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Thème 2 — Espaces de Hilbert et notations de Dirac

Propriétés générales des projecteurs orthogonaux

Mots-clés: projecteur orthogonal · valeurs propres · somme de projecteurs · produit de projecteurs · commutation · sous-espaces orthogonaux

Exercice 1 : Propriétés générales des projecteurs orthogonaux

Dans un espace de Hilbert H\H de dimension finie, on appelle projecteur orthogonal tout opérateur P^\hat P vérifiant P^2=P^\hat P^2=\hat P et P^†=P^\hat P^\dagger=\hat P.

Question 1
Montrer que les seules valeurs propres possibles d'un projecteur orthogonal sont 00 et 11.

Solution
Si P^∣v⟩=λ∣v⟩\hat P\ket v=\lambda\ket v avec ∣v⟩≠0\ket v\neq0, alors P^2∣v⟩=λ2∣v⟩\hat P^2\ket v=\lambda^2\ket v. Comme P^2=P^\hat P^2=\hat P, on a aussi P^2∣v⟩=λ∣v⟩\hat P^2\ket v=\lambda\ket v. Ainsi λ2=λ\lambda^2=\lambda, c'est-à-dire λ=0\lambda=0 ou λ=1\lambda=1. Le sous-espace propre associé à 11 est l'image de P^\hat P, et celui associé à 00 est son noyau.

Question 2
Montrer que tout vecteur ∣v⟩\ket v s'écrit de façon unique ∣v⟩=P^∣v⟩+(1−P^)∣v⟩\ket v=\hat P\ket v+(\mathbf{1}-\hat P)\ket v, où les deux termes sont orthogonaux. En déduire que ∥P^v∥≤∥v∥\norm{\hat Pv}\leq\norm v et que ⟨v∣P^∣v⟩=∥P^v∥2\bra v\hat P\ket v=\norm{\hat Pv}^2.

Solution
L'égalité est évidente. Les deux termes sont orthogonaux car

⟨P^v|(1−P^)v⟩=⟨v∣P^†(1−P^)∣v⟩=⟨v∣(P^−P^2)∣v⟩=0,\braket{\hat Pv}{(\mathbf{1}-\hat P)v}=\bra v\hat P^\dagger(\mathbf{1}-\hat P)\ket v=\bra v(\hat P-\hat P^2)\ket v=0,

où l'on a utilisé P^†=P^\hat P^\dagger=\hat P puis P^2=P^\hat P^2=\hat P. Le théorème de Pythagore donne ∥v∥2=∥P^v∥2+∥(1−P^)v∥2≥∥P^v∥2\norm v^2=\norm{\hat Pv}^2+\norm{(\mathbf{1}-\hat P)v}^2\geq\norm{\hat Pv}^2. Enfin, ∥P^v∥2=⟨v∣P^†P^∣v⟩=⟨v∣P^2∣v⟩=⟨v∣P^∣v⟩\norm{\hat Pv}^2=\bra v\hat P^\dagger\hat P\ket v=\bra v\hat P^2\ket v=\bra v\hat P\ket v. Pour un vecteur normalisé, ⟨v∣P^∣v⟩\bra v\hat P\ket v est donc un nombre compris entre 00 et 11 : c'est ce qui permet de l'interpréter, dans les postulats de la mesure, comme une probabilité.

Question 3
Soient P^1\hat P_1 et P^2\hat P_2 deux projecteurs orthogonaux. Montrer que P^1+P^2\hat P_1+\hat P_2 est un projecteur orthogonal si et seulement si P^1P^2=0\hat P_1\hat P_2=0. Interpréter cette condition.

Indication
Pour le sens direct, multiplier la relation obtenue à gauche, puis à droite, par P^1\hat P_1.

Solution
La somme est auto-adjointe dans tous les cas. Son carré vaut (P^1+P^2)2=P^1+P^2+P^1P^2+P^2P^1(\hat P_1+\hat P_2)^2=\hat P_1+\hat P_2+\hat P_1\hat P_2+\hat P_2\hat P_1. La somme est donc un projecteur si et seulement si

P^1P^2+P^2P^1=0.\hat P_1\hat P_2+\hat P_2\hat P_1=0 .

Si P^1P^2=0\hat P_1\hat P_2=0, alors P^2P^1=(P^1P^2)†=0\hat P_2\hat P_1=(\hat P_1\hat P_2)^\dagger=0, et la condition est satisfaite. Réciproquement, supposons la condition vérifiée. En la multipliant à gauche par P^1\hat P_1, on obtient P^1P^2+P^1P^2P^1=0\hat P_1\hat P_2+\hat P_1\hat P_2\hat P_1=0 ; en la multipliant à droite par P^1\hat P_1, on obtient P^1P^2P^1+P^2P^1=0\hat P_1\hat P_2\hat P_1+\hat P_2\hat P_1=0. En soustrayant, P^1P^2=P^2P^1\hat P_1\hat P_2=\hat P_2\hat P_1, puis la condition donne 2P^1P^2=02\hat P_1\hat P_2=0.

La condition P^1P^2=0\hat P_1\hat P_2=0 signifie que l'image de P^2\hat P_2 est contenue dans le noyau de P^1\hat P_1, c'est-à-dire que les deux images sont orthogonales. La somme est alors le projecteur sur la somme directe orthogonale des deux images. C'est le cas, par exemple, de deux projecteurs sur des sous-espaces propres d'une observable associés à des valeurs propres différentes.

Question 4
Montrer que si P^1\hat P_1 et P^2\hat P_2 commutent, leur produit P^1P^2\hat P_1\hat P_2 est un projecteur orthogonal. Quelle est son image ? Donner un exemple dans R2\R^2 montrant que le produit de deux projecteurs qui ne commutent pas n'est pas un projecteur orthogonal.

Solution
Si P^1P^2=P^2P^1\hat P_1\hat P_2=\hat P_2\hat P_1, alors (P^1P^2)†=P^2P^1=P^1P^2(\hat P_1\hat P_2)^\dagger=\hat P_2\hat P_1=\hat P_1\hat P_2, et (P^1P^2)2=P^1P^2P^1P^2=P^12P^22=P^1P^2(\hat P_1\hat P_2)^2=\hat P_1\hat P_2\hat P_1\hat P_2=\hat P_1^2\hat P_2^2=\hat P_1\hat P_2. C'est un projecteur orthogonal. Son image est l'intersection des deux images : un vecteur de l'image vérifie ∣w⟩=P^1P^2∣w⟩=P^2P^1∣w⟩\ket w=\hat P_1\hat P_2\ket w=\hat P_2\hat P_1\ket w, donc appartient aux deux images ; réciproquement, si ∣w⟩\ket w appartient aux deux images, P^1P^2∣w⟩=P^1∣w⟩=∣w⟩\hat P_1\hat P_2\ket w=\hat P_1\ket w=\ket w.

Dans R2\R^2, prenons les projecteurs sur l'axe xx et sur la première bissectrice :

P1=(1000),P2=12(1111),P1P2=12(1100).\begin{aligned} P_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad P_2=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad P_1P_2=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}. \end{aligned}

Ce produit n'est pas symétrique, donc pas auto-adjoint ; on vérifie aussi que (P1P2)2=12P1P2≠P1P2(P_1P_2)^2=\frac12P_1P_2\neq P_1P_2. En mécanique quantique, effectuer deux mesures successives associées à des projecteurs qui ne commutent pas ne revient pas à effectuer une seule mesure projective : c'est l'origine de l'incompatibilité des observables.