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Thème 2 — Espaces de Hilbert et opérateurs linéaires

L'identité du parallélogramme

Mots-clés: espace pré-hilbertien · norme sup · identité du parallélogramme · contre-exemple

Exercice 1 : L'identité du parallélogramme

Question 1
Soit E=C0([0,1],C)E = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{C}) l'espace des fonctions continues à valeurs complexes sur [0,1][0,1], muni de la norme ∥f∥∞=sup⁡t∈[0,1]∣f(t)∣.\|f\|_\infty = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|.

Montrer que (E,∥⋅∥∞)(E, \|\cdot\|_\infty) n'est pas un espace pré-hilbertien.

Indice
Il faut montrer que la norme ne peut pas découler d'un produit scalaire, et donc trouver un contre-exemple à l'identité du parallélogramme. Essayez avec des fonctions simples.

Solution
Il suffit de montrer que ∥⋅∥∞\|\cdot\|_\infty viole l'identité du parallélogramme :

∥f+g∥2+∥f−g∥2=2(∥f∥2+∥g∥2).\|f + g\|^2 + \|f - g\|^2 = 2\bigl(\|f\|^2 + \|g\|^2\bigr).

Posons f(t)=1f(t) = 1 et g(t)=tg(t) = t. On calcule :

∥f∥∞=1,∥g∥∞=1,∥f+g∥∞=sup⁡t∈[0,1]∣1+t∣=2,∥f−g∥∞=sup⁡t∈[0,1]∣1−t∣=1.\|f\|_\infty = 1, \quad \|g\|_\infty = 1, \quad \|f+g\|_\infty = \sup_{t\in[0,1]}|1+t| = 2, \quad \|f-g\|_\infty = \sup_{t\in[0,1]}|1-t| = 1.

On obtient alors :

∥f+g∥∞2+∥f−g∥∞2=4+1=5≠4=2(∥f∥∞2+∥g∥∞2).\|f+g\|_\infty^2 + \|f-g\|_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2\bigl(\|f\|_\infty^2 + \|g\|_\infty^2\bigr).

L'identité du parallélogramme n'est donc pas satisfaite, ce qui implique que ∥⋅∥∞\|\cdot\|_\infty ne peut être induite par aucun produit scalaire. L'espace (E,∥⋅∥∞)(E,\|\cdot\|_\infty) n'est pas pré-hilbertien.