Thème 2
Espaces de Hilbert et opérateurs linéaires
Choisissez un exercice pour ouvrir son énoncé et sa correction.
Exercice 1—L'identité du parallélogramme
Mots-clés: espace pré-hilbertien · norme sup · identité du parallélogramme · contre-exemple
Exercice 2—L'opérateur de décalage sur $\ell^2(\mathbb{N})$
Mots-clés: décalage · shift · ell2 · isométrie · opérateur unitaire · dimension infinie
Exercice 3—Représentant de Riesz en dimension finie
Mots-clés: Riesz · forme linéaire · produit scalaire · antilinéarité · dimension finie
Exercice 4—Algèbre des opérateurs de création et d'annihilation
Mots-clés: oscillateur harmonique · création · annihilation · commutateur · nombre d'occupation · Heisenberg
Exercice 5—Adjoint et projecteurs
Mots-clés: adjoint · matrice hermitienne conjuguée · projecteur orthogonal · idempotent
Exercice 6—Troncature de l'oscillateur harmonique
Mots-clés: oscillateur harmonique · troncature · algèbre de Heisenberg · commutateur · dimension finie
Exercice 7—Opérateur de rotation de spin et unitarité
Mots-clés: spin 1/2 · Pauli · rotation · opérateur unitaire · exponentielle d'opérateur