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Thème 2 — Espaces de Hilbert et opérateurs linéaires

Représentant de Riesz en dimension finie

Mots-clés: Riesz · forme linéaire · produit scalaire · antilinéarité · dimension finie

Exercice 1 : Représentant de Riesz en dimension finie

Question 1
Soit E=CnE = \mathbb{C}^n muni du produit scalaire usuel ⟨x,y⟩=∑k=1nxk∗yk\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k^* y_k. Soit φ ⁣:E→C\varphi \colon E \to \mathbb{C} la forme linéaire définie par φ(x)=∑k=1nakxk,(a1,...,an)∈Cn.\varphi(x) = \sum_{k=1}^n a_k x_k, \qquad (a_1, ..., a_n) \in \mathbb{C}^n.

Question 2
Déterminer le représentant de Riesz uφ∈Eu_\varphi \in E tel que φ(x)=⟨uφ,x⟩\varphi(x) = \langle u_\varphi, x \rangle pour tout x∈Ex \in E.

Solution
On cherche u=(u1,...,un)u = (u_1, ..., u_n) tel que ⟨u,x⟩=∑kuk∗xk=∑kakxk\langle u, x \rangle = \sum_k u_k^* x_k = \sum_k a_k x_k pour tout x∈Ex \in E. Par identification composante par composante, uk∗=aku_k^* = a_k, soit

uφ=(a1∗,...,an∗).u_\varphi = (a_1^*, ..., a_n^*).

Question 3
Montrer que l'application φ↦uφ\varphi \mapsto u_\varphi est antilinéaire.

Solution
Soient φ,ψ\varphi, \psi deux formes linéaires de représentants uφu_\varphi et uψu_\psi, et λ∈C\lambda \in \mathbb{C}. Le représentant de λφ+ψ\lambda\varphi + \psi vérifie, pour tout xx :

⟨uλφ+ψ,x⟩=(λφ+ψ)(x)=λφ(x)+ψ(x)=λ⟨uφ,x⟩+⟨uψ,x⟩=⟨λ∗uφ+uψ,x⟩,\langle u_{\lambda\varphi+\psi}, x \rangle = (\lambda\varphi + \psi)(x) = \lambda\varphi(x) + \psi(x) = \lambda \langle u_\varphi, x \rangle + \langle u_\psi, x \rangle = \langle \lambda^* u_\varphi + u_\psi, x \rangle,

donc uλφ+ψ=λ∗uφ+uψu_{\lambda\varphi + \psi} = \lambda^* u_\varphi + u_\psi. L'application φ↦uφ\varphi \mapsto u_\varphi est bien antilinéaire.