Thème 2

Espaces de Hilbert et notations de Dirac

Choisissez un exercice pour ouvrir son énoncé et sa correction.

Exercice 1—L'identité du parallélogramme

Mots-clés: espace pré-hilbertien · norme sup · identité du parallélogramme · contre-exemple

\ell^2(\mathbb{N})

Mots-clés: décalage · shift · ell2 · isométrie · opérateur unitaire · dimension infinie

Exercice 3—Représentant de Riesz en dimension finie

Mots-clés: Riesz · forme linéaire · produit scalaire · antilinéarité · dimension finie

Exercice 4—Algèbre des opérateurs de création et d'annihilation

Mots-clés: oscillateur harmonique · création · annihilation · commutateur · nombre d'occupation · Heisenberg

Exercice 5—Adjoint et projecteurs

Mots-clés: adjoint · matrice hermitienne conjuguée · projecteur orthogonal · idempotent

Exercice 6—Troncature de l'oscillateur harmonique

Mots-clés: oscillateur harmonique · troncature · algèbre de Heisenberg · commutateur · dimension finie

Exercice 7—Opérateur de rotation de spin et unitarité

Mots-clés: spin 1/2 · Pauli · rotation · opérateur unitaire · exponentielle d'opérateur

Exercice 8—Produit scalaire hermitien dans C3

Mots-clés: produit scalaire hermitien · norme · orthogonalité · inégalité de Cauchy-Schwarz · antilinéarité

Exercice 9—Procédé de Gram-Schmidt dans C3

Mots-clés: Gram-Schmidt · base orthonormée · projection orthogonale · décomposition · identité de Parseval

Exercice 10—Opérateurs de la forme ket-bra

Mots-clés: notation de Dirac · ket-bra · opérateur de rang un · adjoint · trace · valeurs propres · opérateur normal

Exercice 11—Propriétés de la trace

Mots-clés: trace · cyclicité · changement de base · relation de fermeture · projecteur · matrices de Pauli

Exercice 12—Changement de base orthonormée

Mots-clés: changement de base · matrice unitaire · matrice de passage · représentation d'un opérateur · Hadamard · invariants

Exercice 13—Projecteur orthogonal sur un plan

Mots-clés: projecteur orthogonal · sous-espace · Gram-Schmidt · projecteur complémentaire · distance à un sous-espace · meilleure approximation

Exercice 14—Propriétés générales des projecteurs orthogonaux

Mots-clés: projecteur orthogonal · valeurs propres · somme de projecteurs · produit de projecteurs · commutation · sous-espaces orthogonaux

Exercice 15—Projecteur oblique et projecteur orthogonal

Mots-clés: projecteur · idempotent · projecteur oblique · projecteur orthogonal · opérateur auto-adjoint · postulat de la mesure

Exercice 16—Opérateurs auto-adjoints

Mots-clés: opérateur auto-adjoint · matrice hermitienne · valeurs propres réelles · vecteurs propres orthogonaux · décomposition spectrale

Exercice 17—Opérateurs unitaires

Mots-clés: opérateur unitaire · conservation du produit scalaire · valeurs propres de module un · colonnes orthonormées · exponentielle

Exercice 18—Réflexion de Householder

Mots-clés: réflexion · symétrie orthogonale · opérateur unitaire · opérateur auto-adjoint · valeurs propres · sous-espaces propres · projecteur

Exercice 19—Rotations du plan et diagonalisation complexe

Mots-clés: rotation · matrice orthogonale · valeurs propres complexes · diagonalisation · générateur · matrices de Pauli · polarisation circulaire

Exercice 20—Rotations de l'espace : axe et angle

Mots-clés: rotation · matrice orthogonale · axe de rotation · angle de rotation · trace · valeurs propres · permutation circulaire

Exercice 21—Diagonalisation d'une matrice hermitienne de taille deux

Mots-clés: diagonalisation · matrice hermitienne · système à deux niveaux · angle de mélange · anticroisement · répulsion des niveaux

Exercice 22—Diagonalisation avec une valeur propre dégénérée

Mots-clés: diagonalisation · valeur propre dégénérée · sous-espace propre · base orthonormée · projecteurs spectraux · décomposition spectrale

Exercice 23—Matrices non diagonalisables et matrices normales

Mots-clés: diagonalisation · matrice nilpotente · bloc de Jordan · matrice normale · théorème spectral · vecteurs propres non orthogonaux

Exercice 24—Fonctions d'une matrice

Mots-clés: calcul fonctionnel · décomposition spectrale · racine carrée · inverse · exponentielle · polynôme minimal · projecteurs spectraux · évolution temporelle

Exercice 25—Exponentielle de matrice

Mots-clés: exponentielle de matrice · matrice nilpotente · matrices de Pauli · commutation · déterminant · trace · opérateur unitaire

Exercice 26—Propriétés des commutateurs

Mots-clés: commutateur · règle de Leibniz · identité de Jacobi · opérateur anti-hermitien · trace · relation canonique · matrices de Pauli

Exercice 27—Commutation et vecteurs propres communs en dimension deux

Mots-clés: commutateur · vecteurs propres communs · spectre non dégénéré · observables compatibles · observables incompatibles · matrices de Pauli

Exercice 28—Codiagonalisation et ensemble complet d'observables qui commutent

Mots-clés: codiagonalisation · observables qui commutent · sous-espace propre stable · dégénérescence · base propre commune · ensemble complet d'observables qui commutent

Exercice 29—Le produit scalaire de Hilbert-Schmidt

Mots-clés: produit scalaire de Hilbert-Schmidt · espace des matrices · trace · base orthonormée · matrices de Pauli · inégalité de Cauchy-Schwarz

Exercice 30—Décomposition de Pauli des matrices de taille deux

Mots-clés: matrices de Pauli · décomposition · matrice hermitienne · valeurs propres · projecteur de rang un · vecteur de Bloch

Exercice 31—Opérateurs positifs et racine carrée

Mots-clés: opérateur positif · racine carrée · valeurs singulières · norme d'opérateur · théorème de Cayley-Hamilton · nombre d'or

Exercice 32—Base de Fourier et identité de Parseval

Mots-clés: base hilbertienne · séries de Fourier · identité de Parseval · inégalité de Bessel · meilleure approximation · dimension infinie