خانه/موضوع‌ها/موضوع 2

فضاهای هیلبرت و نمادگذاری دیراک

ساختار فضاهای هیلبرت، دوگان توپولوژیک و نمادگذاری دیراک در ابعاد متناهی و نامتناهی.

فضای دوگان، کت‌ها، براها و الحاقی

ساخت دوگان توپولوژیک، قضیهٔ نمایش ریس، معرفی کت‌ها، براها و الحاقی

دوگان جبریدوگان توپولوژیکیکریختی ریسکت‌ها و براهادرایه‌های ماتریستجزیهٔ همانیدَگِرعملگر الحاقی

1. ایدهٔ دوگانگی

دوگانگی رشتهٔ پیونددهندهٔ سراسر این درس است. بکوشیم تفسیری شهودی از آن ارائه کنیم. در ریاضیات، مفهوم دوگانگی موقعیت‌های فراوانی را دربرمی‌گیرد؛ اما در چارچوب فضاهای هیلبرت، بیانگر ایده‌ای ساده و ژرف است: یک بردار را می‌توان نه‌فقط شیئی مستقل، بلکه عملگری دید که بر بردارهای دیگر عمل می‌کند و عدد تولید می‌کند (یعنی یک فرم خطی). در مکانیک کوانتومی، عدد حاصل دامنهٔ احتمال است.

بنابراین صورت‌بندی کوانتومی از هر دو جنبه کاملاً استفاده می‌کند و نمادگذاری دیراک دستگاه نگارشی هوشمندانه‌ای برای کار آسان با آن‌ها فراهم می‌آورد. در آن کت‌ها با نماد ∣u⟩\ket{u} بردارهای فضا را نمایش می‌دهند و براها با نماد ⟨u∣\bra{u} فرم‌های خطیِ عمل‌کننده بر این بردارها را نشان می‌دهند. ترکیب آن‌ها، ⟨u∣v⟩\langle u|v\rangle، اسکالری به نام براکت تولید می‌کند؛ درحالی‌که عبارت‌هایی مانند ∑aij∣ui⟩⟨vj∣\sum a_{ij} \ket{u_i}\bra{v_j} عملگرها را توصیف می‌کنند.

این نمادگذاری به زبان معیار فیزیک کوانتومی تبدیل شده و تسلط کامل بر آن ضروری است. پس از این درس، برگه‌ای شامل خلاصهٔ قواعد محاسبه ارائه خواهد شد. در واقع، می‌توان کار با این نمادها را بدون درک واقعی ریاضیات پشت آن‌ها آموخت. اما برای دریافت معنای ژرفشان باید برنامه‌ای را که اینجا ترسیم می‌کنیم دنبال کرد: فهم اینکه چگونه تناظر کامل میان بردارها و فرم‌های خطی ساخته می‌شود و چرا این روند به‌طور طبیعی به تعریف شیء مهم دیگری، یعنی الحاقیِ یک عملگر، می‌انجامد.

در بخش بعد، می‌کوشیم چنین یکریختی‌ای میان یک فضای برداری و دوگان جبری آن برقرار کنیم؛ دوگان جبری مجموعهٔ همهٔ فرم‌های خطی فضاست. خواهیم دید که این کار ناممکن است. هرچند فضای برداری متناهی‌بُعد واقعاً با دوگان خود یکریخت است، این یکریختی کانونی نیست (به انتخاب دلخواه پایه وابسته است). در بُعد نامتناهی وضع بدتر می‌شود: چنین یکریختی‌ای اصلاً وجود ندارد. این موانع، یکی‌انگاری خودکار بردارها و فرم‌های خطی را نامعتبر می‌کنند و توسل به ساختار غنی‌تر فضاهای هیلبرت را توجیه می‌کنند.

بخش 3 نشان می‌دهد چگونه می‌توان از این ساختار اضافی برای رفع دشواری‌ها استفاده کرد. به کمک ضرب داخلی و با محدود شدن به فرم‌های خطی پیوسته، که دوگان توپولوژیک را تشکیل می‌دهند، به نتیجه‌ای چشمگیر می‌رسیم. قضیهٔ ریس می‌گوید برای هر فضای هیلبرت با هر بُعدی، میان فضا و دوگان توپولوژیک آن یک یکریختی کانونی، پادخطی و هم‌فاصله وجود دارد.

این نتیجه بنیانی دقیق برای نمادگذاری دیراک فراهم می‌کند که در بخش‌های 4 و 5 (کت و برا و عملگرهای خطی) شرح خواهیم داد؛ سپس نشان می‌دهیم چگونه یکریختی ریس به‌طور طبیعی مفهوم الحاقیِ عملگر را پدید می‌آورد (بخش 6). بخش 7 این ساخت را در نموداری جامع خلاصه می‌کند. در سراسر درس، برای روشن کردن نظریه از حالت متناهی‌بُعد به‌عنوان نمونه‌ای ملموس استفاده می‌کنیم و همواره روی میدان C\mathbb{C} کار می‌کنیم.

2. فرم‌های خطی و دوگان جبری

فرض کنید EE فضای برداری روی C\C باشد. دوگان جبری آن، E∗E^*، مجموعهٔ فرم‌های خطی روی EE، یعنی نگاشت‌های خطی φ:E→C.\varphi : E \to \C. تعریف می‌شود.

در بُعد متناهی nn، اگر پایه‌ای مانند (e1,…,en)(e_1,\dots,e_n) برای EE ثابت کنیم، می‌توانیم خانوادهٔ متناظری از فرم‌های خطی (θ1,…,θn)(\theta_1,\dots,\theta_n) در E∗E^* بسازیم که با رابطهٔ زیر تعریف می‌شود:

θj(ei)=δij\theta_j(e_i)=\delta_{ij}

سپس نشان داده می‌شود که این خانواده مستقل خطی و مولد است، پس پایه‌ای برای E∗E^* است (به نام پایهٔ دوگان). نتیجه می‌گیریم dim⁡(E∗)=dim⁡(E)\dim(E^*) = \dim(E)؛ بنابراین EE و E∗E^* یکریخت‌اند. یکی از یکریختی‌های ممکن، نگاشت TT است که به هر بردار x=∑xieix = \sum x_i e_i فرم خطی wx=∑xiθiw_x = \sum x_i \theta_i را نسبت می‌دهد.

اما این یکریختی TT به‌نوعی ساختگی است، زیرا به انتخاب اولیهٔ پایهٔ EE وابسته است. با تغییر پایه، نگاشت TT نیز تغییر می‌کند. پس میان یک فضای برداری و دوگان جبری آن، تناظر کانونی (طبیعی) وجود ندارد.

در بُعد نامتناهی، نتیجه‌ای کلاسیک نشان می‌دهد EE هرگز با دوگان جبری خود یکریخت نیست، زیرا بُعد دوگان اکیداً بزرگ‌تر است (نگاه کنید به قضیهٔ اردوش–کاپلانسکی). برای نمونه، اگر بُعد جبری EE شمارا باشد، بُعد جبری دوگان جبری آن ناشماراست.

پس در هر دو حالت، تناظر کانونی میان بردارها و فرم‌های خطی وجود ندارد.

3. دوگان توپولوژیک و قضیهٔ ریس

در فضای هیلبرت H\H، نرمِ متناظر با ضرب داخلی اجازه می‌دهد ردهٔ خاصی از فرم‌های خطی را متمایز کنیم: فرم‌های پیوسته. می‌گوییم φ:H→C\varphi : \H \to \C در x0x_0 پیوسته است اگر

∀ε>0, ∃δ>0:∥x−x0∥H<δ  ⟹  ∣φ(x)−φ(x0)∣<ε,\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 : \|x - x_0\|_\H < \delta \implies |\varphi(x) - \varphi(x_0)| < \varepsilon,

و اگر در یک نقطه پیوسته باشد، به دلیل خطی بودن در همه‌جا پیوسته است1. مجموعهٔ فرم‌های خطی پیوسته یک زیرفضای برداری از دوگان جبری تشکیل می‌دهد. آن را دوگان توپولوژیک می‌نامیم و باز هم (با تسامح در نمادگذاری) H∗\H^* می‌نویسیم.

یادداشت 1: در درس‌های بعد به این نکات بازمی‌گردیم (توپولوژی، نظریهٔ عملگرهای خطی)
تعریف 1 (دوگان توپولوژیک)
فرض کنید H\H فضای هیلبرت روی C\C باشد. مجموعهٔ فرم‌های خطی پیوسته روی H\H یک فضای برداری است که دوگان توپولوژیک H\H نام دارد و با H∗\H^* نمایش داده می‌شود. این فضا نرم طبیعی‌ای به نام نرم دوگان دارد: ∥φ∥H∗  =def  sup⁡∥x∥H=1∣φ(x)∣,\|\varphi\|_{\H^*} \equiv \sup_{\|x\|_\H=1} |\varphi(x)|,

که نسبت به آن، H∗\H^* فضای برداری نرم‌دار کامل است (یعنی فضای باناخ است).

نکته: این نرم حالت خاصی از نرم عملگر است که بعداً خواهیم دید (نگاه کنید به بخش 1.5 (موضوع 4, درس 3, به این زبان در دسترس نیست)). ساخت بالا به‌خودی‌خود برای هر فضای نرم‌دار معتبر است. ویژگی متمایز حالت هیلبرتی، قضیهٔ زیر است: با استفاده از ضرب داخلی، تناظری دوسویی میان هر فرم خطی پیوسته و یک بردار می‌سازیم:

قضیه 1 (قضیهٔ نمایش ریس)
فرض کنید H\mathcal{H} فضای هیلبرت، جدایی‌پذیر یا غیرجدایی‌پذیر، باشد. هر فرم خطی پیوستهٔ φ∈H∗\varphi \in \mathcal{H}^* را می‌توان به‌طور یکتا به شکل φ(x)=⟨u,x⟩\varphi(x) = \langle u, x \rangle

برای برداری مانند u∈Hu \in \mathcal{H} نوشت.

توجه می‌کنیم نگاشت Φ:u↦φu=⟨u,⋅⟩\Phi : u \mapsto \varphi_u = \langle u, \cdot \rangle از H\mathcal{H} به H∗\H^*، حتی در فضایی که فقط پیش‌هیلبرت باشد، یک‌به‌یک است. در واقع اگر φu=φv\varphi_u = \varphi_v، آنگاه برای هر xx از H\mathcal{H} داریم 0=φu(x)−φv(x)=⟨u−v,x⟩0 = \varphi_u(x) - \varphi_v(x) = \langle u-v , x \rangle؛ پس با انتخاب x=u−vx = u - v و استفاده از مثبت‌معین بودن ضرب داخلی، u=vu = v به دست می‌آید.

قضیهٔ ریس می‌گوید این نگاشت پوشا نیز هست. این نتیجه بدیهی نیست و تنها در فضاهای هیلبرت معتبر است. برای مثال، در فضای پیش‌هیلبرت ناکامل، نگاشت پوشا نیست؛ زیرا فرم‌های خطی پیوسته‌ای وجود دارند که نمی‌توان آن‌ها را به‌صورت ضرب داخلی با برداری از آن فضای ناکامل نوشت.

بنابراین قضیهٔ ریس تناظر دوسویی Φ\Phi میان H\mathcal{H} و H∗\mathcal{H}^* را که در پی آن بودیم فراهم می‌کند. نتیجهٔ زیر حاصل می‌شود:

نتیجه 1
نگاشت Φ:u↦φu\Phi : u \mapsto \varphi_u یک یکریختی پادخطی هم‌فاصله، موسوم به یکریختی کانونی ریس، میان H\H و دوگان توپولوژیک مجهز به نرم دوگان آن است: H∗≃H\mathcal{H}^* \simeq \mathcal{H}.
برهان.
  1. پادخطی بودن از پادخطی بودن ضرب داخلی H\H نتیجه می‌شود: Φ(λu)=φλu=⟨λu,.⟩=λ∗⟨u,.⟩=λ∗ φu=λ∗ Φ(u)\Phi(\lambda u) = \varphi_{\lambda u} = \langle \lambda u, . \rangle = \lambda^* \langle u, . \rangle = \lambda^* \, \varphi_u = \lambda^* \, \Phi(u).
  2. هم‌فاصله بودن، یعنی ∥Φ(u)∥H∗=∥u∥H\|\Phi(u)\|_{\H^*} = \|u\|_\H، را نشان دهیم. نخست داریم: ∥φu∥H∗=sup⁡∥x∥=1∣⟨u,x⟩∣≤∥u∥H\|\varphi_u\|_{\H^*} = \sup_{\|x\|=1} |\langle u,x\rangle| \leq \|u\|_\H به‌کمک نامساوی کوشی–شوارتس. سپس می‌بینیم اگر u≠0u \neq 0 باشد، برابری برای x=u/∥u∥x = u/\|u\| برقرار می‌شود. اگر u=0u = 0 باشد، برابری بدیهی است.
  3. از نگاشت Φ\Phi، که تناظری دوسویی و هم‌فاصله است، برای انتقال ضرب داخلی H\H به H∗\H^* با تعریف زیر استفاده می‌کنیم: ⟨φu,φv⟩H∗  =def  ⟨Φ−1(φv),Φ−1(φu)⟩H=⟨v,u⟩H.\langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} \equiv \langle \Phi^{-1}(\varphi_v), \Phi^{-1}(\varphi_u) \rangle_{\mathcal{H}} = \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}}. به ترتیب معکوس (v, u به‌جای u, v) برای جبران پادخطی بودن Φ\Phi توجه کنید. نیمه‌دوخطی بودن این ضرب داخلی روی H∗\H^* را بررسی کنیم: ⟨λφu,φv⟩H∗=⟨φλ∗u,φv⟩H∗=⟨v,λ∗u⟩H=λ∗⟨v,u⟩H=λ∗⟨φu,φv⟩H∗\langle \lambda \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle \varphi_{\lambda^*u}, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*} = \langle v, \lambda^*u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle v, u \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda^* \langle \varphi_u, \varphi_v \rangle_{\mathcal{H}^*}. دیگر اصل‌های ضرب داخلی به‌سادگی اثبات می‌شوند.
  4. نرم القاشده از این ضرب داخلی رابطهٔ زیر را ارضا می‌کند: ⟨φu,φu⟩H∗=⟨u,u⟩H=∥u∥H=∥φu∥H∗,\sqrt{\langle \varphi_u, \varphi_u \rangle_{\H^*}} = \sqrt{\langle u,u \rangle_{\H}} = \|u\|_\H = \|\varphi_u\|_{\H^*}, پس با نرم دوگان یکسان است.
  5. سرانجام، کامل بودن H∗\H^* و در نتیجه هیلبرتی بودن آن، از این واقعیت تضمین می‌شود که یک هم‌فاصلهٔ دوسویی از فضایی کامل، کامل بودن را حفظ می‌کند؛ این واقعیت را اینجا بدون اثبات می‌پذیریم.

پس H∗\H^* ساختار فضای هیلبرتی را به ارث می‌برد که در آن Φ\Phi یک یکریختی (پادخطی) فضاهای هیلبرت می‌شود.

4. نمادگذاری دیراک: برا، کت و براکت

نمادگذاری دیراک اکنون چیزی جز بازنویسی یکریختی ریس نیست. ابتدا کت‌ها، براها و براکت را تعریف می‌کنیم و سپس با آن‌ها بسط روی پایهٔ هیلبرتیِ درس پیش را بازمی‌نویسیم.

  1. کت‌ها. بردار u∈Hu \in \mathcal{H} به‌صورت یک کت چنین نوشته می‌شود: u∈H⟷∣u⟩\boxed{ u \in \mathcal{H} \quad \longleftrightarrow \quad \ket{u} }

    ساختار خطی قواعد محاسبهٔ زیر را به ما می‌دهد:

    ∣u+v⟩=∣u⟩+∣v⟩∣λu⟩=λ∣u⟩\begin{aligned} \ket{u+v} &= \ket{u} + \ket{v} \\ \ket{\lambda u} &= \lambda \ket{u} \end{aligned}
  2. براها. به هر بردار u∈Hu \in \H از طریق Φ\Phi فرمی مانند φu\varphi_u نسبت می‌دهیم. این فرم خطی را به‌صورت یک برا نمایش می‌دهیم و داخل برا بردار متناظر را می‌نویسیم: φu=Φ(u)∈H∗⟷⟨u∣\boxed{ \varphi_{u} = \Phi(u) \in \mathcal{H}^* \quad \longleftrightarrow \quad \bra{u} }

    بنابراین ⟨u∣\bra{u} بردار uu را از دید یک فرم خطی، یعنی عملِ « گرفتن ضرب داخلی با uu و بازگرداندن یک عدد »، نمایش می‌دهد. قواعد محاسبهٔ زیر برقرارند:

    ⟨u+v∣=⟨u∣+⟨v∣⟨λu∣=λ∗⟨u∣,\begin{aligned} \bra{u+v} &= \bra{u} + \bra{v} \\ \bra{\lambda u} &= \lambda^* \bra{u}, \end{aligned} که نتیجهٔ پادخطی بودن Φ\Phi هستند.
  3. براکت. دو شگرد نگارشی بالا اجازه می‌دهند ضرب داخلی، که در انگلیسی bracket (یا inner product) نامیده می‌شود، به‌صورت حاصل‌ضرب یک برا در یک کت ساخته شود: ⟨u,x⟩  =def  ⟨u|x⟩\boxed{\langle u, x \rangle \equiv \braket{u}{x}}

    این نمادگذاری در واقع اثر فرم خطی ⟨u∣\bra{u} بر بردار ∣x⟩\ket{x} را بازتاب می‌دهد:

    ⟨u∣(∣x⟩)=φu(x)=⟨u,x⟩=⟨u|x⟩.\bra{u}\left(\ket{x}\right) = \varphi_u(x) = \langle u, x \rangle = \braket{u}{x}.
  4. بسط هیلبرتی. صرف‌نظر از بُعد فضای هیلبرت، فرمول بسط u=∑i∈I⟨ei,u⟩eiu = \sum_{i \in I} \langle e_i, u \rangle e_i را دیده‌ایم؛ مجموع متناهی است یا اگر II نامتناهی باشد، در H\mathcal{H} همگرا می‌شود. در نمادگذاری دیراک:

    ∣u⟩=∑i∈I⟨ei|u⟩∣ei⟩=∑i∈Iui∣ei⟩\boxed{ \ket{u} = \sum_{i \in I} \braket{e_i}{u} \ket{e_i} = \sum_{i \in I} u_i \ket{e_i} }

    (1)

    در اینجا uiu_i مؤلفه‌های کت uu در پایه‌اند. توجه کنید این مؤلفه‌ها از تصویر عمودی روی eie_i به شکل ui=⟨ei|u⟩u_i = \braket{e_i}{u} به دست می‌آیند، نه به شکل ⟨u|ei⟩\braket{u}{e_i} که مقدارش ui∗u_i^* است. این خطایی رایج است؛ شاید چون در حساب برداری معمول روی Rn\R^n، مؤلفهٔ viv_i بردار v⃗\vec{v} با vi=v⃗⋅e⃗iv_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i به دست می‌آید و این ممکن است در حالت کوانتومی ui=⟨u|ei⟩u_i = \braket{u}{e_i} را القا کند. اما چنین کاری نیمه‌دوخطی بودن ضرب داخلی روی C\C را نادیده می‌گیرد و فوراً به خطای محاسباتی می‌انجامد.

    برای براها داریم:

    ⟨u∣=∑i∈I⟨u|ei⟩⟨ei∣=∑i∈Iui∗⟨ei∣\boxed{ \bra{u} = \sum_{i \in I} \braket{u}{e_i} \bra{e_i} = \sum_{i \in I} u_i^* \bra{e_i} }

    (2)

    و مربع نرم چنین نوشته می‌شود:

    ∥u∥2=⟨u|u⟩=∑i∈I∣ui∣2=∑i∈Iui∗ui\|u\|^2 = \braket{u}{u} = \sum_{i \in I} |u_i|^2 = \sum_{i \in I} u_i^* u_i

    (3)

    که برابری دوم همان برابری پارسوال است.
  5. عمل « دگر ». استفاده از یکریختی Φ\Phi (از کت‌ها به براها) معمولاً با نماد بالانویس †\dagger نشان داده می‌شود. برای یکریختی معکوس Φ−1\Phi^{-1} از براها به کت‌ها نیز همان نماد را انتخاب می‌کنیم. به این ترتیب عمل دگر خودوارون می‌شود. طبق این قرارداد نگارشی: ⟨u∣=∣u⟩†(نگاشت Φ)∣u⟩=⟨u∣†(نگاشت Φ−1)(∣u⟩†)†=∣u⟩(خودوارونی)\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger \quad \text{(نگاشت } \Phi)\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger \quad \text{(نگاشت } \Phi^{-1})\\ \left(\ket{u}^\dagger\right)^\dagger &= \ket{u} \quad \text{(خودوارونی)} \end{aligned}

این نکات را در بُعد متناهی روشن کنیم. H\H را با بُعد nn و پایهٔ هیلبرتی B=(∣ei⟩)i=1n\mathcal{B} = \left(\ket{e_i}\right)_{i=1}^n، مجهز به ضرب داخلی کانونی، انتخاب می‌کنیم (نگاه کنید به بخش 3.1 (موضوع 2, درس 1)). کت‌های پایه را به‌طور کانونی با بردارهای ستونی، یعنی ماتریس‌های (n,1)(n,1)، نمایش می‌دهیم:

∣ei⟩=(0⋮010⋮0)B\ket{e_i} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{B}

که در آن 11 در جایگاه ii قرار دارد؛ آنگاه همهٔ کت‌های ∣u⟩\ket{u} به‌صورت بردار ستونی نوشته می‌شوند:

∣u⟩=∑i=1nui∣ei⟩=(u1u2⋮un)B∈Cn,\ket{u} = \sum_{i=1}^n u_i \ket{e_i} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}_\mathcal{B} \in \mathbb{C}^n,

با ui=⟨ei|u⟩u_i = \braket{e_i}{u}. فرم خطی φu\varphi_u متناظر با بردار uu باید برای هر بردار vv رابطهٔ زیر را ارضا کند:

φu(v)=⟨u,v⟩=∑i=1nui∗vi,(ضرب داخلی کانونی در Cn)\varphi_u(v) = \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i, \quad \text{(ضرب داخلی کانونی در } \C^n)

برای به دست آوردن این مجموع، ⟨u∣\bra{u} باید با بردار سطری به اندازهٔ (1,n)(1, n) از مختصات مزدوجِ uu نمایش داده شود:

⟨u∣=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗),\bra{u} = \left(u_1^*, u_2^*, \cdots, u_n^*\right),

زیرا در این صورت ضرب داخلی ⟨u|v⟩\braket{u}{v} از ضرب ماتریسی معمول به دست می‌آید:

⟨u|v⟩=(u1∗,u2∗,⋯ ,un∗)⋅(v1v2⋮vn)=∑i=1nui∗vi∈C.\begin{aligned} \braket{u}{v} = \begin{pmatrix} u_1^*, & u_2^*, & \cdots, & u_n^* \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n u_i^* v_i \in \mathbb{C}. \end{aligned}

برای نمونه، در بُعد 2:

∣u⟩=(1i)⇒⟨u∣=(1,−i)\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \bra{u} = (1, -i)

نتیجهٔ زیر را به دست آوردیم:

گزاره 1 (ترانهادهٔ مزدوج)
در بُعد متناهی، برای ⟨u∣\bra{u} همان ترانهادهٔ مزدوج، یا « ترانس‌کانژوگه »، کت ∣u⟩\ket{u} است. داریم: ⟨u∣=∣u⟩†=∣u∗⟩⊤∣u⟩=⟨u∣†=⟨u∗∣⊤\begin{aligned} \bra{u} &= \ket{u}^\dagger = \transpose{\ket{u^*}}\\ \ket{u} &= \bra{u}^\dagger = \transpose{\bra{u^*}} \end{aligned}

توجه کنید این گفته در بُعد نامتناهی معنایی ندارد، زیرا ترانهاده تعریف نشده است. بااین‌حال در فضای ℓ2(N)\ell^2(\N) و پایهٔ کانونی آن، با در نظر گرفتن بردارهای ستونی یا سطری نامتناهی و جایگزین کردن مجموع‌های متناهی با سری‌های همگرا، وضعیت نسبتاً مشابهی پیدا می‌کنیم. این می‌تواند به ساخت شهود کمک کند، اما به معنای دقیق سخن از ماتریس یا ترانهاده نیست.

5. عملگرها، درایه‌های ماتریس و بسط همانی

شرح نمادگذاری دیراک را این بار با معرفی نگاشت‌های خطی (که عملگرهای خطی هم نام دارند) A^\hat A از H\mathcal{H} به G\mathcal{G} ادامه می‌دهیم؛ در اینجا G\mathcal{G} فضای هیلبرت دیگری است.

نوشتن عملگرها. نخست توجه کنید که در فیزیک، نمایش عملگر با کلاه مرسوم است. عملگر A^\hat A با اثر بر بردار vv، بردار A^v\hat A v را می‌دهد. پس در نمادگذاری دیراک دو نگارش هم‌ارز داریم که دومی رایج‌تر است:

v=A^ u⟷∣v⟩=∣A^u⟩  =def  A^∣u⟩.\boxed{v = \hat A \, u \quad \longleftrightarrow \quad \ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u} \equiv \hat A \ket{u}}.

به همین ترتیب، ضرب داخلی شامل یک عملگر را می‌توان چنین نوشت:

⟨w,A^ u⟩⟷⟨w|A^u⟩  =def  ⟨w∣A^∣u⟩\boxed{\langle w, \hat A \, u \rangle \quad \longleftrightarrow \quad \braket{w}{\smash{\hat{A}} u} \equiv \bra{w} \hat A \ket{u} }

که نگارش دوم به دلایل زیبایی‌شناختی رایج‌تر است.

درایه‌های ماتریس. در فرمول بالا، حالت ⟨w∣=⟨ei∣\bra{w} = \bra{e_i} و∣u⟩=∣ej⟩\ket{u} = \ket{e_j} به‌ویژه مهم است، زیرا آنچه درایه‌های ماتریس عملگر A^\hat A نامیده می‌شود را تعریف می‌کند:

Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩.\boxed{A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}.}

(4)

در بُعد نامتناهی این عبارت همیشه معنادار نیست، زیرا ∣ei⟩\ket{e_i} باید در دامنهٔ تعریف عملگر A^\hat A نیز باشد. به این موضوع بازمی‌گردیم. اما در بُعد متناهی تعریف روشن است: با نوشتن بردارهای پایه به شکل ستون، عملگر خطی با ماتریس نمایش‌دهنده‌اش تناظر یکتا دارد؛ پس A^  ⟷  A=(Aij)1≤i,j≤n\hat A \;\longleftrightarrow\; A = (A_{ij})_{1 \le i,j \le n} می‌نویسیم، با Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j}. آنگاه معادلهٔ ∣v⟩=A^∣u⟩\ket{v} = \hat A \ket{u} در بالا به ضرب ماتریسی معمول A^∣u⟩=∑i∑j(Aijuj)∣ei⟩\hat A \ket{u} = \sum_{i} \sum_j (A_{ij} u_j) \ket{e_i} تبدیل می‌شود، درحالی‌که ضرب داخلی به شکل ⟨w∣A^∣u⟩=(w∗)⊤Au=∑ijwi∗Aijuj∈C\bra{w} \hat A \ket{u} = \transpose{\left(w^*\right)} A u = \sum_{ij} w_i^* A_{ij} u_j \in \C نوشته می‌شود.

مثال 1 (محاسبات ماتریسی)
برای نمونه‌ای صریح، این موارد را در نظر بگیریم: A^=(i01−1),∣u⟩=(13),∣w⟩=(i1),\begin{aligned} \quad \hat A = \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \ket{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \ket{w} = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}, \end{aligned}

آنگاه داریم:

∣v⟩=A^∣u⟩=(i01−1)⋅(13)=(i−2),⟨w∣A^∣u⟩=(−i,1)⋅(i01−1)⋅(13)=−1.\begin{aligned} \ket{v} = \hat A \ket{u} = \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u} = (-i, 1) \cdot \begin{pmatrix} i & 0 \\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = -1. \end{aligned}

عملگرهای کت-برا. براکت عدد است، اما کت-برا عملگری به نام ضرب خارجی است (بی‌ارتباط با ضرب خارجی فرم‌های دیفرانسیلی). به دو بردار ∣u⟩\ket{u} و∣v⟩\ket{v} از همان فضای هیلبرت H\H، عملگر ∣u⟩⟨v∣\ket{u}\bra{v} از H\H به H\H را نسبت می‌دهیم که چنین تعریف می‌شود:

∣u⟩⟨v∣:H→H,∣x⟩↦∣u⟩⟨v|x⟩⏟∈C=⟨v|x⟩ ∣u⟩.\begin{aligned} \ket{u}\bra{v} \quad : \quad &\mathcal{H} \to \mathcal{H}, \\ &\ket{x} \mapsto \ket{u} \underbrace{\braket{v}{x}}_{\in \mathbb{C}} = \braket{v}{x} \, \ket{u}. \end{aligned}

اینجا نیز در بُعد متناهی حالت E^ij  =def  ∣ei⟩⟨ej∣\hat{E}_{ij} \equiv \ket{e_i}\bra{e_j} اهمیت ویژه دارد. همهٔ درایه‌های ماتریس این عملگر صفرند جز یک "1" در سطر ii و ستون jj؛ پس ماتریس متناظر چنین است:

Eij=(0⋯0⋯0⋮⋮⋮0⋯1⋯0⋮⋮⋮0⋯0⋯0),\begin{aligned} E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}, \end{aligned}

هر عملگر خطی A^\hat{A} در بُعد متناهی برحسب درایه‌های ماتریسش بسط می‌یابد:

A^=∑i,j=1nAij E^ij=∑i,j=1nAij ∣ei⟩⟨ej∣,\boxed{ \hat{A} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\hat E_{ij} = \sum_{i,j=1}^n A_{ij}\,\ket{e_i}\bra{e_j}, }

که در آن Aij=⟨ei∣A^∣ej⟩A_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}\ket{e_j} است. توجه کنید در بُعد نامتناهی این بسط همیشه ممکن نیست و هرگاه وجود داشته باشد، باید در معنای همگرایی قوی فهمیده شود. در درس‌های بعد به این موضوع بازمی‌گردیم.

بسط عملگر همانی. عملگر همانی در H\mathcal{H} با نماد 1\mathbf{1}، به‌طور مستقیم با 1∣x⟩=∣x⟩\mathbf{1}\ket{x} = \ket{x} برای هر ∣x⟩∈H\ket{x} \in \mathcal{H} تعریف می‌شود. در بُعد متناهی بدیهی است که ماتریس همانی آن را نمایش می‌دهد. به‌طور کلی‌تر، فرمول زیر را داریم:

1=∑i∈I∣ei⟩⟨ei∣\boxed{ \mathbf{1} = \sum_{i \in I} \ket{e_i}\bra{e_i} }
(5)

که در بُعد نامتناهی شمارا نیز معتبر است؛ در آن حالت سری به‌طور قوی همگراست. آن را تفکیک همانی یا رابطهٔ بستار نیز می‌نامند. این فرمول در همهٔ محاسبات مکانیک کوانتومی بسیار سودمند است. توجه کنید در فضاهای غیرجدایی‌پذیر نادرست است2

یادداشت 2: در واقع، فرمول بسط x=∑i∈I⟨ei,x⟩eix = \sum_{i \in I} \langle e_i, x \rangle e_i در هر فضای هیلبرت معتبر می‌ماند، اما در حالت غیرجدایی‌پذیر مجموع فقط روی زیرمجموعه‌ای شمارا از اندیس‌ها، I(x)⊂II(x) \subset I، گرفته می‌شود که به xx وابسته است. پس نمی‌توان از آن نگارشی از همانی مستقل از برداری که بر آن عمل می‌کند نتیجه گرفت؛ این امر فرمول (5) را در این چارچوب نامعتبر می‌کند.

6. عملگر الحاقی

به یکریختی ریس بازگردیم و یک عملگر خطی پیوسته3 A^\hat{A} از H\mathcal{H} به G\mathcal{G} در نظر بگیریم؛ H\H وG\G دو فضای هیلبرت‌اند و ممکن است H=G\H = \G باشد.

یادداشت 3: برای سادگی اینجا به عملگرهای پیوسته محدود می‌شویم. بعداً به ساخت الحاقی در حالت ناپیوسته بازخواهیم گشت؛ نگاه کنید به بخش 1.6 (موضوع 4, درس 3, به این زبان در دسترس نیست)

وقتی A^\hat{A} بر کت ∣u⟩∈H\ket{u} \in \mathcal{H} عمل می‌کند، کت تازهٔ ∣v⟩=∣A^u⟩=A^∣u⟩∈G\ket{v} = | \hat{A} u \rangle = \hat{A}\ket{u} \in \mathcal{G} به دست می‌آید. طبیعی است بپرسیم برای متناظر با بردار ∣v⟩\ket{v} از طریق یکریختی ریس چیست؛ یعنی فرم خطی روی G\G، یعنی ⟨v∣=⟨A^u∣\bra{v} = \langle \hat{A}u |، چه مقداری دارد. این پرسش به‌طور طبیعی ما را به عملگری تازه، موسوم به الحاقیِ A^\hat{A} و باز هم با نماد A^†\hat{A}^\dagger، می‌رساند. این عملگر در مکانیک کوانتومی نقشی اساسی دارد.

برای یافتن ⟨v∣=⟨A^u∣\bra{v} = \langle \hat{A}u |، کت دلخواهی مانند ∣w⟩∈G\ket{w} \in \mathcal{G} را ثابت کنیم و فرم خطی زیر روی H\H را در نظر بگیریم:

φ:H⟶C∣u⟩⟼⟨A^u,w⟩G\begin{aligned} \varphi : \begin{array}{rcl} \mathcal{H} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\[4pt] \ket{u} & \longmapsto & \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} \end{array} \end{aligned}

(اندیس G\G در بالا نشان می‌دهد ضرب داخلی باید در کدام فضا گرفته شود.) اینجا می‌پذیریم که وقتی A^\hat{A} عملگر پیوسته است، φ\varphi فرم خطی پیوسته‌ای روی H\mathcal{H} است. طبق قضیهٔ ریس که بر H\mathcal{H} اعمال می‌شود، بردار یکتایی مانند ∣z⟩∈H\ket{z} \in \mathcal{H} وجود دارد به‌طوری‌که φ=φz\varphi = \varphi_z؛ یعنی:

∀ ∣u⟩∈H,φ(u)=⟨A^u,w⟩G=φz(u)=⟨u,z⟩H.\forall\, \ket{u} \in \mathcal{H}, \quad \varphi(u) = \langle \hat{A}u, w \rangle_{\mathcal{G}} = \varphi_z(u) = \langle u, z \rangle_{\mathcal{H}}.

ساخت بالا به بردار ∣w⟩\ket{w} از G\G، بردار یکتای ∣z⟩\ket{z} از H\H را نسبت داد. این عمل را می‌توان به‌طور صوری با اثر عملگری موسوم به عملگر الحاقی و با نماد A^†\hat{A}^\dagger، به شکل ∣z⟩=A^†∣w⟩\ket{z} = \hat{A}^\dagger \ket{w} نوشت. پس عملگر A^\hat A از H\H به G\G عمل می‌کند، درحالی‌که الحاقی از G\G به H\H می‌رود.

با تکمیل این ساخت برای هر ∣w⟩\ket{w}، به‌آسانی بررسی می‌کنیم که عملگر تعریف‌شده خطی و خود پیوسته است. نتیجهٔ بنیادی زیر حاصل می‌شود:

تعریف 2 (الحاقیِ عملگر پیوسته)
الحاقیِ عملگر خطی پیوستهٔ A^:H→G\hat{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{G}، یگانه عملگر خطی پیوستهٔ A^†:G→H\hat{A}^\dagger : \mathcal{G} \to \mathcal{H} است که:

∀∣u⟩∈H,∀∣w⟩∈G,⟨A^u|w⟩G=⟨u|A^†w⟩H\boxed{ \forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{u}{\smash{\hat{A}}^\dagger w}_{\mathcal{H}} }
(6)

الحاقی در محاسبات صوری کوانتومی دو کاربرد عملی دارد.

  1. فرمول بالا نشان می‌دهد، به‌نوعی، « با ثابت نگه داشتن جای uu وww، الحاقی اجازه می‌دهد عملگر از چپ به راست منتقل شود ».
  2. با استفاده از تقارن هرمیتی ضرب داخلی، ⟨A^u|w⟩G=⟨w|A^u⟩G∗\braket{\smash{\hat{A}} u}{w}_{\mathcal{G}} = \braket{w}{\smash{\hat{A}} u}_{\mathcal{G}}^*، همچنین داریم:

    ∀∣u⟩∈H,∀∣w⟩∈G,⟨w∣A^∣u⟩G∗=⟨u∣A^†∣w⟩H\boxed{\forall \ket{u} \in \mathcal{H}, \forall \ket{w} \in \mathcal{G}, \quad \bra{w} \hat A \ket{u}_{\G}^* = \bra{u}\hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}}}
    (7)

    که این بار نشان می‌دهد « الحاقی امکان جابه‌جایی برا و کت را به بهای گرفتن مزدوج مختلط فراهم می‌کند ».

این دو همانی هم‌ارزند. البته باید به فضاهای مبدأ و مقصد H\H وG\G و به اینکه کدام ضرب داخلی، متعلق به H\H یا G\G، استفاده می‌شود دقت کرد. اما در عمل تقریباً همیشه H=G\H = \G خواهیم داشت و نمادگذاری به همان نسبت ساده می‌شود.

اکنون ساخت بالا را در حالت متناهی‌بُعد نشان دهیم. نتیجهٔ اصلی زیر را داریم:

گزاره 2 (ترانهادهٔ مزدوج)
در بُعد متناهی، ماتریس نمایش‌دهندهٔ الحاقی A^†\hat{A}^\dagger، ترانهادهٔ مزدوج ماتریس نمایش‌دهندهٔ عملگر A^\hat{A} است.

A†=(A∗)⊤\boxed{A^\dagger = \transpose{\left(A^*\right)}}

(8)

برهان.
درایه‌های ماتریس A^†\hat{A}^\dagger بنا بر تعریف چنین‌اند: (A^†)ij=⟨ei∣A^†∣ej⟩=⟨ei|A^†ej⟩.(\hat{A}^\dagger)_{ij} = \bra{e_i}\hat{A}^\dagger \ket{e_j} = \braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j}.

از تعریف الحاقی داریم:

⟨ei|A^†ej⟩=⟨A^ei|ej⟩\braket{e_i}{\smash{\hat{A}}^\dagger e_j} = \braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j}

و با تقارن هرمیتی داریم

⟨A^ei|ej⟩=⟨ej|A^ei⟩∗=⟨ej∣A^∣ei⟩∗=Aji∗\braket{\smash{\hat{A}} e_i}{e_j} = \braket{e_j}{\smash{\hat{A}} e_i}^* = \bra{e_j}\hat{A} \ket{e_i}^* = A_{ji}^*

اثبات کردیم:

(A†)ij=Aji∗=(A∗⊤)ij(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^* = \left(\transpose{A^*}\right)_{ij}

هنوز صریحاً به این پرسش پاسخ نداده‌ایم: برای ⟨v∣=⟨A^u∣\bra{v} = \bra{\smash{\hat A} u} که به‌طور کانونی با کت ∣v⟩=∣A^u⟩\ket{v} = \ket{\smash{\hat A} u} متناظر است چیست؟ فرمول (6) از طریق ضرب داخلی معتبر برای هر بردار ww پاسخ می‌دهد و اجازه می‌دهد بنویسیم:

∀w∈G,⟨A^u|w⟩G=⟨u∣A^†∣w⟩H  ⇒  ⟨A^u∣=⟨u∣A^†\forall w \in \mathcal{G}, \quad \braket{\hat{A} u}{w}_{\mathcal{G}} = \bra{u} \hat{A}^\dagger \ket{w}_{\mathcal{H}} \;\Rightarrow\; \boxed{\bra{\hat{A} u} = \bra{u} \hat{A}^\dagger}

نتیجه از این مشاهده حاصل می‌شود که دو فرم خطی که روی هر بردار ww یکسان‌اند، الزاماً برابرند. اما درک درست ماهیت این شیء حیاتی است. یک اشتباه رایج این است که از این نگارش گمان کنیم « الحاقی روی براها به سمت چپ عمل می‌کند ». این نادرست است! شیء ⟨u∣A^†\bra{u} \hat{A}^\dagger در واقع ترکیب عملگرها است، نه عمل به سمت چپ. فضاهای مبدأ و مقصد عبارت‌اند از:

A^†:G→H,⟨u∣:H→C,\begin{aligned} \hat A^\dagger &: \mathcal G \to \mathcal H, \\ \bra{u} &: \mathcal H \to \mathbb{C}, \end{aligned}

بنابراین ⟨u∣A^†\bra{u} \hat A^\dagger ترکیب ⟨u∣∘A^† : G→H→C\bra{u} \circ \hat A^\dagger \, : \, \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to \mathbb{C} است که به‌درستی یک فرم خطی روی G\mathcal{G} است. معمولاً نماد ∘\circ حذف می‌شود و همین می‌تواند ابهام ایجاد کند.

مثال 2 (نمونه در بُعد متناهی)
کت‌ها بردار ستونی، براها بردار سطری، و الحاقی ترانهادهٔ مزدوج است. برای نمونه، بگیریم: A^=(1i02),A^†=(10−i2),∣u⟩=(01).\begin{aligned} \hat{A} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \hat{A}^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix}, \quad \ket{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}

حساب می‌کنیم:

A^∣u⟩=(1i02)(01)=(i2)که از آن نتیجه می‌شود⟨A^u∣=(−i2).\begin{aligned} \hat{A}\ket{u} = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} \quad \text{که از آن نتیجه می‌شود} \quad \bra{\smash{\hat{A}}u} = \begin{pmatrix} -i & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}

با محاسبهٔ مستقیم بررسی کنیم:

⟨u∣A^†=(01)(10−i2)=(−i2).\begin{aligned} \bra{u}\hat{A}^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i & 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}

همان بردار سطری به دست می‌آید. اینجا ⟨u∣A^†\bra{u}\hat{A}^\dagger حاصل‌ضرب بردار سطری ×\times ماتریس است که نتیجه‌اش بردار سطری روی G\mathcal{G} است. برای اطمینان از ناممکن بودن عمل به سمت چپ، می‌توان تلاش کرد A^†⟨u∣\hat{A}^\dagger\bra{u} را حساب کرد؛ یعنی در قالب ماتریسی:

A^†⟨u∣=(10−i2)(01),\begin{aligned} \hat{A}^\dagger \bra{u} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{aligned}

که ضرب ماتریس 2×22\times 2 در بردار سطری 1×21\times 2 است: عملی که از دید ماتریسی معنایی ندارد.

سرانجام، از ⟨A^u∣=⟨u∣A^†\bra{\smash{\hat{A}} u} = \bra{u} \hat A^\dagger با گرفتن دگر، فرمول‌های سودمند زیر را نتیجه می‌گیریم:

(A^∣u⟩)†=⟨u∣A^†.\left(\hat{A} \ket{u}\right)^\dagger = \bra{u} \hat{A}^\dagger.
(9)

(⟨u∣A^†)†=A^∣u⟩.\left(\bra{u} \hat{A}^\dagger\right)^\dagger = \hat{A} \ket{u}.
(10)

مثال 3 (محاسبهٔ یک ترکیب صوری با الحاقی)
به پرسش معمول امتحان مکانیک کوانتومی مقدماتی دربارهٔ نوسانگر هماهنگ نگاه کنیم. صورت سؤال خانواده‌ای از کت‌های ∣n⟩\ket{n} برای اعداد صحیح مثبت nn و قوانین زیر را می‌دهد: a^∣n⟩=n∣n−1⟩\hat a \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1} وa^†∣n⟩=n+1∣n+1⟩\hat a^\dagger \ket{n} = \sqrt{n + 1} \ket{n+1}. سپس می‌پرسد: ⟨n∣a^†\bra{n} \hat a^\dagger چیست؟

اگر تصور کنیم a^†\hat a^\dagger به سمت چپ عمل می‌کند، ممکن است پاسخ دهیم ⟨n∣a^†=n+1⟨n+1∣\bra{n} \hat a^\dagger = \sqrt{n + 1} \bra{n+1}. این پاسخ نادرست است، زیرا معادلات بالا به‌جای آن، از معادلهٔ (9) با A^=a^\hat{A} = \hat{a}، نتیجه می‌دهند:

⟨n∣a^†=(a^∣n⟩)†=(n∣n−1⟩)†=n⟨n−1∣\bra{n}\hat{a}^\dagger = \left(\hat{a}\ket{n}\right)^\dagger = \left(\sqrt{n}\ket{n-1}\right)^\dagger = \sqrt{n}\bra{n-1}

شکل زیر روابط میان براها، کت‌ها، عملگر A^\hat A و الحاقی آن را که در این درس دیدیم خلاصه می‌کند.

نمایش فضاهای هیلبرت مبدأ و مقصد و دوگان‌های توپولوژیک آن‌ها ^* و ^*. عملگر A به‌طور طبیعی به سمت راست عمل می‌کند: کت فضای مبدأ u_ را به کت فضای مقصد A u_ تبدیل می‌کند. یکریختی ریس اجازه می‌دهد الحاقی آن، A^ ، ساخته شود که به‌طور طبیعی روی کت‌ها از به عمل می‌کند و همانی بنیادی را ارضا می‌کند. توجه: نمودار نباید این تصور را ایجاد کند که با نگاشت معکوس روبه‌رو هستیم! به‌طور کلی A^ A^-1 است. پیکان‌های افقی بالا اثر عملگرها را نشان می‌دهند، درحالی‌که پیکان‌های افقی پایین ترکیب‌ها را مطابق بحث متن نمایش می‌دهند. پیکان‌های آبی و نارنجی عمل دگر را نشان می‌دهند (یکریختی ریس یا معکوس آن ^-1). متن فرمول‌های اساسی این اعمال را مشخص می‌کند (اندیس‌های و برای خوانایی حذف شده‌اند). چون این عمل خودوارون است، تبدیل‌های آبی و نارنجی معکوس یکدیگرند. خط‌چین خاکستری پادخطی بودن این یکریختی را یادآوری می‌کند که منشأ مزدوج مختلط در همانی بنیادی است. اندیس‌های و در این همانی مشخص می‌کنند هر ضرب داخلی در کدام فضا محاسبه شده است.
شکل 1. نمایش فضاهای هیلبرت مبدأ H\H و مقصد G\G و دوگان‌های توپولوژیک آن‌ها H∗\H^* وG∗\G^*. عملگر A^\hat{A} به‌طور طبیعی به سمت راست عمل می‌کند: کت فضای مبدأ ∣u⟩H\ket{u}_\H را به کت فضای مقصد A^∣u⟩H∈G\hat{A}\ket{u}_\H \in \G تبدیل می‌کند. یکریختی ریس اجازه می‌دهد الحاقی آن، A^†\hat{A}^\dagger، ساخته شود که به‌طور طبیعی روی کت‌ها از G\G به H\H عمل می‌کند و همانی بنیادی را ارضا می‌کند. توجه: نمودار نباید این تصور را ایجاد کند که با نگاشت معکوس روبه‌رو هستیم! به‌طور کلی A^†≠A^−1\hat{A}^\dagger \neq \hat{A}^{-1} است. پیکان‌های افقی بالا اثر عملگرها را نشان می‌دهند، درحالی‌که پیکان‌های افقی پایین ترکیب‌ها را مطابق بحث متن نمایش می‌دهند. پیکان‌های آبی و نارنجی عمل دگر را نشان می‌دهند (یکریختی ریس Φ\Phi یا معکوس آن Φ−1\Phi^{-1}). متن فرمول‌های اساسی این اعمال را مشخص می‌کند (اندیس‌های H\H وG\G برای خوانایی حذف شده‌اند). چون این عمل خودوارون است، تبدیل‌های آبی و نارنجی معکوس یکدیگرند. خط‌چین خاکستری پادخطی بودن این یکریختی را یادآوری می‌کند که منشأ مزدوج مختلط در همانی بنیادی است. اندیس‌های H\H وG\G در این همانی مشخص می‌کنند هر ضرب داخلی در کدام فضا محاسبه شده است.

این بخش را با چند ویژگی مهم الحاق‌گیری پایان می‌دهیم:

گزاره 3 (ویژگی‌های عملگر الحاقی)
برای همهٔ عملگرهای خطی پیوستهٔ A^,B^\hat{A}, \hat{B} و هر اسکالر λ∈C\lambda \in \mathbb{C} داریم: (A^+B^)†=A^†+B^†,(λA^)†=λ∗A^†, (پادخطی بودن)(A^B^)†=B^†A^†,(به ترتیب دقت کنید)(A^†)†=A^,    (خودوارونی).\begin{aligned} (\hat{A} + \hat{B})^\dagger &= \hat{A}^\dagger + \hat{B}^\dagger, \\ (\lambda \hat{A})^\dagger &= \lambda^* \hat{A}^\dagger, \quad \quad \, \text{(پادخطی بودن)} \\ (\hat{A}\hat{B})^\dagger &= \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger, \quad \quad \text{(به ترتیب دقت کنید)} \\ (\hat{A}^\dagger)^\dagger &= \hat{A}, \qquad \quad \, \,\, \, \text{(خودوارونی)}. \end{aligned}

برهان.
(حالت ترکیب): برای هر ∣u⟩∈H\ket{u} \in \mathcal{H} و∣w⟩∈G\ket{w} \in \mathcal{G}، همانی بنیادی معادلهٔ (6) را دو بار به کار می‌بریم: ⟨(A^B^)u|w⟩=⟨A^(B^u)|w⟩=⟨B^u|A^†w⟩=⟨u|B^†(A^†w)⟩=⟨u|(B^†A^†)w⟩.\braket{(\hat{A}\hat{B})u}{w} = \braket{\hat{A}(\smash{\hat{B}}u)}{w} = \braket{\smash{\hat{B}}u}{\smash{\hat{A}}^\dagger w} = \braket{u}{\smash{\hat{B}}^\dagger(\smash{\hat{A}}^\dagger w)} = \braket{u}{(\smash{\hat{B}}^\dagger \smash{\hat{A}}^\dagger) w}.

از یکتایی الحاقی نتیجه می‌گیریم.

7. منابع

هنوز منبعی برای این درس افزوده نشده است.