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Thème 2 — Espaces de Hilbert et notations de Dirac

Réflexion de Householder

Mots-clés: réflexion · symétrie orthogonale · opérateur unitaire · opérateur auto-adjoint · valeurs propres · sous-espaces propres · projecteur

Exercice 1 : Réflexion de Householder

Dans un espace de Hilbert H\H de dimension finie nn, on considère un vecteur normalisé ∣u⟩\ket u et l'opérateur

S^=1−2∣u⟩⟨u∣.\hat S=\mathbf{1}-2\ket u\bra u .
Question 1
Montrer que S^\hat S est auto-adjoint et que S^2=1\hat S^2=\mathbf{1}. En déduire que S^\hat S est unitaire.

Solution
Le projecteur ∣u⟩⟨u∣\ket u\bra u est auto-adjoint, donc S^\hat S aussi. En développant, et en utilisant ⟨u|u⟩=1\braket uu=1,

S^2=1−4∣u⟩⟨u∣+4∣u⟩⟨u|u⟩⟨u∣=1−4∣u⟩⟨u∣+4∣u⟩⟨u∣=1.\hat S^2=\mathbf{1}-4\ket u\bra u+4\ket u\braket uu\bra u=\mathbf{1}-4\ket u\bra u+4\ket u\bra u=\mathbf{1}.

Ainsi S^†S^=S^2=1\hat S^\dagger\hat S=\hat S^2=\mathbf{1} : S^\hat S est unitaire. Un opérateur à la fois auto-adjoint et unitaire est son propre inverse.

Question 2
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de S^\hat S. Calculer tr⁡S^\tr\hat S et det⁡S^\det\hat S. Donner l'interprétation géométrique de S^\hat S dans R3\R^3.

Solution
On a S^∣u⟩=∣u⟩−2∣u⟩=−∣u⟩\hat S\ket u=\ket u-2\ket u=-\ket u : ∣u⟩\ket u est vecteur propre de valeur propre −1-1. Pour tout ∣v⟩\ket v orthogonal à ∣u⟩\ket u, S^∣v⟩=∣v⟩\hat S\ket v=\ket v : l'hyperplan {∣u⟩}⊥\{\ket u\}^\perp, de dimension n−1n-1, est le sous-espace propre de valeur propre +1+1. On retrouve que les valeurs propres d'un opérateur à la fois unitaire et auto-adjoint, réelles et de module un, valent ±1\pm1. On en déduit tr⁡S^=(n−1)−1=n−2\tr\hat S=(n-1)-1=n-2 et det⁡S^=−1\det\hat S=-1. On peut aussi écrire S^=P^⊥−∣u⟩⟨u∣\hat S=\hat P_\perp-\ket u\bra u, où P^⊥=1−∣u⟩⟨u∣\hat P_\perp=\mathbf{1}-\ket u\bra u est le projecteur sur l'hyperplan. Dans R3\R^3, S^\hat S conserve les vecteurs du plan orthogonal à ∣u⟩\ket u et change le signe de la composante selon ∣u⟩\ket u : c'est la symétrie orthogonale, ou réflexion, par rapport à ce plan.

Question 3
Dans C2\C^2, calculer S^\hat S pour ∣u⟩=12(1,−1)\ket u=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1). Reconnaître le résultat.

Solution
On a ∣u⟩⟨u∣=12(1−1−11)\ket u\bra u=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}, d'où

S=(1001)−(1−1−11)=(0110)=σx.\begin{aligned} S=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\sigma_x . \end{aligned}

La matrice de Pauli σx\sigma_x est la réflexion qui laisse invariant le vecteur 12(1,1)\frac{1}{\sqrt2}(1,1) et change le signe de 12(1,−1)\frac{1}{\sqrt2}(1,-1). On peut l'interpréter, pour un photon, comme une lame qui échange les polarisations horizontale et verticale.

Question 4
Dans R3\R^3, on se donne ∣x⟩=(3,4,0)\ket x=(3,4,0) et ∣y⟩=(5,0,0)\ket y=(5,0,0), de même norme. Trouver un vecteur ∣u⟩\ket u tel que S^∣x⟩=∣y⟩\hat S\ket x=\ket y, et vérifier le résultat.

Indication
Une réflexion qui échange ∣x⟩\ket x et ∣y⟩\ket y doit changer le signe de ∣x⟩−∣y⟩\ket x-\ket y.

Solution
La réflexion cherchée échange ∣x⟩\ket x et ∣y⟩\ket y ; elle change donc le signe de leur différence et conserve leur somme. Prenons ∣u⟩\ket u colinéaire à ∣x⟩−∣y⟩=(−2,4,0)\ket x-\ket y=(-2,4,0), de norme 20\sqrt{20} : ∣u⟩=120(−2,4,0)\ket u=\frac{1}{\sqrt{20}}(-2,4,0). Alors ⟨u|x⟩=120(−6+16)=1020\braket ux=\frac{1}{\sqrt{20}}(-6+16)=\frac{10}{\sqrt{20}}, et

S^∣x⟩=∣x⟩−2⟨u|x⟩∣u⟩=(3,4,0)−2⋅1020(−2,4,0)=(3,4,0)−(−2,4,0)=(5,0,0)=∣y⟩.\hat S\ket x=\ket x-2\braket ux\ket u=(3,4,0)-2\cdot\frac{10}{20}(-2,4,0)=(3,4,0)-(-2,4,0)=(5,0,0)=\ket y .

Cette construction marche dès que ∥x∥=∥y∥\norm x=\norm y et que ⟨x|y⟩\braket xy est réel : on vérifie alors que ∣x⟩+∣y⟩\ket x+\ket y est orthogonal à ∣x⟩−∣y⟩\ket x-\ket y, donc invariant par la réflexion. Elle est très utilisée en analyse numérique pour amener une matrice à une forme triangulaire.