Opérateurs de la forme ket-bra

La matrice de $\ket u\bra v$ est le produit du vecteur colonne $\ket u$ par le vecteur ligne $\bra v=\frac{1}{\sqrt2}(0,1,1)$ :

$$\begin{aligned} A=\frac12\begin{pmatrix}1\\ i\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}0&1&1\\0&i&i\\0&0&0\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

D'après $\hat A\ket w=\braket vw\ket u$, tout vecteur image est proportionnel à $\ket u$ : l'image est la droite engendrée par $\ket u$, et le rang vaut $1$. Le noyau est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $\ket v$, c'est-à-dire le plan d'équation $w_2+w_3=0$, de dimension $2$, conformément au théorème du rang.

Pour tous $\ket w$, $\ket z$, on a $\braket{w}{\hat A z}=\braket vz\braket wu$. L'opérateur $\ket v\bra u$ vérifie $\braket{(\ket v\bra u)w}{z}=\braket uw^*\braket vz=\braket wu\braket vz$, ce qui est la même quantité. Ainsi

$$\begin{aligned} \hat A^\dagger=\ket v\bra u, \qquad A^\dagger=\frac12\begin{pmatrix}0&0&0\\1&-i&0\\1&-i&0\end{pmatrix}, \end{aligned}$$

qui est bien la transposée conjuguée de $A$. Plus généralement, $(\ket a\bra b)^\dagger=\ket b\bra a$. L'opérateur $\ket a\bra b$ est donc auto-adjoint si et seulement si $\ket a\bra b=\ket b\bra a$. En appliquant les deux membres à $\ket a$, on obtient $\braket ba\ket a=\norm a^2\ket b$, donc $\ket b$ est proportionnel à $\ket a$ : $\ket b=\lambda\ket a$. L'égalité devient alors $\lambda^*\ket a\bra a=\lambda\ket a\bra a$, d'où $\lambda$ réel. Un ket-bra est auto-adjoint si et seulement si les deux vecteurs sont proportionnels avec un coefficient réel ; c'est le cas des projecteurs $\ket a\bra a$.

En utilisant l'associativité du produit,

$$\hat A^2=\ket u\braket vu\bra v=\braket vu\,\hat A .$$

Or $\braket vu=\frac12(0\cdot1+1\cdot i+1\cdot0)=\frac i2$, donc $\hat A^2=\frac i2\hat A$. Pour la trace, on utilise une base orthonormée quelconque $(\ket{e_k})$ :

$$\tr\hat A=\sum_k\braket{e_k}{u}\braket{v}{e_k}=\sum_k\braket{v}{e_k}\braket{e_k}{u}=\braket vu=\frac i2,$$

grâce à la relation de fermeture $\sum_k\ket{e_k}\bra{e_k}=\mathbf{1}$. Sur la matrice, la somme des éléments diagonaux vaut bien $\frac12(0+i+0)=\frac i2$, et l'on vérifie aussi que $A^2=\frac i2A$ par un calcul direct.

Le noyau, de dimension $2$, est le sous-espace propre associé à la valeur propre $0$. Par ailleurs, $\hat A\ket u=\braket vu\ket u=\frac i2\ket u$ : $\ket u$ est vecteur propre de valeur propre $\frac i2$. Comme $\frac i2\neq0$, on dispose de $2+1=3$ vecteurs propres indépendants, et $\hat A$ est diagonalisable. Mais ses vecteurs propres ne sont pas orthogonaux : par exemple, $\ket u$ n'est pas orthogonal au vecteur $(1,0,0)$ du noyau, puisque leur produit scalaire vaut $\frac{1}{\sqrt2}$.

C'est cohérent avec le théorème spectral : une base orthonormée de vecteurs propres n'existe que pour un opérateur normal, $\hat A\hat A^\dagger=\hat A^\dagger\hat A$. Or $\hat A\hat A^\dagger=\ket u\braket vv\bra u=\ket u\bra u$, tandis que $\hat A^\dagger\hat A=\ket v\braket uu\bra v=\ket v\bra v$ : ces deux projecteurs sont différents, et $\hat A$ n'est pas normal.