Rotations du plan et diagonalisation complexe

La matrice est réelle, donc $R^\dagger=R^{\mathsf T}$, et

$$\begin{aligned} R^{\mathsf T}R=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta&0\\0&\sin^2\theta+\cos^2\theta\end{pmatrix}=\mathbf{1}. \end{aligned}$$

Le déterminant vaut $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$. Enfin, le produit $R(\theta)R(\varphi)$ a pour premier coefficient $\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi=\cos(\theta+\varphi)$, et pour coefficient en bas à gauche $\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi=\sin(\theta+\varphi)$ ; les deux autres coefficients s'en déduisent de la même façon. Deux rotations successives se composent en une rotation dont l'angle est la somme des angles.

Le polynôme caractéristique vaut $(\cos\theta-\lambda)^2+\sin^2\theta=\lambda^2-2\lambda\cos\theta+1$. Son discriminant réduit est $\cos^2\theta-1=-\sin^2\theta$, et ses racines sont

$$\lambda_\pm=\cos\theta\pm i\sin\theta=e^{\pm i\theta}.$$

Elles sont de module un, comme pour toute matrice unitaire. Elles ne sont réelles que si $\sin\theta=0$, c'est-à-dire pour $\theta\equiv0$ (l'identité) ou $\theta\equiv\pi$ (la rotation d'un demi-tour, égale à $-\mathbf{1}$). Dans tous les autres cas, la rotation n'a aucun vecteur propre réel, ce qui est géométriquement évident : une rotation d'angle quelconque ne laisse invariante aucune direction du plan. Elle n'est donc pas diagonalisable sur $\R$.

Calculons l'action de $R(\theta)$ sur $(1,-i)$ :

$$R(\theta)\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta+i\sin\theta\\ \sin\theta-i\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{i\theta}\\-i(\cos\theta+i\sin\theta)\end{pmatrix}=e^{i\theta}\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}.$$

De même, $R(\theta)(1,i)=e^{-i\theta}(1,i)$. Ainsi $\ket+=\frac{1}{\sqrt2}(1,-i)$ est vecteur propre de valeur propre $e^{i\theta}$, et $\ket-=\frac{1}{\sqrt2}(1,i)$ de valeur propre $e^{-i\theta}$. Ces vecteurs sont normalisés, et orthogonaux pour le produit scalaire hermitien : $\braket+-=\frac12\bigl(1\cdot1+(i)(i)\bigr)=0$, puisque le bra $\bra+$ a pour composantes $\frac{1}{\sqrt2}(1,i)$. On a donc $R(\theta)=e^{i\theta}\ket+\bra++e^{-i\theta}\ket-\bra-$. En optique, si les deux composantes représentent les polarisations horizontale et verticale d'une onde lumineuse, les vecteurs $\ket\pm$ représentent les deux polarisations circulaires, qui ne sont modifiées que par une phase lorsqu'on fait tourner le dispositif.

On a $-i\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, et $\sigma_y^2=\mathbf{1}$. En séparant les termes pairs et impairs de la série exponentielle, $e^{-i\theta\sigma_y}=\cos\theta\,\mathbf{1}-i\sin\theta\,\sigma_y$, qui est exactement $R(\theta)$. La matrice $\sigma_y$ est hermitienne, de valeurs propres $\pm1$ ; on vérifie que $\sigma_y(1,i)=(1,i)$ et $\sigma_y(1,-i)=-(1,-i)$. Les vecteurs propres de $R(\theta)=e^{-i\theta\sigma_y}$ sont ceux de $\sigma_y$, avec les valeurs propres $e^{-i\theta\times(\pm1)}$ : on retrouve $e^{-i\theta}$ pour $\ket-=\frac{1}{\sqrt2}(1,i)$ et $e^{i\theta}$ pour $\ket+$. La matrice hermitienne $\sigma_y$ est le générateur des rotations du plan, comme le moment cinétique est le générateur des rotations en mécanique quantique.