فضاءات هيلبرت وترميز ديراك

1. فكرة الازدواجية

تمثّل الازدواجية الخيط الناظم لهذا الدرس بأكمله. فلنحاول إعطاء تفسير حدسي لها. يشمل مفهوم الازدواجية في الرياضيات حالات كثيرة، لكنه يعبّر في فضاءات هيلبرت عن فكرة بسيطة وعميقة: يمكن النظر إلى المتجه لا بوصفه كائنًا قائمًا بذاته فحسب، بل أيضًا بوصفه مؤثرًا يعمل على متجهات أخرى لينتج أعدادًا (أي بوصفه شكلًا خطيًا). في ميكانيكا الكم، يكون العدد الناتج سعة احتمال.

لذلك يستفيد التشكيل الرياضي الكمي من هذين الوجهين استفادة كاملة، وتوفّر ترميزات ديراك نظام كتابة بارعًا يسهّل التعامل معهما. نجد فيه الكيتات، المرموز إليها بـ $\ket{u}$، التي تمثّل متجهات الفضاء، والبراات، المرموز إليها بـ $\bra{u}$، التي تمثّل أشكالًا خطية تعمل على هذه المتجهات. ينتج عن جمعهما $\langle u|v\rangle$ عدد سلمي يُسمّى براكت، بينما تصف تعابير من نوع $\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j}$ المؤثرات.

أصبح هذا الترميز اللغة المعيارية للفيزياء الكمية، وإتقانه الكامل أمر لا غنى عنه. وستُقدَّم بعد هذا الدرس ورقة تلخّص قواعد الحساب. في الواقع، يمكن تعلّم التعامل مع هذه الرموز من دون فهم حقيقي للرياضيات الكامنة وراءها. لكن لفهم معناها العميق، علينا تنفيذ البرنامج الذي نرسمه هنا: فهم كيفية بناء المطابقة الكاملة بين المتجهات والأشكال الخطية، ولماذا تؤدي هذه الخطوة طبيعيًا إلى تعريف كائن أساسي آخر، هو مرافق المؤثر.

سنحاول في القسم التالي إنشاء تماثل من هذا النوع بين فضاء متجهي ومزدوجه الجبري، المعرّف بأنه مجموعة جميع أشكاله الخطية. وسنرى أن ذلك مستحيل. فعلى الرغم من أن الفضاء المتجهي المنتهي البعد متماثل بالفعل مع مزدوجه، فإن هذا التماثل ليس قانونيًا (إذ يعتمد على اختيار اعتباطي للأساس). وتزداد الحالة سوءًا في البعد اللانهائي: إذ لا يوجد مثل هذا التماثل أصلًا. تمنع هذه العوائق المطابقة التلقائية بين المتجهات والأشكال الخطية، وتبرّر اللجوء إلى البنية الأغنى لفضاءات هيلبرت.

يوضّح القسم 3 كيفية استغلال هذه البنية الإضافية لتجاوز الصعوبات. بفضل الجداء الداخلي، وبالاقتصار على الأشكال الخطية المستمرة التي تكوّن ما يُسمّى المزدوج الطوبولوجي، نصل إلى نتيجة لافتة. تؤكد مبرهنة ريس أنه لكل فضاء هيلبرت، أيًا كان بعده، يوجد تماثل قانوني متساوي القياس ومضاد للخطية بين الفضاء ومزدوجه الطوبولوجي.

تؤسّس هذه النتيجة ترميزات ديراك تأسيسًا صارمًا؛ وسنفصّلها في القسمين 4 و5 (الكيت والبرا، والمؤثرات الخطية)، قبل أن نبيّن كيف يُظهر تماثل ريس طبيعيًا مفهوم مرافق المؤثر (القسم 6). يلخّص القسم 7 هذا البناء بمخطط شامل. سنستخدم طوال الدرس حالة البعد المنتهي مثالًا ملموسًا لتوضيح النظرية، مع العمل دائمًا على الحقل $\mathbb{C}$.

2. الأشكال الخطية والمزدوج الجبري

ليكن $E$ فضاءً متجهيًا على $\C$. نعرّف مزدوجه الجبري $E^*$ بأنه مجموعة الأشكال الخطية على $E$، أي التطبيقات الخطية $\varphi : E \to \C.$

في البعد المنتهي $n$، إذا ثبّتنا أساسًا $(e_1,\dots,e_n)$ للفضاء $E$، أمكننا بناء عائلة مقابلة من الأشكال الخطية $(\theta_1,\dots,\theta_n)$ في $E^*$، تُعرَّف بالعلاقة:

نبرهن بعد ذلك أن هذه العائلة مستقلة خطيًا ومولّدة، ومن ثم فهي أساس لـ $E^*$ (يُسمّى الأساس المزدوج). نستنتج أن $\dim(E^*) = \dim(E)$، وهذا يعني أن $E$ و$E^*$ متماثلان. ومن التماثلات الممكنة التطبيق $T$ الذي يربط بكل متجه $x = \sum x_i e_i$ الشكل الخطي $w_x = \sum x_i \theta_i$.

لكن هذا التماثل $T$ مصطنع، إن صح التعبير، لأنه يعتمد على الاختيار الأولي لأساس $E$. وإذا غيّرنا الأساس، تغيّر التطبيق $T$ أيضًا. لذلك لا توجد مطابقة قانونية (طبيعية) بين فضاء متجهي ومزدوجه الجبري.

في البعد اللانهائي، تبيّن نتيجة كلاسيكية أن $E$ لا يكون متماثلًا أبدًا مع مزدوجه الجبري، لأن بُعد الأخير أكبر منه قطعًا (راجع مبرهنة إردوش–كابلانسكي). مثلًا، إذا كان البعد الجبري لـ $E$ قابلًا للعد، فإن البعد الجبري لمزدوجه الجبري غير قابل للعد.

إذًا، لا توجد في أي من الحالتين مطابقة قانونية بين المتجهات والأشكال الخطية.

3. المزدوج الطوبولوجي ومبرهنة ريس

في فضاء هيلبرت $\H$، يسمح المعيار المرتبط بالجداء الداخلي بتمييز فئة خاصة من الأشكال الخطية: الأشكال المستمرة. نقول إن $\varphi : \H \to \C$ مستمر عند $x_0$ إذا كان

وإذا كان مستمرًا عند نقطة واحدة، فإنه مستمر في كل مكان بفعل الخطية¹. تكوّن مجموعة الأشكال الخطية المستمرة فضاءً متجهيًا جزئيًا من المزدوج الجبري. نسمّيه المزدوج الطوبولوجي، ونرمز إليه أيضًا (بتجاوز في الترميز) بـ $\H^*$.

ملاحظة: هذا المعيار حالة خاصة من معيار المؤثر الذي سنلقاه لاحقًا (انظر القسم 1.5 (المحور 4, الدرس 3, غير متاح بهذه اللغة)). يصلح البناء السابق بحد ذاته لأي فضاء معياري. وما يميّز حالة هيلبرت هو المبرهنة التالية: نستخدم الجداء الداخلي لإنشاء مطابقة تقابلية بين كل شكل خطي مستمر ومتجه:

نلاحظ أن التطبيق $\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle$ من $\mathcal{H}$ إلى $\H^*$ متباين حتى في فضاء قبل هيلبرتي فحسب. بالفعل، إذا كان $\varphi_u = \varphi_v$، فلكل $x$ في $\mathcal{H}$ تكون لدينا $0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle$، وبالتالي $u = v$ باختيار $x = u - v$ وبفضل التعيين الموجب للجداء الداخلي.

تؤكّد مبرهنة ريس أن هذا التطبيق شامل أيضًا. وهذه ليست نتيجة بديهية، بل تصح فقط في فضاءات هيلبرت. مثلًا، لا يكون التطبيق شاملًا في فضاء قبل هيلبرتي غير كامل، لوجود أشكال خطية مستمرة لا يمكن كتابتها كجداء داخلي مع متجه من الفضاء غير الكامل.

توفر مبرهنة ريس إذًا التقابل $\Phi$ بين $\mathcal{H}$ و$\mathcal{H}^*$ الذي كنا نبحث عنه. ونستنتج النتيجة التالية:

4. ترميزات ديراك: البرا والكيت والبراكت

ليست ترميزات ديراك الآن إلا إعادة كتابة لتماثل ريس. نعرّف أولًا الكيتات والبراات والبراكت، ثم نستخدمها لإعادة كتابة التفكيك على أساس هيلبرتي الذي رأيناه في الدرس السابق.

1. الكيتات. يُكتب المتجه $u \in \mathcal{H}$ على هيئة كيت كما يلي: $$\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }$$

   تعطينا البنية الخطية قواعد الحساب التالية:

   $$\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}$$
2. البراات. نربط بكل متجه $u \in \H$، عبر $\Phi$، شكلًا $\varphi_u$. نرمز إلى هذا الشكل الخطي بـ برا، ونكتب داخله المتجه المرتبط به: $$\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }$$

   وهكذا يمثّل $\bra{u}$ المتجه $u$ منظورًا إليه كشكل خطي، أي العملية « أخذ الجداء الداخلي مع $u$ وإرجاع عدد ». ولدينا قواعد الحساب التالية:

   $$\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned}$$ وهي نتائج مضادة خطية $\Phi$.
3. البراكت. تسمح حيلتا الكتابة السابقتان بتكوين جداء داخلي، يُسمّى بالإنجليزية bracket (أو inner product)، بوصفه حاصل ضرب برا في كيت: $$\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}$$

   يعكس هذا الترميز في الحقيقة فعل الشكل الخطي $\bra{u}$ على المتجه $\ket{x}$:

   $$\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.$$
4. التفكيك الهيلبرتي. أيًا كان بعد فضاء هيلبرت، رأينا صيغة التفكيك $u = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i$، حيث يكون المجموع منتهيًا أو يتقارب في $\mathcal{H}$ إذا كانت $I$ لانهائية. وتُكتب بترميز ديراك على الصورة:

   $$\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }$$

   (1)

   حيث $u_i$ مركّبات الكيت $u$ في الأساس. لاحظوا أنها تُستخرج بالإسقاط العمودي على $e_i$ بالشكل $u_i = \braket{e_i}{u}$، وليس بالشكل $\braket{u}{e_i}$ الذي يساوي $u_i^*$. وهذا خطأ شائع، ربما لأن الحساب المتجهي المعتاد على $\R^n$ يعطينا المركّبة $v_i$ للمتجه $\vec{v}$ بواسطة $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$، مما قد يوحي بـ $u_i = \braket{u}{e_i}$ في الحالة الكمية. لكن هذا يتجاهل شبه الثنائية الخطية للجداء الداخلي على $\C$، ويؤدي فورًا إلى خطأ حسابي.

   أما البراات فلدينا:

   $$\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }$$

   (2)

   ويُكتب مربع المعيار

   $$\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i$$

   (3)
   حيث المساواة الثانية هي مساواة بارسيفال.
5. عملية « داغر ». يُرمز عادة إلى استخدام التماثل $\Phi$ (من الكيتات إلى البراات) بالرمز $\dagger$ في الموضع العلوي. ونختار الرمز نفسه لكتابة التماثل العكسي $\Phi^{-1}$ من البراات إلى الكيتات. وبذلك تصبح عملية داغر انعكاسية. وفق اصطلاح الكتابة هذا: $$\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(التطبيق } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(التطبيق } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(الانعكاسية)} \end{aligned}$$

لنوضّح هذه النقاط المختلفة في البعد المنتهي. نختار $\H$ ذا بعد $n$ وأساسًا هيلبرتيًا $\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n$ مع الجداء الداخلي القانوني (انظر القسم 3.1 (المحور 2, الدرس 1)). نمثّل كيتات الأساس تمثيلًا قانونيًا بمتجهات أعمدة، أي بمصفوفات $(n,1)$:

حيث يقع $1$ في الموضع $i$، فنحصل على كتابة جميع الكيتات $\ket{u}$ كمتجهات أعمدة

مع $u_i = \braket{e_i}{u}$. يجب أن يحقق الشكل الخطي $\varphi_u$ المرتبط بالمتجه $u$، لكل متجه $v$:

للحصول على هذا المجموع، يجب إذًا تمثيل $\bra{u}$ بمتجه صف حجمه $(1, n)$، يتكوّن من مرافقات إحداثيات $u$:

لأن الجداء الداخلي $\braket{u}{v}$ يُستخرج عندئذ بالضرب المصفوفي المعتاد:

مثلًا، في البعد 2:

حصلنا على النتيجة التالية:

انتبهوا: لا معنى لذلك في البعد اللانهائي لأن النقل غير معرّف. ومع ذلك، في الفضاء $\ell^2(\N)$ وفي أساسه القانوني، تسير الأمور بصورة مشابهة نسبيًا إذا اعتبرنا متجهات أعمدة أو صفوف لانهائية واستبدلنا المجاميع المنتهية بمتسلسلات متقاربة. قد يساعد ذلك على بناء الحدس، لكنه لا يتعلّق بمصفوفات ولا بعملية نقل بالمعنى الدقيق.

5. المؤثرات وعناصر المصفوفة وتفكيك الهوية

نواصل عرض ترميزات ديراك، ونُدخل هذه المرة أيضًا التطبيقات الخطية (وتُسمّى كذلك المؤثرات الخطية) $\hat A$ من $\mathcal{H}$ إلى $\mathcal{G}$، حيث $\mathcal{G}$ فضاء هيلبرت آخر.

كتابة المؤثرات. لاحظوا أولًا أن المعتاد في الفيزياء هو وضع قبعة فوق رمز المؤثر. يعطي المؤثر $\hat A$ الذي يعمل على متجه $v$ المتجه $\hat A v$. لذلك لدينا في ترميز ديراك خياران متكافئان للكتابة، والثاني هو الأكثر استخدامًا:

وبالمثل، يمكن كتابة الجداء الداخلي الذي يتضمّن مؤثرًا كما يلي:

حيث يشيع الشكل الثاني لأسباب جمالية.

عناصر المصفوفة. في الصيغة السابقة، تتميّز الحالة $\bra{w} = \bra{e_i}$ و$\ket{u} = \ket{e_j}$ بأهمية خاصة، لأنها تعرّف ما يُسمّى عناصر مصفوفة المؤثر $\hat A$:

في البعد اللانهائي، لا يكون هذا التعبير ذا معنى دائمًا، إذ يجب أيضًا أن ينتمي $\ket{e_i}$ إلى مجال تعريف المؤثر $\hat A$. وسنعود إلى ذلك. أما في البعد المنتهي فالتعريف واضح: بكتابة متجهات الأساس كأعمدة، يصبح كل مؤثر خطي في تقابل وحيد مع مصفوفته الممثّلة؛ لذلك نكتب $\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ حيث $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. وتصبح المعادلة السابقة $\ket{v} = \hat A \ket{u}$ ضربًا مصفوفيًا معتادًا $\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i}$، بينما يُكتب الجداء الداخلي $\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C$.

مؤثرات الكيت-برا. البراكت عدد، لكن الكيت-برا مؤثر يُسمّى الجداء الخارجي (ولا علاقة له بالجداء الخارجي للأشكال التفاضلية). نربط بالمتجهين $\ket{u}$ و$\ket{v}$ من فضاء هيلبرت $\H$ نفسه المؤثر $\ket{u}\bra{v}$ من $\H$ إلى $\H$، المعرّف كما يلي:

وهنا أيضًا، في البعد المنتهي، للحالة $\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j}$ أهمية خاصة. فهذا المؤثر جميع عناصر مصفوفتِه صفر، ما عدا "1" في الصف $i$ والعمود $j$؛ ومن ثم تكون المصفوفة المرتبطة به:

يُفكَّك كل مؤثر خطي $\hat{A}$ في البعد المنتهي وفق عناصر مصفوفته:

حيث $A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}$. انتبهوا: في البعد اللانهائي، لا يكون هذا التفكيك ممكنًا دائمًا؛ وحين يوجد، يجب فهمه بمعنى التقارب القوي. سنعود إليه في الدروس التالية.

تفكيك مؤثر الهوية. يُعرَّف مؤثر الهوية في $\mathcal{H}$، المرموز إليه بـ $\mathbf{1}$، تعريفًا مباشرًا بالعلاقة $\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x}$ لكل $\ket{x} \in \mathcal{H}$. وفي البعد المنتهي تمثّله بالطبع مصفوفة الوحدة. وبصورة أعم، لدينا الصيغة

التي تصح أيضًا في البعد اللانهائي القابل للعد، حيث تتقارب المتسلسلة تقاربًا قويًا. وتُسمّى كذلك تحليل الهوية أو علاقة الإغلاق. هذه الصيغة مفيدة جدًا في جميع حسابات ميكانيكا الكم. انتبهوا: إنها غير صحيحة في الفضاءات غير القابلة للفصل²

6. المؤثر المرافق

لنعد إلى تماثل ريس، ولنعتبر مؤثرًا خطيًا مستمرًا³ $\hat{A}$ من $\mathcal{H}$ إلى $\mathcal{G}$، حيث $\H$ و$\G$ فضاءا هيلبرت، وقد يكون $\H = \G$.

عندما يعمل $\hat{A}$ على كيت $\ket{u} \in \mathcal{H}$، نحصل على كيت جديد $\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G}$. ومن الطبيعي التساؤل عن البرا المرتبط عبر تماثل ريس بالمتجه $\ket{v}$، أي عن الشكل الخطي على $\G$: $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$. يقودنا هذا طبيعيًا إلى مؤثر جديد، يُسمّى مرافق $\hat{A}$ ويُرمز إليه أيضًا بـ $\hat{A}^\dagger$. يؤدي هذا المؤثر دورًا أساسيًا في ميكانيكا الكم.

لمعرفة قيمة $\bra{v} = \langle \hat{A}u |$، لنثبّت كيتًا اعتباطيًا $\ket{w} \in \mathcal{G}$ ولنعتبر الشكل الخطي على $\H$:

(يشير الفهرس $\G$ أعلاه إلى الفضاء الذي يجب حساب الجداء الداخلي فيه.) سنقبل هنا أن $\varphi$ شكل خطي مستمر على $\mathcal{H}$ عندما يكون $\hat{A}$ مؤثرًا مستمرًا. وفق مبرهنة ريس المطبّقة على $\mathcal{H}$، يوجد إذًا متجه وحيد $\ket{z} \in \mathcal{H}$ بحيث $\varphi = \varphi_z$، أي:

سمح البناء السابق بربط المتجه $\ket{w}$ من $\G$ بمتجه وحيد $\ket{z}$ من $\H$. يمكن التعبير عن هذه العملية صوريًا بفعل مؤثر يُسمّى المؤثر المرافق، ويُرمز إليه بـ $\hat{A}^\dagger$، بالشكل $\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w}$. نلاحظ إذًا أن المؤثر $\hat A$ يعمل من $\H$ إلى $\G$، بينما يعمل المرافق من $\G$ إلى $\H$.

باستكمال هذا البناء لكل $\ket{w}$، يسهل التحقق من أن المؤثر المعرّف خطي ومستمر بدوره. فنحصل على النتيجة الأساسية التالية:

للمرافق فائدتان عمليتان في الحساب الكمي الصوري.

1. تُظهر الصيغة السابقة، إن صح التعبير، أن « المرافق يسمح بنقل المؤثر من اليسار إلى اليمين مع تثبيت موضعي $u$ و$w$ ».
2. باستخدام التناظر الهرميتي للجداء الداخلي: $\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*$، نحصل أيضًا على:
   $$\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}$$

   (7)

   وهذا يبيّن هذه المرة أن « المرافق يسمح بتبديل البرا والكيت مع أخذ المرافق العقدي ».

هاتان الهويتان متكافئتان. يجب بالطبع الانتباه إلى فضاءي الانطلاق والوصول $\H$ و$\G$، وإلى أي الجداءين الداخليين نستخدم، جداء $\H$ أم جداء $\G$. لكن عمليًا سنجد تقريبًا دائمًا $\H = \G$، فتتبسّط الترميزات تبعًا لذلك.

لنوضّح الآن البناء السابق في حالة البعد المنتهي. لدينا النتيجة الرئيسية التالية:

لم نجب بعد صراحة عن السؤال: ما البرا $\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u}$ المرتبط قانونيًا بالكيت $\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u}$؟ تجيب الصيغة (6) بواسطة جداء داخلي صالح لكل متجه $w$، مما يسمح لنا بكتابة:

نحصل على النتيجة بملاحظة أن شكلين خطيين يتطابقان على كل متجه $w$ لا بد أن يكونا متساويين. لكن من الضروري فهم طبيعة هذا الكائن بدقة. فمن الالتباسات الشائعة الاعتقاد، انطلاقًا من هذه الكتابة، بأن « المرافق يعمل إلى اليسار على البراات ». وهذا خطأ! إن الكائن $\bra{u} \hat{A}^\dagger$ هو في الحقيقة تركيب مؤثرات، وليس فعلًا إلى اليسار. ففضاءات الانطلاق والوصول هي:

بحيث يكون $\bra{u} \hat A^\dagger$ هو التركيب $\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C}$، وهو بالفعل شكل خطي على $\mathcal{G}$. عادة يُحذف الرمز $\circ$، مما قد يسبّب الالتباس.

أخيرًا، نستنتج من $\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger$، بأخذ داغر، الصيغ المفيدة التالية:

يلخّص الشكل التالي العلاقات بين البراات والكيتات والمؤثر $\hat A$ ومرافقه التي رأيناها في هذا الدرس.

ننهي هذا القسم ببعض الخصائص المهمة لأخذ المرافق:

7. المراجع