانهائية، أو تكاملات مستمرة بحسب طبيعة الأساس). ويوافقه كذلك نظرية للمؤثرات الخطية تتغير جذرياً بين البعد المنتهي واللانهائي.

5. المراجع