الرئيسية/المحاور/المحور 2

فضاءات هيلبرت وترميز ديراك

بنية فضاءات هيلبرت والمزدوج الطوبولوجي وترميز ديراك في الأبعاد المنتهية وغير المنتهية.

ترميز ديراك في الأبعاد المنتهية

القواعد الجبرية للحساب الكمومي الصالحة في أي بُعد، ثم ملخّص الصيغ المصفوفية في الأبعاد المنتهية.

ترميز ديراكجداء داخلي هيرميتيالمرافقمؤثر كيت–براتحليل مؤثر الهويةالبعد المنتهيعناصر المصفوفةالأثرالمنقول المرافقملخّص الصيغ

تخضع الكائنات التي عرّفناها للتو لمجموعة من الخصائص الأساسية، الصالحة أيًا كان بعد فضاء هيلبرت، وبصرف النظر عن كون المؤثرات محدودة أو غير محدودة. وفي الحالة الأخيرة يظل بالإمكان تعريف المرافق، لكن الأمر أدق رياضيًا، وسنعود إليه في المحور التالي المخصّص لنظرية المؤثرات الخطية. وبما أن العالم بأسره يستخدم ترميزات ديراك، فإن هذه الخصائص تشكّل عمليًا القواعد الجبرية للحساب الكمي، ولذلك لا بد من إتقانها.

يجمع هذا الدرس جميع الصيغ المفيدة التي رأيناها حتى الآن، ولو استلزم ذلك تكرارها، ويضيف إليها بعض الصيغ. نقدّم أولًا ما يصح في كل بعد، ثم مجموعة الصيغ الخاصة بالبعد المنتهي، حيث يتحوّل ترميز ديراك إلى حساب مصفوفي صريح.

1. قواعد الحساب في كل بعد

خصائص الجداء الداخلي.

ليكن (∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 متجهين من فضاء هيلبرت، وليكن (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 عددين سلميين. يحقق الجداء الداخلي الخصائص التالية:

  1. التناظر الهرميتي:

    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}

    (1)

  2. مضادة الخطية يسارًا: البرا المرتبط بـ λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} هو λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi}، أي:

    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣و⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{و} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }

    (2)

  3. الخطية يمينًا:

    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}

    (3)

  4. التراكيب الخطية: تسمح الخصائص السابقة بنشر التعابير المعقّدة بالطريقة المعتادة، مثل التعبير التالي: لكل α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C لدينا:

    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }

    (4)

  5. المعيار: بالتعريف،

    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}

    (5)

    وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 هو المتجه الصفري (الذي يُرمز إليه أحيانًا، ولكن نادرًا، بـ ∣∅⟩\ket{\varnothing}).

خصائص المرافق.

نعيد هنا كتابة الصيغتين اللتين تقومان مقام التعريف:

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

و

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

وهذا يسمح أيضًا بإثبات، عبر التناظر الهرميتي، أن:

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

خصائص المؤثرات المرافقة.

لكل مؤثرين خطيين مستمرين A^,B^\hat{A}, \hat{B} على H\mathcal{H}، ولكل عدد سلمي λ∈C\lambda \in \mathbb{C}، لدينا:

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (مضادة الخطية)(A^B^)†=B^†A^†,(انتبهوا إلى الترتيب)(A^†)†=A^,    (الانعكاسية).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(مضادة الخطية)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(انتبهوا إلى الترتيب)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(الانعكاسية)}. \end{aligned}
مؤثر الكيت-برا.

البراكت عدد، لكن الكيت-برا مؤثر يُسمّى الجداء الخارجي (ولا علاقة له بالجداء الخارجي للأشكال التفاضلية). نربط بالمتجهين ∣φ⟩\ket{\phi} و∣ψ⟩\ket{\psi} المؤثر ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} المعرّف كما يلي:

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
تفكيك مؤثر الهوية.

يُرمز إلى مؤثر الهوية في H\Hilb بـ 1\mathbf{1}، ويُعرَّف مباشرة بالعلاقة 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb. في أساس هيلبرتي قابل للعد {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I}، حيث II منتهية أو لانهائية قابلة للعد، يُكتب مؤثر الهوية 1\mathbf{1}:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

هذه الصيغة مفيدة جدًا عمليًا. وتُسمّى أيضًا تحليل الهوية أو علاقة الإغلاق. الطرف الأيمن مجموع في البعد المنتهي، أو متسلسلة متقاربة في البعد اللانهائي القابل للعد. وهي غير صحيحة في حالة البعد غير القابل للعد.

التفكيك الهيلبرتي.

تسمح الصيغة السابقة، مثلًا، باستعادة مبرهنة التفكيك التي رأيناها في الدرس 1 مباشرة، بتعريف ψi\psi_i مركّبة الكيت ∣ψ⟩\kpsi على ∣ei⟩\ket{e_i}:

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

هذا مجموع أو متسلسلة بحسب البعد. ولتفكيك الكيت نظير بالنسبة إلى البراات:

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

ويُكتب المعيار عندئذ:

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

ملاحظة 1 (انتبهوا إلى الترتيب!)
مركّبات الكيت هي ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi}، وليست ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i} الذي يساوي ψi∗\psi_i^*. الجداء الداخلي الهرميتي ليس تبادليًا، لذا يجب الانتباه إلى الترتيب. في Rn\mathbb{R}^n المزوّد بالجداء الداخلي الإقليدي المعتاد، نستخرج المركّبة viv_i للمتجه v⃗\vec{v} بواسطة vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i، مما قد يوحي بأن الصيغة الكمية هي ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i}، لكن الأمر ليس كذلك!
بعض المؤثرات الخاصة.

يعرض المحور التالي بالتفصيل نظرية المؤثرات الخطية على فضاء هيلبرت. ومع ذلك نسجّل بعض الحالات الشائعة جدًا لما سيأتي. ضمن مجموعة المؤثرات H→H\Hilb \to \Hilb، سنجد خصوصًا مؤثرًا:

  1. A^\hat A، هرميتيًا أو ذاتي المرافق إذا كان A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A}،
  2. U^\hat U، وحدويًا إذا كان U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}،
  3. P^\hat P، إسقاطًا إذا كان P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P}،
  4. P^\hat P، إسقاطًا عموديًا: أي إسقاطًا ذاتي المرافق.

المؤثرات الوحدوية تقابلية وخطية وتحفظ الجداء الداخلي. لقد صادفناها إذًا أعلاه: إنها التماثلات المتساوية القياس (وهنا بالتحديد التماثلات الذاتية المتساوية القياس، لأننا لا نتحدث إلا عن المؤثرات الخطية من H\Hilb إلى نفسه).

2. مجموعة الصيغ في البعد المنتهي

يمكن تحديد قواعد الحساب الكمي بمزيد من التفصيل عندما يكون فضاء هيلبرت ذا بعد منتهٍ nn. فجميع صيغ القسم السابق صالحة، مع كتابة المجاميع الواردة فيها كمجاميع منتهية: ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}.

إضافة إلى ذلك، بعد اختيار أساس متعامد مُطبَّع B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n، يقابل ترميز ديراك حسابًا مصفوفيًا صريحًا نفصّله الآن (انتبهوا: ما يلي لا معنى له إطلاقًا في البعد اللانهائي).

الكيتات كمتجهات أعمدة.

بتمثيل كيتات الأساس B\mathcal{B} تمثيلًا قانونيًا بمصفوفات (n,1)(n,1)، وتُسمّى أيضًا متجهات أعمدة:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

حيث يقع 11 في الموضع ii، وباستخدام التفكيك الجبري:

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

نحصل على كتابة جميع الكيتات كمتجهات أعمدة: من أجل ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H} نكتب:

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

وسنحذف، ما لم تدعُ الحاجة، ذكر الأساس B\mathcal{B} الذي أُجري فيه هذا النشر. كذلك تُستخرج المركّبات بإسقاطات عمودية:

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

البراات كمتجهات صفوف مرافقة.

يجب أن يحقق الشكل الخطي φu\varphi_u المرتبط بالمتجه uu، لكل متجه vv:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

بسبب مضادة خطية الجداء الداخلي الهرميتي يسارًا. وللحصول على هذا المجموع كضرب مصفوفي، يجب أن يكون ⟨u∣\bra{u} متجه صف إحداثيات uu المرافقة:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

لأن الجداء الداخلي ⟨u|v⟩\braket{u}{v} يُستخرج عندئذ بالضرب المصفوفي المعتاد:

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

نلاحظ عندئذ أن البرا ⟨u∣\bra{u} هو المنقول المرافق، أو « المنقول مع المرافقة »، للكيت ∣u⟩\ket{u}. لذلك تعود عملية داغر في البعد المنتهي إلى أخذ المنقول المرافق:

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

هذا غير صحيح في البعد اللانهائي، بل لا معنى له، لأن النقل غير معرّف1.

ملاحظة 1: على أقصى تقدير، في الفضاء ℓ2(N)\ell^2(\N) وفي أساسه القانوني الذي فصّلناه في القسم 3.2 (المحور 2, الدرس 1)، تسير الأمور بصورة مشابهة نسبيًا باعتبار متجهات أعمدة أو صفوف لانهائية، واستبدال المجاميع المنتهية بمتسلسلات متقاربة. قد يساعد ذلك على بناء الحدس، لكن بالمعنى الدقيق لا يتعلّق الأمر بمصفوفات. وفي L2(R)L^2(\R) لا يعود لذلك أي معنى على الإطلاق، وإن كان يوجد أيضًا نظير تكاملي؛ راجع الدرس التالي.
التمثيل المصفوفي للمؤثرات.

في أساس متعامد مُطبَّع {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n في البعد المنتهي، يُفكَّك كل مؤثر خطي A^\hat{A} كما يلي:

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

مما يؤدي في البعد المنتهي إلى المطابقة الطبيعية بين المؤثر الخطي A^\hat{A} (المكتوب بقبعة) ومصفوفته AA (دون قبعة). فالصيغة السابقة هي نظير النشر المصفوفي A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij} في تشكيل ديراك، حيث EijE_{ij} المصفوفة الأولية التي تحتوي 11 في الموضع (i,j)(i,j) وأصفارًا في بقية المواضع. لذلك فإن EijE_{ij} هي المصفوفة الممثّلة للمؤثر ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j}. تُسمّى المعاملات AijA_{ij} طبيعيًا عناصر مصفوفة المؤثر A^\hat{A} في الأساس {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\}. وقيمتها:

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

لكن لأسباب جمالية، سنكتب غالبًا بالشكل:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

مصفوفة مؤثر الهوية هي بالطبع مصفوفة الوحدة، وعناصرها هي δij\delta_{ij} (رمز كرونيكر).

أثر مؤثر.

سنحتاج كثيرًا فيما بعد إلى النظر في أثر مؤثر A^\hat{A}. ويُحسب بترميز ديراك كما يلي:

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

هذا التعبير مستقل عن اختيار الأساس المتعامد المُطبَّع.

المرافق والمنقول المرافق.

في البعد المنتهي، تكون المصفوفة التي تمثّل المرافق A^†\hat{A}^\dagger هي المنقول المرافق للمصفوفة الممثّلة للمؤثر A^\hat{A}:

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

نقدّم هنا برهانًا سريعًا لأنه يوضّح كيفية استخدام قواعد الحساب السابقة عمليًا. عناصر مصفوفة A^†\hat{A}^\dagger هي بالتعريف:

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

لكن من تعريف المرافق، لدينا:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

باستخدام التناظر الهرميتي، لدينا ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*، وهذا ليس إلا عناصر المصفوفة Aji∗A_{ji}^*. إذًا:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

وهذا يثبت الخاصية. في البعد المنتهي، يمكننا بالتالي التحقق صراحة بحساب مصفوفي مما إذا كان المؤثر هرميتيًا أو وحدويًا، وغير ذلك.

3. المراجع

لم تُضف مراجع لهذا الدرس حتى الآن.