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Thème 2 — Espaces de Hilbert et opérateurs linéaires

Troncature de l'oscillateur harmonique

Mots-clés: oscillateur harmonique · troncature · algèbre de Heisenberg · commutateur · dimension finie

Exercice 1 : Troncature de l'oscillateur harmonique

Question 1
On reprend les notations de l'exercice sur les opérateurs de création et d'annihilation. On note HNH_N le sous-espace de dimension NN engendré par {∣0⟩,∣1⟩,...,∣N−1⟩}\{|0\rangle, |1\rangle, ..., |N-1\rangle\}. On définit les opérateurs tronqués aNa_N et aN†a_N^\dagger comme les restrictions de aa et a†a^\dagger à HNH_N, avec la convention aN∣0⟩=0a_N|0\rangle = 0 et aN†∣N−1⟩=0a_N^\dagger|N-1\rangle = 0.
Question 2
Écrire les matrices de aNa_N et aN†a_N^\dagger dans la base {∣0⟩,...,∣N−1⟩}\{|0\rangle,...,|N-1\rangle\} pour N=4N = 4.

Solution
En utilisant a∣n⟩=n∣n−1⟩a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle et a†∣n⟩=n+1∣n+1⟩a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle (avec annulation aux bords) :

a4=(0100002000030000),a4†=(0000100002000030).\begin{aligned} a_4 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad a_4^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}

Question 3
Vérifier que aN†=(aN)†a_N^\dagger = (a_N)^\dagger au sens hilbertien sur HNH_N.

Solution
Par le résultat de l'exercice sur l'adjoint et les projecteurs, (A†)ij=Aji∗(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^*. Les deux matrices obtenues à la question précédente sont transposées conjuguées l'une de l'autre (les coefficients sont réels), donc a4†=(a4)†a_4^\dagger = (a_4)^\dagger.

Question 4
Calculer [aN,aN†][a_N, a_N^\dagger] et montrer que ce commutateur n'est plus égal à 1HN\mathbf{1}_{H_N}. Interpréter.

Solution
On calcule :

[a4,a4†]=a4a4†−a4†a4.[a_4, a_4^\dagger] = a_4 a_4^\dagger - a_4^\dagger a_4.

Un calcul matriciel direct donne :

a4a4†=(1000020000300003),a4†a4=(0000010000200003),\begin{aligned} a_4 a_4^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad a_4^\dagger a_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \end{aligned}

d'où :

[a4,a4†]=(1000010000100000)=1H4−∣3⟩⟨3∣.\begin{aligned} [a_4, a_4^\dagger] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{1}_{H_4} - |3\rangle\langle 3|. \end{aligned}

La relation de commutation canonique [a,a†]=1[a,a^\dagger]=\mathbf{1} est violée au niveau du dernier état de base : la troncature brise l'algèbre de Heisenberg, car aN†∣N−1⟩=0a_N^\dagger|N-1\rangle = 0 alors que l'espace est « trop petit » pour accueillir ∣N⟩|N\rangle.