L'opérateur de décalage sur $\ell^2(\mathbb{N})$

Mots-clés: décalage · shift · ell2 · isométrie · opérateur unitaire · dimension infinie

Exercice 1 : L'opérateur de décalage sur $\ell^2(\mathbb{N})$

Question 1

On rappelle que

\ell^2(\mathbb{N})

désigne l'espace des suites

(x_n)_{n \in \mathbb{N}}

de nombres complexes vérifiant

\sum_{n=0}^{\infty} |x_n|^2 < \infty

, muni du produit scalaire

\langle x, y \rangle = \sum_{n=0}^{\infty} x^*_n y_n

On définit l'opérateur de décalage à droite $T \colon \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N})$ par :

T(x_0, x_1, x_2, ...) = (0, x_0, x_1, x_2, ...).

Question 2

Montrer que

T

est une isométrie linéaire.

Solution

Linéarité. Pour

\alpha, \beta \in \mathbb{C}

x, y \in \ell^2(\mathbb{N})

T(\alpha x + \beta y) = (0,\, \alpha x_0 + \beta y_0,\, \alpha x_1 + \beta y_1,\, ...) = \alpha\, T(x) + \beta\, T(y).

Isométrie. On vérifie la conservation de la norme :

\|T(x)\|^2 = |0|^2 + \sum_{n=0}^{\infty} |x_n|^2 = \|x\|^2.

Donc $T$ est une isométrie, et en particulier $T$ est injectif (car $\|T(x)\| = 0 \Rightarrow \|x\| = 0 \Rightarrow x = 0$ ).

Question 3

T

est-il un isomorphisme hilbertien (opérateur unitaire) ?

Solution

T

n'est pas un isomorphisme hilbertien. Un isomorphisme hilbertien doit être bijectif. Or

T

n'est pas surjectif : la suite

y = (1, 0, 0, ...) \in \ell^2(\mathbb{N})

n'admet aucun antécédent par

T

, car la première composante de tout

T(x)

est

0

Ainsi, $T$ est une isométrie non unitaire. Cet exemple illustre un phénomène propre à la dimension infinie : en dimension finie, toute isométrie linéaire est automatiquement surjective (argument de dimension), ce qui n'est plus vrai en dimension infinie.