فضاهای هیلبرت و نمادگذاری دیراک

1. پایهٔ پیوستهٔ تعمیم‌یافتهٔ $L^2(\mathbb{R})$

فضای نمونهٔ $L^2(\R)$ را پیش‌تر در بخش 3.3 (موضوع 2, درس 1) شرح دادیم و به‌ویژه پایهٔ هیلبرتی شمارایی برایش معرفی کردیم. هر حالت فیزیکی آنگاه به‌صورت سری در پایهٔ توابع هرمیت بسط می‌یابد. متأسفانه عبارت‌های صریح این توابع بسیار ناخوش‌دست‌اند.

ازاین‌رو «پایهٔ» دیگری معرفی شده که واقعاً پایهٔ هیلبرتی نیست، بلکه پایهٔ پیوستهٔ تعمیم‌یافته است. گذار به بُعد نامتناهی در اینجا ظریف است؛ ساخت دقیق آن ابزارهای مبحث بعدی دربارهٔ نظریهٔ عملگرهای خطی را می‌خواهد. فعلاً فرمول‌نامهٔ زیر را می‌پذیریم، با این یادآوری که دستور استفاده از دیراک در این «پایه» است، نه یک ساخت ریاضی اثبات‌شده.

1.1. پایهٔ تعمیم‌یافته در نمایش مکان

بااین‌حال چند ایده ارائه کنیم. ابتدا عملگر خودالحاقی به نام «عملگر مکان» معرفی می‌کنیم، با نماد $\hat{X}$، که روی توابع فضای هیلبرت $L^2(\mathbb{R})$ با ضرب عمل می‌کند:

$$\boxed{ (\hat{X}\psi)(x) \equiv x\,\psi(x), \quad \forall x \in \R. }$$

به دامنهٔ تعریف توجه کنید. این عبارت فقط زمانی معنا دارد که تابع $x\,\psi(x)$ در $L^2(\R)$ بماند. همیشه چنین نیست: بعضی توابع مربع‌انتگرال‌پذیر پس از ضرب در $x$ واگرا می‌شوند.¹ پس عملگر $\hat{X}$ را نمی‌توان روی تمام $L^2(\R)$ تعریف کرد، بلکه تنها روی زیرفضایی از توابع که تصویرشان در $L^2$ می‌ماند.

برای داشتن دامنه‌ای خوش‌تعریف، چگال در $L^2$ و پایدار تحت عملیات معمول (مشتق‌گیری، ضرب در $x$، تبدیل فوریه)، فضای توابع شوارتس را با نماد $\mathcal{S}(\R)$ معرفی می‌کنیم:

$$\boxed{ \mathcal{S}(\R) = \left\{ f \in C^\infty(\R) \;\middle|\; \forall\, m,n \in \mathbb{N},\; \sup_{x \in \R} |\,x^m f^{(n)}(x)\,| < \infty \right\}. }$$

یعنی توابعی هموار و سریع‌کاهنده، به‌طوری‌که $f$ و همهٔ مشتق‌هایش سریع‌تر به صفر می‌روند تا هر توان معکوس $x$.

فضای $\mathcal{S}(\R)$:

• در $L^2(\R)$ چگال است: هر تابع $L^2$ را می‌توان با توابع $\mathcal{S}$ به هر دقت دلخواه تقریب زد،
• تحت مشتق‌گیری، ضرب در $x$ و تبدیل فوریه پایدار است.

پس دامنهٔ طبیعی برای تعریف درست عملگر مکان $\hat{X}$ و تکانه $\hat{P}$ است، و ساخت‌های دقیق فرمالیسم دیراک و سه‌تایی گلفاند بر همین فضا تکیه دارند.

با این احتیاط‌ها می‌توان فعلاً به‌طور کاملاً صوری² حالت‌های ویژهٔ $\hat{X}$ را نوشت:

$$\boxed{ \hat{X}\ket{x} = x \ket{x}. }$$

این کت‌های $\ket{x}$ یک پایهٔ پیوستهٔ تعمیم‌یافته می‌سازند، چون عناصر $L^2(\R)$ را به‌صورت برهم‌نهی‌های پیوسته نمایش می‌دهند، هرچند خود $\ket{x}$ها بردارهای هیلبرت نیستند.

در واقع کت به معنای دقیق نیستند، زیرا نرمال‌پذیر نیستند. علت را ببینیم. خانواده ناشماراست، پس تعامد یکهٔ آن با نماد گسستهٔ کرونکر $\delta_{ij}$ نوشته نمی‌شود، بلکه با «نسخهٔ پیوستهٔ» آن:

$$\boxed{ \langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), }$$

به‌ویژه:

در اینجا دلتای دیراک $\delta(x)$ را معرفی کرده‌ایم؛ تابع معمولی نیست، بلکه توزیعی در نظریهٔ توزیع‌های ریاضی است. آن را از طریق اثرش زیر انتگرال تعریف می‌کنیم:

برای هر تابع آزمون $f$ از فضای شوارتس. باید فهمید که $\delta(x)$ به‌تنهایی معنا ندارد و حتی عدد نیست. در حقیقت $\delta$ فرم خطی $\delta_{x_0}(f) = f(x_0)$ است که روی توابع آزمون عمل می‌کند³. بنابراین فقط از طریق اثرش زیر انتگرال (2) تعریف می‌شود، نه از طریق مقادیر $\delta(x)$.

اما اگر اصرار داشته باشیم آن را تابع بدانیم، می‌توان آن را حد دنباله‌ای از توابع دانست که بیش‌ازپیش دور صفر متمرکز می‌شوند، مثلاً گاوسی‌های باریک‌تر و نوک‌تیزتر:

$$\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} \, e^{-x^2 / \epsilon}.$$

یا مستطیل‌هایی با مرکز صفر، پهنای رو به صفر و ارتفاع رو به بی‌نهایت. در این تصویر، دلتا در حد «تابعی» است که همه‌جا صفر است جز در $x = 0$، که واگراست، درحالی‌که مساحت کل زیر نمودار برابر 1 می‌ماند.

به همین دلیل در فیزیک باز هم $\delta(0) = \infty$ می‌نویسیم، اما باید سوءاستفادهٔ نمادی و معنایی آن را درک کرد. درهرحال از معادلهٔ (1) پیداست که کت $\ket{x}$ نرمال نیست. دلتای دیراک نمایش انتگرالی بسیار مفیدی نیز دارد که احتمالاً مهم‌ترین فرمول این بخش است:

$$\boxed{ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\, dk, }$$

اینجا نیز برابری در معنای توزیع‌هاست، زیرا انتگرال آشکارا همگرا نیست و در غیر این صورت معنایی ندارد.

«درایه‌های ماتریسی» عملگر مکان $\hat{X}$ برابر $\bra{x} \hat{X} \ket{x'} = x \, \delta(x-x')$ هستند. در مقایسه با بخش پیشین در بُعد متناهی همچنان این نام را به کار می‌بریم، هرچند $\hat{X}$ با ماتریس معمولی نمایش‌پذیر نیست. می‌توان «ماتریسی با اندیس‌های پیوسته» تصور کرد که در معنای توزیعی قطری باشد، اما مقدارش روی قطر $x = x'$ معنای مستقلی ندارد، چون $x\,\delta(0)$ عدد حقیقی نیست. احتمالاً همین‌جا تفاوت بنیادی عملگرهای خطی در بُعد متناهی، یعنی ماتریس‌ها، و عملگرهای بُعد نامتناهی دیده می‌شود.

در پایهٔ تعمیم‌یافته، تفکیک همانی چنین است:

این اجازه می‌دهد تجزیهٔ هر کت $\kpsi$ هیلبرت در این پایهٔ پیوسته را به‌صورت انتگرال ببینیم:

$$\boxed{\ket{\psi} = \mathbf{1} \kpsi = \int_{-\infty}^{\infty} \ket{x} \, \braket{x}{\psi} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \, \ket{x} dx }$$

که در آن تابع موج را تعریف کرده‌ایم:

$$\boxed{\psi(x) = \braket{x}{\psi}}$$

به همین ترتیب، برا مزدوجِ $\kpsi$ چنین بسط می‌یابد:

$$\boxed{\bra{\psi} = \bra{\psi} \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} \braket{\psi}{x} \, \bra{x} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \bra{x} dx }$$

از تقارن هرمیتی ضرب داخلی استفاده کردیم: $\psi(x) = \braket{x}{\psi} ; \psi^*(x) = \braket{\psi}{x}$.

مؤلفهٔ $x$ بردار $\hat{X} \psi$، که بنا بر تعریف $\braket{x}{X\psi}$ است، معمولاً باز هم برای زیبایی ظاهری، با مقایسه با معادلهٔ (4 (موضوع 2, درس 2))، چنین نوشته می‌شود:

$$\braket{x}{\hat{X}\psi} \equiv \bra{x}\hat{X}\ket{\psi}$$

1.2. در نمایش تکانه

در مکانیک کوانتومی ذرهٔ نقطه‌ای، عملگر تکانه یا مقدار حرکت را به‌طور مشابه از طریق اثرش بر توابع موج $\psi(x)$ متعلق به $L^2(\mathbb{R})$ معرفی می‌کنیم:

$$\boxed{ (\hat{P}\psi)(x) \equiv -\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}. }$$

اینجا نیز باید به دامنهٔ شوارتس محدود شویم تا تابع موج مشتق‌پذیر باشد و مشتقش همچنان مربع‌انتگرال‌پذیر بماند.

تمرین بسیار خوبی برای کاربرد این فصل آن است که مطمئن شویم $\hat{P}$ واقعاً خودالحاق است. برای این کار ابتدا خود عملگر مشتق‌گیری را بررسی می‌کنیم، با نماد:

$$\boxed{ (\hat{D}\psi)(x) \equiv \frac{d\psi}{dx}. }$$

این عملگر خطی است، چون مشتق‌گیری خطی است: $(f+ \alpha g)' = f' + \alpha g'$. روشن است که مانند بُعد متناهی با ماتریس نمایش‌پذیر نیست: روی فضای نامتناهی‌بُعد توابع به‌صورت دیفرانسیلی عمل می‌کند. پس الحاقی‌اش را نمی‌توان با ترانهادهٔ مزدوج حساب کرد، اما می‌توان از تعریف استفاده کرد. برای دو تابع آزمون از $\mathcal{S}(\R)$، یعنی $\phi$ و $\psi$، داریم:

$$\braket{\hat{D} \phi}{\psi} = \braket{\phi}{\hat{D}^\dagger \psi}$$

تعریف 2 (موضوع 2, درس 2) را ببینید. با درج تفکیک همانی، سمت چپ برابر است با:

$$\begin{aligned} \braket{\hat{D} \phi}{\psi} &= \bra{\hat{D} \phi} \times\left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right) \times \ket{\psi} \\ &= \int dx \braket{\hat{D} \phi}{x}\braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \braket{x}{\hat{D} \phi}^* \braket{x}{\psi} \\ &= \int dx \, \phi'^*(x) \psi(x) \\ &= - \int dx \phi^*(x) \psi'(x) + 0 \\ &= - \int dx \braket{\phi}{x} \braket{x}{\hat{D}\psi} \\ &= - \bra{\phi} \left(\int dx \ket{x} \bra{x} \right)\ket{\hat{D}\psi} \\ &= - \braket{\phi}{\hat{D}\psi} \end{aligned}$$

پس الحاقی $\hat{D} = d/dx$ برابر $-\hat{D} = -d/dx$ است. در سطر اول تفکیک همانی را میان برا و کت درج کردیم؛ در دوم توزیع کردیم و در سوم تقارن هرمیتی را به کار بردیم. در سطر چهارم تعریف $\hat{D}$ و توابع موج را استفاده کردیم؛ در پنجم روی $\R$ جزءبه‌جزء انتگرال گرفتیم. جمله‌های مرزی در بی‌نهایت صفر می‌شوند، چون توابع شوارتس سریع‌تر از هر تک‌جمله‌ای کاهش می‌یابند. در سطرهای آخر از توابع موج به ضرب‌های داخلی برگشتیم، تفکیک همانی را فاکتور گرفتیم و حذف کردیم. بنابراین عملگر تکانه خودالحاق است، زیرا

$$\left(i\,\frac{d}{dx}\right)^\dagger = - i^*\,\frac{d}{dx} = i \frac{d}{dx}$$

خودالحاقی $\hat{P}$ تضمین می‌کند که مقادیر ویژه‌اش، یعنی تکانه‌های ممکن، حقیقی باشند و توابع ویژه‌اش در معنای تعمیم‌یافته، با توزیع‌های دیراک، پایه‌ای کامل برای فضای حالت بسازند.

حالت‌های ویژهٔ تکانه. کاملاً مشابه، «کت‌های» تعمیم‌یافتهٔ $\ket{p}$ را به‌عنوان حالت‌های ویژهٔ $\hat{P}$ تعریف می‌کنیم:

$$\boxed{ \hat{P}\ket{p} = p \ket{p}, \quad p \in \mathbb{R}. }$$

در نمایش مکان، تابع موج متناظر با تصویر روی $\bra{x}$ به دست می‌آید:

$$\bra{x}\hat{P}\ket{p} = -\,i\hbar \frac{d}{dx}\braket{x}{p} = p \braket{x}{p}.$$

این معادلهٔ دیفرانسیل ساده‌ای است با جواب:

$$\boxed{ \braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\, e^{\,i\,p\,x / \hbar}. }$$

این عبارت نشان می‌دهد که تبدیل میان نمایش مکان و تکانه دقیقاً تبدیل فوریه است.

تعامد و کامل بودن. کت‌های $\ket{p}$ روابطی مشابه $\ket{x}$ها دارند:

$$\boxed{ \langle p | p' \rangle = \delta(p - p'), \qquad \mathbf{1} = \int_{-\infty}^{\infty} |p\rangle \langle p| \, dp. }$$

تابع موج در نمایش تکانه چنین تعریف می‌شود:

$$\boxed{ \tilde{\psi}(p) = \braket{p}{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\,i\,p\,x / \hbar}\, \psi(x)\,dx. }$$

پس تبدیل $\psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)$ تبدیل فوریه است و تبدیل معکوس چنین نوشته می‌شود:

$$\boxed{ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\,i\,p\,x / \hbar}\, \tilde{\psi}(p)\,dp. }$$

جابجایی بنیادی. سرانجام عملگرهای $\hat{X}$ و $\hat{P}$، رابطهٔ جابجایی کانونی را برآورده می‌کنند:

$$\boxed{ [\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar\,\mathbf{1}. }$$

این رابطه پایهٔ تمام مکانیک کوانتومی ذرهٔ نقطه‌ای است. همهٔ فرمول‌های این بخش تنها از همین رابطهٔ کانونی نتیجه می‌شوند: ثابت می‌شود تنها نمایش هیلبرتی ممکن این جبر میان X و P همان است که نوشتیم. به‌ویژه $X$ با ضرب روی توابع موج در x و P با مشتق‌گیری عمل می‌کند، و برعکس. این نتیجهٔ بزرگ، قضیهٔ استون–فون نویمان، بعداً به‌تفصیل بیان می‌شود.

1.3. ویژگی‌های دلتای دیراک

بخش و فصل را با چند فرمول مفید دربارهٔ دلتای دیراک پایان می‌دهیم که همواره باید در معنای توزیع‌ها، یعنی زیر علامت انتگرال، فهمیده شوند:

تقارن:

$$\delta(x) = \delta(-x).$$

همگنی:

برای هر عدد حقیقی $a \neq 0$:

$$\delta(a x) = \frac{1}{|a|} \, \delta(x).$$

تغییر متغیر:

اگر $f$ تابعی منظم با ریشه‌های سادهٔ $\{x_i\}$ باشد به‌طوری‌که $f(x_i) = 0$، آنگاه:

$$\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x - x_i)}{|f'(x_i)|}.$$

مشتق دلتا:

مشتق توزیعی چنین تعریف می‌شود:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta'(x - x_0) \, dx = - f'(x_0).$$

2. منابع