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Thème 2 — Espaces de Hilbert et notations de Dirac

Propriétés de la trace

Mots-clés: trace · cyclicité · changement de base · relation de fermeture · projecteur · matrices de Pauli

Exercice 1 : Propriétés de la trace

Dans un espace de Hilbert H\H de dimension finie nn, la trace d'un opérateur A^\hat A est définie, pour une base orthonormée (∣ei⟩)(\ket{e_i}), par tr⁡A^=∑i⟨ei∣A^∣ei⟩=∑iAii\tr\hat A=\sum_i\bra{e_i}\hat A\ket{e_i}=\sum_iA_{ii}. On note 1\mathbf{1} l'opérateur identité, qui s'écrit 1=∑i∣ei⟩⟨ei∣\mathbf{1}=\sum_i\ket{e_i}\bra{e_i}.

Question 1
Montrer que tr⁡(A^B^)=tr⁡(B^A^)\tr(\hat A\hat B)=\tr(\hat B\hat A) pour tous opérateurs A^\hat A et B^\hat B.

Solution
En notant AijA_{ij} et BijB_{ij} les éléments de matrice, (AB)ii=∑jAijBji(AB)_{ii}=\sum_jA_{ij}B_{ji}. Ainsi

tr⁡(AB)=∑i∑jAijBji=∑j∑iBjiAij=∑j(BA)jj=tr⁡(BA),\tr(AB)=\sum_i\sum_jA_{ij}B_{ji}=\sum_j\sum_iB_{ji}A_{ij}=\sum_j(BA)_{jj}=\tr(BA),

où l'on a simplement échangé l'ordre des deux sommes finies.

Question 2
Montrer que la trace ne dépend pas de la base orthonormée choisie.

Indication
Insérer deux fois la relation de fermeture dans la base (∣ei⟩)(\ket{e_i}) dans l'expression de la trace calculée dans une autre base (∣fk⟩)(\ket{f_k}).

Solution
Soit (∣fk⟩)(\ket{f_k}) une autre base orthonormée. En insérant la relation de fermeture 1=∑i∣ei⟩⟨ei∣\mathbf{1}=\sum_i\ket{e_i}\bra{e_i} de part et d'autre de A^\hat A,

∑k⟨fk∣A^∣fk⟩=∑k∑i,j⟨fk|ei⟩⟨ei∣A^∣ej⟩⟨ej|fk⟩=∑i,j⟨ei∣A^∣ej⟩∑k⟨ej|fk⟩⟨fk|ei⟩.\sum_k\bra{f_k}\hat A\ket{f_k}=\sum_k\sum_{i,j}\braket{f_k}{e_i}\bra{e_i}\hat A\ket{e_j}\braket{e_j}{f_k} =\sum_{i,j}\bra{e_i}\hat A\ket{e_j}\sum_k\braket{e_j}{f_k}\braket{f_k}{e_i}.

La dernière somme vaut ⟨ej|ei⟩=δij\braket{e_j}{e_i}=\delta_{ij}, par la relation de fermeture dans la base (∣fk⟩)(\ket{f_k}). Il reste ∑i⟨ei∣A^∣ei⟩\sum_i\bra{e_i}\hat A\ket{e_i} : la trace est la même dans les deux bases. Matriciellement, si UU est la matrice unitaire de changement de base, cela revient à tr⁡(U†AU)=tr⁡(AUU†)=tr⁡A\tr(U^\dagger AU)=\tr(AUU^\dagger)=\tr A, par la propriété de la question précédente.

Question 3
Montrer que tr⁡(∣u⟩⟨v∣)=⟨v|u⟩\tr\bigl(\ket u\bra v\bigr)=\braket vu. En déduire que, pour un état normalisé ∣ψ⟩\ket\psi, on a ⟨ψ∣A^∣ψ⟩=tr⁡(∣ψ⟩⟨ψ∣A^)\bra\psi\hat A\ket\psi=\tr\bigl(\ket\psi\bra\psi\hat A\bigr).

Solution
On calcule

tr⁡(∣u⟩⟨v∣)=∑i⟨ei|u⟩⟨v|ei⟩=∑i⟨v|ei⟩⟨ei|u⟩=⟨v|u⟩.\tr\bigl(\ket u\bra v\bigr)=\sum_i\braket{e_i}{u}\braket{v}{e_i}=\sum_i\braket{v}{e_i}\braket{e_i}{u}=\braket vu .

Appliquons ce résultat à ∣ψ⟩⟨ψ∣A^=∣ψ⟩(⟨ψ∣A^)\ket\psi\bra\psi\hat A=\ket\psi\bigl(\bra\psi\hat A\bigr), qui est le ket-bra formé de ∣ψ⟩\ket\psi et du bra ⟨ψ∣A^\bra\psi\hat A, adjoint du ket A^†∣ψ⟩\hat A^\dagger\ket\psi. On obtient tr⁡(∣ψ⟩⟨ψ∣A^)=⟨ψ∣A^∣ψ⟩\tr\bigl(\ket\psi\bra\psi\hat A\bigr)=\bra\psi\hat A\ket\psi. Cette écriture de la valeur moyenne sous forme de trace sera très utile lorsque nous décrirons les états mixtes par un opérateur densité.

Question 4
Montrer que la trace d'un projecteur orthogonal est égale à la dimension de son image.

Solution
Soit P^\hat P le projecteur orthogonal sur un sous-espace FF de dimension pp. Choisissons une base orthonormée (∣e1⟩,...,∣ep⟩)(\ket{e_1},...,\ket{e_p}) de FF, complétée en une base orthonormée de H\H par des vecteurs de F⊥F^\perp. On a P^∣ei⟩=∣ei⟩\hat P\ket{e_i}=\ket{e_i} pour i≤pi\leq p et P^∣ei⟩=0\hat P\ket{e_i}=0 pour i>pi>p. La trace, calculée dans cette base, vaut donc ∑i≤p1=p\sum_{i\leq p}1=p. Puisqu'elle ne dépend pas de la base, ce résultat est général. Par exemple, tr⁡1=n\tr\mathbf{1}=n et la trace d'un projecteur ∣ψ⟩⟨ψ∣\ket\psi\bra\psi sur un vecteur normalisé vaut 11.

Question 5
La trace est-elle invariante par une permutation quelconque des facteurs d'un produit de trois opérateurs ? Calculer tr⁡(σxσyσz)\tr(\sigma_x\sigma_y\sigma_z) et tr⁡(σyσxσz)\tr(\sigma_y\sigma_x\sigma_z), où les σj\sigma_j sont les matrices de Pauli, sachant que σxσy=iσz\sigma_x\sigma_y=i\sigma_z, σyσx=−iσz\sigma_y\sigma_x=-i\sigma_z et σz2=1\sigma_z^2=\mathbf{1}.

Solution
La propriété tr⁡(AB)=tr⁡(BA)\tr(AB)=\tr(BA) appliquée à AA et au produit BCBC donne tr⁡(ABC)=tr⁡(BCA)=tr⁡(CAB)\tr(ABC)=\tr(BCA)=\tr(CAB) : la trace est invariante par permutation circulaire des facteurs. Elle ne l'est pas par une permutation quelconque. En effet,

tr⁡(σxσyσz)=tr⁡(iσzσz)=i tr⁡1=2i,tr⁡(σyσxσz)=tr⁡(−iσzσz)=−2i.\tr(\sigma_x\sigma_y\sigma_z)=\tr(i\sigma_z\sigma_z)=i\,\tr\mathbf{1}=2i, \qquad \tr(\sigma_y\sigma_x\sigma_z)=\tr(-i\sigma_z\sigma_z)=-2i .

Les deux résultats diffèrent, alors que les deux produits ne diffèrent que par l'échange des deux premiers facteurs, qui n'est pas une permutation circulaire.