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Thème 2 — Espaces de Hilbert et notations de Dirac

Produit scalaire hermitien dans C3

Mots-clés: produit scalaire hermitien · norme · orthogonalité · inégalité de Cauchy-Schwarz · antilinéarité

Exercice 1 : Produit scalaire hermitien dans C3

On travaille dans C3\C^3, muni du produit scalaire hermitien ⟨u|v⟩=∑i=13ui∗vi\braket{u}{v}=\sum_{i=1}^3u_i^*v_i, et l'on considère les vecteurs

∣u⟩=(1i1),∣v⟩=(i11−i).\ket u=\begin{pmatrix}1\\ i\\ 1\end{pmatrix},\qquad \ket v=\begin{pmatrix}i\\ 1\\ 1-i\end{pmatrix}.
Question 1
Calculer ∥u∥\norm{u}, ∥v∥\norm{v}, ⟨u|v⟩\braket{u}{v} et ⟨v|u⟩\braket{v}{u}. Quelle relation lie les deux derniers nombres ?

Solution
Le carré de la norme est la somme des modules carrés des composantes :

∥u∥2=∣1∣2+∣i∣2+∣1∣2=3,∥v∥2=∣i∣2+∣1∣2+∣1−i∣2=1+1+2=4,\norm{u}^2=|1|^2+|i|^2+|1|^2=3,\qquad \norm{v}^2=|i|^2+|1|^2+|1-i|^2=1+1+2=4 ,

d'où ∥u∥=3\norm u=\sqrt3 et ∥v∥=2\norm v=2. Pour le produit scalaire, il faut conjuguer les composantes du premier vecteur, ⟨u∣=(1, −i, 1)\bra u=(1,\,-i,\,1) :

⟨u|v⟩=1⋅i+(−i)⋅1+1⋅(1−i)=i−i+1−i=1−i.\braket uv=1\cdot i+(-i)\cdot1+1\cdot(1-i)=i-i+1-i=1-i .

De même, avec ⟨v∣=(−i, 1, 1+i)\bra v=(-i,\,1,\,1+i),

⟨v|u⟩=(−i)⋅1+1⋅i+(1+i)⋅1=−i+i+1+i=1+i.\braket vu=(-i)\cdot1+1\cdot i+(1+i)\cdot1=-i+i+1+i=1+i .

On constate que ⟨v|u⟩=⟨u|v⟩∗\braket vu=\braket uv^* : c'est la symétrie hermitienne du produit scalaire.

Question 2
Vérifier l'inégalité de Cauchy-Schwarz ∣⟨u|v⟩∣≤∥u∥ ∥v∥|\braket uv|\leq\norm u\,\norm v.

Solution
On a ∣⟨u|v⟩∣=∣1−i∣=2≃1,41|\braket uv|=|1-i|=\sqrt2\simeq1{,}41, et ∥u∥ ∥v∥=23≃3,46\norm u\,\norm v=2\sqrt3\simeq3{,}46. L'inégalité est vérifiée, et elle est stricte : les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. On rappelle que l'égalité n'a lieu que si l'un des vecteurs est un multiple de l'autre.

Question 3
Calculer ⟨λu|v⟩\braket{\lambda u}{v} et ⟨u|λv⟩\braket{u}{\lambda v} pour λ=i\lambda=i. Commenter.

Solution
Le vecteur λ∣u⟩=i∣u⟩\lambda\ket u=i\ket u a pour composantes (i, −1, i)(i,\,-1,\,i), et son bra est (−i, −1, −i)(-i,\,-1,\,-i). Ainsi

⟨iu|v⟩=(−i)⋅i+(−1)⋅1+(−i)(1−i)=1−1−i−1=−1−i=−i ⟨u|v⟩.\braket{iu}{v}=(-i)\cdot i+(-1)\cdot1+(-i)(1-i)=1-1-i-1=-1-i=-i\,\braket uv .

En revanche, ⟨u|iv⟩=i⟨u|v⟩=i(1−i)=1+i\braket{u}{iv}=i\braket uv=i(1-i)=1+i. Le produit scalaire est linéaire par rapport au second vecteur, mais antilinéaire par rapport au premier : ⟨λu|v⟩=λ∗⟨u|v⟩\braket{\lambda u}{v}=\lambda^*\braket uv. C'est la convention des physiciens.

Question 4
Déterminer un vecteur non nul ∣w⟩\ket w orthogonal à la fois à ∣u⟩\ket u et à ∣v⟩\ket v. Vérifier le résultat.

Solution
On cherche ∣w⟩=(w1,w2,w3)\ket w=(w_1,w_2,w_3) tel que ⟨u|w⟩=0\braket uw=0 et ⟨v|w⟩=0\braket vw=0, c'est-à-dire, avec les bras calculés plus haut,

w1−iw2+w3=0,−iw1+w2+(1+i)w3=0.w_1-iw_2+w_3=0,\qquad -iw_1+w_2+(1+i)w_3=0 .

La première équation donne w1=iw2−w3w_1=iw_2-w_3. En reportant dans la seconde,

−i(iw2−w3)+w2+(1+i)w3=w2+iw3+w2+(1+i)w3=2w2+(1+2i)w3=0,-i(iw_2-w_3)+w_2+(1+i)w_3=w_2+iw_3+w_2+(1+i)w_3=2w_2+(1+2i)w_3=0,

d'où w2=−1+2i2w3w_2=-\frac{1+2i}{2}w_3. En choisissant w3=2w_3=2, on obtient w2=−1−2iw_2=-1-2i et w1=i(−1−2i)−2=−iw_1=i(-1-2i)-2=-i :

∣w⟩=(−i−1−2i2).\ket w=\begin{pmatrix}-i\\ -1-2i\\ 2\end{pmatrix}.

Vérifions : ⟨u|w⟩=−i+(−i)(−1−2i)+2=−i+i−2+2=0\braket uw=-i+(-i)(-1-2i)+2=-i+i-2+2=0, et ⟨v|w⟩=(−i)(−i)+(−1−2i)+(1+i)⋅2=−1−1−2i+2+2i=0\braket vw=(-i)(-i)+(-1-2i)+(1+i)\cdot2=-1-1-2i+2+2i=0. Le vecteur ∣w⟩\ket w est déterminé à un facteur complexe près ; sa norme vaut 1+5+4=10\sqrt{1+5+4}=\sqrt{10}.

Question 5
Calculer la quantité ∑iui2\sum_iu_i^2, obtenue en oubliant de conjuguer. Pourquoi ne peut-elle pas servir à définir une norme ? Donner l'exemple d'un vecteur non nul de C2\C^2 pour lequel elle est nulle.

Solution
On trouve ∑iui2=1+i2+1=1\sum_iu_i^2=1+i^2+1=1, alors que ∥u∥2=3\norm u^2=3. Sans conjugaison, la quantité obtenue n'est pas toujours réelle ni positive : pour (1,i)∈C2(1,i)\in\C^2, elle vaut 1+i2=01+i^2=0, alors que le vecteur est non nul. Elle ne peut donc pas définir une norme, et c'est pour garantir ⟨u|u⟩=∑i∣ui∣2≥0\braket uu=\sum_i|u_i|^2\geq0 que l'on conjugue les composantes du premier vecteur.