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Thème 2 — Espaces de Hilbert et notations de Dirac

Opérateurs unitaires

Mots-clés: opérateur unitaire · conservation du produit scalaire · valeurs propres de module un · colonnes orthonormées · exponentielle

Exercice 1 : Opérateurs unitaires

Un opérateur U^\hat U sur un espace de Hilbert H\H de dimension finie est dit unitaire si U^†U^=1\hat U^\dagger\hat U=\mathbf{1}.

Question 1
Montrer que U^\hat U est unitaire si et seulement s'il conserve le produit scalaire : ⟨U^u|U^v⟩=⟨u|v⟩\braket{\hat Uu}{\hat Uv}=\braket uv pour tous ∣u⟩,∣v⟩\ket u,\ket v. En déduire qu'il conserve la norme, et que ses colonnes forment une base orthonormée.

Solution
On a ⟨U^u|U^v⟩=⟨u|U^†U^v⟩\braket{\hat Uu}{\hat Uv}=\braket{u}{\hat U^\dagger\hat Uv}. Si U^†U^=1\hat U^\dagger\hat U=\mathbf{1}, c'est ⟨u|v⟩\braket uv. Réciproquement, si le produit scalaire est conservé, ⟨u|(U^†U^−1)v⟩=0\braket{u}{(\hat U^\dagger\hat U-\mathbf{1})v}=0 pour tous ∣u⟩\ket u, donc (U^†U^−1)∣v⟩=0(\hat U^\dagger\hat U-\mathbf{1})\ket v=0 pour tout ∣v⟩\ket v, et U^†U^=1\hat U^\dagger\hat U=\mathbf{1}. En prenant ∣u⟩=∣v⟩\ket u=\ket v, la norme est conservée. Enfin, la jj-ième colonne de la matrice de U^\hat U dans une base orthonormée (∣ej⟩)(\ket{e_j}) représente le vecteur U^∣ej⟩\hat U\ket{e_j}, et ⟨U^ej|U^ek⟩=⟨ej|ek⟩=δjk\braket{\hat Ue_j}{\hat Ue_k}=\braket{e_j}{e_k}=\delta_{jk} : les colonnes sont orthonormées. En dimension finie, U^†U^=1\hat U^\dagger\hat U=\mathbf{1} entraîne que U^\hat U est inversible d'inverse U^†\hat U^\dagger, et donc aussi U^U^†=1\hat U\hat U^\dagger=\mathbf{1}.

Question 2
Montrer que les valeurs propres d'un opérateur unitaire sont de module 11, que des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, et que ∣det⁡U^∣=1|\det\hat U|=1.

Solution
Si U^∣v⟩=λ∣v⟩\hat U\ket v=\lambda\ket v avec ∣v⟩≠0\ket v\neq0, la conservation de la norme donne ∥v∥=∥U^v∥=∣λ∣∥v∥\norm v=\norm{\hat Uv}=|\lambda|\norm v, d'où ∣λ∣=1|\lambda|=1 : on peut écrire λ=eiθ\lambda=e^{i\theta}. Si U^∣u⟩=λ∣u⟩\hat U\ket u=\lambda\ket u et U^∣v⟩=μ∣v⟩\hat U\ket v=\mu\ket v, alors ⟨u|v⟩=⟨U^u|U^v⟩=λ∗μ⟨u|v⟩\braket uv=\braket{\hat Uu}{\hat Uv}=\lambda^*\mu\braket uv. Comme ∣λ∣=1|\lambda|=1, λ∗=1/λ\lambda^*=1/\lambda, et λ∗μ=μ/λ≠1\lambda^*\mu=\mu/\lambda\neq1 si λ≠μ\lambda\neq\mu : on a donc ⟨u|v⟩=0\braket uv=0. Enfin, det⁡(U†U)=det⁡(U)∗det⁡(U)=∣det⁡U∣2=det⁡1=1\det(U^\dagger U)=\det(U)^*\det(U)=|\det U|^2=\det\mathbf{1}=1.

Question 3
On considère la matrice

U=12(1ii1).\begin{aligned} U=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&i\\ i&1\end{pmatrix}. \end{aligned}

Montrer qu'elle est unitaire, puis déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres. Vérifier les propriétés précédentes.

Solution
Les colonnes 12(1,i)\frac{1}{\sqrt2}(1,i) et 12(i,1)\frac{1}{\sqrt2}(i,1) sont normalisées, et leur produit scalaire vaut 12(1⋅i+(−i)⋅1)=0\frac12\bigl(1\cdot i+(-i)\cdot1\bigr)=0 : elles forment une base orthonormée, et UU est unitaire. Comme UU est de la forme α1+βσx\alpha\mathbf{1}+\beta\sigma_x, ses vecteurs propres sont ceux de σx\sigma_x, à savoir 12(1,1)\frac{1}{\sqrt2}(1,1) et 12(1,−1)\frac{1}{\sqrt2}(1,-1). On trouve

U(11)=1+i2(11),U(1−1)=1−i2(1−1).U\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\frac{1+i}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \qquad U\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\frac{1-i}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.

Les valeurs propres sont eiπ/4e^{i\pi/4} et e−iπ/4e^{-i\pi/4}, de module 11, et les vecteurs propres sont orthogonaux. Le déterminant vaut 12(1−i2)=1\frac12(1-i^2)=1, produit des deux valeurs propres.

Question 4
Montrer que U=eiπ4σxU=e^{i\frac\pi4\sigma_x}, sachant que σx2=1\sigma_x^2=\mathbf{1}. Plus généralement, montrer que si H^\hat H est auto-adjoint, l'opérateur eiH^e^{i\hat H} est unitaire.

Solution
Comme σx2=1\sigma_x^2=\mathbf{1}, les puissances paires de σx\sigma_x valent 1\mathbf{1} et les puissances impaires valent σx\sigma_x. En séparant les termes pairs et impairs de la série exponentielle, on obtient eiθσx=cos⁡θ 1+isin⁡θ σxe^{i\theta\sigma_x}=\cos\theta\,\mathbf{1}+i\sin\theta\,\sigma_x. Pour θ=π/4\theta=\pi/4, cos⁡θ=sin⁡θ=12\cos\theta=\sin\theta=\frac{1}{\sqrt2}, et l'on retrouve UU. Plus généralement, si H^\hat H est auto-adjoint, on le diagonalise dans une base orthonormée, H^=∑kλk∣k⟩⟨k∣\hat H=\sum_k\lambda_k\ket{k}\bra k avec λk\lambda_k réels, et eiH^=∑keiλk∣k⟩⟨k∣e^{i\hat H}=\sum_ke^{i\lambda_k}\ket k\bra k. Son adjoint est ∑ke−iλk∣k⟩⟨k∣\sum_ke^{-i\lambda_k}\ket k\bra k, et leur produit vaut ∑k∣k⟩⟨k∣=1\sum_k\ket k\bra k=\mathbf{1}. C'est la raison pour laquelle l'opérateur d'évolution e−iH^t/ℏe^{-i\hat Ht/\hbar} est unitaire.