خانه/موضوع‌ها/موضوع 2

فضاهای هیلبرت و نمادگذاری دیراک

ساختار فضاهای هیلبرت، دوگان توپولوژیک و نمادگذاری دیراک در ابعاد متناهی و نامتناهی.

نمادگذاری دیراک در بُعد متناهی

قواعد جبری محاسبات کوانتومی معتبر در هر بُعد، سپس مجموعه‌فرمول‌های ماتریسی در بُعد متناهی.

نمادگذاری دیراکضرب داخلی هرمیتیالحاقیعملگر کت–برابسط همانیبُعد متناهیدرایه‌های ماتریسردترانهادهٔ مزدوجمجموعه‌فرمول‌ها

اشیایی که تعریف کردیم از ویژگی‌های بنیادی پیروی می‌کنند که در هر بُعد فضای هیلبرت و مستقل از کراندار یا ناکراندار بودن عملگرها برقرارند. در حالت ناکراندار نیز می‌توان الحاقی تعریف کرد، اما از نظر ریاضی ظریف‌تر است؛ در مبحث بعدی دربارهٔ نظریهٔ عملگرهای خطی به آن بازمی‌گردیم. چون همه از نمادگذاری دیراک استفاده می‌کنند، این ویژگی‌ها عملاً قواعد جبری محاسبات کوانتومی هستند و تسلط بر آن‌ها ضروری است.

این درس همهٔ فرمول‌های مفید تاکنون را، حتی به قیمت تکرار، گرد می‌آورد و چند مورد می‌افزاید. نخست قواعد معتبر در هر بُعد را می‌دهیم، سپس فرمول‌نامهٔ بُعد متناهی را که در آن دیراک به محاسبهٔ ماتریسی صریح تبدیل می‌شود.

1. قواعد محاسبه در هر بُعد

ویژگی‌های ضرب داخلی.

فرض کنید (∣φ⟩,∣ψ⟩)∈H2(\ket{\phi}, \ket{\psi}) \in \mathcal{H}^2 دو بردار فضای هیلبرت و (λ,μ)∈C2(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2 اسکالر باشند. ضرب داخلی ویژگی‌های زیر را دارد:

  1. تقارن هرمیتی:

    ⟨φ|ψ⟩=⟨ψ|φ⟩∗.\boxed{\braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*.}

    (1)

  2. پادخطی بودن در چپ: برا متناظر با λ∣ψ⟩\lambda \ket{\psi} برابر λ∗⟨ψ∣\lambda^* \bra{\psi} است، یعنی:

    (λ∣ψ⟩)†=λ∗⟨ψ∣و⟨λψ|φ⟩=λ∗⟨ψ|φ⟩\boxed{(\lambda \ket{\psi})^\dagger = \lambda^* \bra{\psi} \qquad \textrm{و} \qquad \braket{\lambda \psi}{\phi} = \lambda^* \braket{\psi}{\phi} }

    (2)

  3. خطی بودن در راست:

    ⟨φ|λψ⟩=λ⟨φ|ψ⟩.\boxed{\braket{\phi}{\lambda \psi} = \lambda \braket{\phi}{\psi}.}

    (3)

  4. ترکیب‌های خطی: ویژگی‌های بالا امکان بسط معمول عبارت‌های پیچیده را می‌دهند. برای نمونه، برای هر α,β,γ,δ∈C\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \C:

    ⟨αφ+βψ|γφ+δψ⟩=α∗γ⟨φ|φ⟩+α∗δ⟨φ|ψ⟩+β∗γ⟨ψ|φ⟩+β∗δ⟨ψ|ψ⟩.\boxed{ \braket{\alpha \phi + \beta \psi}{\gamma \phi + \delta \psi} = \alpha^* \gamma \braket{\phi}{\phi} + \alpha^* \delta \braket{\phi}{\psi} + \beta^* \gamma \braket{\psi}{\phi} + \beta^* \delta \braket{\psi}{\psi}. }

    (4)

  5. نرم: بنا بر تعریف،

    ∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩≥0,\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} \ge 0,}

    (5)

    برابری اگر و تنها اگر ∣ψ⟩=0\ket{\psi} = 0 بردار صفر باشد برقرار است؛ این بردار را گاهی، اما به‌ندرت، ∣∅⟩\ket{\varnothing} می‌نویسند.

ویژگی‌های الحاقی.

دو فرمول تعریف‌کننده را دوباره می‌نویسیم:

(A^∣φ⟩)†=⟨A^φ∣=⟨φ∣A^†\boxed{ (\hat A\ket{\phi})^\dagger = \bra{\smash{\hat{A}} \phi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger }

(6)

و

⟨A^φ|ψ⟩=⟨φ|A^†ψ⟩=⟨φ∣A^†∣ψ⟩\boxed{ \braket{\smash{\hat{A}} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\smash{\hat{A}}^\dagger \psi} = \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi} }

(7)

از تقارن هرمیتی همچنین می‌توان ثابت کرد:

⟨φ∣A^†∣ψ⟩∗=⟨ψ∣A^∣φ⟩\boxed{ \bra{\phi} \hat A^\dagger \ket{\psi}^* = \bra{\psi} \hat A \ket{\phi} }

(8)

ویژگی‌های عملگرهای الحاقی.

برای همهٔ عملگرهای خطی پیوستهٔ A^,B^\hat{A}, \hat{B} روی H\mathcal{H} و هر اسکالر λ∈C\lambda \in \mathbb{C}:

(A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (پادخطی بودن)(A^B^)†=B^†A^†,(به ترتیب توجه کنید)(A^†)†=A^,    (خودوارونی).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(پادخطی بودن)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(به ترتیب توجه کنید)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(خودوارونی)}. \end{aligned}
عملگر کت–برا.

براکت یک عدد است، اما کت–برا عملگری به نام ضرب خارجی است، بی‌ارتباط با ضرب خارجی فرم‌های دیفرانسیلی. به دو بردار ∣φ⟩\ket{\phi} و ∣ψ⟩\ket{\psi}، عملگر ∣φ⟩⟨ψ∣\ket{\phi}\bra{\psi} را نسبت می‌دهیم که چنین تعریف می‌شود:

∣φ⟩⟨ψ∣:H→H,∣χ⟩↦∣φ⟩⟨ψ|χ⟩.\begin{aligned} \ket{\phi}\bra{\psi} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{\chi} \mapsto \ket{\phi}\braket{\psi}{\chi}. \end{aligned}
تجزیهٔ عملگر همانی.

همانی روی H\Hilb را 1\mathbf{1} می‌نویسیم و به‌طور بدیهی با 1x=x,∀x∈H\mathbf{1} x = x, \forall x \in \Hilb تعریف می‌کنیم. در پایهٔ هیلبرتی شمارای {∣ei⟩}i∈I\{\ket{e_i}\}_{i \in I}، که II متناهی یا نامتناهی شماراست، عملگر همانی 1\mathbf{1} چنین است:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }

(9)

این فرمول در عمل بسیار مفید است. آن را تفکیک همانی یا رابطهٔ بستار نیز می‌نامند. سمت راست در بُعد متناهی یک مجموع و در بُعد نامتناهی شمارا یک سری همگراست. در بُعد ناشمارا نادرست است.

تجزیهٔ هیلبرتی.

فرمول پیشین مثلاً قضیهٔ تجزیهٔ درس 1 را مستقیم بازمی‌دهد، با تعریف ψi\psi_i به‌عنوان مؤلفهٔ کت ∣ψ⟩\kpsi در راستای ∣ei⟩\ket{e_i}:

∣ψ⟩=1∣ψ⟩=∑i∈I⟨ei|ψ⟩∣ei⟩=∑i∈Iψi∣ei⟩\boxed{ \ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{\psi} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} \psi_i \ket{e_i} }

(10)

بسته به بُعد، با مجموع یا سری روبه‌رو هستیم. تجزیهٔ کت همتایی برای برا دارد:

⟨ψ∣=⟨ψ∣1=∑i∈Iψi∗⟨ei∣\boxed{ \bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \bra{e_i} }

(11)

نرم آنگاه چنین است:

∥∣ψ⟩∥2=⟨ψ|ψ⟩=∑i∈Iψi∗ψi=∑i∈I∣ψi∣2\boxed{\|\ket{\psi}\|^2 = \braket{\psi}{\psi} = \sum_{i \in I} \psi_i^* \psi_i = \sum_{i \in I} |\psi_i|^2 }

(12)

تذکر 1 (به ترتیب توجه کنید!)
مؤلفه‌های کت ψi=⟨ei|ψ⟩\psi_i = \braket{e_i}{\psi} هستند، نه ⟨ψ|ei⟩\braket{\psi}{e_i} که برابر ψi∗\psi_i^* است. ضرب داخلی هرمیتی جابه‌جاپذیر نیست، پس ترتیب اهمیت دارد. در Rn\mathbb{R}^n با ضرب داخلی اقلیدسی معمول، مؤلفهٔ viv_i بردار v⃗\vec{v} از vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i به دست می‌آید. این ممکن است فرمول کوانتومی ψi=⟨ψ|ei⟩\psi_i = \braket{\psi}{e_i} را القا کند، اما چنین نیست!
چند عملگر ویژه.

مبحث بعدی نظریهٔ عملگرهای خطی روی هیلبرت را به‌تفصیل بیان می‌کند. فعلاً چند مورد رایج را برای ادامه یادداشت می‌کنیم. میان عملگرهای H→H\Hilb \to \Hilb، به‌ویژه داریم:

  1. A^\hat A، هرمیتی یا خودالحاق است اگر A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A}،
  2. U^\hat U، یکانی است اگر U^†=U^−1\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}،
  3. P^\hat P، تصویرگر است اگر P^2=P^\hat{P}^2 = \hat{P}،
  4. P^\hat P، تصویرگر متعامد است: یعنی تصویرگری خودالحاق.

عملگرهای یکانی دوسویی و خطی‌اند و ضرب داخلی را حفظ می‌کنند. پس قبلاً آن‌ها را دیده‌ایم: همان یکریختی‌های هم‌فاصله‌اند، و اینجا دقیق‌تر خودریختی‌های هم‌فاصله، زیرا فقط عملگرهای خطی از H\Hilb به خودش مطرح‌اند.

2. فرمول‌نامه در بُعد متناهی

وقتی هیلبرت بُعد متناهی nn دارد، قواعد محاسبه را می‌توان مشخص‌تر کرد. همهٔ فرمول‌های بخش قبل معتبرند، با این تفاوت که مجموع‌ها متناهی نوشته می‌شوند: ∑i⟶∑i=1n\sum_i \longrightarrow \sum_{i=1}^{n}.

همچنین پس از انتخاب پایهٔ متعامد یکهٔ B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n، نمادگذاری دیراک معادل محاسبهٔ ماتریسی صریحی می‌شود که اکنون شرح می‌دهیم. توجه: آنچه در ادامه می‌آید در بُعد نامتناهی هیچ معنایی ندارد.

کت‌ها به‌صورت بردارهای ستونی.

کت‌های پایهٔ B\mathcal{B} را به‌صورت کانونی با ماتریس‌های (n,1)(n,1)، یعنی بردارهای ستونی، نمایش می‌دهیم:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

در اینجا 11 در جایگاه iiام است. با تجزیهٔ جبری

∣v⟩=∑i=1nvi∣ei⟩,\ket{v} = \sum_{i=1}^n v_i \ket{e_i},

همهٔ کت‌ها به‌صورت ستون نوشته می‌شوند: برای ∣v⟩∈H\ket{v} \in \mathcal{H} می‌نویسیم:

∣v⟩=(v1v2⋮vn)B∈Cn,\ket{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

جز در صورت نیاز، نام پایهٔ B\mathcal{B} این بسط را حذف خواهیم کرد. مؤلفه‌ها با تصویرهای متعامد به دست می‌آیند:

vi=⟨ei|v⟩\boxed{v_i = \braket{e_i}{v}}

(13)

براها به‌صورت بردارهای سطری مزدوج.

فرم خطی φu\varphi_u متناظر با بردار uu باید برای هر بردار vv داشته باشد:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i,

به دلیل پادخطی بودن ضرب داخلی هرمیتی در چپ. برای آنکه این مجموع ضرب ماتریسی باشد، ⟨u∣\bra{u} باید سطر مختصات مزدوج uu باشد:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\begin{aligned} \bra{u} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix}, \end{aligned}

آنگاه ضرب داخلی ⟨u|v⟩\braket{u}{v} همان ضرب ماتریسی معمول است:

⟨u|v⟩=⟨u∣⋅∣v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \bra{u} \cdot \ket{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

پس برا ⟨u∣\bra{u}، ترانهادهٔ مزدوج کت ∣u⟩\ket{u} است. بنابراین عمل دگر در بُعد متناهی معادل گرفتن ترانهادهٔ مزدوج است:

∣u⟩†=∣u⟩∗⊤=⟨u∣\boxed{\ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u}^*} = \bra{u}}

(14)

این در بُعد نامتناهی نادرست و حتی بی‌معناست، زیرا ترانهاده تعریف نشده است1.

یادداشت 1: نهایتاً در ℓ2(N)\ell^2(\N) و پایهٔ کانونی آن که در بخش 3.2 (موضوع 2, درس 1) شرح دادیم، با در نظر گرفتن ستون‌ها یا سطرهای نامتناهی و جایگزینی مجموع‌های متناهی با سری‌های همگرا، بسیاری چیزها مشابه‌اند. این برای شهود مفید است، اما دقیقاً ماتریس نیستند. در L2(R)L^2(\R) دیگر هیچ معنایی ندارد، گرچه همتایی انتگرالی نیز وجود دارد؛ درس بعد را ببینید.
نمایش ماتریسی عملگرها.

در پایهٔ متعامد یکهٔ {∣ei⟩}i=1n\{\ket{e_i}\}_{i=1}^n در بُعد متناهی، هر عملگر خطی A^\hat{A} چنین تجزیه می‌شود:

A^=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

(15)

این در بُعد متناهی به شناسایی طبیعی عملگر خطی A^\hat{A}، با کلاه، و ماتریس آن AA، بدون کلاه، می‌انجامد. فرمول بالا همتای دیراکی بسط ماتریسی A=∑ijAijEijA = \sum_{ij} A_{ij} E_{ij} است، که EijE_{ij} ماتریس ابتدایی با 11 در جایگاه (i,j)(i,j) و صفر در سایر جاهاست. پس EijE_{ij} نمایندهٔ عملگر ∣ei⟩⟨ej∣\ket{e_i} \bra{e_j} است. ضرایب AijA_{ij} را درایه‌های ماتریسی عملگر A^\hat{A} در پایهٔ {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\} می‌نامند. مقدار آن‌ها:

Aij=⟨ei|A^ej⟩A_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}} e_j}

اما برای زیبایی ظاهری معمولاً چنین می‌نویسیم:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(16)

عملگر همانی طبعاً ماتریس همانی را دارد و درایه‌هایش δij\delta_{ij}، نماد کرونکر، هستند.

رد یک عملگر.

در ادامه اغلب رد عملگر A^\hat{A} را بررسی خواهیم کرد. در دیراک چنین محاسبه می‌شود:

Tr(A^)=∑i=1n⟨ei∣A^∣ei⟩=∑i=1nAii.\boxed{\mathrm{Tr}(\hat{A}) = \sum_{i=1}^n \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_i} = \sum_{i=1}^n A_{ii}.}

(17)

این عبارت از انتخاب پایهٔ متعامد یکه مستقل است.

الحاقی و ترانهادهٔ مزدوج.

در بُعد متناهی، ماتریس الحاقی A^†\hat{A}^\dagger ترانهادهٔ مزدوج ماتریس عملگر A^\hat{A} است:

A†=(A∗)⊤.\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}.}

(18)

اثبات کوتاهی می‌آوریم تا کاربرد عملی قواعد بالا روشن شود. درایه‌های ماتریسی A^†\hat{A}^\dagger بنا بر تعریف عبارت‌اند از:

(A^†)ij=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

اما از تعریف الحاقی داریم:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

با تقارن هرمیتی ⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^*، که همان درایهٔ ماتریسی Aji∗A_{ji}^* است. بنابراین:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

ویژگی ثابت شد. در بُعد متناهی می‌توان با محاسبهٔ ماتریسی صریح بررسی کرد که عملگر هرمیتی، یکانی و مانند آن است یا نه.

3. منابع

هنوز منبعی برای این درس افزوده نشده است.