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Thème 2 — Espaces de Hilbert et notations de Dirac

Diagonalisation d'une matrice hermitienne de taille deux

Mots-clés: diagonalisation · matrice hermitienne · système à deux niveaux · angle de mélange · anticroisement · répulsion des niveaux

Exercice 1 : Diagonalisation d'une matrice hermitienne de taille deux

On considère la matrice hermitienne la plus générale de taille $2\times2$ ,

\begin{aligned} H=\begin{pmatrix}a&b\\ b^*&d\end{pmatrix},\qquad a,d\in\R,\quad b=|b|e^{i\varphi}\in\C . \end{aligned}

Elle représente par exemple le Hamiltonien d'un système à deux niveaux, dans une base où $a$ et $d$ sont les énergies des deux états et $b$ leur couplage. On pose

m=\frac{a+d}{2},\qquad\Delta=\sqrt{\Bigl(\frac{a-d}{2}\Bigr)^2+|b|^2}.

Question 1

Déterminer les valeurs propres de

H

Solution

Le polynôme caractéristique vaut

\det(H-\lambda\mathbf{1})=(a-\lambda)(d-\lambda)-|b|^2=\lambda^2-(a+d)\lambda+ad-|b|^2 .

Son discriminant est $(a+d)^2-4ad+4|b|^2=(a-d)^2+4|b|^2=4\Delta^2\geq0$ , et les valeurs propres sont

\lambda_\pm=\frac{a+d}{2}\pm\frac12\sqrt{(a-d)^2+4|b|^2}=m\pm\Delta .

Elles sont réelles, comme il se doit pour une matrice hermitienne. Elles sont égales si et seulement si $\Delta=0$ , c'est-à-dire si $a=d$ et $b=0$ : la matrice est alors proportionnelle à l'identité.

Question 2

On suppose

\Delta>0

, et l'on définit l'angle

\theta\in[0,\pi]

par

\cos\theta=\frac{a-d}{2\Delta}

\sin\theta=\frac{|b|}{\Delta}

. Montrer que

H=m\,\mathbf{1}+\Delta\,K

avec

\begin{aligned} K=\begin{pmatrix}\cos\theta&e^{i\varphi}\sin\theta\\ e^{-i\varphi}\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}, \end{aligned}

puis que les vecteurs

\ket{+}=\begin{pmatrix}\cos\frac\theta2\\ e^{-i\varphi}\sin\frac\theta2\end{pmatrix},\qquad \ket{-}=\begin{pmatrix}-e^{i\varphi}\sin\frac\theta2\\ \cos\frac\theta2\end{pmatrix}

forment une base orthonormée de vecteurs propres de $H$ .

Solution

On vérifie directement :

m+\Delta\cos\theta=\frac{a+d}{2}+\frac{a-d}{2}=a

m-\Delta\cos\theta=d

, et

\Delta e^{i\varphi}\sin\theta=|b|e^{i\varphi}=b

. Les vecteurs propres de

H

sont ceux de

K

, avec les valeurs propres

m+\Delta k

k

est valeur propre de

K

. Calculons

K\ket+

, en utilisant les formules

\cos\theta=\cos^2\frac\theta2-\sin^2\frac\theta2

\sin\theta=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2

. La première composante vaut

\cos\theta\cos\tfrac\theta2+e^{i\varphi}\sin\theta\,e^{-i\varphi}\sin\tfrac\theta2=\cos\theta\cos\tfrac\theta2+\sin\theta\sin\tfrac\theta2=\cos\bigl(\theta-\tfrac\theta2\bigr)=\cos\tfrac\theta2,

et la seconde

e^{-i\varphi}\sin\theta\cos\tfrac\theta2-\cos\theta\,e^{-i\varphi}\sin\tfrac\theta2=e^{-i\varphi}\sin\bigl(\theta-\tfrac\theta2\bigr)=e^{-i\varphi}\sin\tfrac\theta2 .

Ainsi $K\ket+=\ket+$ , et l'on montre de même que $K\ket-=-\ket-$ . Les deux vecteurs sont normalisés, et $\braket+-=-\cos\frac\theta2e^{i\varphi}\sin\frac\theta2+e^{i\varphi}\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2=0$ . Ce sont donc les vecteurs propres de $H$ , de valeurs propres $m\pm\Delta$ .

Question 3

Appliquer ces résultats à

H=\begin{pmatrix}1&i\\-i&-1\end{pmatrix}

. Vérifier le premier vecteur propre par un calcul direct.

Solution

Ici

a=1

d=-1

b=i

, donc

m=0

|b|=1

\varphi=\pi/2

\Delta=\sqrt{1+1}=\sqrt2

. Les valeurs propres sont

\pm\sqrt2

. L'angle vérifie

\cos\theta=\sin\theta=\frac{1}{\sqrt2}

, donc

\theta=\pi/4

, et

e^{-i\varphi}=-i

\ket+=\begin{pmatrix}\cos\frac\pi8\\-i\sin\frac\pi8\end{pmatrix},\qquad \ket-=\begin{pmatrix}-i\sin\frac\pi8\\ \cos\frac\pi8\end{pmatrix}.

Vérifions la première composante de $H\ket+$ : $1\cdot\cos\frac\pi8+i\cdot(-i)\sin\frac\pi8=\cos\frac\pi8+\sin\frac\pi8$ . Elle doit être égale à $\sqrt2\cos\frac\pi8$ , ce qui est le cas puisque $\cos\frac\pi8+\sin\frac\pi8=\sqrt2\cos\bigl(\frac\pi8-\frac\pi4\bigr)=\sqrt2\cos\frac\pi8$ . Numériquement, $0{,}924+0{,}383=1{,}307=\sqrt2\times0{,}924$ .

Question 4

On considère le cas

a\neq d

avec un couplage faible,

|b|\ll|a-d|

. Donner un développement des valeurs propres au premier ordre non nul en

|b|

, et décrire les vecteurs propres. Que se passe-t-il au contraire lorsque

a=d

? Représenter qualitativement les deux valeurs propres en fonction de

a-d

, à

m

b

fixés.

Solution

Supposons

a>d

pour fixer les idées. On développe la racine carrée :

\Delta=\frac{a-d}{2}\sqrt{1+\frac{4|b|^2}{(a-d)^2}}\simeq\frac{a-d}{2}+\frac{|b|^2}{a-d}, \qquad \lambda_+\simeq a+\frac{|b|^2}{a-d},\quad\lambda_-\simeq d-\frac{|b|^2}{a-d}.

Le couplage écarte les deux niveaux : le plus haut monte et le plus bas descend, d'une quantité proportionnelle au carré du couplage et inversement proportionnelle à l'écart initial. L'angle $\theta$ est petit, $\theta\simeq2|b|/(a-d)$ , et les vecteurs propres sont proches des vecteurs de base : chacun n'est que légèrement mélangé avec l'autre. Lorsque $a=d$ , au contraire, $\theta=\pi/2$ , et les vecteurs propres $\frac{1}{\sqrt2}(1,\pm e^{-i\varphi})$ sont des superpositions de poids égaux des deux états de base : le mélange est maximal, même pour un couplage faible, et l'écart entre les niveaux vaut $2|b|$ . Lorsque l'on fait varier $a-d$ , les deux valeurs propres $m\pm\sqrt{(a-d)^2/4+|b|^2}$ décrivent les deux branches d'une hyperbole : elles ne se croisent jamais, contrairement aux énergies $a$ et $d$ sans couplage, qui se croisent en $a=d$ . C'est le phénomène d'anticroisement, ou de répulsion des niveaux, que l'on retrouve dans toute la physique quantique, des molécules aux qubits.