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Thème 2 — Espaces de Hilbert et notations de Dirac

Algèbre des opérateurs de création et d'annihilation

Mots-clés: oscillateur harmonique · création · annihilation · commutateur · nombre d'occupation · Heisenberg

Exercice 1 : Algèbre des opérateurs de création et d'annihilation

Question 1
Soit HH un espace de Hilbert. On suppose donnés deux opérateurs aa et a†a^\dagger sur HH vérifiant la relation de commutation canonique [a, a†]=1.[a,\, a^\dagger] = \mathbf{1}.

On définit l'opérateur nombre N=a†aN = a^\dagger a.

Question 2
Montrer que [N,a]=−a[N, a] = -a et [N,a†]=a†[N, a^\dagger] = a^\dagger.

Solution
On développe en utilisant [a,a†]=1[a, a^\dagger] = \mathbf{1} :

[N,a]=[a†a, a]=a†[a,a]+[a†,a] a=0−1⋅a=−a.[N, a] = [a^\dagger a,\, a] = a^\dagger[a, a] + [a^\dagger, a]\,a = 0 - \mathbf{1}\cdot a = -a.

De même :

[N,a†]=[a†a, a†]=a†[a,a†]+[a†,a†] a=a†⋅1+0=a†.[N, a^\dagger] = [a^\dagger a,\, a^\dagger] = a^\dagger [a, a^\dagger] + [a^\dagger, a^\dagger]\,a = a^\dagger \cdot \mathbf{1} + 0 = a^\dagger.

Question 3
Soit ∣n⟩|n\rangle un vecteur propre de NN de valeur propre λ∈C\lambda \in \mathbb{C}, ∣n⟩≠0|n\rangle \neq 0. Montrer que si a∣n⟩≠0a|n\rangle \neq 0, alors a∣n⟩a|n\rangle est vecteur propre de NN de valeur propre λ−1\lambda - 1, et que si a†∣n⟩≠0a^\dagger|n\rangle \neq 0, alors a†∣n⟩a^\dagger|n\rangle est vecteur propre de NN de valeur propre λ+1\lambda + 1.

Solution
Supposons N∣n⟩=λ∣n⟩N|n\rangle = \lambda|n\rangle. Alors :

N(a∣n⟩)=[N,a]∣n⟩+aN∣n⟩=−a∣n⟩+λ a∣n⟩=(λ−1) a∣n⟩.N\bigl(a|n\rangle\bigr) = [N,a]|n\rangle + a N|n\rangle = -a|n\rangle + \lambda\, a|n\rangle = (\lambda - 1)\,a|n\rangle.

Si a∣n⟩≠0a|n\rangle \neq 0, c'est donc un vecteur propre de NN de valeur propre λ−1\lambda - 1. De même :

N(a†∣n⟩)=[N,a†]∣n⟩+a†N∣n⟩=a†∣n⟩+λ a†∣n⟩=(λ+1) a†∣n⟩,N\bigl(a^\dagger|n\rangle\bigr) = [N, a^\dagger]|n\rangle + a^\dagger N|n\rangle = a^\dagger|n\rangle + \lambda\, a^\dagger|n\rangle = (\lambda+1)\,a^\dagger|n\rangle,

donc a†∣n⟩a^\dagger|n\rangle, s'il est non nul, est vecteur propre de valeur propre λ+1\lambda + 1.

Question 4
Montrer que λ≥0\lambda \geq 0. En déduire que le spectre de NN est N\mathbb{N} et que les valeurs propres sont des entiers.

Solution
Pour tout ∣ψ⟩∈H|\psi\rangle \in H :

⟨ψ∣N∣ψ⟩=⟨ψ∣a†a∣ψ⟩=∥a∣ψ⟩∥2≥0,\langle \psi | N | \psi \rangle = \langle \psi | a^\dagger a | \psi \rangle = \| a|\psi\rangle \|^2 \geq 0,

donc NN est un opérateur positif et toute valeur propre λ\lambda vérifie λ≥0\lambda \geq 0.

Supposons λ∉N\lambda \notin \mathbb{N}. En appliquant aa répétitivement, on obtient la suite de valeurs propres λ,λ−1,λ−2,...\lambda, \lambda-1, \lambda-2, ..., qui finit par être strictement négative, ce qui contredit λ≥0\lambda \geq 0. Donc le spectre est contenu dans N\mathbb{N} ; en appliquant a†a^\dagger à partir de ∣0⟩|0\rangle (vecteur propre de valeur propre 00, dont l'existence est assurée par l'argument de positivité), on construit tous les entiers.

Question 5
Montrer que

∥a∣n⟩∥2=n,∥a†∣n⟩∥2=n+1.\|a|n\rangle\|^2 = n, \qquad \|a^\dagger|n\rangle\|^2 = n+1.

En déduire, en choisissant les phases de sorte que les coefficients soient réels positifs :

a∣n⟩=n ∣n−1⟩,a†∣n⟩=n+1 ∣n+1⟩.a|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle, \qquad a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle.

Solution
En utilisant [a,a†]=1[a, a^\dagger] = \mathbf{1} et N=a†aN = a^\dagger a :

∥a∣n⟩∥2=⟨n∣a†a∣n⟩=⟨n∣N∣n⟩=n.\|a|n\rangle\|^2 = \langle n | a^\dagger a | n \rangle = \langle n | N | n \rangle = n.

Pour a†a^\dagger :

∥a†∣n⟩∥2=⟨n∣a a†∣n⟩=⟨n∣(a†a+1)∣n⟩=n+1.\|a^\dagger|n\rangle\|^2 = \langle n | a\, a^\dagger | n \rangle = \langle n | (a^\dagger a + \mathbf{1}) | n \rangle = n + 1.

Puisque a∣n⟩a|n\rangle est proportionnel à ∣n−1⟩|n-1\rangle (vecteur propre de valeur propre n−1n-1, unique à une phase près dans une représentation irréductible), on peut choisir la phase pour écrire :

a∣n⟩=n ∣n−1⟩,a†∣n⟩=n+1 ∣n+1⟩.a|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle, \qquad a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle.