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Thème 2 — Espaces de Hilbert et notations de Dirac

Projecteur oblique et projecteur orthogonal

Mots-clés: projecteur · idempotent · projecteur oblique · projecteur orthogonal · opérateur auto-adjoint · postulat de la mesure

Exercice 1 : Projecteur oblique et projecteur orthogonal

Dans C2\C^2, on considère l'opérateur de matrice

Q=(1100).\begin{aligned} Q=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}. \end{aligned}
Question 1
Vérifier que Q2=QQ^2=Q. Déterminer l'image et le noyau de QQ. Sont-ils orthogonaux ? L'opérateur QQ est-il auto-adjoint ?

Solution
On calcule Q2=(1⋅1+1⋅01⋅1+1⋅000)=QQ^2=\begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot0&1\cdot1+1\cdot0\\0&0\end{pmatrix}=Q : l'opérateur est idempotent, c'est un projecteur. Pour ∣v⟩=(x,y)\ket v=(x,y), on a Q∣v⟩=(x+y,0)Q\ket v=(x+y,0). L'image est donc la droite engendrée par (1,0)(1,0), et le noyau est la droite x+y=0x+y=0, engendrée par (1,−1)(1,-1). Ces deux droites ne sont pas orthogonales, puisque ⟨(1,0),(1,−1)⟩=1≠0\bigl\langle(1,0),(1,-1)\bigr\rangle=1\neq0. On dit que QQ est un projecteur oblique : il projette sur l'axe xx parallèlement à la direction (1,−1)(1,-1), et non perpendiculairement. Enfin, Q†=(1010)≠QQ^\dagger=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}\neq Q : il n'est pas auto-adjoint.

Question 2
Calculer ∥Qv∥\norm{Qv} pour ∣v⟩=12(1,1)\ket v=\frac{1}{\sqrt2}(1,1). Comparer à ∥v∥\norm v.

Solution
On a Q∣v⟩=12(2,0)=(2,0)Q\ket v=\frac{1}{\sqrt2}(2,0)=(\sqrt2,0), de norme 2>1=∥v∥\sqrt2>1=\norm v. Contrairement à un projecteur orthogonal, qui ne peut que diminuer la norme d'un vecteur, un projecteur oblique peut l'augmenter.

Question 3
Montrer qu'un opérateur idempotent P^\hat P a une image orthogonale à son noyau si et seulement si P^†=P^\hat P^\dagger=\hat P.

Solution
Supposons P^†=P^\hat P^\dagger=\hat P. Si ∣a⟩=P^∣u⟩\ket a=\hat P\ket u est dans l'image et ∣b⟩\ket b dans le noyau, alors ⟨a|b⟩=⟨P^u|b⟩=⟨u|P^†b⟩=⟨u|P^b⟩=0\braket ab=\braket{\hat Pu}{b}=\braket{u}{\hat P^\dagger b}=\braket{u}{\hat Pb}=0 : l'image et le noyau sont orthogonaux.

Réciproquement, supposons l'image FF orthogonale au noyau GG. Comme P^\hat P est idempotent, tout vecteur s'écrit ∣v⟩=P^∣v⟩+(1−P^)∣v⟩\ket v=\hat P\ket v+(\mathbf{1}-\hat P)\ket v, avec P^∣v⟩∈F\hat P\ket v\in F et (1−P^)∣v⟩∈G(\mathbf{1}-\hat P)\ket v\in G, puisque P^(1−P^)=0\hat P(\mathbf{1}-\hat P)=0. Pour deux vecteurs ∣v⟩\ket v et ∣w⟩\ket w, l'orthogonalité de FF et GG donne

⟨w|P^v⟩=⟨P^w|P^v⟩=⟨P^w|v⟩,\braket{w}{\hat Pv}=\braket{\hat Pw}{\hat Pv}=\braket{\hat Pw}{v},

en développant ∣w⟩\ket w dans la première égalité et ∣v⟩\ket v dans la seconde. Ainsi ⟨w|P^v⟩=⟨P^w|v⟩\braket{w}{\hat Pv}=\braket{\hat Pw}{v} pour tous ∣v⟩,∣w⟩\ket v,\ket w, ce qui signifie P^†=P^\hat P^\dagger=\hat P.

Question 4
On pose ∣v⟩=12(1,i)\ket v=\frac{1}{\sqrt2}(1,i). Calculer ⟨v∣Q∣v⟩\bra vQ\ket v et ∥Qv∥2\norm{Qv}^2. Pourquoi les postulats de la mesure font-ils intervenir des projecteurs orthogonaux et non des projecteurs quelconques ?

Solution
On a Q∣v⟩=12(1+i,0)Q\ket v=\frac{1}{\sqrt2}(1+i,0), d'où

⟨v∣Q∣v⟩=12(1⋅(1+i)+(−i)⋅0)=1+i2,∥Qv∥2=∣1+i∣22=1.\bra vQ\ket v=\frac12\bigl(1\cdot(1+i)+(-i)\cdot0\bigr)=\frac{1+i}{2}, \qquad \norm{Qv}^2=\frac{|1+i|^2}{2}=1 .

Le nombre ⟨v∣Q∣v⟩\bra vQ\ket v est complexe, et différent de ∥Qv∥2\norm{Qv}^2. Il ne peut évidemment pas représenter une probabilité. Pour un projecteur orthogonal, au contraire, on a montré dans l'exercice précédent que ⟨v∣P^∣v⟩=∥P^v∥2\bra v\hat P\ket v=\norm{\hat Pv}^2 est un réel compris entre 00 et 11 pour un vecteur normalisé. De plus, les projecteurs orthogonaux sur les sous-espaces propres d'une observable ont des images orthogonales et leur somme vaut l'identité, ce qui garantit que les probabilités des différents résultats sont positives et de somme un. C'est pourquoi la règle de Born et le postulat de réduction utilisent des projecteurs orthogonaux.