فضاءات هيلبرت وترميز ديراك

1. الأساس المستمر المعمَّم للفضاء $L^2(\mathbb{R})$

لقد فصّلنا الفضاء النموذجي $L^2(\R)$ في القسم 3.3 (المحور 2, الدرس 1). وعلى وجه الخصوص، عرضنا له أساسًا هيلبرتيًا قابلًا للعد. تتفكّك كل حالة فيزيائية عندئذ إلى متسلسلة على أساس دوال هيرميت. وللأسف، تعابير هذه الدوال الصريحة معقّدة جدًا.

لذلك ابتُكر « أساس » آخر، ليس أساسًا فعليًا بمعنى الأساس الهيلبرتي، بل هو ما يُسمّى أساسًا مستمرًا معمَّمًا. الانتقال إلى البعد اللانهائي دقيق هنا، ويتطلّب بناؤه الصارم أدوات المحور التالي المخصّص لنظرية المؤثرات الخطية. لذلك سنقبل حاليًا مجموعة الصيغ التالية، مع تذكّر أنها دليل لاستخدام ترميزات ديراك في هذا "الأساس"، وليست بناءً رياضيًا مثبتًا.

1.1. الأساس المعمَّم في تمثيل الموضع

فلنحاول مع ذلك تقديم بعض الأفكار. نُدخل أولًا مؤثرًا ذاتي المرافق يُسمّى مؤثر « الموضع »، ويُرمز إليه بـ $\hat{X}$، ويعمل على دوال فضاء هيلبرت $L^2(\mathbb{R})$ بالضرب:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

انتبهوا إلى مجال التعريف. لا معنى لهذا التعبير إلا إذا بقيت الدالة $x\,\psi(x)$ في $L^2(\R)$. وهذا لا يحدث دائمًا: فبعض الدوال القابلة لتكامل مربعها تصبح متباعدة عند ضربها في $x$.¹ لذلك لا يمكن تعريف المؤثر $\hat{X}$ على $L^2(\R)$ بأكمله، بل فقط على فضاء جزئي من الدوال يبقى فيه ناتج فعله ضمن $L^2$.

للحصول على مجال محدّد جيدًا، كثيف في $L^2$ ومستقر تحت العمليات المعتادة (الاشتقاق، والضرب في $x$، وتحويل فورييه)، نُدخل فضاء دوال شفارتز، المرموز إليه بـ $\mathcal{S}(\R)$:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

أي إنها دوال ملساء سريعة التناقص، بحيث تتجه $f$ وجميع مشتقاتها إلى الصفر بسرعة أكبر من أي قوة معكوسة لـ $x$.

الفضاء $\mathcal{S}(\R)$:

• كثيف في $L^2(\R)$ (يمكن تقريب كل دالة في $L^2$ بدقة اعتباطية بدوال من $\mathcal{S}$)،
• مستقر تحت الاشتقاق والضرب في $x$، وتحويل فورييه.

لذلك فهو المجال الطبيعي لتعريف مؤثري الموضع $\hat{X}$ وكمية الحركة $\hat{P}$ تعريفًا سليمًا، وعليه تستند الأبنية الصارمة لتشكيل ديراك وثلاثية غيلفاند.

بعد اتخاذ هذه الاحتياطات، يمكننا كتابة الحالات الذاتية لـ $\hat{X}$، بصورة صورية بحتة في الوقت الراهن²:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

تشكّل الكيتات $\ket{x}$ ما يُسمّى أساسًا مستمرًا معمَّمًا، بمعنى أنها تسمح بتمثيل عناصر $L^2(\R)$ كتراكبات مستمرة، رغم أن $\ket{x}$ نفسها ليست متجهات من فضاء هيلبرت.

في الحقيقة، ليست هذه كيتات بالمعنى الدقيق، لأنها غير قابلة للتطبيع. وسنرى السبب. هذه العائلة غير قابلة للعد، ولذلك لا يمكن كتابة تعامدها المطبَّع برمز كرونيكر المتقطع $\delta_{ij}$، بل عبر « نسخته المستمرة »   بالشكل:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

وعلى وجه الخصوص:

حيث أدخلنا دلتا ديراك $\delta(x)$، وهي ليست دالة عادية، بل توزيع من نظرية التوزيعات في الرياضيات. نعرّفها بفعلها تحت التكامل:

لكل دالة اختبار $f$ من فضاء شفارتز. يجب فهم أن $\delta(x)$ منفردة لا معنى لها، بل ليست عددًا أصلًا. في الحقيقة، $\delta$ شكل خطي $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ يعمل على دوال الاختبار³. فهي إذًا لا تُعرَّف إلا بفعلها تحت التكامل (2)، وليس بـ قيمها $\delta(x)$.

لكن إذا أصررنا على اعتبارها دالة، فيمكن النظر إليها بوصفها نهاية متتالية دوال تزداد تركّزًا حول الصفر، مثل نهاية دوال غاوسية تزداد حدّة:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

أو كمستطيلات متمركزة عند الصفر، يتجه عرضها إلى الصفر وارتفاعها إلى اللانهاية. في جميع الحالات، تبدو دلتا في هذه الرؤية عند النهاية "دالة" صفرية في كل مكان عدا $x = 0$، حيث تتباعد، مع بقاء المساحة الكلية تحت المنحنى مساوية لـ 1.

لهذا نكتب في الفيزياء مع ذلك $\delta(0) = \infty$، لكن يجب فهم التجاوز في الترميز والمعنى هنا. وهذا يبيّن على أي حال، عبر المعادلة (1)، أن الكيت $\ket{x}$ ليس ذا معيار منتهٍ. وتقبل دلتا ديراك أيضًا تمثيلًا تكامليًا مفيدًا للغاية، ربما يكون أهم صيغة في هذا القسم:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

وهنا أيضًا، يجب فهم المساواة بمعنى نظرية التوزيعات، لأن هذا التكامل غير متقارب بوضوح، ولن يكون له أي معنى دون ذلك.

« عناصر مصفوفة » مؤثر الموضع $\hat{X}$ هي $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$. نواصل تسميتها هكذا (قارنوا بالقسم السابق في البعد المنتهي)، رغم أنه لا يمكن تمثيل $\hat{X}$ بمصفوفة عادية. يمكن تخيّل « مصفوفة ذات فهارس مستمرة »، قطرية بمعنى التوزيعات، لكن قيمتها على القطر $x = x'$ لا معنى ذاتيًا لها (إذ إن $x\,\delta(0)$ ليس عددًا حقيقيًا). وهنا، على الأرجح، يظهر الفرق الأساسي بين المؤثرات الخطية في البعد المنتهي (= المصفوفات) والمؤثرات الخطية في البعد اللانهائي.

في الأساس المعمَّم، تُكتب علاقة تحليل الهوية كما يلي:

تسمح برؤية تفكيك كل كيت $\kpsi$ من فضاء هيلبرت على هذا الأساس المستمر كتكامل:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

حيث عرّفنا الدالة الموجية

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

وبالمثل، يُنشر البرا المرافق لـ $\kpsi$ كما يلي:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

حيث استخدمنا التناظر الهرميتي للجداء الداخلي: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

لاحظوا أن مركّبة المتجه $\hat{X} \psi$ عند $x$، التي تساوي بالتعريف $\braket{x}{X\psi}$، تُكتب غالبًا، هنا أيضًا لأسباب جمالية (قارنوا بالمعادلة (4 (المحور 2, الدرس 2)))، بالشكل:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. في تمثيل كمية الحركة

في ميكانيكا الكم للجسيم النقطي، نُدخل بصورة مماثلة مؤثر الزخم (أو كمية الحركة) بفعله على الدوال الموجية $\psi(x)$ المنتمية إلى $L^2(\mathbb{R})$:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

يجب هنا أيضًا الاقتصار على مجال شفارتز لكي تكون الدالة الموجية قابلة للاشتقاق من جهة، ولكي تبقى مشتقتها قابلة لتكامل مربعها من جهة أخرى.

إن التحقق من أن $\hat{P}$ مؤثر ذاتي المرافق بالفعل تمرين تطبيقي ممتاز على هذا الفصل. لذلك لنبدأ بدراسة مؤثر الاشتقاق نفسه، المرموز إليه كما يلي:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

إنه مؤثر خطي (فالاشتقاق خطي: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$). ومن الواضح أنه لا يمكن تمثيل هذا المؤثر بمصفوفة كما في البعد المنتهي: فهو يعمل تفاضليًا على فضاء دوال لانهائي البعد. لذلك لا يمكن حساب مرافقه بعملية نقل مع المرافقة، لكن يمكن مع ذلك حسابه باستخدام تعريف المرافق الذي يحقق، لدالتي اختبار $\phi$ و$\psi$ من $\mathcal{S}(\R)$:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

راجعوا التعريف 2 (المحور 2, الدرس 2). أما الطرف الأيسر فيساوي، بإدراج تحليل الهوية:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

مما يبيّن أن مرافق المؤثر $\hat{D} = d/dx$ يساوي $-\hat{D} = -d/dx$. في الحساب السابق، أدخلنا أولًا تحليل الهوية بين البرا والكيت في السطر الأول؛ ووزّعناه في الثاني، واستخدمنا التناظر الهرميتي في الثالث. في السطر الرابع استخدمنا تعريف $\hat{D}$ والدوال الموجية، وفي الخامس أجرينا تكاملًا بالأجزاء على $\R$: تتلاشى الحدود الطرفية عند اللانهاية لأن دوال فضاء شفارتز تتناقص أسرع من كل وحيد حد. أخيرًا، عدنا في الأسطر الأخيرة من الدوال الموجية إلى الجداءات الداخلية، ثم استخرجنا تحليل الهوية عاملًا مشتركًا وحذفناه. لذلك فإن مؤثر كمية الحركة ذاتي المرافق بالفعل، لأن

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

تضمن ذاتية المرافق للمؤثر $\hat{P}$ أن قيمه الذاتية (قيم كمية الحركة الممكنة) حقيقية، وأن دواله الذاتية تشكّل أساسًا كاملًا لفضاء الحالات بالمعنى المعمَّم (عبر توزيعات ديراك).

الحالات الذاتية لكمية الحركة. — بصورة مماثلة تمامًا، نعرّف « الكيتات » المعمَّمة $\ket{p}$ كحالات ذاتية لـ $\hat{P}$:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

في تمثيل الموضع، تُستخرج الدالة الموجية المرتبطة بالإسقاط على $\bra{x}$:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

هذه معادلة تفاضلية بسيطة حلّها:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

يبيّن هذا التعبير أن التحويل الذي يربط تمثيلي الموضع وكمية الحركة هو بالضبط تحويل فورييه.

التعامد والاكتمال. — تحقق الكيتات $\ket{p}$ علاقات مماثلة لعلاقات $\ket{x}$:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

نعرّف الدالة الموجية في تمثيل كمية الحركة كما يلي:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

إذًا، التحويل $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ هو تحويل فورييه، ويُكتب التحويل العكسي:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

علاقة التبادل الأساسية. — أخيرًا، يحقق المؤثران $\hat{X}$ و$\hat{P}$ علاقة التبادل القانونية:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

هذه العلاقة هي أساس ميكانيكا الكم للجسيم النقطي بأكملها. في الواقع، تستنتج جميع صيغ هذا القسم من هذه العلاقة القانونية وحدها: نبرهن أن التمثيل الهيلبرتي الوحيد الممكن لهذا الجبر بين X وP هو ما كتبناه للتو. وعلى وجه الخصوص، نبيّن أن $X$ يعمل بالضرب على الدوال الموجية في x، وأن P يعمل بالاشتقاق، والعكس بالعكس. سنفصّل هذه النتيجة الرئيسية لاحقًا؛ إنها مبرهنة ستون–فون نيومان.

1.3. خصائص دلتا ديراك

ننهي هذا القسم وهذا الفصل ببعض الصيغ المفيدة عن دلتا ديراك، التي يجب فهمها دائمًا بمعنى التوزيعات، أي عندما تكون دلتا تحت رمز تكامل:

التناظر:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

التجانس:

لكل عدد حقيقي $a \neq 0$،

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

تغيير المتغير:

إذا كانت $f$ دالة ملساء ذات جذور بسيطة $\{x_i\}$ بحيث $f(x_i) = 0$، فإن

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

مشتقة دلتا:

تُعرَّف المشتقة التوزيعية بالعلاقة

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. المراجع